Números Irracionales

1

Radicales

Definición del concepto

Vocabulario

Propiedades de los radicales

Simplificar expresiones con radicales

Preparado por Profa.Carmen Batiz UGHS

Estándar: Numeración y Operación

Expectativa 2

2

¿A qué conjunto pertenece los radicales no exactos?

Los radicales pertenecen a los números irracionales. Éstos son números cuya expresión decimal tiene infinitas cifras no periódicas.

3

Números Reales

Números Racionales Números Irracionales

Enteros fracciones y decimales finitos

Números Naturales

ceroNúmerosNegativos

Números Positivos

Fracciones y decimales infinitos Radicales no exactos

∏

4

Indica cúal de éstos números son irracionales

2/125 d.

8 .

3 .

4 .

c

b

a entero númeroun , esno

infinito númeroun es ,si

5 25 o, =n

infinito númeroun es ,si

5

RadicalesSurgen de los exponentes fraccionarios

Ejemplos:

( ) = 3u

=

5

132

3

2

= 2

1

v

m

xx

m23

35 32vu

6

Generalización

El símbolo se denomina radical,n es índiceb es radicando

bm

n = bmn

m es el exponente

7

Ejemplos:

9 10436 yx

5 3327 yx=

A. Expresa cada exponente racional en forma radical.

• u1/5

• (6x2y5)2/9

• (3xy)3/5

B. Expresa a la forma de exponentes racional.

(9u)1/4

-(2x)4/7

(x3 + y3)1/3

5 u=9 252 )6( yx

( )3 35 xy

1 9

2 2

3

4

47

3

.

. ( )

.

x33

u

x

y

−

+

8

Intenta:A. Expresa cada exponente racional en forma radical.

• u2/3

• (xy)1/5

• 3x2/3y


3 2

7 4

2

)( .3

2 .2

2 .1

mn

x

u

−

9

Intenta:A. Expresa cada exponente racional en forma radical.

• u2/3

• (xy)1/5

• 3x2/3y


(2u)1/2

-21/7 x4/7

(mn)2/3

3 2u5 xy

3 2 3 xy

3 2

7 4

2

)( .3

2 .2

2 .1

mn

x

u

−

10

Propiedades de los radicalesSea k, n y m números mayores o iguales a 2; y x y números reales positivos:

mn/1/11/n

n mk/k

n

n

nn

m/m

x x = .5

x x= .4

y

x = .3

x xy.2

x= .1

==

=

⋅=

=

⋅ mnmm n

kn km

n

n

m m

xx

x

y

x

y

xx

11

Ejemplos: Simplifica utilizando las propiedades de los radicales.

(3x2y)5/5

x 4/6

x2/3= x0 = 1

ó 3

1 3 x=x

27

3

3

1/12 x=( ) 3/14/1x= .4

x

x 3.

27

.2

= )3( .1

3 4

3 2

6 4

3

5 52

x

x

yx

=

=

= (3x2y)

3

3 x

Propiedad 1

Propiedad 3

Propiedad 1/P. Exponentes

Propiedad 5

12

Intenta: Simplifica utilizando las propiedades de los radicales.

= .4

x 3.

8

.2

= xy .1

3

6 4

3

3 3

x

x

x

=

=

13

Intenta:

6 x=

2

x3

Simplifica utilizando las propiedades de los radicales.

x1/3 y3/3

x 4/6 = x1/2

x4/6-1/2 =

ó 2

1 3 x=

3

3

8

x

6 x= .4

x 3.

8

.2

= xy .1

3

6 4

3

3 3

x

x

x

=

=

= (x1/3y)

x4/6-3/6 = x 1/6

14

Simplificando Números Irracionales

15

Ejemplos:

3 2 3 =

2 3 3 33 ⋅ ⋅ ⋅

3 332 ⋅=

=3 54 .1

Simplifica.

