1 PARCIAL DFVV (GRUPORenato/Clases/Dfvv/Examenes/Examenes-web.pdf2 2o PARCIAL DFVV (GRUPO B). 10 de...

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1o PARCIAL DFVV (GRUPO B). 3 de diciembre de 2013

Apellidos, Nombre:

Teorıa. (3 Puntos) Elige y demuestra uno de los siguientes teoremas:

� Condicion suficiente de diferenciabilidad: Si la funcion f : A ⊂Rn → Rm tiene derivadas parciales con respecto a cada una de las variablesy estas son continuas en a ∈ A, entonces f es diferenciable en a.

� Teorema del valor medio: Sea f : A ⊂ Rn → Rm, diferenciable en Aabierto y conexo. Sean a, b ∈ A y sea s el segmento que los une. Entonces,para cada vector v ∈ Rm existe un punto z en el interior del segmento stal que 〈h, f(b)− f(a)〉 = 〈h,Df(z)(b− a)〉.

Problema 1. (3 ptos.) Sea la funcion f : R2 \ {kπ2 }k∈Z 7→ R, f(x, y) =|y|α tanx, α > 0.

1. Calcula lım(x,y)→(0,0) f(x, y).

2. ¿Para que valores de α f es continua en R2 \ {kπ2 }k∈Z?

3. Calcula sus derivadas parciales de f .

4. ¿Para que valores de α f es diferenciable en (0, 0)? Justifica la res-puesta y calcula la derivada total de f en (0, 0) si existe.

5. Calcula la derivada total de f en (1, π).

Problema 2. (4 ptos.)Sea la funcion g : R2 7→ R, g(x, y, z) = x2 + yex z.

1. Decide si g es diferenciable en R2. Justifica la respuesta.

2. Calcula las derivadas parciales ∂g∂x, ∂g

∂y y ∂g∂z .

3. ¿Cuanto vale la derivada g en el punto (1, 2, 0) segun la direccion delvector (3/4,

√3/2, 1/2).

4. ¿En que direccion es maxima la variacion de g en dicho punto (1, 2, 0)?¿Y mınima?

5. Escribe la expresion para el plano tangente a la superficie definida porw = g(x, y, z) en el punto (1, 2, 0).

6. Escribe el polinomio de Taylor de orden 2 en el punto (1, 2, 0).

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2o PARCIAL DFVV (GRUPO B). 10 de enero de 2014

Apellidos, Nombre:

Teorıa. (3 Puntos) Enuncia y demuestra la condicion necesaria y sufi-ciente de extremo libre de una funcion de varias variables.

Problema 1. (2 ptos.)

Sea la ecuacion z3 + 2(x+ y)2z + ez−1 − 4 = 0.

1. Prueba que la ecuacion anterior define una funcion z = f(x, y) enel entorno U del punto (0,−1, 1) y que dicha funcion es una funcionC(∞)(U) en dicho U .

2. Calcula las derivadas parciales ∂f∂x y ∂f

∂y en dicho punto.

3. Escribe el polinomio de Taylor de orden 1 de f en (0,−1, 1).


0

-3 0

3

-3

0

3

z

x

y

z

Sea la funcion

f : A ⊂ R3 7→ R, f(x, y, z) = x2+y2+z2−2x+4y−3,

donde A es la region definida por

A = {(x, y, z) ∈ R3, |x2+y2+z2 ≤ 9, x ≥ 0}.

1. Calcula todos los puntos crıticos de di-cha funcion.

2. ¿Alcanza f su maximo y mınimo globa-les en A? Justifica tu respuesta.

3. Calcula, si existen, dichos maximo y mıni-mo globales de f .

3

EXAMEN FINAL DFVV (GRUPO B). 7 de febrero de 2014RECUPERACION 1o o 2o PRUEBA o SUBIR NOTA DFVV1

Apellidos, Nombre:

Teorıa Examen Final. (2 puntos) Demuestra uno de los siguientesteoremas:

� de Heffter-Young. � Teorema de la funcion implıcita.

Problema 1 (3.5 puntos) Se considera la funcion f : R2 → R definidapor

f(x, y) =

|x|α arctan y√

x2 + y2, si (x, y) 6= (0, 0),

0, si (x, y) = (0, 0).

(a). Demuestra que para α > 0, la funcion f es continua en (0, 0).

(b). Para α > 0, escribe el valor de∂f

∂x(0, 0) y

∂f

∂y(0, 0) .

(c). Demuestra que f es diferenciable en (0, 0) cuando α > 1.

(d). ¿Es f diferenciable en (0, 0), cuando α = 1?. Razona la respuesta.

Problema 2 (1 punto) Estudia el siguiente lımite

lım(x,y)→(0,0)

y(x− sinx)

x4 + y2

y calculalo caso de que exista.

Problema 3 (3.5 puntos)

Sea f : R2 \ {(0, 0)} → R definida por f(x, y) = log(x2 + y2

).

(a) Encuentra todos los extremos relativos de f en la region

A = {(x, y) : x ≥ 1, (x− 1)2 + y2 ≤ 4}.

(b) Prueba que f tiene extremos absolutos en dicha region A. Calculalosrazonadamente.

(c) Prueba que f no tiene ni extremos relativos y ni absolutos en R2 \{(0, 0)}

1Examen final: problemas 1, 2 y 3. Recuperacion 1o parcial: problemas 1 y 4. Recuperacion 2o parcial:Problemas 3 y 5. Subir nota: problemas 1c,d, 3 y 6.

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EXAMEN FINAL DFVV (GRUPO B). 7 de febrero de 2014RECUPERACION 1o o 2o PRUEBA o SUBIR NOTA DFVV2

Teorıa examenes de recuperacion. (3 puntos). Demuestra uno de lossiguientes teoremas:

1o prueba: � de Heffter-Young o � Teorema de Taylor con resto.2o prueba: Teorema de la funcion implıcita.

Problema 4 (3.5 puntos)Sea la funcion f : R3 7→ R f(x, y, z) = (x cos(y2 + 1) + y sin(zex))ez.

1. Decide si f es diferenciable en R3. Justifica la respuesta.

2. Calcula las derivadas parciales ∂g∂x , ∂g

∂y y ∂g∂z .

