Escuela Politécnica NacionalEscuela Politécnica Nacional

Matemática AvanzadaMatemática Avanzada

Integrantes:Integrantes:

Gabriela Ruiz

IngenieríaIngeniería QuímicaQuímica

Tercer SemestreTercer Semestre

Profesor:Profesor:

Ing. Gonzalo Mejía

Fecha:Fecha:

Miércoles, 8 de julio de 2009

Aplicación de la matemática avanzada

Introducción IntroducciónLa física clásica, involucra una gran cantidad de poderosas leyes expresadas individualmente en formulación matemática mediante una ecuación diferen-cial parcial. En este artículo se presenta una aplicación donde se ilustra la solución de la ecuación de conducción de calor sobre un rodamiento Con-rad.

La mayor parte de los fenómenos físicos de importancia están representa-dos matemáticamente mediante una ecuación diferencial parcial. Para dar un ejemplo de lo anterior, Stephenson enumera 8 ecuaciones de la llamada física matemática que expresan importantes fenómenos relacionados con la dinámica de elementos continuos, la electrodinámica, la mecánica cuántica y los fenómenos de transferencia de masa y calor. Estas ecuaciones en su forma general son:

1. ∇2u= 1c2∂2u∂t 2

→ Ecuación de onda

2. ∇2u=1k∂u∂ t→ Ecuación de conducción de calor

3. ∇2u=0→ Ecuación de Laplace4. ∇2u=−λu→ Ecuación de Helmholtz5. ∇2u=f ( x , y , z )→ Ecaución de Poisson

6. ∇4u= 1p2∂2u∂ t 2

→ Ecuación de onda biarmónica

7. ∇4u=0→ Ecuación biarmónica8. ∇2u+α [E−V ( x , y , z ) ]u=0→ Ecuación de Schrödinger

Los desarrollos clásicos de algunas de estas ecuaciones, utilizan métodos elegantes como el Método de Fourier, la Integración de Riemann y el uso de la Función Generalizada de Green; sin embargo estos procedimientos no siempre garantizan soluciones analíticas exactas que permitan ilustrar el comportamiento de un fenómeno físico; es entonces cuando las soluciones analítico-aproximadas, y los métodos numéricos proporcionan técnicas efi-caces y eficientes para dar clara solución a un problema específico de la física clásica. En particular, los métodos numéricos desarrollados desde el siglo XIV por Sir Thomas Harriot en la Universidad de Oxford, rápidamente fueron populares entre los grandes matemáticos europeos, siendo usados principalmente para resolver ecuaciones y trascienden de manera importan-te hacia la ingeniería en 1943, cuando Richard Courant desarrolla el Método de los Elementos Finitos (MEF). Courant usó los métodos numéricos de va-riación propuestos por Ritz con el fin de obtener soluciones aproximadas para sistemas vibrantes.

ObjetivosObjetivosObjetivo general

Aplicar la ecuación de transferencia de calor para el análisis de un rodamiento tipo Conrad.

Objetivos específicos

Conocer alguna de las aplicaciones de la matemática avanzada en el campo de la Ingeniería Química.

Exponer alguna de las numerosas aplicaciones de la ecuación de transferencia de calor.

Resaltar la importancia de la matemática avanzada mediante su apli-cación en los diversos campos de la Ingeniería Química.

DesarrolloDesarrolloLA ECUACIÓN DE CONDUCCIÓN DE CALOR

Una ecuación diferencial, en la que aparecen dos o más variables indepen-dientes se llama ecuación diferencial parcial. En particular una ecuación di-ferencial parcial de la forma

Aϕ xx+Bϕ xy+Cϕ yy=f (x , y ,ϕ ,ϕx , ϕ y )

Ecuación (1)

donde A, B y C son constantes, se llama ecuación diferencial parcial casi – lineal.

