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Números irracionales

Pedro Godoy G.2° medio

Números racionales

0 b Z, by / ab

aQ

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Entre dos números enteros siempre es posible encontrar un racional

Entre dos racionales siempre existirá otro racional

Fracción

Toda fracción representa un decimal

76923077,113

23 8,0

5

4

714285,07

5 5,1

2

3

Decimales

Finitos

Infinitos

Periódicos

No periódicos

Semi - periódico

Convertir a fracción

Periódico

9412......444444444,12

99

56......5656565656,0

Semi periódico

90

1111

90

1231234.........3444444,12

30

7

90

21

90

02023.........23333333,0

No periódico No se pueden convertir a fracción

Estos decimales infinitos no periódicos se les llama números irracionales

Algunos de estos números son

e

El numero pi, descubierto por Arquimides en el siglo VI antes

de Cristo, su valor es 3,141592653…..

El número de oro, el número de la belleza y la perfección, número aureoDesarrollado desde la antigüedad por los griego y llevado a escultores, pintores y arquitectos . Su valor 1,61803398875....

La constante matemática  es uno de los más importantes números reales irracionales y trascendentes.   El logaritmo en base e  se llama logaritmo natural o neperiano. El número , conocido a veces como número de Euler o constante de Napier, fue reconocido y utilizado por primera vez por el matemático escocés John Napier, quien introdujo el concepto de logaritmo en el cálculo matemático. Su valor es 2,7182818284590452…

Número

diámetro

longitud nciacircunfere la de

Quizás sea el número más famoso de todos. La relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro en la Geometría euclidiana, π (pi), es un número irracional.

desde 1761 sabemos que se trata de un número irracional, lo que significa que no puede expresarse como fracción de dos números enteros, tal como lo demostró el genial Johann Heinrich Lambert.

La elección de la letra griega π para denominar a esta constante matemática proviene de la inicial de las palabras de origen griego "περιφέρεια" (periferia) y "περίμετρον" (perímetro), y fue usada por primera vez alrededor del año 1700. Fue el matemático Leonhard Euler quien popularizó definitivamente el uso de esta letra en su obra “Introducción al cálculo infinitesimal” en 1748.

Seguimos con

El valor de π se ha obtenido con diversas aproximaciones a lo largo de la historia, siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física. El récord actual es de 2.576.980.370.000 de decimales, y lo calculó Daisuke Takahashi en un superordenador T2K Tsukuba System

A parte del origen mencionado, que otros orígenes tiene el numero , busque 2 orígenes mas.

Número de Euler

El número e es un número irracional famoso, y es uno de los números más importantes en matemáticas. Las primeras cifras son:2,7182818284590452353602874713527 (y sigue...) , se le suele llamar el número de Euler por Leonhard Euler e es la base de los logaritmos naturales (inventados por John Napier).

Aproximación

Aproximar un número a ciertas cifras decimales consiste en encontrar un número con las cifras pedidas que esté muy próximo al número dado

Aproximación por defecto, buscamos el número con un determinado número de cifras que es inmediatemente menor que el dado.Aproximación por exceso, es el número con las cifras decimales fijadas inmediatemente mayor.Por ejemplo, dado el número 1.3456 vamos a aproximarlo con dos cifras decimales:a) por defecto es 1.34b) por exceso es 1.35

Al dar la aproximación en lugar del número se comete un error, en el ejemplo anterior los errores que se cometen son:a) | 1.3456 - 1.34 | = 0.0056b) | 1.3456 - 1.35 | = 0.0044

Redondear un número consiste en dar la mejor de las aproximaciones, es decir, aquella con la que se comente un error menor, en nuestro caso si redondeamos 1.3456 a dos cifras decimales, el redondeo será 1.35.

Errores

El error absoluto y el error relativo

Se denomina error absoluto a |aprox valor - inicial | valorE

Se denomina error relativo inicialvalor

valorE

aprox valor - inicial

Un ejemplo práctico

-------------10 mts----------

1,3 mt¿Cuánto mide el alero?

1....5,16623654 x

69,262569,151,3

Pitágoras de uso 2222

xxx

Haciendo

Aproximemos a

1 decim 2 decim 3 decim 4 decim

5,2 5,17 5,166 5,1662

E=-0,6% E=-0,072% E=0,0045% E=0,0007%

Observaciones

Números

racionales

Números

irracionales

Se representan como fracción

No es posible representarlos Como fracción

Números irracionales

Propiedades

No son un conjunto cerrado Se cumple la conmutatividad y asociatividad No tienen elemento neutro ( del conjunto) Todos tienen inversos aditivos y multiplicativos Se cumple la distributividad Es un conjunto DENSO Es un conjunto ordenado

Ejercicio

Dados los siguientes irracionales ordenarlos de menor a mayor

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