3. En caso de ser diferenciable escribe la derivada total de f en un punto(x, y, z).

4. ¿Cuanto vale la derivada f en el punto (0, 1,−1) segun la direcciondel vector (−1/

√2, 0, 1/

√2).

5. Escribe la expresion para el plano tangente a la superficie definida porw = f(x, y, z) en el punto (0, 1,−1).

6. Escribe el polinomio de Taylor de orden 2 en el punto (0, 1,−1).

Problema 5 (3.5 puntos) Sea la ecuacion z3 − xyz + y2 = 16.

a) Prueba que dicha ecuacion define una funcion z = f(x, y) en ciertoentorno U de (1, 4, 2) y que dicha funcion f es C(p)(U) para todo p ∈ N.b) Calcula la expresion formal de ∂f

∂x y ∂f∂y en un punto (x, y) de U .

c) Calcula los valores numericos de las derivadas parciales ∂f∂x(1, 4) y ∂f

∂y (1, 4).¿Cuanto vale la derivada direccional de f en la direccion (1,−2) en dichopunto (1, 4)?

d) Calcula el valor de ∂2f∂x2 (x, y) y ∂2f

∂x2 (1, 4)

Problema 6 Calcula razonadamente el siguiente lımite

lım(x,y)→(0,0)

1− e|xy|3/2

arctan2(x) + arctan2(y).

2Examen final: problemas 1, 2 y 3. Recuperacion 1o parcial: problemas 1 y 4. Recuperacion 2o parcial:Problemas 3 y 5. Subir nota: problemas 1c,d, 3 y 6.

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1o PARCIAL DFVV (GRUPO B). 25 de noviembre de 2014

Apellidos, Nombre:


� Acotacion de las aplicaciones lineales � Teorema del valor medio

Problema 1 (3.5 puntos) Se considera la funcion f : R2 → R definidapor

f(x, y) =

|x|α sinxy√

2x2 + y2, si (x, y) 6= (0, 0),

0, si (x, y) = (0, 0).

(a). Demuestra que para α > −1, la funcion f es continua en (0, 0).

(b). Para α > −1, escribe el valor de∂f

∂x(0, 0) y

∂f

∂y(0, 0) .


(d). ¿Para α = 0 es f diferenciable en (0, 0)? Razona la respuesta.

Problema 2 (3.5 puntos) Sea la funcion g : R3 7→ R,

g(x, y, z) = xyez + xz sin(y) + x4yz.



∂y y ∂g∂z .

3. En caso de ser diferenciable escribe la derivada total de g en un punto(x, y, z).

4. ¿Cuanto vale el gradiente de g en (1, π, 0)?

5. Calcula la derivada de g en el punto (1, π, 0) segun la direccion delvector (1,−1, 1).

6. Escribe la expresion para el plano tangente a la superficie definida porw = g(x, y, z) en el punto (1, π, 0).

7. Escribe el polinomio de Taylor de orden 2 en el punto (1, π, 0).

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2o PARCIAL DFVV (GRUPO B). 15 de enero de 2015

Apellidos, Nombre:

Teorıa. (3 Puntos) Enuncia y demuestra la condicion necesaria y sufi-ciente de extremo libre de una funcion de varias variables.


Sea la ecuacion F (x, y, z) := x2y2z2 +exp(x+y+2z)+5y3−4y−2 = 0.

1. Prueba que la ecuacion anterior define una funcion z = f(x, y) enel entorno U del punto (−1, 1, 0) y que dicha funcion es una funcionC(∞)(U) en dicho U .



3. Calcula la derivada direccional de f en el punto (−1, 1) segun la direc-cion (1, 1). ¿En que direccion dicha derivada direccional es mınima?


-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4-3-2-1

0 1 2 3

4-4-3-2-1 0 1

región A

xy

Sea la funcion

f : A ⊂ R3 7→ R, f(x, y, z) = x2+y2+z2+4z−4x,


A = {(x, y, z) ∈ R3, |x2+2y2+z2 ≤ 16, z ≤ 1}.

1. Calcula todos los posibles extremos lo-cales de dicha funcion. Decide, cuandosea posible, si lo son.

2. ¿Alcanza f su maximo y mınimo globa-les en A? Justifica tu respuesta.

3. Calcula, si existen, dichos maximo y mıni-mo globales de f .

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EXAMEN FINAL DFVV (GRUPO B). 22 de enero de 2015

Apellidos, Nombre:

Teorıa. (2 puntos) Elige y demuestra uno de los siguientes teoremas:


Problema 1: 3.5 puntos Sea la funcion f : R2 −→ R definida por

f(x, y) =

x3 cos y

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0) .

1. Prueba que f es continua en todo su dominio.

2. Encuentra las derivadas parciales ∂f∂x y ∂f

∂y en R2.

3. Prueba que la derivada direccional Duf(0, 0) = u31 cualquiera sea el

vector unitario ~u = (u1, u2).

4. Decide si f es diferenciable (0, 0). ¿Y en R2 \ {(0, 0)}?

5. En caso que f sea diferenciable en(1, π2), calcula el vector gradiente

∇f(1, π2).

6. Usando el apartado anterior si es neceario escribe la ecuacion del planotangente a la funcion f(x, y) en el punto

(1, π2).

Problema 2: 1 punto Estudiar el lımite lım(x,y)→(0,0)

x|y||x|+ |y|

.

Problema 3: 3.5 puntosSea el conjunto D := {(x, y) ∈ R2 : x2 + y4 ≤ 1 } y sea f : D −→ R la

funcion definida por f(x, y) = 4x2 + 2y4 − y.

(a) Encuentra todos los extremos relativos de f en D.

(b) Prueba que f tiene extremos absolutos en D. Calculalos razonada-mente.

(c) ¿Tiene f extremos absolutos (globales) en D ∪ {(x, y)|x ≥ 0} ?Justifica tu respuesta y calculalos si procede.

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Recuperacion parcial 1 DFVV (GRUPO B). 22 de enero de 2015

Apellidos, Nombre:


PARCIAL 1 � de Heffter-Young. � Teorema de Taylor.