Existen tres clases de ecuaciones diferenciales parciales casi – lineales:

Si B2– 4 AC<0, la ecuación se llama elíptica. Si B2– 4 AC=0, la ecuación se llama parabólica. Si B2– 4 AC>0, la ecuación se llama hiperbólica.

Las tres formas casi – lineales pueden ser normalizadas con el fin de intro-ducir un sistema de coordenadas específico; así la ecuación:

Aϕ xx+Bϕ xy+Cϕ yy=f (x , y ,ϕ ,ϕx , ϕ y )

según las condiciones dadas se convertirán en:

∂2u∂ξ2

+ ∂2u∂η2

=X (u , ∂u∂ξ , ∂u∂η , ξ , η)(Forma normal de la ecuación elíptica)

Ecuación (2)

∂2u∂ξ∂η

=X (u , ∂u∂ξ , ∂u∂η ,ξ , η)(Forma normal de la ecuación hiperbólica)

Ecuación (3)

∂2u∂η2

=X (u , ∂u∂ξ , ∂u∂η , ξ , η)(Forma normal de la ecuación parabólica)

Ecuación (4)

Según Sobolev, la ecuación que permite determinar la temperatura en todos los puntos de un cuerpo homogéneo e isotrópico, se conoce como ecuación de conducción de calor, esta ecuación posee la forma

∇2u=1k∂u∂ t

Ecuación (5)

donde u ( x , y , z , t )es la función de temperatura en el punto de coordenadas ( x , y , z ) en el tiempo t y k es la difusividad térmica del material evaluada como la razón entre la conductividad térmica Ko y el producto entre la capa-cidad calorífica c y la densidad del material ρ. Luego:

k=K0ρ∙ c

Si se compara la ecuación (5)con las ecuaciones (2), (3) y (4) se puede con-cluir que la ecuación de conducción de calor es de tipo parabólico. Tinoco demuestra que la ecuación ∇2u=1

k∂u∂ t , es un caso particular de la ecuación:

d ( ∂u∂t )−∇ (C∇u )+au=f

Ecuación (6)

donde d= ρ∙ c, C=k , a es la convectividad térmica y f es la fuente de calor.

La particularización de k= K0ρ∙ c

respecto a la ecuación (6) conlleva a los valo-res específicos:

d=1

a=0 f=0 C=k

Cabe anotar que en este modelo se realizan consideraciones de continui-dad, homogeneidad e isotropía de material.

MODELO DE LA ECUACIÓN SOBRE UN RODAMIENTO TIPO CONRAD

Se ilustra una moderna metodología de trabajo con el fin de simular situa-ciones comunes en procesos mecánicos. Los rodamientos son elementos vitales en la maquinaria rotativa ya que una falla de ellos produce paradas en maquinaria que conllevan a costos extras y atrasos en la producción. En la simulación realizada en el artículo se observa como los puntos en contac-to se calientan de manera excesiva durante la operación de trabajo.

El rodamiento1 tipo Conrad es un cojinete de elementos rodantes (esferas) de amplio uso en la maquinaria rotativa debido a que pueden soportar car-gas radiales y cargas axiales en dos direcciones. En la figura 1 se ilustra un esquema general de un rodamiento Conrad.

La vida útil de los rodamientos normalmente es expresada como vida L10, esto es el número de ciclos a la falla que excede el 90 % de una población de partes. La relación base está dada por la ecuación:

C10L101a=F L

1a

donde C10 se conoce como tasa de carga del catálogo, ya que este valor va-ría según el fabricante, F es la carga que se requiere soportar para un nú-mero de ciclos L y a es una constante de valor 3 para los rodamientos tipo Conrad.

1 Un rodamiento es un elemento mecánico que reduce la fricción entre un eje y las piezas conectadas a éste, que le sirve de apoyo y facilita su desplazamiento.

