Post on 10-Dec-2015
description
1
Unidad 2: La derivada
Pendiente y razones
2
¿Cómo determina la pendiente de la recta tangente a la
gráfica de la función y=x2 en x=1 ó x=2 ó en cualquier
otro punto?
¡Reflexión!
Empecemos por la pendiente de la recta secante a la
gráfica de una función y = f(x) en x=xo.
4
x
y
0 x
) ( 0 x f ) ( 0 x f
x 0
Tangente!!!
5
En el límite, cuando h 0, la recta secante se
confunde con la recta tangente en x0, y podemos decir
que:
Pendiente de la recta tangente
Note que: 0 0
SL
f x h f xm
h
+
0 0
0 0lim lim
T SL Lh h
f x h f xm m
h
+
6
Razón de cambio
El cociente de diferencias se llama
razón de cambio promedio de y con respecto a x.
x
y
2
1.5
5
5
Número de
operarios.
Número de docenas de
pantalones producidos
diariamente.
Sí en cada uno de los
casos aumentamos un
operario, ¿en cuánto
aumenta la producción
diaria de pantalones
por operario?
01
01 )()(
xx
xfxf
x
y
7
Razón de cambio instantánea
se llama razón de cambio instantánea
de y con respecto a x en x = x1.
x
y
x0
f(x0)
x1
f(x1)
h
xfhxf
x
y )()( 00 +
Note que si
x1 = x0 + h
entonces
0 0
0
( ) ( )
h
f x h f xlím
h
+
8
La derivada de la función f respecto de la variable x, en
x0 se denota por f ´(x0) y se define por:
La Derivada
Se dice que f (x) es derivable en x0 si existe f ´(x0). Al
proceso de calcular la derivada se le denomina derivación.
0 0
00
limh
f x h f xf x
h
+
ydx
dyxf
dx
dx´f )()(Notación:
9
La derivada de
una función f en
x0 es:
Pendiente de la recta
tangente a la gráfica de la
función f en x0
La razón de cambio
instantánea de la función f
en x0
0 0
0limh
f x h f x
h
+
10
Usando la definición, determine las expresiones de la
derivada de las siguientes funciones:
a) f (x) = 5 b) f (x) = x c) f (x) = x2
d) f (x) = x-1 e) f (x) = x1/2
Ejemplo
Usando la definición, calcule la derivada de:
f (x) = 2 + 3x - 5x2
¿ Cómo seria la derivada de f (x)=xn ?
11
La recta tangente a la gráfica de una recta, es la misma
recta, esto quiere decir que la pendiente de la recta, es
también su razón de cambio (su derivada).
Derivada de una función lineal
Ejemplos: halle dy/dx de
23
5y x 2 8y x +b) a)
Esto es:
dmx b m
dx+
12
Para deducir la derivada de
f (x) = ex y de f (x) = ln(x),
dé una lectura al artículo:
“Descubriendo derivadas con Winplot”
f ´(x) = ex f ´(x) = 1 / x
13
Si una función f es derivable en el punto P(x0; f(x0)),
entonces la gráfica de y = f (x) tiene una tangente no
vertical en P y en todos los puntos “cercanos” a P.
Derivabilidad y continuidad
Esto indica que una función f es continua en cualquier
punto donde sea derivable, ya que una gráfica no puede
tener un “hueco” o “vacío” en ningún punto donde pueda
dibujarse una recta tangente.
14
Es importante saber que: una función continua no
necesariamente es derivable en todos los puntos.
1/3La gráfica de la curva
presenta una línea tangente vertical
en 0
y x
x
2/3La gráfica de la curva
presenta una cúspide en 0
y x
x
La gráfica de la curva
presenta un punto ánguloso
cuando 0
y x
x
Se muestra la gráfica de tres funciones continuas en x=0,
pero a pesar de ello, no son derivables en x = 0
15
Si un fabricante produce rollos de tela con una ancho fijo y el costo
de producir x yardas de tela es C = f(x) dólares,
a) ¿qué significado tiene f´(x)?, ¿cuáles son sus unidades?
b) en términos prácticos, qué significa decir que f´(1000)=9.
Rpta. a)
La derivada f´(x) denota la razón de cambio instantánea del costo de
producción con respecto al número de yardas producidas.
Rpta. b)
f´(1000)=9 significa que, después de fabricar 1000 yardas de tela, la
razón a la cual aumenta el costo de producción es de 9 dólares/yarda.
(Cuando x=1000, C se incrementa nueve veces más rápido que x.)
0'( ) lim
x
Cf x
x
Sus unidades son de dólares por yarda
16
La función y = x2, ¿alrededor de qué punto (1; 1) o (2; 4),
la gráfica cambia con mayor rapidez?
17
Ejemplo.
Dado el gráfico de la función f.
Ordene de menor a mayor los siguientes valores: f ´(1),
f ´(2), f ´(4) y f ´(5,8)
18
Ejemplo.
De la gráfica, halle f ´(2) e indique la ecuación de la
recta tangente en x=2.