Problema 1: 3.5 puntos Se considera la funcion f : R2 → R definidapor

f(x, y) =

|x|α tan(xy)√x2 + 4y2

, si (x, y) 6= (0, 0),

0, si (x, y) = (0, 0).

(a). Decide si para α > −1, la funcion f es continua en (0, 0).

(b). Para α > 0, escribe el valor de∂f

∂x(0, 0) y

∂f

∂y(0, 0) .


(d). ¿Es f diferenciable en (0, 0), cuando α = 0?. Razona la respuesta.

Problema 2: 3.5 puntos Sea la funcion f : R2 −→ R definida por

f(x, y) =

x3 cos y

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0) .

1. Prueba que f es continua en todo su dominio.

2. Encuentra las derivadas parciales ∂f∂x y ∂f

∂y en R2.

3. Prueba que la derivada direccional Duf(0, 0) = u31 cualquiera sea el

vector unitario ~u = (u1, u2).

4. Decide si f es diferenciable (0, 0). ¿Y en R2 \ {(0, 0)}?

5. En caso que f sea diferenciable en(1, π2), calcula el vector gradiente

∇f(1, π2).

6. Usando el apartado anterior si es neceario escribe la ecuacion del planotangente a la funcion f(x, y) en el punto

(1, π2).

Problema 3: 1 punto Estudiar el lımite lım(x,y)→(0,0)

x|y||x|+ |y|

.

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Recuperacion 2o parcial DFVV (GRUPO B). 22 de enero de 2015

Apellidos, Nombre:

Teorıa. (2 puntos) Demuestra el Teorema de la funcion implıcita.

Problema 1: 4 puntos Sea el conjunto D := {(x, y) ∈ R2 : x2 + y4 ≤ 1 }y sea f : D −→ R la funcion definida por f(x, y) = 4x2 + 2y4 − y.

(a) Encuentra todos los extremos relativos de f en D.

(b) Prueba que f tiene extremos absolutos en D. Calculalos razonada-mente.

(c) ¿Tiene f extremos absolutos (globales) en D ∪ {(x, y)|x ≥ 0} ?Justifica tu respuesta y calculalos si procede.

Problema 2: 4 puntosSi x1, x2, x3 son las raices del polinomio p(x) = x3 + y1x

2 + y2x+ y3,

existe la siguiente relacion con los coeficientes:

y1 = −(x1 + x2 + x3),y2 = x1x2 + x1x3 + x2x3, (Ecuaciones de Cardano-Vieta)y3 = −x1x2x3.

Demostrar que en un entorno de una terna de raices reales (a, b, c) distin-tas dos a dos esta definida una funcion de clase C1 que expresa las raicesen termino de los coeficientes. Calcula una de las derivadas parciales deuna de las componentes de dicha funcion.

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EXAMEN FINAL DFVV (GRUPO B). 10 de septiembre de 2015


� Teorema de Taylor. � Teorema de a funcion implıcita.

Problema 1 Se considera la funcion f : R2 → R definida por

f(x, y) =

x2α log(1 + x2)√

x4 + y4, si (x, y) 6= (0, 0),

β, si (x, y) = (0, 0).

(a) Decide para que valores de α y β, la funcion f es continua en todo R2.

(b) Para dichos valores de α, β, escribe el valor de∂f

∂x(0, 0) y

∂f

∂y(0, 0).

(c) ¿Es diferenciable f en (0, 0) para todos los valores de α encontrados enel apartado anterior? En caso de que no, encuentra para que valores de αf es diferenciable en (0, 0). Razona la respuesta.

Problema 2: Sea la funcion f(x, y) : R2 7→ R definida por

f(x, y) =sin(x2)e−y

2

1 + x2 + y2.

(a) ¿Decide si es diferenciable en R2? Si no lo es, describe la region dondelo sea. En dicha region escribe la derivada de f .(b) Encuentra, si es posible, las derivadas parciales de f en el punto A =(√π, 0).

(c) Encuentra el gradiente de f en el punto A anterior. ¿En que direcciondecrece mas rapidamente f en A?(d) Encuentra la ecuacion del plano tangente a la superficie z = f(x, y) enel punto A anterior.(d) ¿Que angulo forman los planos tangente a f en A = (

√π, 0) y B =

(0, 0)?

Problema 3: Sea el conjuntoD := {(x, y, z) ∈ R3 : x2+y2+z2 ≤ 9 z ≤ 1}y sea f : D −→ R la funcion definida por f(x, y) = (x+ y)2 + (z+ 1)2 + 4.

(a) Encuentra todos los puntos singulares f en D.

(b) Cuales de dichos puntos singulares son extremos (maximos y mınimos)relativos de f en D.

(c) Prueba que f tiene extremos absolutos enD. Calculalos razonadamente.

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Apellidos, Nombre:


� Teorema de Schwarz � Teorema del valor medio

Problema 1. (3 ptos.) Sea f : R2 \{(0, 0)} 7→ R, f(x, y) =|x|α arcsin y√x2 + 2y2

,

α > 0.

1. Calcula, si es posible, los lımites lım(x,y)→(0,0) f(x, y) y lım(x,y)→(1,1) f(x, y).

2. ¿Para que valores de α se puede definir f en (0, 0) de forma que f seacontinua en R2? Justifica la respuesta.

3. Calcula, si es posible, las derivadas parciales de f en (0, 0).

4. ¿Para que valores de α f es diferenciable en (0, 0)? Justifica la res-puesta y calcula la derivada total (diferencial) de f en (0, 0) si existe.

Problema 2. (4 ptos.)Sea g : R2 7→ R, g(x, y, z) = −y sin(z + x) +z3ex

2+y2 + xyz.



∂y y ∂g∂z .

3. ¿Cuanto vale la derivada g en el punto (π/2, 1, 0) segun la direcciondel vector (−3, 0, 4).

4. ¿En que direccion es maxima la variacion de g en dicho punto (π/2, 1, 0)?¿Y mınima?

