Matematica avanzada luis enrique martinez ramirez

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    02-Aug-2015
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1. Solucin de una ecuacin diferencial En una funcin desconocida y la variableindependiente X definida en un intervalo y es unafuncin que satisface la ecuacin diferencial paratodos los valores de X en el intervalo dado.Y= Y biprimara 2. 1-Ejemplo: Y= sen2x + cos2x Y + 4y =0Y= 2cos2x 4cos (2x)Y= 4sen2x 4 cos (2x) Comprobacin: 4sen2x 4cos2x + 4(sen2x + cos2x)=0 4sen2x 4cos2x + 4sen2x + 4cos2x =0esto es una solucin general 3. 2 ejemplo: Y= 5sen2x + 3cos2x Y+4y= 0 5 (cos) (2x) + 3 (sen) 2x) Y= 6sen2x + 10cos2x Y= 20sen2x 12cos2x Comprobacin:20sen2x 12cos2x + 4 (5sen2x + 3cos2x) = 0 20sen2x 12cos2x + 20sen2x + 12cos2x= 0esto es una Solucin particular 4. 3 ejemplo: Comprobar que: Y= X 1 es solucin de (Y) +Y = 1 Y = 2x 2x + (x 1 ) = 1 5. 4 ejemplo: Y=1Y + Y = 0 Y= 1 Y=21+ (1) = 01+ 1= 0 6. 5 ejemploY = 2 Y + Y 6 Y = 0Y=22Y= 4 24 2 + 2 2 6 (2) = 06 2 6 2 = 0 7. 6 ejemplo Y= 2 + 3 Y + Y - 6Y = 0 Y = - 2 2 + 3 3 Y = - 4 2 + 93 - 4 2+ 9 3 - 2 2+ 33 - 6 (2 + 3) =0 8. 7 ejemplo Y= x + + 2 Y + Y - 6Y =0 Y = 2x + + 2 Y = 2 + + 42 2+ + 4 2+ 2x + - 2 2-2 (x + + 2)= 0 2 + + 4 2 + 2x + - 2 2- 2 x- 2 2 = 2( 1+ X - x ) 2( 1+ X - x ) = 2( 1+ X - x ) 9. 8- ejemplo Y= C1 2+ C2 2 Y-4 Y+ 4Y =0 Y= 2 C1 2+ 2C 22+ C 22 Y= 4 C1 2 + 4C 22 + 2C 22 + 2 C2 2 =4 C1 2 + 4C 2 2 + 2C 2 2 + 2 C2 2- 4(2 C1 2+ 2C 2 2 + C 2 2) + 4 (C1 2 + C2 2) =0 4 C1 2 + 4C 2 2 + 2C 2 2 + 2 C2 2 - 8C1 2 - 8C2 2- 4 C 2 2 + 4C1 2+ 4 C2 2= 0 8C1 2+ 8C 2 2+ 4 C 2 2 -12C22- 8 C12 = 0 Y= 0 10. 9 ejemplo:= = lny= lnx + ln C1 lny = lnC1x Aplicado antilogaritmos Y= C1x Comprobacion Y= C1x= C1 11. Sustituyendo:= C1=1C1= C1= y dy = x dx [=2=2+2] y = x + C1 12. Ecuaciones diferenciales exactas (x + 2xy + x) dx + Y dy =0 Xdx + 2xy dx + x dx + Y dyno se puede separar M= x + 2xg + x= 2x no se puede con los exactos N= y= 0 13. 2 ejemplo: (X + Y + X ) dx + xydy =0 M (x,y) dx + N (x,y) dy =0 = M= X + Y + X *= 2Y N= XY *= Y No es exacta porque:+ 14. 3 ejemplo: (5x + 4y) dx + (4x 8y) dy =0(5x + 4y) + (4x+8y)203255x dx 4y dx + 4x dy - 8y dy =0M= 5x + 4y= 4N= 4x 8y= 4 15. 4 ejemplo: a veces es posible encontrar un factor (que llamamosfactor integrante) el cual al multiplicarse por laecuacin diferencial la convierte en exacta paraencontrar este factor integrante se utiliza la sig.Formula:=__________N 16. Ahora utilizamos este resultado para obtener elfactor integrante por medio de la siguienteexpresin.M (x)= e = e1 = = x = e 17. A continuacin simplemente aplicamos Integramos: (x+ xy + x ) dx (x+ xy + x )dx = xdx + y x dx + x dx44+ y22+33+ g (y) 18. Solo nos falta encontrar el valor de g (y) para determinarel valor g (y) derivamos la funcin encontrada conrespecto a Y2= 2y+ g (y)*2= xy + g(y)Este resultado se iguala con N (xy)Xy + g (y) = Xy Simplificado: +g (y)= Xy - Xy g (y) = 0 19. Si g (y) = 0 entonces g(y) = C1 es una constante cualquiera Por lo tanto la funcin buscada es: =44+ y22+33+ C1 Y la solucion se obtiene igualando esta funcin a una constante (C2)44+ y22+33+ C1 = C2 Simplificando:44+222+33= C 20. 5 ejemplo 21. Integramos: (3 +) dx (3 +)dx = 3dx + y = 3xy x- = 3x+y1+ g (y) = 3x-+ g (y) 22. Derivar funcin f2=+ g(y)g(y) =0 sustitucin:F= 3x+ C1 Reduciendo3x= CMultiplicado por X[3x= C] 3x- y = cxSolucin :3x+ c1= c2