APLICACIN DE LA ECUACIN DE CONDUCCIN DE CALOR SOBRE UN RODAMIENTO DE BOLAS

Gabriela RuizAsignatura: Matemtica AvanzadaFecha: 8 de julio del 2009Escuela Politcnica NacionalMatemtica Avanzada

APLICACIN DE LA ECUACIN DE CONDUCCIN DE CALOR SOBRE UN RODAMIENTO DE BOLAS

Integrantes:

Gabriela RuizIngeniera QumicaTercer SemestreProfesor:Ing. Gonzalo MejaFecha:Mircoles, 8 de julio del 2009

IntroduccinLa fsica clsica, involucra una gran cantidad de poderosas leyes expresadas individualmente en formulacin matemtica mediante una ecuacin diferencial parcial. En este artculo se presenta una aplicacin donde se ilustra la solucin de la ecuacin de conduccin de calor sobre un rodamiento Conrad.La mayor parte de los fenmenos fsicos de importancia estn representados matemticamente mediante una ecuacin diferencial parcial. Para dar un ejemplo de lo anterior, Stephenson enumera 8 ecuaciones de la llamada fsica matemtica que expresan importantes fenmenos relacionados con la dinmica de elementos continuos, la electrodinmica, la mecnica cuntica y los fenmenos de transferencia de masa y calor. Estas ecuaciones en su forma general son:1. Ecuacin de onda1. Ecuacin de conduccin de calor1. Ecuacin de Laplace1. Ecuacin de Helmholtz1. Ecaucin de Poisson1. Ecuacin de onda biarmnica1. Ecuacin biarmnica1. Ecuacin de SchrdingerLos desarrollos clsicos de algunas de estas ecuaciones, utilizan mtodos elegantes como el Mtodo de Fourier, la Integracin de Riemann y el uso de la Funcin Generalizada de Green; sin embargo estos procedimientos no siempre garantizan soluciones analticas exactas que permitan ilustrar el comportamiento de un fenmeno fsico; es entonces cuando las soluciones analtico-aproximadas, y los mtodos numricos proporcionan tcnicas eficaces y eficientes para dar clara solucin a un problema especfico de la fsica clsica. En particular, los mtodos numricos desarrollados desde el siglo XIV por Sir Thomas Harriot en la Universidad de Oxford, rpidamente fueron populares entre los grandes matemticos europeos, siendo usados principalmente para resolver ecuaciones y trascienden de manera importante hacia la ingeniera en 1943, cuando Richard Courant desarrolla el Mtodo de los Elementos Finitos (MEF). Courant us los mtodos numricos de variacin propuestos por Ritz con el fin de obtener soluciones aproximadas para sistemas vibrantes.

ObjetivosObjetivo general1. Aplicar la ecuacin de transferencia de calor para el anlisis de un rodamiento tipo Conrad.Objetivos especficos1. Conocer alguna de las aplicaciones de la matemtica avanzada en el campo de la Ingeniera Qumica.1. Exponer alguna de las numerosas aplicaciones de la ecuacin de transferencia de calor.1. Resaltar la importancia de la matemtica avanzada mediante su aplicacin en los diversos campos de la Ingeniera Qumica.

DesarrolloLA ECUACIN DE CONDUCCIN DE CALORUna ecuacin diferencial, en la que aparecen dos o ms variables independientes se llama ecuacin diferencial parcial. En particular una ecuacin diferencial parcial de la forma

Ecuacin (1)donde A, B y C son constantes, se llama ecuacin diferencial parcial casi lineal.Existen tres clases de ecuaciones diferenciales parciales casi lineales:1. Si , la ecuacin se llama elptica.1. Si , la ecuacin se llama parablica.1. Si , la ecuacin se llama hiperblica.Las tres formas casi lineales pueden ser normalizadas con el fin de introducir un sistema de coordenadas especfico; as la ecuacin:

segn las condiciones dadas se convertirn en:

(Forma normal de la ecuacin elptica)Ecuacin (2)

(Forma normal de la ecuacin hiperblica)Ecuacin (3)

(Forma normal de la ecuacin parablica)Ecuacin (4)Segn Sobolev, la ecuacin que permite determinar la temperatura en todos los puntos de un cuerpo homogneo e isotrpico, se conoce como ecuacin de conduccin de calor, esta ecuacin posee la forma

Ecuacin (5)donde es la funcin de temperatura en el punto de coordenadas en el tiempo y es la difusividad trmica del material evaluada como la razn entre la conductividad trmica Ko y el producto entre la capacidad calorfica c y la densidad del material . Luego:

Si se compara la ecuacin (5)con las ecuaciones (2), (3) y (4) se puede concluir que la ecuacin de conduccin de calor es de tipo parablico. Tinoco demuestra que la ecuacin , es un caso particular de la ecuacin:

Ecuacin (6)donde , , es la convectividad trmica y es la fuente de calor.La particularizacin de respecto a la ecuacin (6) conlleva a los valores especficos:

Cabe anotar que en este modelo se realizan consideraciones de continuidad, homogeneidad e isotropa de material.MODELO DE LA ECUACIN SOBRE UN RODAMIENTO TIPO CONRADSe ilustra una moderna metodologa de trabajo con el fin de simular situaciones comunes en procesos mecnicos. Los rodamientos son elementos vitales en la maquinaria rotativa ya que una falla de ellos produce paradas en maquinaria que conllevan a costos extras y atrasos en la produccin. En la simulacin realizada en el artculo se observa como los puntos en contacto se calientan de manera excesiva durante la operacin de trabajo.El rodamiento[footnoteRef:1] tipo Conrad es un cojinete de elementos rodantes (esferas) de amplio uso en la maquinaria rotativa debido a que pueden soportar cargas radiales y cargas axiales en dos direcciones. En la figura 1, se ilustra un esquema general de un rodamiento Conrad. Los rodamientos tipo Conrad son tambin conocidos como rodamiento de esferas de canal profundo. Normalmente estos rodamientos estn fabricados de acero AISI 5210 endurecidos superficialmente en alto grado. [1: Un rodamiento es un elemento mecnico que reduce la friccin entre un eje y las piezas conectadas a ste, que le sirve de apoyo y facilita su desplazamiento.]

La vida til de los rodamientos normalmente es expresada como vida L10, esto es el nmero de ciclos a la falla que excede el 90 % de una poblacin de partes. La relacin base est dada por la ecuacin

donde se conoce como tasa de carga del catlogo, ya que este valor vara segn el fabricante, F es la carga que se requiere soportar para un nmero de ciclos L y a es una constante de valor 3 para los rodamientos tipo Conrad.

Figura 1Rodamiento tipo Conrad o rodamiento de esferas de canal profundoCuando un rodamiento es susceptible de condiciones anormales de trabajo, el valor de la vida en ciclos calculada para cierta carga de trabajo especfica, se reduce notablemente. Por ejemplo, la lubricacin deficiente es una de las principales causas de falla en un rodamiento, este hecho genera fricciones no deseadas en los elementos del cojinete y por lo tanto un aumento considerable de la temperatura, sin embargo el exceso de lubricacin tambin produce calentamiento del cojinete debido al alto calentamiento del lubricante sobrante que no hace trabajo alguno.Se proceder ahora a realizar el modelo de aplicacin de conduccin de calor en un rodamiento para as poder observar la direccin del gradiente trmico y la concentracin del calor en los elementos que lo componen.Los valores de , c y para el material acero AISI 5210, pueden ser hallados en bibliografa (TINOCO Navarro, Op. Cit., p. 107.). Se tiene entonces queConductividad trmicaDensidad

Ahora se proceder a la construccin del rodamiento. Este se construye a partir de contornos despus de abrir la herramienta PDE. En la Figura 2, se puede observar el espacio de trabajo y el contorno geomtrico del rodamiento.

Figura 2Creacin del contorno geomtrico del rodamiento con la Herramienta PDE.La ecuacin usada para la creacin del contorno, est dada por:

donde representa la geometra especfica de las circunferencias que representan cada elemento del rodamiento. Para cada existe en el programa generado un correspondiente punto Pi (xi, yi) que ubica la geometra especfica en el entorno de trabajo. Posteriormente se eliminan los subdominios, dejando un nico dominio geomtrico que representa la frontera del sistema, esta frontera se observa en la figura 3.

Figura 3Frontera del rodamiento en nico subdominio.Con el comando mesh se crea una malla refinada. En este punto es importante un buen criterio de ingeniera para lograr una ptima geometra discreta del sistema, el usuario puede ubicar el nmero de nodos y elementos triangulares adecuados. Para el caso particular, se generaron 21670 nodos y 40638 elementos triangulares. Se hizo adems un refinamiento excesivo en los contactos entre los elementos rodantes y las pistas, pues debido a la presencia de esfuerzos hertzianos estos puntos son crticos. La figura 4 muestra el modelo final del sistema.