5. Escribe la expresion para el plano tangente a la superficie definida porw = g(x, y, z) en el punto (π/2, 1, 0)?

6. Escribe el polinomio de Taylor de orden 2 en el punto (π/2, 1, 0).

122o Parcial DFVV (GRUPO B). 11 de enero de 2016

Apellidos, Nombre:


Problema 1. 4 puntos: Sea la funcion f : A ⊂ R3 7→ R,

f(x, y, z) = z2 − 2z + 2y2 + 4x2 − 3,

donde A es la region definida por (paraboloide elıptico)

A = {(x, y, z) ∈ R3, x2 + y2 ≤ z ≤ 4}.

-2 -1 0 1 2-2-1

0 1

2

0

1

2

3

4

1. Calcula todos los puntos crıticos de dicha funcion.

2. ¿Alcanza f su maximo y mınimo globales en A? Justifica tu respuesta.

3. Calcula, si existen, dichos maximo y mınimo globales de f .

Problema 2. 3 puntos: Sea la ecuacion ez2−1 + (xey

2

+ ex2

y)z − 1 = 0.

1. Para que valores de a ∈ R la ecuacion anterior define una funcionz = f(x, y) en el entorno U del punto (0, 0, a). ¿Para alguno de di-chos puntos la funcion z = f(x, y) es diferenciable? ¿Cuantas veces?Justifica la respuesta.

2. Calcula, si es posible, las derivadas parciales ∂z∂x y ∂z

∂y en el entorno delos puntos obtenidos en el apartado 1.

3. Escribe, si es posible, la ecuacion del plano tangente a la curva z =f(x, y) en los puntos obtenidos en el apartado 1.

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EXAMEN FINAL DFVV (GRUPO B). 20 de enero de 2016

Apellidos, Nombre:



Problema 1: 3 puntos Sea la funcion f : R2 −→ R definida por

f(x, y) =

|x|α arctan(y)

x4 + 2y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0) .

1. Prueba que f es continua en todo su dominio para α > 2.

2. Encuentra, si existen, las derivadas parciales ∂f∂x y ∂f

∂y en R2.

3. Decide para que valores de α f es diferenciable (0, 0). ¿Y en R2 \{(0, 0)}?

Problema 2: 1 punto

Estudiar el lımite lım(x,y)→(0,0)

sin(x|y|3/2)|x|2 + |y|

.

Problema 3: 4 puntosSea la funcion f : A ⊂ R3 7→ R,

f(x, y, z) = z2 − 2z + y2 − 2y + 2x2 − 3,


A = {(x, y, z) ∈ R3, 4x2 + y2 + z2 ≤ 4, z ≥ 1}.

xy

1 1.2 1.4 1.6 1.8

2

-1 -0.5 0 0.5 1-2-1 0 1 2 3

1. Calcula todos los puntos crıticos de dicha funcion.



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Recuperacion parcial 1 DFVV (GRUPO B). 20 de enero de 2016

Apellidos, Nombre:


� de Heffter-Young. � Teorema de Taylor.

Problema 1. 3.5 puntos: Sea la funcion f : R2 −→ R definida por

f(x, y) =

|x|α arctan(y)

x4 + 2y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0) .



∂y en R2.


Problema 2. 1 punto:


sin(x|y|3/2)|x|2 + |y|

.

Problema 2. 3.5 puntos: Sea la funciong : R2 7→ R, g(x, y, z) = x2 + yex z.



∂y y ∂g∂z .

3. ¿Cuanto vale la derivada g en el punto (1, 2, 0) segun la direccion delvector (3, 0,−4).


5. Escribe la expresion para el plano tangente a la superficie definida porw = g(x, y, z) en el punto (1, 2, 0).

6. Escribe el polinomio de Taylor de orden 2 en el punto (1, 2, 0)

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Recuperacion 2o parcial DFVV (GRUPO B). 20 de enero de 2016

Apellidos, Nombre:



f(x, y, z) = z2 − 2z + y2 − 2y + 2x2 − 3,


A = {(x, y, z) ∈ R3, 4x2 + y2 + z2 ≤ 4, z ≥ 1}.

xy

1 1.2 1.4 1.6 1.8

2

-1 -0.5 0 0.5 1-2-1 0 1 2 3

1. Calcula todos los posibles puntos crıticos de dicha funcion.



Problema 2. 4 puntos: Sea la ecuacion x2z − z2x+ x cos(xz2)− 1 = 0

1. Para que valores de a, b ∈ R la ecuacion anterior define una funcionz = f(x, y) en el entorno U del punto (a, b, 0). ¿Es para alguno dedichos puntos la funcion z = f(x, y) diferenciable? ¿Cuantas veces?Justifica la respuesta.

2. Calcula las derivadas parciales ∂z∂x y ∂z

∂y en los puntos anteriores dondesea posible.

3. En que direccion es maxima la variacion de z = f(x, y) en el punto(1, 1, 0).

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SUBIR NOTA DFVV (GRUPO B). 20 de enero de 2016

Apellidos, Nombre:

Problema 1. 2 puntos: Sea la funcion f : R2 −→ R definida por

f(x, y) =

|x|α arctan(y)

x4 + 2y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0) .




f(x, y, z) = z2 − 2z + y2 − 2y + 2x2 − 3,


A = {(x, y, z) ∈ R3, 4x2 + y2 + z2 ≤ 4, z ≥ 1}.

xy

1 1.2 1.4 1.6 1.8

2

-1 -0.5 0 0.5 1-2-1 0 1 2 3

1. Calcula todos los posibles extremos locales de dicha funcion.

2. Calcula, si existen, dichos maximo y mınimo globales de f . Justificatu respuesta.

Problema 3. 1 punto: Estudiar el lımite lım(x,y)→(0,0)

sin(x|y|3/2)|x|2 + |y|

.

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EXAMEN FINAL DFVV (GRUPO B). 1 de septiembre de 2016

Apellidos, Nombre:


� de Schwarz. � Condicion suficiente de extremo).

Problema 1: 3 puntos Sea la funcion f : R2 −→ R definida por

f(x, y) =

|y|α arcsin(2x)

4x2 + y4si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0) .

1. ¿Para que valores de α f es continua en todo su dominio?.


∂y en R2.

3. Decide para que valores de α f es diferenciable (0, 0). ¿Y en R2 \{(0, 0)}? Justifica tu respuesta.

Problema 2: 1 punto


f(x, y) =y(x− sin(x))

x4 + 3y2.

