Realizado por: Mauricio Ugarte.

Juan Lazo. Cristian Jama.

17.42.- (Polos .ceros y la ROC) La funcin de transferencia de un sistema es H (z). Qu puede decir sobre los polos y ceros de H (z) en los siguientes casos?

a) El sistema es estable.

La estabilidad de un sistema se puede determinar simplemente conociendo su ROC. Si esta ROC contiene el crculo unidad || > 1 entonces el sistema es estable.

Un sistema estable equivale a decir h(n) absolutamente sumable, y por tanto en puntos de la circunferencia unidad.

b) El sistema es causal y estable. Un sistema causal y estable tiene todos sus polos en el semiplano Izquierdo. Al desarrollar en fracciones simples y hacer la transformada inversa de cada uno de ellos queda multiplicada por un trmino.

> 0

Sistema causal estable

c) El sistema es un filtro FIR con coeficientes reales.

Estos filtros tienen todos los polos en el origen, por lo que son estables.

3

2

1

-2 -1-3-4 21 3 4-1

-2

-3

Plano z

Grafica de polos y ceros para un filtro FIR

d) El sistema es un filtro FIR de fase lineal con coeficientes reales.

Estos filtros tienen todos los polos en el origen, por lo que son estables.

En los filtros de fase lineal los ceros se dan en pares recprocos, es decir, si z0 es una raz del polinomio H

(z), tambin lo ser z-1.

(1) = 1 ( 1 ) 1

=0

e) El sistema es un filtro FIR causal, de fase lineal con coeficientes reales.

Al igual que los casos anteriores estos filtros tienen todos los polos en el origen, por lo que son estables y los ceros se presentan en pares de recprocos si el filtro se disea para tener fase lineal.

17.43.- (Transformada Z y ROC) Considere la seal [] = [] + [ ]. Encuentre su transformada z, X (z). En cules de los casos siguientes X (z) representa una transformada valida?:

a) > b) < c) =

x[n] = n[n] + nu[n 1]

() = ()

=

() = + 1

=

=0

() = + 1

=

=0

() = (1) + (1)

=1

=0

La primera suma converge si |1| < 1(|| > ||) y la segunda si |1|< 1 (|z| < ||).Esto implica que la transformada z existe si || > || y la ROC es un anillo en el plano z.

Regin de convergencia para ejercicio <

Por lo tanto existe una transformada z vlida para < y descartamos las opciones a y c.

17.46.- (Transformada Z y ROC) La ROC de la transformada Z de la seal [] =[ ] , es || < .Encuentre la ROC de la transformada z para:

a) [] = [ ]

() =1

1

() =1

1

(5) || 5

b) [] = [ + ]

() =1

1

() =1

1

(5) || 0

c) [] = []

() = (1

)

1

1< ||

17.49.- (Propiedades) La transformada z de la seal [] = [] es X(z) . Utilice las propiedades para encontrar la seal en el tiempo que corresponde a las siguientes transformadas:

a) F(z)=X(-z)

[] = (2) . []

() = 2 . ().

() = 2.

() = 2 .1

() = (2

)

() =

2

() = 2 > 0

> 2

() =

2

>

b) G(z)=X(1/z)

() = (1

)

() = 2 . ().

0

() = 2.

() = 2 .1

() = . (2

)

La propiedad es de reflexin por ende cambiamos a la transformada (Z) A (1)

() =

>

c) H(z)=zX(-z)

() = ,()

() = 2 . ().

() = 2.

() = 2 .1

() = . (2

)

() =

+ 2

() =2

( + 2)2

() =2

( + 2)2 Reflexion (z)

() =

( + )

17.57.- (Causalidad y estabilidad) Cmo puedo identificar si un sistema es causal o estable, a partir de la siguiente informacin?:

a) Su respuesta al impulso []. Sistema estable.

La estabilidad de un sistema LTI discreto requiere que la respuesta al impulso h[n] sea absolutamente sumable (integrable en continuo).Esto quiere decir que h[n]=0 en n=. Para ello es necesario que los polos de la funcin de transferencia H (z) estn todos dentro del crculo unidad en el plano z (|pi|

1i = li li2 42i

2 , 1i =

li li2 42i2

|li li2 42i

2 | < 1 |li2 42i| < 2 |li|

li2 42i < 4 4|li| + li

2 |li| < 1 + li

2.

c) La ecuacin de diferencias del sistema

Sistema estable. Una ecuacin en diferencias lineal con coeficientes constantes de orden N tiene la forma:

[ ] = [ ]

=0

=0

El orden de la ecuacin corresponde a la derivada de mayor orden de la salida. Para

que el sistema sea causal las condiciones auxiliares son las de reposo inicial. Para resolver una ecuacin en diferencias de orden N hacen falta N condiciones auxiliares:

[] = [] + []

Sistema causal. Consideremos la ecuacin en diferencias lineal y de orden n:

Con condiciones iniciales nulas (por ahora, las sucesiones son causales).Esto define a un sistema causal (yK no depende de valores posteriores a k); y de parmetros concentrados (alcanza conocer hasta n valores anteriores de entrada y salida). Ahora aplicamos transformada Z obteniendo:

Donde:

)(.)1(.

