1

Unidad 2: La derivada

Pendiente y razones

2

¿Cómo determina la pendiente de la recta tangente a la

gráfica de la función y=x2 en x=1 ó x=2 ó en cualquier

otro punto?

¡Reflexión!

Empecemos por la pendiente de la recta secante a la

gráfica de una función y = f(x) en x=xo.

3

x

y

0 x

) ( 0 x f

) ( 0 h x f +

h x + 0

h 0

h

h x +

) ( 0 h x f +

4

x

y

0 x

) ( 0 x f ) ( 0 x f

x 0

Tangente!!!

5

En el límite, cuando h 0, la recta secante se

confunde con la recta tangente en x0, y podemos decir

que:

Pendiente de la recta tangente

Note que: 0 0

SL

f x h f xm

h

+

0 0

0 0lim lim

T SL Lh h

f x h f xm m

h

+

6

Razón de cambio

El cociente de diferencias se llama

razón de cambio promedio de y con respecto a x.

x

y

2

1.5

5

5

Número de

operarios.

Número de docenas de

pantalones producidos

diariamente.

Sí en cada uno de los

casos aumentamos un

operario, ¿en cuánto

aumenta la producción

diaria de pantalones

por operario?

01

01 )()(

xx

xfxf

x

y

7

Razón de cambio instantánea

se llama razón de cambio instantánea

de y con respecto a x en x = x1.

x

y

x0

f(x0)

x1

f(x1)

h

xfhxf

x

y )()( 00 +

Note que si

x1 = x0 + h

entonces

0 0

0

( ) ( )

h

f x h f xlím

h

+

8

La derivada de la función f respecto de la variable x, en

x0 se denota por f ´(x0) y se define por:

La Derivada

Se dice que f (x) es derivable en x0 si existe f ´(x0). Al

proceso de calcular la derivada se le denomina derivación.

0 0

00

limh

f x h f xf x

h

+

ydx

dyxf

dx

dx´f )()(Notación:

9

La derivada de

una función f en

x0 es:

Pendiente de la recta

tangente a la gráfica de la

función f en x0

La razón de cambio

instantánea de la función f

en x0

0 0

0limh

f x h f x

h

+

10

Usando la definición, determine las expresiones de la

derivada de las siguientes funciones:

a) f (x) = 5 b) f (x) = x c) f (x) = x2

d) f (x) = x-1 e) f (x) = x1/2

Ejemplo

Usando la definición, calcule la derivada de:

f (x) = 2 + 3x - 5x2

¿ Cómo seria la derivada de f (x)=xn ?

11

La recta tangente a la gráfica de una recta, es la misma

recta, esto quiere decir que la pendiente de la recta, es

también su razón de cambio (su derivada).

Derivada de una función lineal

Ejemplos: halle dy/dx de

23

5y x 2 8y x +b) a)

Esto es:

dmx b m

dx+

12

Para deducir la derivada de

f (x) = ex y de f (x) = ln(x),

dé una lectura al artículo:

“Descubriendo derivadas con Winplot”

f ´(x) = ex f ´(x) = 1 / x

13

Si una función f es derivable en el punto P(x0; f(x0)),

entonces la gráfica de y = f (x) tiene una tangente no

vertical en P y en todos los puntos “cercanos” a P.

Derivabilidad y continuidad

Esto indica que una función f es continua en cualquier

punto donde sea derivable, ya que una gráfica no puede

tener un “hueco” o “vacío” en ningún punto donde pueda

dibujarse una recta tangente.

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Es importante saber que: una función continua no

necesariamente es derivable en todos los puntos.

1/3La gráfica de la curva

presenta una línea tangente vertical

en 0

y x

x

2/3La gráfica de la curva

presenta una cúspide en 0

y x

x

La gráfica de la curva

presenta un punto ánguloso

cuando 0

y x

x

Se muestra la gráfica de tres funciones continuas en x=0,

pero a pesar de ello, no son derivables en x = 0

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Si un fabricante produce rollos de tela con una ancho fijo y el costo

de producir x yardas de tela es C = f(x) dólares,

a) ¿qué significado tiene f´(x)?, ¿cuáles son sus unidades?

b) en términos prácticos, qué significa decir que f´(1000)=9.

Rpta. a)

La derivada f´(x) denota la razón de cambio instantánea del costo de

producción con respecto al número de yardas producidas.

Rpta. b)

f´(1000)=9 significa que, después de fabricar 1000 yardas de tela, la

razón a la cual aumenta el costo de producción es de 9 dólares/yarda.

(Cuando x=1000, C se incrementa nueve veces más rápido que x.)

0'( ) lim

x

Cf x

x

Sus unidades son de dólares por yarda

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La función y = x2, ¿alrededor de qué punto (1; 1) o (2; 4),

la gráfica cambia con mayor rapidez?

17

Ejemplo.

Dado el gráfico de la función f.

Ordene de menor a mayor los siguientes valores: f ´(1),

f ´(2), f ´(4) y f ´(5,8)

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Ejemplo.

De la gráfica, halle f ´(2) e indique la ecuación de la

recta tangente en x=2.