Problema 3: 4 puntos Sea la funcion f : A ⊂ R3 7→ R,

f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 2x− 4y + 1,


A = {(x, y, z) ∈ R3, x2 + y2 + z2 ≤ 4, z ≤√

3}.

región A

1. Calcula todos los posibles extremos locales de dicha funcion.



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Apellidos, Nombre:


� De la equivalencia de las normas en Rn � Del valor medio

Problema 1. (3 ptos.) Sea f : R2\{(0, 0)} 7→ R, f(x, y) =|x|α cos(x) arcsin(xy)√

3x2 + y2,

α ∈ R.

1. Demuestra que para α > −1 existe el lımite lım(x,y)→(0,0) f(x, y).

2. ¿Que valor ha de tomar f en (0, 0) para que sea continua en R2?Justifica la respuesta


4. ¿Para que valores de α f es diferenciable en (0, 0)? Justifica la res-puesta y calcula la derivada (diferencial) de f en (0, 0) si existe.

5. ¿Es diferenciable para α = 0? Justifica la respuesta.

Problema 2. (4 ptos.)Sea g : R2 7→ R, g(x, y) =x2 cos(y) + y2 cos(x)

2.


2. Calcula las derivadas parciales ∂g∂x y ∂g

∂y .

3. ¿Cuanto vale la derivada de g en el punto (0, π/4) segun la direcciondel vector (1,−1).

4. ¿En que direccion es maxima la variacion de g en dicho punto (0, π/4)?¿Y mınima?

5. Escribe la expresion para el plano tangente a la superficie definida porz = g(x, y) en el punto (0, π/4)?

6. Escribe el polinomio de Taylor de orden 2 en el punto (0, π/4).

19


Apellidos, Nombre:



1. Dada la elipse de ecuacion x2−xy+y2 = 1, encuentra los puntos mascercanos y alejados del punto (2, 2).

Puntos mas cercanos: , . . .

Puntos mas alejados: , . . .

2. Sea f : R2 7→ R, f(x, y) = x2 + 4y − 4.

a) Decide si f tiene extremos relativos en R2. En caso de que lostenga calculalos.

¿Tiene extremos? .

¿Donde? , . . .

b) Decide si f tiene extremos absolutos sobre la circunferencia x2 +y2 = 9 y en caso de tenerlos encuentra donde se encuentran ycuales son sus valores.

¿Tiene extremos? .

Maximos locales , , , . . .

Mınimos locales , , . . .

20

Problema 2. (3 ptos.) Sea la ecuacion

F (x, y, z) = x2 e−z+y2+a + x2 y2 z2 − x3 y, a ∈ R.

1. ¿Para que valores de a la ecuacion anterior define una funcion z =f(x, y) en el entorno U del punto (1, 1, 0)? Justifica la respuesta.

Valor de a .

2. ¿Cuantas veces podemos derivar la funcion resultante z = f(x, y) enel entorno U del punto (1, 1, 0)? Justifica la respuesta.

No. de veces: .



∂f

∂x=

∂f

∂y=

4. Calcula la derivada direccional de f en el punto (1, 1) segun la direc-cion u = (2,−1).

Du(f(1, 1) =

5. Escribe, si es posible, el plano tangente a la superficie definida por laecuacion F (x, y, z) = 0 en el punto (1, 1, 0).

21

Examenes Parciales 1 y 2 de problemas DFVV (GRUPO A).2017/2018

Problema 1. (2.5 ptos.)

Sea f : [−1, 1] × [−1, 1] \ {(0, 0)} 7→ R, f(x, y) =|y|α cos(x) sin(x)

sin(x2) + sin(y2),

α ∈ R.

1. Demuestra que para α > 1 existe el lımite lım(x,y)→(0,0) f(x, y).



4. Demuestra que para α > 2 f es diferenciable en (0, 0)? Justifica larespuesta.


Problema 2. (2.5 ptos.)Sea g : R2 7→ R, g(x, y) = xey + yex + 2xy.


2. Calcula, si es posible, las derivadas parciales ∂g∂x y ∂g

∂y , ası como todaslas derivadas parciales de orden 2.

3. ¿Cuanto vale la derivada g en el punto (0, 0) segun la direccion delvector (2, 1).

4. Escribe el polinomio de Taylor de orden 2 en el punto (0, 0).

Problema 3. (2.5 ptos.) Sea f : R2 7→ R, f(x, y) = x2 + 4y − 4.

1. Decide si f tiene extremos relativos en R2. En caso de que los tengacalculalos.

2. Sea la elipse de ecuacion 2x2 + 4y2 = 1. Decide si f tiene extremosabsolutos sobre dicha elipse y en caso de tenerlos encuentra donde seencuentran y cual es su valor.

Problema 4. (2.5 ptos.) Sea la ecuacion F (x, y, z) = −3xez2+y2−1 +

x2z2 + 3y2z − a = 0, con a ∈ R.


22




4. Calcula la derivada direccional de f en el punto (0, 1) segun la direc-cion (1, 1).


23

Examen final de DFVV (GRUPO A).2017/2018

Problema 1. (3 ptos) Sea f : R2 \ {(0, 0)} 7→ R, f(x, y) =|y|αe2x sin(x)√

x2 + 2y2,

α ∈ R.

1. Demuestra que para α > 0 existe el lımite lım(x,y)→(0,0) f(x, y) y calcula-lo.


f(0, 0) =

3. Calcula cuando sea posible las derivadas parciales de f en (0, 0).

fx(0, 0) =

fy(0, 0) =

4. ¿Para que valores de α f es diferenciable en (0, 0)? Justifica la res-puesta y calcula la derivada (diferencial) de f en (0, 0) si existe.Df(0, 0) =


Problema 2. (4 ptos) Sea la superficie S de R3 definida por la formulax2 + 2y2 + 4z2 = 9.

1. Sea la funcion f : S 7→ R, f(x, y, z) = x− y +√

3 z definida sobre S.Encuentra todos los puntos crıticos de f en S y decide si son extremoslocales o puntos de silla.

Puntos , , , . . .

Puntos , , , . . .