)(.)1(.)(.)(

01

01

nkyky

nkukukuky

n

nn

)(..)(..

)(..)(..)(.)(

01

1

01

1

zYzzYz

zUzzUzzUzY

nn

nnn

)(...1

..)(

01

1

01

1 zUzz

zzzY

nn

nnn

d) La grafica de polos y ceros. Sistema estable

Como se explic en el literal a para que una funcin sea estable es necesario que los polos de la funcin de transferencia H (z) estn todos dentro del crculo unidad en el plano z (||

=1

5

=

0.5 = 2

=1

3

1() = (0.2

( 0.5)

1.3

( + 2))

1() = (0.2

( 0.5)

1.3

( + 2))

H1 (Z) es estable si ROC ES lZl>2

Su inversa es causal si h1 [] = (0.5). [] ((2))

. []

1 = {0.2

( 0.5)

1.3

( + 2)}

h1 [] = . (. ). [] . (())

. []

a) Encuentre su respuesta al impulso [] si se conoce que representa un sistema estable. Es causal este sistema?

Es causal el sistema porque su ROC lzl>2 el cual permite su estabilidad por ende haciendo que el sistema sea causal.

b) Encuentre su respuesta al impulso [] si se conoce que representa un sistema causal Es estable este sistema?

Este sistema es estable porque su ROC es lzl>2 el cual permite estabilidad al sistema.

17.66.- (Respuesta de estado estacionario) El filtro

() =

.

Est diseado para tener una respuesta de estado permanente igual a cero si la entrada es [] y de uno si la entrada es () Qu valores deben tener A y para que esto suceda?

() =

0.5

() = (0.5 ) (

1)

() =

0.5 (

1)

()

=

2

( 0.5 )( 1)

()

=

( 0.5)+

( 1)

=

1 = 0.5

A=1

=

0.5 = 1

B=0

Las variables tales como (A) y () tenemos que darles valores para que su

transformada obtenga los valores exactos y por ende satisfacer las condiciones

necesarias que nos de el estado cero .

A=1 y =0

()

=

( 0.5)+

0

( 1)

h1 [] = (. ). [] + (). []

17.68.- (Respuesta de estado estacionario) Considere el siguiente DSP:

Si la entrada es () = + () + () , el muestreador es ideal y trabaja con una frecuencia de muestreo S H (z), el filtro digital esta descrito por:

() = .

.

Y el filtro ideal pasa bajas tiene una frecuencia de corte de 0.5S Hz,

a) Cul es el valor ms pequeo de S que evita el fenmeno de alias?

Alias es un efecto de atentar contra la teora del muestreo de Nyquist-Shannon.

Durante el muestreo del espectro de banda base de la seal muestreada se duplica en cada mltiple de la frecuencia de muestreo. Estos espectros reflejados se llaman alias.

Si el espectro de la seal llega a ms de la mitad de la toma de muestras de base del espectro de frecuencias de banda y los alias se tocan y el espectro de banda base se superpone por el primer espectro de alias. La forma ms fcil para evitar el aliasing es la aplicacin de un filtro de paso bajo en pendiente empinada con la mitad de la frecuencia de muestreo antes de la conversin.

Teniendo la entrada:

() = 2 + cos(10) + cos (20) Donde calculamos la frecuencia mxima y frecuencia mnima:

10 = 2. . =

10 = 2 cos(10) = 5

20 =

2. . = 20 = 2

cos(20) = 10 Para encontrar el valor mnimo de S aplicamos la frmula de Nyquist en donde se

dice que:

= 2 = 2(10) = 20

20 .

Y el filtro ideal pasa bajas tiene una frecuencia de corte de 0.5S Hz:

FILTRO PASA - BAJO IDEAL

0.5 fs Frecuencia Hz

Entrada

b) Con S=40Hz y () = + + Cul es la salida de estado estacionario y(t)? Donde fs=40Hz

El proceso para la obtencin de la salida de estado estacionario se determina en la siguiente secuencia:

() () () ()

() = 1 + 2 + 4

1{()} = 1{1 + 2 + 4}

() = () + ( 2) + ( 4)

()

c) Con S=40Hz y () =+

+.. Cul es la salida de estado estacionario y(t)?

Donde fs=40Hz

El proceso para la obtencin de la salida de estado estacionario se determina en la siguiente secuencia:

() () () ()

() =2 + 1

4 + 0.5.

1{()} = 1 {2 + 1

4 + 0.5}

1 {2 + 1

4 + 0.5} =

()

17.69.- (Anlisis de sistema) La respuesta al impulso de un sistema es [] = [] [ ]. Determine y dibuje la grfica de polos y ceros de este sistema para que actu como:

a) Un filtro pasa bajas. b) Un filtro pasa altas. c) Un filtro pasa todo.