Descomponer en factores primos

Propiedad 1 de los radicales

16

Ejemplos:

=3 54 .1

Simplifica.

17

Ejemplos:

=25312x .2 zy

Simplifica.


18

Ejemplos:

xyzyx 32 2/22/42/22/2=

242322 zyyxx ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=25312x .2 zy

32 3 z2 xyxy=

Simplifica.



19

Ejemplos:

3 2416 .3 yx

Simplifica.

20

Ejemplos:

3 222x xy=

=3 2416 .3 yx 3 233 22 xyx⋅⋅

3 23/33/3 22 xyx=

Simplifica.


21

Ejemplos:

=3 27 .4

Simplifica.

22

Ejemplos:

=3 27 .43 33

33 2/1 ==

( ) 3/12/33=

Simplifica.

Propiedad 5 de los radicales/Propiedad de los exponentes

23

Intenta:

=

=

=

=

3

3 63

232

3

10 .4

32 .3

75x .2

16 .1

yx

zy

Simplifica utilizando las propiedades de los radicales y de los exponentes.

24

Intenta:

3 2 2 =

32 2 2xy x=

=33/3 2 2=⋅3 322

35 2222 yzyx⋅⋅

=

=

=

=

3

3 63

232

3

10 .4

32 .3

75x .2

16 .1

yx

zy

3 63322 yx ⋅⋅

yxy 3 z5=

( ) =3/12/110 =6/110 6 10

Simplifica utilizando las propiedades de los radicales y de los exponentes.

25

Práctica -Ejercicios sugeridos

Algebra -Barnett

p. 23-24 (1-40) p. 32-33 (1-70) Algebra -Larson

p.685 Algebra Glencoe

p. 724 (20-27)

26

Operaciones con Radicales

27

Multiplicación de Radicales

Para multiplicar radicales : Se multiplica los coeficientes y los radicales siguiendo las reglas de éstos. Luego se simplifica el radical si es posible.

28

Multiplicación de RadicalesEJEMPLOS:

21

4

7

12.3

15873.2

10352.1

⋅

⋅⋅

⋅

29


15873.2

10352.1

⋅⋅

⋅ 2256 ⋅=256 ⋅=

230=

532473 ⋅⋅⋅⋅=532723 ⋅⋅⋅⋅=

2106=

30


21

4

7

12.3 ⋅

377

434

⋅⋅⋅⋅=

7

4=

37

342

2

⋅⋅=

31

Otros Ejemplos:

)32)(32(52 .4

)23)(23( .3

)23)(23( .2

)53(32 .1

.

+−

−+

++

−

Multiplica

32

Otros Ejemplos:

)23)(23( .2

)53(32 .1

.

++

−

Multiplica

31092 −=31032 −⋅=

3106 −=

P. distributiva

P. 1 Radicales

432329 +++=

432323 +++=

347 +=

Multiplicación cada término del primer paréntesis con cada término del segundo paréntesis.

33

Otros Ejemplos:

)32)(32(52 .4

)23)(23( .3

.

+−

−+

Multiplica

432329 −−+=432323 −−+= 1−=

)94(52 −=

)32(52 −=)1(52 −=

52−=

34

Racionalizando denominadores

Racionalizar es eliminar cualquier raíz en un denominador.

35


1

2

32

42 4

.

.

.

.

3

5

6

2x

10x

3y

3

3

2

3

x

x

Ejemplos.

36


=x

x

2

26

2x

6 .2

5

3 .1 =⋅

5

5 3 5

5

==x

x

2

2 =2)2(

26

x

x 3 2x

x

3

=25

53

37


34

2

3

3

2

3y .4

2

10x .3

x

x=⋅

3 2

3 2

)2(

)2(

x

xx

x

2

4 10x 3 23

3 22

3 22

2

2

x

x⋅3 33

3 22

2

12

xx

yx==

3

2

23

3

y

x x2

3 22

2

12

x

yx=

=3 3

3 23

)2(

)2( 10

x

xx

38

Intenta

12

2

23

2 3

37

63

42

3 5

.