2. ¿Tiene f extremos absolutos sobre S. Justifica la respuesta y en casode tenerlos encuentralos. ¿Tiene extremos absolutos? .

Maximo Mınimo

24

3. Encuentra, si existen, los puntos de la superficie S mas proximos ymas alejados del punto (0, 0, 3).



Problema 3. (3 ptos)Sea la ecuacion F (x, y, z) = x2 y2 ez

2+y2+x2−a + 4x y z − x4 − 3 = 0, cona ∈ R.





∂f

∂x=

∂f

∂y=

4. Calcula la derivada direccional de f en el punto (1, 2) segun la direc-cion (−1, 2).


6. Escribe la expresion del polinomio de Taylor de orden 1 de f(x, y)alrededor del punto (1, 2).

Examen final DFVV GRUPO B. 18 de enero de 2017 25

Apellidos Nombre:Instrucciones: Lee atentamente las instrucciones y marca con una cruzel examen elegido. En caso contrario el profesor elegira.

� Recuperacion 1o parcial � Recuperacion 2o parcial � Examen final� Examen para subir nota

El examen debe estar escrito con bolıgrafo y debe ser legible y sin tacha-duras. Cada uno de los examenes consta de las siguientes partes:

Teorıa. Demuestra uno de los siguientes teoremas:

1o prueba (3 puntos): � Schwarz o � Teorema de Taylor conresto.2o prueba (2 puntos): Condiciones necesarias y suficiente de extre-mos.Final (3 puntos): � Schwarz o � Condicion suficiente de extremos.

ProblemasRecuperacion 1o parcial: Problemas 1 (3 puntos) y 2 (4 puntos)Recuperacion 2o parcial: Problemas 3 (3 puntos) y 4 (5 puntos)Examen final: Problemas 1 (3 puntos) y 4 (4 puntos).Examen para subir nota: Problemas 4 (4 puntos), 5 (4 puntos) y 6 (2puntos).

Problema 1. Sea f : R2 \ {(0, 0)} 7→ R, f(x, y) =|x|αe3x2 arcsin(2x)√

2x2 + y2,

α ∈ R.

1. Demuestra si α > 0 existe el lımite lım(x,y)→(0,0) f(x, y) y calculalo.


f(0, 0) =


fx(0, 0) =

fy(0, 0) =



Df(0, 0) =


Problema 2. Sea g : R3 7→ R, g(x, y, z) =(y2 + x2

)ez

2−1−2 ex2−1(z2 + y2

).



∂y y ∂g∂z .

3. ¿Cuanto vale la derivada g en el punto (1, 0, 1) segun la direccion delvector (3, 4, 0).


5. Escribe la expresion para el plano tangente a la superficie definida porw = g(x, y, z) en el punto (1, 0, 1)?

6. Escribe el polinomio de Taylor de orden 2 de g en el punto (0, 0, 0).

Problema 3. Sea F (x, y, z) = x2y2ez2+y2+x2−a + 4xyz−x4− 3 = 0, a ∈ R.





∂f

∂x=

∂f

∂y=

4. Calcula la derivada direccional de f en el punto (1, 2) segun la direc-cion (−1, 2).



6. Escribe la expresion del polinomio de Taylor de orden 1 de f(x, y)alrededor del punto (1, 2).

Problema 4. Sea la superficie S de R3 definida por x2 + 2y2 + 4z2 = 9.

1. Sea la funcion f : S 7→ R, f(x, y, z) = x− y +√

3 z definida sobre S.Encuentra todos los puntos crıticos de f en S y decide si son extremoslocales o puntos de silla.

Puntos , , , . . .

Puntos , , , . . .

2. ¿Tiene f extremos absolutos sobre S. Justifica la respuesta y en casode tenerlos encuentralos. ¿Tiene extremos absolutos? .

Maximo absoluto Mınimo absoluto

3. Encuentra, si existen, los puntos de la superficie S mas proximos ymas alejados del punto (0, 0, 3).



Problema 5. Sea α ∈ R y sea f(x, y) =|x|α cos(2x) arctan(x)

sin(x2) + sin(y2).

1. Encuentra la mayor region de R2 donde se pueda definir f .

2. En los puntos donde no este definida decide si para algun valor de αse puede redefinir de forma que sea continua. Justifica la respuesta


4. Demuestra que para α > 2 f es diferenciable en (0, 0)? Justifica larespuesta.


Problema 6. Calcula, si es posible, el siguiente lımite

lım(x,y)→(0,0)

x2 + 3y2 + 6xy − 5xy2√x2 + 2y2

=

Examen final DFVV GRUPO A. 4 de septiembre de 2018 1

.Problema 1. (3 puntos):

Sea F (x, y, z) = x2y2 cosx2 + y2 + 2z2 − a+ 4xyz − x3 − 3 = 0, a ∈ R.

1. ¿Para que valores de a la ecuacion anterior define una funcion z =f(x, y) en el entorno U del punto (1,−2, 0)? Justifica la respuesta.

2. ¿Cuantas veces podemos derivar la funcion resultante z = f(x, y) enel entorno U del punto (1,−2, 0)? Justifica la respuesta.


∂y en dicho punto (1,−2, 0).

∂f

∂x=

∂f

∂y=

4. Calcula la derivada direccional de f en el punto (1,−2) segun la di-reccion (2, 1).

5. Escribe, si es posible, el plano tangente a la superficie definida por laecuacion F (x, y, z) = 0 en el punto (1,−2, 0).

6. Escribe la expresion del polinomio de Taylor de orden 1 de f(x, y)alrededor del punto (1,−2).

Problema 2. (3 puntos): Sea f : R2\{(0, 0)} 7→ R, f(x, y) =sin(|xy|)|y|α cosx2√

x2 + 5y2,

α ∈ R.

1. Demuestra que si α > 0 existe el lımite lım(x,y)→(0,0) f(x, y) y calculalo.


f(0, 0) =


fx(0, 0) =

fy(0, 0) =

Examen final DFVV GRUPO A. 4 de septiembre de 2018 2


Df(0, 0) = ..................


Problema 3. (4 puntos): Sea la region S de R3 definida por 4x2 + 2y2 +4z2 ≤ 9.

