DIFERENCIACION de FUNCIONES de VARIAS...

DIFERENCIACION de FUNCIONES de VARIASVARIABLES

Grado en Matematicas

Renato Alvarez-NodarseUniversidad de Sevilla

http://euler.us.es/˜renato/clases.html

Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla DFVV

Por si alguien necesita motivacion . . .

El 1o estudiamos las funciones de R 7→ R.

0 0.5 1 1.5 2

Ahora vamos a ir mas lejos: Funciones de Rm 7→ Rn.

-4 -2 0 2 4 -4-2

-1.5-1

-0.5 0

cos(y)+sin(x)

¿Sirve para algo? SI: ¡El mundo no es unidimensional!

0 0.5 1 1.5 2

-4 -2 0 2 4 -4-2

-1.5-1

-0.5 0

cos(y)+sin(x)

0 0.5 1 1.5 2

-4 -2 0 2 4 -4-2

-1.5-1

-0.5 0

cos(y)+sin(x)

¿Sirve para algo?

SI: ¡El mundo no es unidimensional!

0 0.5 1 1.5 2

-4 -2 0 2 4 -4-2

-1.5-1

-0.5 0

cos(y)+sin(x)

¿De verdad que esto sirve para algo?

Motivacion: La mecanica newtoniana

En la mecanica newtoniana el estado de un sistema viene dado porel conjunto de trayectorias de las partıculas que lo constituyen.

Queremos encontrar x(t). Ejemplo: el oscilador armonico.

md2x(t)

dt2= −kx

��

x(t) = A cos

mt + φ

md2x(t)

dt2= −kx

��

x(t) = A cos

mt + φ

md2x(t)

dt2= −kx

��

x(t) = A cos

mt + φ

El mundo real tiene 3 dimensiones espaciales

•En la mecanica newtoniana el estado de un sistema viene dadopor el conjunto de trayectorias de las partıculas que lo constituyen.

•Para una partıcula, el estado estara dado por la funcion ~r(t) ∈ R3

que denota la posicion en cada instante de tiempo t.

Queremos saber la posicion ~r(t), la velocidad ~v(t) = d/dt[~r(t)], laenergıa cinetica T = mv2(t), etc.

•La ley dinamica en es la segunda ley de Newton:

m~a(t) = ~F (t), ~a(t) =d2~r(t)

~r(t) =

x(t)y(t)z(t)

~F (t) =

Fx(t)Fy (t)Fz(t)

~a(t) =???

m~a(t) = ~F (t), ~a(t) =d2~r(t)

~r(t) =

x(t)y(t)z(t)

~F (t) =

Fx(t)Fy (t)Fz(t)

~a(t) =???

m~a(t) = ~F (t), ~a(t) =d2~r(t)

~r(t) =

x(t)y(t)z(t)

~F (t) =

Fx(t)Fy (t)Fz(t)

~a(t) =???

m~a(t) = ~F (t), ~a(t) =d2~r(t)

~r(t) =

x(t)y(t)z(t)

~F (t) =

Fx(t)Fy (t)Fz(t)

~a(t) =???

m~a(t) = ~F (t), ~a(t) =d2~r(t)

~r(t) =

x(t)y(t)z(t)

~F (t) =

Fx(t)Fy (t)Fz(t)

~a(t) =???

El problema de la cuerda vibrante

La modelizacion del problema viene dada por las derivadasparciales de la funcion y .

La ecuacion que modela este tipo de fenomenos es la conocidaecuacion de ondas y tiene la forma (despues veremos que son lasderivadas parciales):

∂t2= c2

∂x2, y := y(x , t).

La ecuacion del calor

Queremos ahora saber como evoluciona el calor en una placa quese calienta.

Problema: calcular la funcion T (x , y , t) que en en cada instante tmide la temperatura en el punto de la barra de coordenadas(x , y , z). La modelizacion del problema viene dada por ecuaciondel calor.

∂T∂t

(∂2T∂x2

+∂2T∂y2

+∂2T∂z2

)T := T (x , y , z , t).

¡Ya estamos listo para el viaje!

¿De que va esta asignatura?

1 Concepto de lımite y continuidad.

2 Concepto de derivabilidad

3 Funcion implıcita y funcion inversa.

4 Calculo de maximos y mınimos.

TEMARIO DETALLADO

Tema 1. Introduccion a las funciones de varias variables I.Lımites y continuidad en Rn.

Tema 2. Introduccion a las funciones de varias variables II.Derivadas parciales y direccionales. Gradiente. Interpretacionesgeometricas y fısicas. Aplicaciones.

