UNIDAD IILA DERIVADAOBJETIVOAl termino de la unidad el estudiante ser capaz de resolver problemas sobre razones de cambio y de la derivada aplicando sus principios, conceptos y reglas en la interpretacin grfica de contextos contribuyendo a generar un ambiente escolar colaborativo y responsable

INCREMENTO Si la variable independiente X con un valor inicial a, se le da un valor final b, a la diferencia de b a se le llama incremento de la variable, este se expresa con la letra griega llamada delta ( ) que se antepone a la variable, es decir se escribe de la siguiente forma:x = b aSi se registra un aumento de el valor del incremento es positivoSi hay disminucin del valor el incremento es negativoSi no hay diferencia el incremento es nulo, (x = 0)Ejemplos :Obtener el valor del incremento de la variable x, con valor inicial a = 6 y b = 14x = b a , x = 14 6, x = 8 por lo tanto el incremento es positivoObtener el valor del incremento de la variable x, con valor inicial a = 15 y b = 7x = b a, x = 7 15, x = -8 por lo tanto el incremento es negativo

Ejercicios Obtenga los incrementos para la variable independiente x cuando

1.- a = 10 y b = 152.- a = 25 y b = 353.- a = 1/3 y b = 4/64.- a = 13 y b = 5 5.- a = 35 y b 25

RAZON DE CAMBIO PROMEDIO E INSTANTANEALA DERIVADA COMO RAZON DE CAMBIO

Se tienen varias aplicaciones sobre el conocimiento de razn de cambio , por ejemplo los ndices de reprobacin en una materia la tasa de desercin escolar, el numero de nacimientos en un mes, la cantidad de precipitacin pluvial durante la temporada de lluvias, el numero de casamientos en el mes de diciembre, etc.

Las razones de cambio por lo general siempre se refieren a cambios respecto al tiempo, pero se puede buscar la razn de cambio respecto a cualquier variable relacionada.

Ejemplo si se tiene un proyectil, cuya trayectoria esta representada por la ecuacin y = -0.05x2 + 2x, se puede analizar la razn de cambio en la altura y del proyectil conforme avanza su distancia en la horizontal (x), analizando la grafica se tiene

Grafica

Si X= 5 la altura es y = 8.75, si x= 15 la altura del proyectil es y = 18.75, el cociente de incrementos de y al pasar x = 5 a x = 15 es:

Cambio en la altura (y) = y = 18.75 8.75 = 1Cambio de la distancia (x) x = 15 - 5

El cociente de incrementos de y al pasar de x = 10 a x = 20 es :

y = 20 -15 = 5 = 1x 20 10 10 2

Cuales sern los cocientes de incrementos de y al pasar de x = 20 a x= 30 y de x = 30 a x = 40

Conclusin: por lo general se puede calcular el cociente de incrementos de y con respecto a x en un intervalo x mediante la siguiente regla:Cambio en y = y = cociente de incrementosCambio en x = x

La razn de cambio instantneo de y en x se representa por la ecuacin

dy = lim y = lim f( x + x ) - f(x)dx x0 x x0 x

Dicha ecuacin es la interpretacin fundamental de la derivada como razn de cambio instantneo de una variable con respecto a otra

Ejemplos Hallar el cociente de incrementos de la funcin f(t) = 3t + 9 entre los dos puntos (1, 12) y (2, 5); comparar el cociente de incrementos con la razn de cambio instantneo de cada puntoProcedemos a calcular el cociente de incrementos de f(t) cuando t =1 y t =2 f(1) = 3(1) + 9 = 3 +9 = 12 f(2) = 3(2) + 9 = 6 + 9 = 15f(t) = 15-12 = 3 = 3 t 2 1 1La razn de cambio instantneo de f(t) se determina por lim f(t + t) f(x) 0 tf(t) = 3(t + t) + 9 - (3t + 9) = 3t + 3 t +9 3t -9 = 3 t = 3 t t t t

Ejemplos Si se tiene y = x3 esta expresin corresponde a la frmula para obtener el volumen de un cubo, donde y es el volumen y x la longitud del lado encuentre la razn instantnea de cambio de y con respecto a x tmese como referencia que el x0SolucinSi y = x3 entonces : y= lim f( x + x) f(x) = ( x + x)3 x3 = x3 + 3x2 x + 3x x2 + x3 x3 x0 x x x

3x2 x + 3x x2 + x3 = 3x2 + 3x x + x2 = 3x2 + 3x(0) +(0)2 = 3x2 x x0Cuando x= 43(4)2 = 3(16) = 48El resultado indica que cuando x = 4 el cambio en el (y) volumen es aproximadamente 48 veces el cambio en el lado x

,Se lanza una pelota que tiene una trayectoria definida por la ecuacin y = x 0.02x2Determinar:

La grafica de la trayectoriaLa distancia horizontal que rrecorre la pelotaPor medio de la simetra de la trayectoria. Cual es el valor de x para que la pelota alcance su mxima altura?La ecuacin que indica la razn de cambio instantneo de la altura de la pelota con respecto al cambio horizontal en x = 0, 10, 15, 25, 30, 50Cual es la razn de cambio instantneo de la altura cuando la pelota alcance su altura mxima.

a) La grafica de la trayectoria: dada la funcin y = x 0.02x2, damos valores arbitrarios a x sustituyndolos en la ecuacin se tiene

xy0054.51081510.520122512.530123510.5408454.5500

b) Analizando la se tiene que cuando x = 0 , y = 0 para x = 50, y = 0, por lo que la distancia horizontal que recorri la pelota es de 50 unidades

c) En base al tabulador y la grfica correspondiente se observa que la pelota alcanza su mxima altura en el valor x = 25 unidades. d) si y = x - 0.02x2

lim f(x + x) - f(x) = (x + x) 0.02(x + x)2 - ( x -0.02x2)x0 x x (x + x) 0.02 (x2 + 2x x + x2) = x + x -0.02x2 0.04x x -0.02(x)2x-0.02x2 x x

x -0.04x x 0.02(x )2 = x (1-0.04x 0.02 x ) x x

-lim 1 - 0.04x 0.02 x = 1 0.04x - 0.02(0) = 1-0.04xx0

Para x = 0f (0) = 1 0.04(0) = 1 0 = 1Para x = 10f(10) = 1 0.04(10) = 1 - 0.04 =0.6Para x = 15f(15) = 1 0.04(15) = 1- 0.06 = 0.4Para x = 25f(25) = 1 0.04(25) = 1- 1 = 0Para x = 30f(30) = 1 0.04(30) = 1 1.2 = - 0.2Para x = 50f(50) = 1 0.04 (50) = 1 2 = -1

La razn de cambio instantneo para cuando la pelota alcanza su mxima altura es f(25) = 1 00.4(25) = 1 - 1 = 0

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