1. Sea la funcion f : S 7→ R, f(x, y, z) = x + y + z definida sobre S.Encuentra todos los puntos crıticos de f en S y decide si son extremoslocales o puntos de silla.

Puntos , , , . . .

Puntos , , , . . .

2. ¿Tiene f extremos absolutos en S. Justifica la respuesta y en caso detenerlos encuentralos. ¿Tiene extremos absolutos? .

Maximo absoluto Mınimo absoluto

3. Encuentra, si existen, los puntos de la superficie de S mas proximosy mas alejados del punto (3, 0, 0).



1o PARCIAL DFVV (GRUPO C). 23 de noviembre de 2018 1

Apellidos, Nombre:


� Regla de la cadena � Teorema del valor medioNota importante: Todas las respuestas deben estar escritas en la hoja del examen


Problema 1. (3 ptos.) Sea f : R2\{(0, 0)} 7→ R, f(x, y) =|y|αe1−x2 sin(2x)√

2x2 + y2,

α ≥ 0.

1. Calcula, si es posible, los lımites

lım(x,y)→(0,0)

f(x, y) = lım(x,y)→(1,1)

f(x, y) =



fx(0, 0) =

fy(0, 0) =

4. ¿Para que valores de α f es diferenciable en (0, 0)? Justifica la res-puesta y calcula, si existe, la derivada total (diferencial) de f en (0, 0).


Problema 2. (4 ptos.)Sea g : R2 7→ R, g(x, y, z) =(ex sin (πy) + cos (πx) ey−1

)z



∂y y ∂g∂z .

gx(x, y, z) =

gy(x, y, z) =

gz(x, y, z) =

3. ¿Cuanto vale la derivada de g en el punto (0, 1, 1) segun la direcciondel vector (−3, 0, 4).

4. Encuentra la direccion de maxima la variacion de g en dicho pun-to (0, 1, 1). Encuentra la direccion donde dicha variacion es mınima.Justifica la respuesta.



1o PARCIAL DFVV (GRUPO B). 26 de noviembre de 2018 1

Apellidos, Nombre:


� Teorema del valor medio � de Taylor con resto de Lagrange


Problema 1. (3 ptos.) Sea f : R2\{(0, 0)} 7→ R, f(x, y) =|2x|α cos(x2) log(1 + y2)

|x|+ 2y2,

α ≥ 0.

1. Calcula, si es posible, los lımites

lım(x,y)→(0,0)

f(x, y) = lım(x,y)→(1,1)

f(x, y) =



fx(0, 0) =

fy(0, 0) =

4. ¿Para que valores de α f es diferenciable en (0, 0)? Justifica la res-puesta y calcula, si existe, la derivada total (diferencial) de f en (0, 0).


Problema 2. (4 ptos.)Sea g : R2 7→ R, g(x, y, z) =(e2x cos y+ey sin(2x)) z

2



∂y y ∂g∂z .

gx(x, y, z) =

gy(x, y, z) =

gz(x, y, z) =

3. ¿Cuanto vale la derivada de g en el punto (0, 0, 2) segun la direcciondel vector (1, 1, 2).

4. ¿En que direccion es maxima la variacion de g en dicho punto (0, 0, 2)?¿Y mınima? Justifica la respuesta



2o Parcial DFVV (GRUPO A). 17 de enero de 2019 1

2o Parcial DFVV (GRUPO A). 17 de enero de 2019

Apellidos, Nombre:

Teorıa. (2 puntos) Demuestra la Condicion suficiente de extremo.



1. Dado la esfera hueca de ecuacion x2+y2+z2 = 3, encuentra los puntosmas cercanos y alejados del punto (2, 2, 2).



2. Sea f : R2 7→ R, f(x, y) = 5x+ 5y2.


¿Tiene extremos? .

¿Donde? , . . .

b) Encuentra todos los puntos crıticos de f sobre la la circunferenciaT : x2 + y2 − 3x = 4 y decide si son extremos o puntos silla.

Maximos locales: , , , . . .

Mınimos locales: , , . . .

Puntos silla: , , . . .

¿Tiene f extremos globales sobre T? . Justifica la respuestay en caso de tenerlos encuentralos razonadamente.

Maximo absoluto: , valor de la funcion

Mınimo absoluto: , valor de la funcion



F (x, y, z) = xy2 sin(2z + a) + x2y cos(2z + a) a ∈ R.

1. ¿Para que valores de a la ecuacion anterior define una funcion z =f(x, y) en el entorno U del punto A = (1,−1, 0)? Justifica la respues-ta.

Valor de a .

2. ¿Cuantas veces podemos derivar la funcion resultante z = f(x, y) enel entorno U del punto A? Justifica la respuesta.

No. de veces: .


∂y en dicho punto A.

∂f

∂x=

∂f

∂y=

4. Calcula la derivada direccional de z = f(x, y) en el punto a = (1,−1)segun la direccion u = (−4, 3).

Du(f(a))

5. Escribe, si es posible, el plano tangente a la superficie definida por laecuacion F (x, y, z) = 0 en el punto A.

2o Parcial DFVV (GRUPO B). 18 de enero de 2019 1


Apellidos, Nombre:




1. Dado el elipsoide de ecuacion x2 + 2y2 + z2 = 4, encuentra los puntosmas cercanos y alejados del punto (0, 0, 4).



2. Sea f : R2 7→ R, f(x, y) = x2 + y.


¿Tiene extremos? .

¿Donde? , . . .

b) Encuentra todos los puntos crıticos de f sobre la la circunferenciaT : y2 − 3y + x2 = 4 y decide si son extremos o puntos silla.









F (x, y, z) = x2ze2z+a + xy2e2z − 1 a ∈ R.

1. ¿Para que valores de a la ecuacion anterior define una funcion z =f(x, y) en el entorno U del punto A = (1, 0, 1)? Justifica la respuesta.

Valor de a .

2. ¿Cuantas veces podemos derivar la funcion resultante z = f(x, y) enel entorno U del punto A? Justifica la respuesta.

No. de veces: .


∂y en dicho punto A.