Tema 3. Diferenciacion en Rn. Teoremas para funcionesdiferenciables (regla de la cadena, valor medio, etc.). Derivadas deorden superior: derivadas cruzadas y formula de Taylor.Aplicaciones.

Tema 4. Teoremas de inversion local. Teorema de la funcioninversa. Teorema de la funcion implıcita.

Tema 5. Extremos. Extremos relativos y absolutos. Extremoscondicionados: multiplicadores de Lagrange. Aplicaciones.

TEMARIO DETALLADO

Metodologıa

La asignatura esta dividida en 3.2 creditos teoricos y 2.4 creditospracticos

y 4 horas de ¡ordenador!

• Las horas de teorıa se dedicaran a la explicacion de los principalesconceptos teoricos ası como a desarrollar distintos ejemplos quepermitan aplicar y profundizar los metodos aprendidos.

• Las horas practicas se dedicaran a proponer y resolver diversosejercicios que permitan al alumno una comprension mas profundade los conceptos teoricos y que sirvan de complemento a las clasesteoricas.

• En las horas de laboratorio aprenderemos a usar un programa decalculo sımbolico/numerico para resolver problemas.

Metodologıa

La asignatura esta dividida en 3.2 creditos teoricos y 2.4 creditospracticos y 4 horas de ¡ordenador!

Metodologıa

Bibliografıa muy basica

APOSTOL, T. M. Analisis Matematico, 2a edicion. Reverte.

COURANT, R., y JOHN, F. Introduccion al Calculo y al AnalisisMatematico. Tomo II, Ed. Limusa.

KUDRIAVTSEV, L.D. Curso de Analisis Matematico. I y II, Ed. Mir.

MARSDEN, J.E. y TROMBA A.J., Calculo Vectorial, Addison-Wesley.

CARMONA J., FACENDA J.A., FRENICHE F.J. Ejercicios de CalculoDiferencial de varias variables. Secretariado de Publicaciones. Universidadde Sevilla

DEMIDOVICH, B.P. 5000 problemas de Analisis Matematico. Ed.Paraninfo.

LIASHKO, I. I., BOIARCHUK, A. K., GAI, Ia. G. y GOLOVACH, G. P.Matematica Superiores. Problemas Resueltos (Anti-Demidovich). Vol III,Ed. URSS.

Evaluacion

Se realizaran dos pruebas escritas a lo largo del curso:Primera prueba: temas 1, 2 y 3 (finales de noviembre).Segunda prueba: temas 4 y 5 (ultima semana de clases).

Estas pruebas se evaluaran sobre 10 puntos cada una. Seranecesarios un mınimo de 4 puntos para aprobar cada prueba.La nota final la media obtenida en ellas y si es mayor o igualque 5 se aprobara la asignatura.

Habra un exaamen final escrito. Para aprobar la asignatura senecesita sacar al menos 5 puntos en dicho examen.

1a convocatoria del examen final: ≈ enero-febrero.2a convocatoria del examen final: septiembre.

¡Si aprendemos aprobamos pero no necesariamente alreves!

Evaluacion

Horario de Clases y Tutorıas

Horario de Clases y Lugar: Si estais aquı es que ya lo sabeis

Horario de Tutorıas: Consultar la web (previa cita). Fuera de esehorario tambien se puede segun disponiblidad.

Lugar: Despacho 15-07 (Modulo 15, 1o piso de la Facultad deMatematicas). Aconsejable pedir cita

Las practicas de informatica seran en el Laboratorio de Informaticay se anunciaran en la web.

Cambios de clase, etc

DATOS RELEVANTES

Profesor Renato Alvarez

Despacho: 1er piso, Mod 15, No. 15-07 Facultad de Matematicas.

E-mail: ran@us.es Telefono: 954 55 79 94

Web del curso: http://euler.us.es/˜renato/clases.html

¿Y como comenzar el curso? f : R2 7→ R, z = f (x , y)

lım(x ,y)→(0,0)

f (x , y) =?

Ejemplo 1. Sea

f (x , y) =

x2 − y2

x2 + y2, si (x , y) 6= (0, 0),

0, si (x , y) = (0, 0).

Si elegimos y = αx , α 6= 0, con x → 0, esta claro quef (x , αx) = (1− α2)/(1 + α2) que depende de la direccion quetomemos, luego no existe el lımite de f (x , y) cuando(x , y)→ (0, 0).

lım(x ,y)→(0,0)

f (x , y) =?

Ejemplo 1. Sea

f (x , y) =

x2 − y2

x2 + y2, si (x , y) 6= (0, 0),

0, si (x , y) = (0, 0).

lım(x ,y)→(0,0)

f (x , y) =?

