Ejercicios: Ejercicios:

MÉTODO LUGAR DE MÉTODO LUGAR DE LAS RAÍCES LAS RAÍCES

Realizado por: Arlenis Rodríguez

Profesor: Ing. Juan Carlos Vielma

Curso: Simulación Digital

MÉTODO LUGAR DE MÉTODO LUGAR DE LAS RAÍCES LAS RAÍCES

Es el lugar geométrico de los polos y ceros de una función de Es el lugar geométrico de los polos y ceros de una función de transferencia que se varía la ganancia del sistema transferencia que se varía la ganancia del sistema KK en un determinado en un determinado intervalo.intervalo.El método del lugar de raíces permite determinar la posición de los El método del lugar de raíces permite determinar la posición de los polos de la función de transferencia a lazo cerrado para un determinado polos de la función de transferencia a lazo cerrado para un determinado valor de ganancia valor de ganancia KK a partir de la función de transferencia a lazo abierto. a partir de la función de transferencia a lazo abierto.El lugar de raíces es una herramienta útil para analizar sistemas El lugar de raíces es una herramienta útil para analizar sistemas dinámicos lineales tipo SISO (dinámicos lineales tipo SISO (single input single outputsingle input single output) y su estabilidad.) y su estabilidad.

Ejercicio 1: Ejercicio 1:

Gráfica en MatlabGráfica en Matlab

Método lugar de las Raíces

G (s)= k s (s+7)

Está operando con una respuesta en escalón en lazo cerrado que tiene un sobrepaso del 15%

Método lugar de las Raíces

A través del sobrepaso de 15% se obtiene un factor de amortiguamiento de la siguiente forma:

Ts = 4 çwn

Método lugar de las Raíces

Ejercicio 2: Ejercicio 2: Un sistema con retroalimentación unitaria con función en transferencia de la trayectoria directa.

G (s)= k s (s+7)

Para calcular el tiempo de asentamiento :

Se tiene los valores: Amortiguamiento=0.5169 y Ganancia=45.938 con un sobrepeso de 15% para wn se puede obtener por la gráfica del lugar de raíces en la esquina inferior izquierda (natural frequency=6.78). Tiempo asentamiento

En la gráfica se obtiene el polo dominante. 3(-3.5)+3(5.81)i=-10.5+17.4 i

Ts = 4 = 1.141s (0.5169) (6.78)

Método lugar de las Raíces

En el triángulo de Pitágoras se calcula la suma de los ángulos al punto de diseño de todos los polos y ceros del sistema compensado.

La suma de los ángulos debe ser igual a 180º diferencia entre 180º -130.78º=49.2º (ángulo del polo)

Método lugar de las Raíces

Gráfica en Matlab

G (s)= s+10

s +25.52

Sistema compensado

Método lugar de las Raíces

Respuesta del Sistema compensado

Método lugar de las Raíces

Ejercicio 3: Ejercicio 3: Ecuaciones dinámicas en la forma función de transferencia

Se diseñar un controlador realimentado de modo que cuando la perturbación del camino (W) se simula por una entrada escalón unitario, la salida (X1-X2) tenga un tiempo de asentamiento menor que 5 segundos y un sobrepico menor que 5%. por ejemplo, cuando el colectivo corre hacia un escalón de 10 cm de altura, la carrocería del colectivo oscilará en un rango de +/- 5 mm y dejará de oscilar en 5 segundos.

Método lugar de las Raíces

Gráfica en Matlab

Método lugar de las Raíces

Ejercicio 4: Ejercicio 4: Función de transferencia a lazo abierto

dondem=1000b=50U(s)=10Y(s)=velocidad salida

El gráfico de lugar de raíces muestra los lugares de los posibles polos a lazo cerrado cuando se varía una ganancia desde cero a infinito. Por lo que, solo un será considerado controlador proporcional (Kp) para resolver el problema. Luego, la función de transferencia a lazo cerrado será:

Método lugar de las Raíces

Gráfica en Matlab

Las siguientes dos ecuaciones se usarán para hallar el coeficiente de amortiguamiento y la frecuencia natural:

Donde: Wn=Frecuencia naturalzeta=coeficiente de amortiguamientoTr=Tiempo de Subida Mp=Sobrepico Máximo

Método lugar de las Raíces

Gráfica en Matlab

Las dos líneas punteadas en ángulo indican los lugares de coeficiente de a amortiguamiento constante (zeta=0.6); el coeficiente de amortiguamiento es mayor que 0.6 en entre estas líneas y menor que 0.6 fuera de ellas. La semi-elipse indica los lugares de frecuencia natural constante (Wn=0.36); la frecuencia natural es mayor que 0.36 fuera de la semi-elipse, y menor que 0.36 dentro de ella

Método lugar de las Raíces

Ejercicio 5: Ejercicio 5: Sistema de control de fuerza donde la medida es un acelerómetro mecánico representado en la siguiente figura:

Método lugar de las Raíces

La ganancia k que hace al sistema inestable será aquella que lleva las raíces al semiplano s derecho, es decir, que hace que las raíces tengan parte real positiva.

Obtención de la Gráfica en Matlab

Método lugar de las Raíces

Gráfica