∂f

∂x=

∂f

∂y=

4. Calcula la derivada direccional de z = f(x, y) en el punto a = (1, 0)segun la direccion u = (−1, 1).

Du(f(a))


Examen FINAL DFVV (GRUPOS B y C). 31 de enero de 2019 1

Apellidos, Nombre:


� Acotacion de las aplicaciones lineales � Heffter-YoungNota importante: Todas las respuestas deben estar escritas en la hoja del examen


Problema 1. (2 ptos.) Sea f : R2 7→ R, y α, β ∈ R definida por

f(x, y) =|y|α cos(2xy) log(1 + 2|xy|)√

x2 + 3y2, (x, y) 6= (0, 0), f(0, 0) = β.

1. Para que valores de α y β existen los lımites siguientes y en su casocalculalos razonadamente:

lım(x,y)→(0,0)

f(x, y) = lım(x,y)→(0,1)

f(x, y) =

2. ¿Se puede definir f en (0, 0) de forma que f sea continua en R2? Encaso afirmativo, en que condiciones. Justifica la respuesta.


fx(0, 0) =

fy(0, 0) =

4. ¿Para que valores de α y β f es diferenciable en (0, 0)? Justifica larespuesta y calcula, si existe, la derivada total (diferencial) de f en(0, 0).


Problema 2. (2.5 ptos.) Sea la ecuacion

F (x, y, z) = 4x2 exp(z + y)− a a ∈ R.

1. ¿Para que valores de a la ecuacion anterior define una funcion z =f(x, y) en el entorno U del punto A = (1,−1, 1)? Justifica la res-puesta. Valor de a .

2. ¿Cuantas veces podemos derivar la funcion resultante z = f(x, y) enel entorno U del punto A? Justifica la respuesta. No. de veces: .


∂y en un entorno de dicho puntoA ası como los valores en A.∂f

∂x=

∂f

∂y=

4. Calcula la derivada direccional de z = f(x, y) en a = (1,−1) segun ladireccion u = (−2, 1).

Du(f(a))


6. Encuentra, si es posible, el polinomio de orden 2 de z = f(x, y) en elpunto a = (1,−1).


Problema 3. (3.5 ptos.)

1. Dado el elipsoide de ecuacion 4z2 + 2y2 + (x− 1)2 = 9, usa el metodode Lagrange para encontrar, si los tiene, los puntos mas cercanos yalejados del punto (1, 0, 3).



2. Sea f : R2 7→ R, f(x, y) = 4(x− 1)2 − 4y.


¿Tiene extremos? .

¿Donde? , . . .

b) Encuentra todos los puntos crıticos de f sobre la la circunferenciaT : y2−3y+ (x−1)2 = 4 y decide si son extremos o puntos silla.







Recuperacion 1o parcial DFVV (GRUPOS B y C). 31 de enero de 2019 1

Apellidos, Nombre:


� Acotacion de las aplicaciones lineales � Heffter-YoungImportante: Todas las respuestas deben estar escritas en la hoja del examen. Duracion

2h15min


Problema 1. (3 ptos.) Sea f : R2 7→ R, y α, β ∈ R definida por

f(x, y) =|y|α cos(2xy) log(1 + 2|xy|)√

x2 + 3y2, (x, y) 6= (0, 0), f(0, 0) = β.

1. Para que valores de α y β existen los lımites siguientes y en su casocalculalos razonadamente:

lım(x,y)→(0,0)

f(x, y) = lım(x,y)→(0,1)

f(x, y) =

2. ¿Se puede definir f en (0, 0) de forma que f sea continua en R2? Encaso afirmativo, en que condiciones. Justifica la respuesta.


fx(0, 0) =

fy(0, 0) =

4. ¿Para que valores de α y β f es diferenciable en (0, 0)? Justifica larespuesta y calcula, si existe, la derivada total (diferencial) de f en(0, 0).


Problema 2. (4 ptos.)Sea g : R2 7→ R, g(x, y, z) = xy(sinx ez/2 + e2x cos (2y)

)1. Decide si g es diferenciable en R2. Justifica la respuesta.


∂y y ∂g∂z .

gx(x, y, z) =

gy(x, y, z) =

gz(x, y, z) =

3. ¿Cuanto vale la derivada de g en el punto A = (0, π, 0) segun la di-reccion del vector (1, 2, 2).

4. ¿En que direccion es maxima la variacion de g en dicho punto A? ¿Ymınima? Justifica la respuesta

5. Escribe la expresion para el plano tangente a la superficie definida porw = g(x, y, z) en el punto A anterior?

6. Escribe el polinomio de Taylor de orden 2 en el punto A.


Apellidos, Nombre:

Teorıa. (2 ptos) Demuestra la Condicion necesaria y la suficiente deextremo. Importante: Todas las respuestas deben estar escritas en la hoja del examen.

Duracion 2h15min



F (x, y, z) = 4x2 exp(z + y)− a a ∈ R.

1. ¿Para que valores de a la ecuacion anterior define una funcion z =f(x, y) en el entorno U del punto A = (1,−1, 1)? Justifica la res-puesta. Valor de a .

2. ¿Cuantas veces podemos derivar la funcion resultante z = f(x, y) enel entorno U del punto A? Justifica la respuesta. No. de veces: .


∂y en un entorno de dicho puntoA ası como los valores en A.∂f

∂x=

∂f

∂y=

4. Calcula la derivada direccional de z = f(x, y) en a = (1,−1) segun ladireccion u = (−2, 1).

Du(f(a))




1. Dado el elipsoide de ecuacion 4z2 + 2y2 + (x− 1)2 = 9, usa el metodode Lagrange para encontrar, si los tiene, los puntos mas cercanos yalejados del punto (1, 0, 3).



2. Sea f : R2 7→ R, f(x, y) = 4(x− 1)2 − 4y.


¿Tiene extremos? .

¿Donde? , . . .

b) Encuentra todos los puntos crıticos de f sobre la la circunferenciaT : y2−3y+ (x−1)2 = 4 y decide si son extremos o puntos silla.







1 PARCIAL DFVV (GRUPORenato/Clases/Dfvv/Examenes/Examenes-web.pdf2 2o PARCIAL DFVV (GRUPO B). 10 de...

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