Figura 1. Rodamiento tipo Conrad o rodamiento de esferas de canal profun-do

Cuando un rodamiento es susceptible de condiciones anormales de trabajo, el valor de la vida en ciclos calculada para cierta carga de trabajo específi-ca, se reduce notablemente. Por ejemplo, la lubricación deficiente es una de las principales causas de falla en un rodamiento, este hecho genera friccio-nes no deseadas en los elementos del cojinete y por lo tanto un aumento considerable de la temperatura, sin embargo el exceso de lubricación tam-bién produce calentamiento del cojinete debido al alto calentamiento del lubricante sobrante que no hace trabajo alguno.

Se procederá ahora a realizar el modelo de aplicación de conducción de ca-lor en un rodamiento para así poder observar la dirección del gradiente tér-mico y la concentración del calor en los elementos que lo componen.

Los valores de K 0, c y ρ para el material acero AISI 5210, pueden ser halla-dos en bibliografía (TINOCO Navarro, Op. Cit., p. 107.). Se tiene entonces que

K 0=16.63wm℃→Conductividad térmica

ρ=7817 kgm3→Densidad

C=4.533×10−6m2

s

Ahora se procederá a la construcción del rodamiento. Este se construye a partir de contornos después de abrir la herramienta PDE. En la Figura 2, se puede observar el espacio de trabajo y el contorno geométrico del roda-miento.

Figura 2. Creación del contorno geométrico del rodamiento con la Herra-mienta PDE.

La ecuación usada para la creación del contorno, está dada por:

(E1 – E2)+E3+E4+E5+E6+E7+E8+E9+E10+(E12 – E11)

donde Ei representa la geometría específica de las circunferencias que re-presentan cada elemento del rodamiento. Para cada Ei existe en el progra-ma generado un correspondiente punto Pi (xi, yi) que ubica la geometría específica en el entorno de trabajo. Posteriormente se eliminan los subdomi-nios, dejando un único dominio geométrico que representa la frontera del sistema, esta frontera se observa en la figura 3.

Figura 3. Frontera del rodamiento en único subdominio.

Con el comando “mesh” se crea una malla refinada. En este punto es impor-tante un buen criterio de ingeniería para lograr una óptima geometría dis-creta del sistema, el usuario puede ubicar el número de nodos y elementos triangulares adecuados. Para el caso particular, se generaron 21670 nodos y 40638 elementos triangulares. Se hizo además un refinamiento excesivo en los contactos entre los elementos rodantes y las pistas, pues debido a la presencia de esfuerzos hertzianos estos puntos son críticos. La figura 4 muestra el modelo final del sistema.

Figura 4. Malla final del modelo del rodamiento tipo Conrad.

El modelo de ecuación diferencial parcial y los coeficientes se ingresan aho-ra tal como se muestra en la figura 5, para generar la solución de la ecua-

ción de calor sobre el modelo creado, se usa el método de Neumann debido a que los coeficientes de la ecuación parabólica son completamente conoci-dos. Cabe destacar que la Herramienta PDE realiza soluciones bien con el método condicional de Neumann o bien con el método condicional de Dirich-let, según se conozcan las constantes de la ecuación o la función de límite de frontera.

Figura 5. Introducción de los coeficientes y selección de la ecuación parabó-lica para simular la ecuación de conducción.

Según Çengel, las condiciones de frontera para la ecuación de calor, son aquellas que indican las condiciones térmicas en las fronteras de un siste-ma; esto es la expresión matemática de la temperatura a los alrededores. La condición inicial expresa el valor de la temperatura en el tiempo. Para un sistema general, la expresión para las condiciones iniciales y de frontera en coordenadas cartesianas rectangulares, se expresa como:

T ( x , y , z ,0 )=u ( x , y , z )

En donde la función representa la distribución de temperatura en todo el medio en el instante t=0.

En este ejercicio se supondrá que en el tiempo t=0, u=22℃ sobre la pista exterior del rodamiento. Se usará el formato de condición de frontera de Dirichlet de la herramienta PDE. Según la condición de Dirichlet la ecuación gobernante de la condición de frontera está expresada como:

h ∙u=r

donde u es distribución térmica, h es un factor de peso cuyo valor normal-mente es 1 y r es una función escalar. En la figura 6 se ilustra la introduc-ción de los valores rectores de las condiciones de frontera utilizando la he-rramienta PDE.