.

.

.+

Racionaliza y simplifica.

39

Intenta

32

3.2

2

2.1 • =2

22 2

2= 2

• =3

33 3

6= = 3

2


40

Intenta

53

2.4

63

7.3

+

=⋅

=7

7 9

7

3 7• =7

7

7 7

21= 7

3

3 5

3 5

−−

= 2 3 10

9 25

−−

=2 3 10

22

−−


41

Sumando y Restando Radicales

Para sumar los radicales, éstos deben tener el mismo índice y el mismo radicando. Si es así, entonces se suma los coeficientes y se escribe el término semejante.

(3 x + + + + −5 2 4y x y) ( )

42

Sumando y Restando Radicales

(3 x + + + + −5 2 4y x y) ( )

4 x + 6 y − 2

43

Intenta:

1 2 40 60

2 45 80 2 180

312

7

4

21

28

3

.

.

.

−

+ −

+ −

Suma y simplifica.

44

Intenta:

2 2 2 5 2 5 3⋅ ⋅ − ⋅

4 10 2 15−

2 2 5 4 4 5 3⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

60402.1 −

Suma y simplifica.

45

Intenta:

9 5 4 4 5 2 9 4 5⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

57−

5125453 −+

18028045.2 −+Suma y simplifica.

523252253 ⋅⋅−⋅+

46

Intenta:

3

3

3

72

21

21

37

12

7

7

7

32 ⋅−⋅

⋅+⋅=

3

212

21

212

7

212 −+=

21

2172

21

212

21

2132 ⋅−+⋅=

21

2114

21

212

21

216 −+= 21

216−=

3

72

37

12

7

32 −

⋅+=

3

47

37

4

7

43 ⋅−⋅

+⋅=3

28

21

4

7

12.3 −+

Suma y simplifica.

47

Práctica- Ejercicios sugeridos Algebra Barnett

p. 39-40 (1-54) Algebra Larson

p. 692 (1-30) Algebra Glencoe

p. 724 (28-49) impares

p. 729-730 (1-42) impares

48

Resolviendo Ecuaciones con Radicales

49

Regla General:

La operación inversa de una raíz cuadrada es el cuadrado de un número.

Repasemos operaciones inversas:Suma Resta

Multiplicación División

¿Cuál es la operación inversa de una raíz cuadrada?

Es por eso que para eliminar una raiz cuadrada,

sólo tienes que cuadrar esta. Ejemplo:

x = 5( )2 ( )2

x = 25

50

Regla General:Repasemos operaciones inversas:

Suma Resta

Multiplicación División

51

Entonces...


52

Entonces...

La operación inversa de una raíz cuadrada es el cuadrado de un número.


x = 5

( )2 ( )2 x = 25

53

EJEMPLO:x = 5

( )2 ( )2

x = 25

x = 5

54

Otros ejemplos:

1 3 8. x =

2 3 1 5. x − =

3 3 1 5. x − =

Encuentra el valor de la variable.

55

Otros ejemplos:

1 3 8. x =

( ) ( ) 2283 =x

( ) ( ) 2283 =x

643 =xx = 21

1

3


3

3

64

3

x =

56

Otros ejemplos:

2 3 1 5. x − =( ) 22

513 =−x

3 1 25x − =

3 24x =x = 8


57

Otros ejemplos:

3 3 1 5. x − =153 +=x

( ) 2263 =x

3 36x =x = 12


58

Intenta:4 9. 2x = x2 −

59

Intenta:

( ) 22

2 92 xx =−

92 =x

92 =x

3 3 −== xóx

x= 92x 2 −

22 92 xx =−

60

Práctica- Ejercicios sugeridos Algebra Larson

p. 698 (1-30) Algebra Glencoe

p. 734-735 (1-39)

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