Figura 4Malla final del modelo del rodamiento tipo Conrad.El modelo de ecuacin diferencial parcial y los coeficientes se ingresan ahora tal como se muestra en la figura 5, para generar la solucin de la ecuacin de calor sobre el modelo creado, se usa el mtodo de Neumann debido a que los coeficientes de la ecuacin parablica son completamente conocidos. Cabe destacar que la Herramienta PDE realiza soluciones bien con el mtodo condicional de Neumann o bien con el mtodo condicional de Dirichlet, segn se conozcan las constantes de la ecuacin o la funcin de lmite de frontera.

Figura 5Introduccin de los coeficientes y seleccin de la ecuacin parablica para simular la ecuacin de conduccin.Segn engel, las condiciones de frontera para la ecuacin de calor, son aquellas que indican las condiciones trmicas en las fronteras de un sistema; esto es la expresin matemtica de la temperatura a los alrededores. La condicin inicial expresa el valor de la temperatura en el tiempo. Para un sistema general, la expresin para las condiciones iniciales y de frontera en coordenadas cartesianas rectangulares, se expresa como:

En donde la funcin representa la distribucin de temperatura en todo el medio en el instante .En este ejercicio se supondr que en el tiempo , sobre la pista exterior del rodamiento. Se usar el formato de condicin de frontera de Dirichlet de la herramienta PDE. Segn la condicin de Dirichlet la ecuacin gobernante de la condicin de frontera est expresada como:

donde u es distribucin trmica, h es un factor de peso cuyo valor normalmente es 1 y r es una funcin escalar. En la figura 6 se ilustra la introduccin de los valores rectores de las condiciones de frontera utilizando la herramienta PDE.

Figura 6Introduccin de los valores determinantes para las condiciones de frontera.Finalmente se puede observar el modelo de solucin de la ecuacin en la Figura 7. Las zonas rojas muestran donde la concentracin trmica es ms alta. Para este caso se realiz una simulacin de 60 segundos, suponiendo que el rodamiento rota alrededor de su centro con velocidad angular constante de 1700 rpm. Como se observa en los puntos de contacto entre las pistas y los elementos rodantes la temperatura alcanza unos segn la simulacin y las esferas localizadas en las posiciones 12, 6 (tratando el rodamiento como la cartula de un reloj) presentan la mayor concentracin de temperatura en su periferia. Este hecho realza la importancia de la existencia de una pelcula de lubricacin entre superficies en contacto as:1. Se refrigeran dichas superficies1. Se disminuyen las magnitudes de los esfuerzos hertzianos.

Figura 7Simulacin final, los puntos rojos ilustran la temperatura ms alta del sistema.En este caso el aumento trmico se debe no solo a una condicin habitual de trabajo sino a que se omiti la simulacin de una capa lmite de pelcula lubricante entre pistas y elementos rodantes.Marco TericoEcuacin de Transferencia de CalorLa ecuacin del calor es una importante ecuacin diferencial en derivadas parciales que describe la distribucin del calor (o variaciones de la temperatura) en una regin a lo largo del transcurso del tiempo. Para el caso de una funcin de tres variables en el espacio (x,y,z) y la variable temporal t, la ecuacin del calor es:

donde k es una constante.La ecuacin del calor es de una importancia fundamental en numerosos y diversos campos de la ciencia.RodamientoUn rodamiento, tambin denominado rulemn, rolinera, rleman, cojinete, balinera o balero (en Mxico) o rodaje (en Per), es un elemento mecnico que reduce la friccin entre un eje y las piezas conectadas a ste, que le sirve de apoyo y facilita su desplazamiento.De acuerdo con el tipo de contacto que exista entre las piezas, el rodamiento puede ser deslizante o lineal y rotativo.El elemento rotativo que puede emplearse en la fabricacin del rodamiento, pueden ser: bolas, rodillos o agujas.Los rodamientos de movimiento rotativo, segn el sentido del esfuerzo que soporta, los hay axiales, radiales y axiales-radiales.Un rodamiento radial es el que soporta esfuerzos radiales, que son esfuerzos de direccin normal a la direccin que pasa por el centro de su eje, como por ejemplo una rueda, es axial si soporta esfuerzos en la direccin de su eje, ejemplo en quicio, y axial-radial si los puede soportar en los dos, de forma alternativa o combinada.La fabricacin de los cojinetes de bolas es la que ocupa en tecnologa un lugar muy especial, dados los procedimientos para conseguir la esfericidad perfecta de la bola. Los mayores fabricantes de ese tipo de cojinetes emplean el vaco para tal fin. El material es sometido a un tratamiento abrasivo en cmaras de vaco absoluto. El producto final no es casi perfecto, tambin es atribuida la gravedad como efecto adverso. Los suecos, fabricantes de acero para partes de alta friccin en mquinas, han conseguido llevar al espacio exterior la tcnica para el tratamiento final de las bolas, evitando el efecto gravedad, con el fin de conseguir la esfericidad deseada. Los cojinetes o rulemanes son llamados rodajes en algunos pases de habla hispana.Rodamiento de bolas. Tambin llamado cojinete de bolas o balero. Con una sola y profunda ranura, soporta cargas radiales as como una carga axial o de empuje. Las bolas se introducen en las ranuras desplazando el aro interior lateralmente a una posicin excntrica. Las bolas se separan despus de su introduccin y luego se inserta el separador. Radial de una hilera: A este rodamiento se le menciona muchas veces como rodamiento de ranura profunda, CONRAD o deep groove bearing. Se encuentra con muchas variaciones: protecciones o sellos sencillos o dobles. Se emplea normalmente para cargas radiales y de empuje (como mximo dos tercios de la radial). Es esencial un alineacin cuidadosa, es decir que el mximo desalineamiento sea de 0.5. Este rodamiento puede soportar una carga de empuje axial relativamente alta. Los cojinetes de bolas de una fila soportan un pequeo desalineamiento del eje, pero donde lo anterior puede ser grave, es posible utilizar cojinetes autoalineantes.1. De doble hilera. Este rodamiento est diseado para admitir cargas radiales fuertes y de empuje ligeras, sin aumentar el dimetro exterior del mismo. Es, aproximadamente, de 60 a 80% ms ancho que un rodamiento comparable de una hilera. A causa de la ranura de llenado, las cargas de empuje deben ser ligeras. Los cojinetes de bolas de doble fila se fabrican en una amplia variedad de tipos y tamaos para soportar cargas radiales y axiales ms intensas. Algunas veces dos cojinetes de una fila se utilizan conjuntamente por la misma razn, aunque un cojinete de doble fila generalmente requerir menor nmero de piezas y ocupar menos espacio.1. De doble hilera de autoalineamiento interno. Este rodamiento puede usarse para cargas preponderantemente radiales en donde se requiere autoalineamiento de 0.003 a 0.005 pulgadas. No se debe abusar de la caracterstica del autoalineamiento, pues el desalineamiento o carga de empuje excesivos causan pronta falla.1. Rodamiento de contacto angular. As llamados por que la lnea que atraviesan las superficies que soportan la carga, forman un ngulo con el plano de la cara del rodamiento, estn destinados a resistir pesadas cargas axiales. Se los utiliza frecuentemente en pares opuestos axialmente unos a otros, y son adecuados para la carga previa1. De mxima capacidad. Tiene la misma forma que un rodamiento de hilera, a excepcin de la presencia de una ranura o canal de llenado que admite mas bolas y en consecuencia soportar cargas radiales ms fuertes. Como su capacidad de empuje axial es pequea, estos rodamientos se utilizan cuando la carga es principalmente radial. De tipo partido. Este tipo de rodamiento puede ser tanto de bolas como de rodillos. Tiene partido el anillo interior, el exterior y la jaula. Se ensamblan con tornillos, lo que le da facilidad de instalacin o al quitar un rodamiento.

Conclusiones Se ha comprobado la importancia de la ecuacin de transferencia de calor en anlisis de un rodamiento tipo CONRAD. Se conoci la importancia de la matemtica avanzada en esta tarea que indudablemente debe ser desempeada por un ingeniero qumico. msRecomendaciones Poner recomedacionesBibliografa Scientia et Technica Ao XIII, No 35, Agosto de 2007. Universidad Tecnolgica de Pereira. STEPHENSON, G.; Introduccin a las Ecuaciones en Derivadas Parciales; Editorial Revert S. A. Espaa. 1975, p. 11 - 13. HSU, Hwei P.; Anlisis de Fourier; Prentice Hall. Primera reimpresin de la primera edicin. Mxico. 1998, p. 183 212. AGUDELO Posso, Abel; GNZALEZ L. Julin; Ecuacin Diferencial Asociada a los Polinomios Ortogonales Clsicos; Revista Scientia et Technica Ao X, No. 26, Diciembre de 2004, p. 179 184. MATHEWS, John H.; FINK, Kurtis D.; Mtodos Numricos con MatLab; Prentice Hall. 5 edicin. Espaa. 2001, p. 557 559. JOHNSON, Olaf A.; Diseo de Mquinas Herramienta; Editorial Roble. Mxico. 1973, p. 56 57.