Figura 6. Introducción de los valores determinantes para las condiciones de frontera.

Finalmente se puede observar el modelo de solución de la ecuación en la Figura 7. Las zonas rojas muestran donde la concentración térmica es más alta. Para este caso se realizó una simulación de 60 segundos, suponiendo que el rodamiento rota alrededor de su centro con velocidad angular cons-tante de 1700 rpm. Como se observa en los puntos de contacto entre las pistas y los elementos rodantes la temperatura alcanza unos 50 °C según la simulación y las esferas localizadas en las posiciones 12, 6 (tratando el ro-damiento como la carátula de un reloj) presentan la mayor concentración de temperatura en su periferia. Este hecho realza la importancia de la existen-cia de una película de lubricación entre superficies en contacto así:

a) Se refrigeran dichas superficiesb) Se disminuyen las magnitudes de los esfuerzos hertzianos.

Figura 7. Simulación final, los puntos rojos ilustran la temperatura más alta del sistema.

En este caso el aumento térmico se debe no solo a una condición habitual de trabajo sino a que se omitió la simulación de una capa límite de película lubricante entre pistas y elementos rodantes.

Marco TeóricoMarco Teórico

Ecuación de Transferencia de Calor

La ecuación del calor es una importante ecuación diferencial en derivadas parciales que describe la distribución del calor (o variaciones de la tempera-tura) en una región a lo largo del transcurso del tiempo. Para el caso de una función de tres variables en el espacio (x,y,z) y la variable temporal t, la ecuación del calor es:

donde k es una constante.

La ecuación del calor es de una importancia fundamental en numerosos y diversos campos de la ciencia.

Rodamiento

Un rodamiento, también denominado rulemán, rolinera, rúleman, cojinete, balinera o balero (en México) o rodaje (en Perú), es un elemento mecá-nico que reduce la fricción entre un eje y las pie-zas conectadas a éste, que le sirve de apoyo y fa-cilita su desplazamiento.

De acuerdo con el tipo de contacto que exista en-tre las piezas, el rodamiento puede ser deslizante

o lineal y rotativo.

El elemento rotativo que puede emplearse en la fabricación del rodamiento, pueden ser: bolas, rodillos o agujas.

Los rodamientos de movimiento rotativo, según el sentido del esfuerzo que soporta, los hay axiales, radiales y axiales-radiales.

Un rodamiento radial es el que soporta esfuerzos radiales, que son esfuer-zos de dirección normal a la dirección que pasa por el centro de su eje, como por ejemplo una rueda, es axial si soporta esfuerzos en la dirección de su eje, ejemplo en quicio, y axial-radial si los puede soportar en los dos, de forma alternativa o combinada.

La fabricación de los cojinetes de bolas es la que ocupa en tecnología un lugar muy especial, dados los procedimientos para conseguir la esfericidad perfecta de la bola. Los mayores fabricantes de ese tipo de cojinetes em-plean el vacío para tal fin. El material es sometido a un tratamiento abrasivo en cámaras de vacío absoluto. El producto final no es casi perfecto, también es atribuida la gravedad como efecto adverso. Los suecos, fabricantes de acero para partes de alta fricción en máquinas, han conseguido llevar al es-pacio exterior la técnica para el tratamiento final de las bolas, evitando el efecto gravedad, con el fin de conseguir la esfericidad deseada. Los cojine-tes o rulemanes son llamados rodajes en algunos países de habla hispana.

Rodamiento de bolas.

También llamado cojinete de bolas o balero. Con una sola y profunda ranu-ra, soporta cargas radiales así como una carga axial o de empuje. Las bolas se introducen en las ranuras desplazando el aro interior lateralmente a una posición excéntrica. Las bolas se separan después de su introducción y lue-go se inserta el separador.