[] [] []

[] ()

[] = [] [ 1]

[] = {1, }

() = 1 1

Respuesta de estado estacionario (Frecuencias)

() = ()|=2

() = 1 1|=2

() = 1 2

Identidad de Euler 2 = cos(2) (2)

() = 1 (cos(2) (2))

() = 1 cos(2) + (2)

() = +

Respuesta en frecuencias |()| ()

|()|2 = 2 + 2

|()|2 = (1 cos(2))2 + ( (2))2

|()|2 = 1 2 cos(2) + ( cos(2))2 + ( (2))2

|()|2 = 1 2 cos(2) + 2 cos(2)2 + 2(2)2

|()|2 = 1 2 cos(2) + 2 [cos(2)2 + (2)2]

|()|2 = 1 2 cos(2) + 2

|()| = 1 2 cos(2) + 2

() = 1 (

)

() = 1 (

(2)

1 cos(2))

Sabemos que la magnitud de la respuesta en frecuencias es 1 por lo podemos determinar

|()|2 = 1 2 cos(2) + 2

|1|2 = 1 2 cos(2) + 2

0 = 2 cos(2) + 2

0 = [2cos(2) + ]

1 = 0

0 = 2cos(2) +

2 = 2cos(2)

Para el diseo de los filtros, interpretaremos la respuesta en frecuencias, es decir la magnitud de la respuesta de estado estacionario en el crculo unitario, proponiendo que los polos y ceros se ubicaran dentro del mismo, los ceros estarn sobre el crculo a frecuencias que se desee eliminar y los polos sobre el crculo a frecuencias que se desee amplificar.

a) Filtro Pasa-Bajas: los ceros a una mayor frecuencia y los polos a una menor

frecuencia.

b) Filtro Pasa-Altas: los ceros a una menor frecuencia y los polos a una mayor frecuencia.

c) Filtro Pasa-Todas: los ceros a una menor frecuencia, los polos a una mayor

frecuencia y los ceros a una menor frecuencia y los polos a una mayor

frecuencia.

17.70.- (Anlisis de sistemas) La respuesta al impulso de un sistema [] = [] . Determine le valor de y dibuje una grfica de polos y ceros de este sistema si se desea que actu como:

a) Un filtro pasa bajas estables. b) Un filtro pasa altas estable. c) Un filtro pasa todo.

Funcion de transferencia

() =

(a)Filtro pasa bajos estable:

() =1

= 1

1 = 1

(b)Filtro pasa altos estable:

() =1

= 2

1 = 1

(c)Filtro pasa todo:

() =1 + 0

= 2

1 = 1; 2 = 3

17.73.- (Respuesta del sistema) Considere el sistema [] . [ ] = []. Encuentre su respuesta [] , usando transformada z, para las siguientes entradas.

a) [] = [ ] + []. () = 2( 1) + ()

() = 21 +1

1 1

() =2

+

1=

2 2 + 2

( 1)=

2 + 2 2

( 1)

() =2 + 2 2

( 1)

1

(1 0.252)

() =2 + 2 2

( 1)

2

(2 0.25)

()

=

4 + 23 22

2( 1)( + 0.5)( 0.5)

()

=

2 + 2 2

( 1)( + 0.5)( 0.5)=

( 1)+

( + 0.5)+

( 0.5)

=2+22

(+0.5)(0.5)|

=1=

4

3

=2+22

(+1)(0.5)|

=0.5=

11

6

=2+22

(+0.5)(1)|

=0.5=

3

2

()

=

43

( 1)+

116

( + 0.5)+

32

( 0.5)

() =4

3( 1)

11

6( + 0.5)+

3

2( 0.5)

Resolviendo por tablas obtenemos lo siguiente:

() = . () . (. )() + . (. )()

b) () = + (. )

Transformando x(n) a X(z) por medio de tablas

() =2

( 1)+

2 cos(0.5)

2 2cos(0.5) + 1

() =2

1+

2

2 + 1

() =33 2 + 2

( 1)(2 + 1)

() =33 2 + 2

( 1)(2 + 1)

1

(1 0.252)

() =33 2 + 2

( 1)(2 + 1)

2

2 0.25

() =35 4 + 23

( 1)(2 + 1)(2 0.25)

()

=

34 3 + 22

( 1)(2 + 1)(2 0.25)=

+

2 + 1+

1+

0.5+

+ 0.5

Utilizando el mtodo de resolucin de fracciones parciales

= 0.8; = 4.440891016; = 2.66667; = 0.9; = 0.433333

()

=

0.8 + 4.440891016

2 + 1+

2.66667

1+

0.9

0.5+

0.433333

+ 0.5

() =0.82 + 4.440891016

2 + 1+

2.66667

1+

0.9

0.5+

0.433333

+ 0.5

() =0.82

2 + 1+

4.440891016

2 + 1+

2.66667

1+

0.9

0.5+

0.433333

+ 0.5

Realizando la transformada z inversa tenemos

() =( )()