Ejemplo 1. Sea

f (x , y) =

x2 − y2

x2 + y2, si (x , y) 6= (0, 0),

0, si (x , y) = (0, 0).

lım(x ,y)→(0,0)

f (x , y) =?

Ejemplo 1. Sea

f (x , y) =

x2 − y2

x2 + y2, si (x , y) 6= (0, 0),

0, si (x , y) = (0, 0).

lım(x ,y)→(0,0)

f (x , y) =?

Ejemplo 2. Sea la funcion

f (x , y) =

x4 + y2, si (x , y) 6= (0, 0),

0, si (x , y) = (0, 0),

y calculemos lımx→0 f (x , αx) = 0 para todo α, α 6= 0,. . .

¿Que ocurre si elegimos y = x2?

f (x , x2) = 1/2 6= 0, luego no existe el lımite de f (x , y) cuando(x , y)→ (0, 0).

lım(x ,y)→(0,0)

f (x , y) =?

Ejemplo 2. Sea la funcion

f (x , y) =

x4 + y2, si (x , y) 6= (0, 0),

0, si (x , y) = (0, 0),

y calculemos lımx→0 f (x , αx) = 0 para todo α, α 6= 0,. . . ¿Que ocurre si elegimos y = x2?

f (x , x2) = 1/2 6= 0, luego no existe el lımite de f (x , y) cuando(x , y)→ (0, 0).

¿Y ahora que?

Ejemplo 3.

f (x , y) =

|x |3/2yx2 + y2

, si (x , y) 6= (0, 0),

0, si (x , y) = (0, 0).

Teniendo en cuenta que 2|xy | ≤ x2 + y2 cualesquiera seanx , y ∈ R, tenemos

∣∣∣∣∣ x3/2y

x2 + y2

∣∣∣∣∣ = |x |1/2∣∣∣∣ |xy |x2 + y2

∣∣∣∣ ≤ 1

2|x |1/2 → 0

cuando (x , y)→ (0, 0).

Luego deberıamos tener lım(x ,y)→(0,0)

f (x , y) = 0. ?????

¿Y ahora que?

Ejemplo 3.

f (x , y) =

|x |3/2yx2 + y2

, si (x , y) 6= (0, 0),

0, si (x , y) = (0, 0).

Teniendo en cuenta que 2|xy | ≤ x2 + y2 cualesquiera seanx , y ∈ R,

tenemos

∣∣∣∣∣ x3/2y

x2 + y2

∣∣∣∣∣ = |x |1/2∣∣∣∣ |xy |x2 + y2

∣∣∣∣ ≤ 1

2|x |1/2 → 0

cuando (x , y)→ (0, 0).

f (x , y) = 0. ?????

¿Y ahora que?

Ejemplo 3.

f (x , y) =

|x |3/2yx2 + y2

, si (x , y) 6= (0, 0),

0, si (x , y) = (0, 0).

∣∣∣∣∣ x3/2y

x2 + y2

∣∣∣∣∣ = |x |1/2∣∣∣∣ |xy |x2 + y2

∣∣∣∣ ≤

2|x |1/2 → 0

cuando (x , y)→ (0, 0).

f (x , y) = 0. ?????

¿Y ahora que?

Ejemplo 3.

f (x , y) =

|x |3/2yx2 + y2

, si (x , y) 6= (0, 0),

0, si (x , y) = (0, 0).

∣∣∣∣∣ x3/2y

x2 + y2

∣∣∣∣∣ = |x |1/2∣∣∣∣ |xy |x2 + y2

∣∣∣∣ ≤ 1

2|x |1/2 → 0

cuando (x , y)→ (0, 0).

f (x , y) = 0. ?????

¿Y ahora que?

Ejemplo 3.

f (x , y) =

|x |3/2yx2 + y2

, si (x , y) 6= (0, 0),

0, si (x , y) = (0, 0).

∣∣∣∣∣ x3/2y

x2 + y2

∣∣∣∣∣ = |x |1/2∣∣∣∣ |xy |x2 + y2

∣∣∣∣ ≤ 1

2|x |1/2 → 0

cuando (x , y)→ (0, 0).

f (x , y) = 0.

¿Y ahora que?

Ejemplo 3.

f (x , y) =

|x |3/2yx2 + y2

, si (x , y) 6= (0, 0),

0, si (x , y) = (0, 0).

∣∣∣∣∣ x3/2y

x2 + y2

∣∣∣∣∣ = |x |1/2∣∣∣∣ |xy |x2 + y2

∣∣∣∣ ≤ 1

2|x |1/2 → 0

cuando (x , y)→ (0, 0).

f (x , y) = 0. ?????

¡Necesitamos formalizar estos lımites!

Espacios metricos, normados y euclıdeos

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