Radial de una hilera. A este rodamiento se le menciona muchas veces como rodamiento de ranura profunda, CONRAD o deep groove bea-ring. Se encuentra con muchas variaciones: protecciones o sellos sen-cillos o dobles. Se emplea normalmente para cargas radiales y de em-puje (como máximo dos tercios de la radial). Es esencial un alineación cuidadosa, es decir que el máximo desalineamiento sea de 0.5°. Este rodamiento puede soportar una carga de empuje axial relativamente alta. Los cojinetes de bolas de una fila soportan un pequeño desali-neamiento del eje, pero donde lo anterior puede ser grave, es posible utilizar cojinetes autoalineantes.

De doble hilera. Este rodamiento está diseñado para admitir cargas radiales fuertes y de empuje ligeras, sin aumentar el diámetro exte-rior del mismo. Es, aproximadamente, de 60 a 80% más ancho que un rodamiento comparable de una hilera. A causa de la ranura de lle-nado, las cargas de empuje deben ser ligeras. Los cojinetes de bolas de doble fila se fabrican en una amplia variedad de tipos y tamaños para soportar cargas radiales y axiales más intensas. Algunas veces dos cojinetes de una fila se utilizan conjuntamente por la misma ra-zón, aunque un cojinete de doble fila generalmente requerirá menor número de piezas y ocupará menos espacio.

De doble hilera de autoalineamiento interno. Este rodamiento puede usarse para cargas preponderantemente radiales en donde se requie-re autoalineamiento de 0.003 a 0.005 pulgadas. No se debe abusar de la característica del autoalineamiento, pues el desalineamiento o carga de empuje excesivos causan pronta falla.

Rodamiento de contacto angular. Así llamados por que la línea que atraviesan las superficies que soportan la carga, forman un ángulo con el plano de la cara del rodamiento, están destinados a resistir pesadas cargas axiales. Se los utiliza frecuentemente en pares opues-tos axialmente unos a otros, y son adecuados para la carga previa

De máxima capacidad. Tiene la misma forma que un rodamiento de hilera, a excepción de la presencia de una ranura o canal de llenado que admite mas bolas y en consecuencia soportará cargas radiales más fuertes. Como su capacidad de empuje axial es pequeña, estos rodamientos se utilizan cuando la carga es principalmente radial.

De tipo partido. Este tipo de rodamiento puede ser tanto de bolas como de rodillos. Tiene partido el anillo interior, el exterior y la jaula. Se ensamblan con tornillos, lo que le da facilidad de instalación o al quitar un rodamiento.

ConclusionesConclusiones

Se ha comprobado la importancia de la ecuación de transferencia de calor en análisis de un rodamiento tipo CONRAD.

Se conoció la importancia de la matemática avanzada en esta tarea que indudablemente debe ser desempeñada por un ingeniero quími-co.

RecomendacionesRecomendaciones

BibliografíaBibliografía Scientia et Technica Año XIII, No 35, Agosto de 2007. Universidad

Tecnológica de Pereira. STEPHENSON, G.; Introducción a las Ecuaciones en Derivadas Parcia-

les; Editorial Reverté S. A. España. 1975, p. 11 - 13. HSU, Hwei P.; Análisis de Fourier; Prentice Hall. Primera reimpresión

de la primera edición. México. 1998, p. 183 – 212. AGUDELO Posso, Abel; GÓNZALEZ L. Julián; Ecuación Diferencial Aso-

ciada a los Polinomios Ortogonales Clásicos; Revista Scientia et Tech-nica Año X, No. 26, Diciembre de 2004, p. 179 – 184.

MATHEWS, John H.; FINK, Kurtis D.; Métodos Numéricos con MatLab; Prentice Hall. 5ª edición. España. 2001, p. 557 – 559.

JOHNSON, Olaf A.; Diseño de Máquinas Herramienta; Editorial Roble. México. 1973, p. 56 – 57.