Concepto de derivada Operaciones básicas Derivadas de funciones básicas Derivada de un polinomio Derivada de una función elevada a una

potencia Derivada de funciones trigonométricas Derivada del logaritmo y exponencial Derivada del product y el cociente

Concepto de derivada Operaciones básicas Derivadas de funciones básicas Derivada de un polinomio Derivada de una función elevada a una

potencia Derivada de funciones trigonométricas Derivada del logaritmo y exponencial Derivada del product y el cociente

DerivadasLa derivada de una función 𝑓 𝑥 se expresa de varias formas:

o

Por definición la derivada de una función 𝑓 𝑥 es:

Calcular la derivada por esta definición es muy lento y algunas veces muy complejo. Sin embargo, gracias a diversas fórmulas podemos calcular la derivada de funciones de una manera más sencilla.

Concepto de derivada Operaciones básicas Derivadas de funciones básicas Derivada de un polinomio Derivada de una función elevada a una

potencia Derivada de funciones trigonométricas Derivada del logaritmo y exponencial Derivada del product y el cociente

Operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división)

= ±

=

´ ´

=

Concepto de derivada Operaciones básicas Derivadas de funciones básicas Derivada de un polinomio Derivada de una función elevada a una

potencia Derivada de funciones trigonométricas Derivada del logaritmo y exponencial Derivada del product y el cociente

Derivadas de funciones básicas

= 0Si c es una constante (un numero)

Ejemplos

= =

= =

=

Derivadas de funciones básicas

= Ejemplos

=

Derivada de una potencia:

= Ejemplos

=

=

=

=

Derivadas de funciones básicas

Concepto de derivada Operaciones básicas Derivadas de funciones básicas Derivada de un polinomio Derivada de una función elevada a una

potencia Derivada de funciones trigonométricas Derivada del logaritmo y exponencial Derivada del product y el cociente

Derivada de un polinomio

Ejemplos

===

=

𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 ´= 𝑓 𝑥 ´± 𝑔 𝑥 ´

3 2𝑥 ´ 9 12𝑥 4𝑥 ´

9 ´ 12𝑥 ´ 4𝑥 ´

12 8𝑥

´ / ´ 𝑥 𝑥 /

𝑥

/

√

Derivada de un polinomio y una raíz

Concepto de derivada Operaciones básicas Derivadas de funciones básicas Derivada de un polinomio Derivada de una función elevada a una

potencia Derivada de funciones trigonométricas Derivada del logaritmo y exponencial Derivada del product y el cociente

Derivada de un potencia negativa:

4𝑥

´ 4𝑥 ´ 4 6𝑥

24𝑥

4 𝑥 ´

24𝑥

3𝑥

´ 3𝑥 ´

3 𝑥

15𝑥

3𝑥

´ 3

𝑥´ 3𝑥 / ´

15𝑥

𝑥

𝑥 𝑥 /

= Ejemplos

5𝑥 4 ´ 3 5𝑥 4 5 𝑓 𝑥 5𝑥 4 𝑛 3 𝑓 𝑥 ´ 5 15 5𝑥 4

Derivada de una función elevada a una potencia

3𝑥 2𝑥 ´𝑓 𝑥 3𝑥 2𝑥

𝑛 4

𝑓 𝑥 ´ 3 6𝑥 2 4𝑥18𝑥 8𝑥

72𝑥 32𝑥 3𝑥 2𝑥

4 3𝑥 2𝑥 18𝑥 8𝑥

= Ejemplos

𝑥 3 ´ 𝑥 3 / ´

1/2 𝑥 3 2𝑥

Derivada de una función elevada a una potencia

𝑥 𝑥 /

𝑓 𝑥 𝑥 3 𝑛 1/2

𝑓 𝑥 ´ 2𝑥𝑥 𝑥 3

= Ejemplos

´ ´

Derivada de una función elevada a una potencia

𝑥 𝑥 /

𝑓 𝑥 𝑥 3𝑥 𝑛 -1/2

𝑓 𝑥 ´ 2𝑥 36 -1/2 𝑥 3𝑥 2𝑥 3

6 𝑥 3𝑥 ´

3 𝑥 3𝑥 2𝑥 3

3 2𝑥 3 𝑥 3𝑥

𝑥𝑥 𝑥 /

Ejemplos

Derivada de una división utilizando leyes de exponentes

´ 3𝑥

5𝑥𝑥

𝑥𝑥

´

3

𝑥

5𝑥

𝑥

𝑥

𝑥´

3𝑥 5𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 ´

3𝑥 5 𝑥 𝑥 ´

3𝑥 ´ 5 𝑥 ´ 𝑥 ´

3 1/2 𝑥 5 1/2 𝑥 3/2 𝑥

3/2 𝑥 5/2 𝑥 3/2 𝑥

𝑥 ´ 𝑛 𝑥

Ejemplos

Derivada de una raíz cuadrada de un polinomio

𝑓 𝑥 ´

𝑥 𝑥 /

𝑓 𝑥 ´

𝑓 𝑥

𝑥 5 ´ 𝑥 5 ´

2 𝑥 5

2𝑥2 𝑥 5

𝑥𝑥 5

Otra forma de calcular esta derivada

𝑥 5 ´ 𝑥 5 / ´

𝑓 𝑥 ´= 𝑛 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 ´

𝑥 𝑥 5

1/2 𝑥 5 2𝑥Calcular esta derivada

𝑥 5𝑥 4 ´

𝑓 𝑥 𝑥 5

𝑓 𝑥 ´ 2𝑥

𝑥 𝑥 5𝑥 ´

Concepto de derivada Operaciones básicas Derivadas de funciones básicas Derivada de un polinomio Derivada de una función elevada a una

potencia Derivada de funciones trigonométricas Derivada del logaritmo y exponencial Derivada del product y el cociente

Ejemplos

Derivada de raíz cuadrada de funcióntrigonométrica (seno, coseno y tangente)

𝑓 𝑥 ´ 𝑓 𝑥 ´

2 𝑓 𝑥

sen 𝑥 ´ 𝑠𝑒𝑛𝑥 ´

2 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥

2 𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑓 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 ´ 𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥 ´ 𝑐𝑜𝑠𝑥 ´

2 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥

2 𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑓 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 ´ 𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑡𝑎𝑛𝑥 ´ 𝑡𝑎𝑛𝑥 ´

2 𝑡𝑎𝑛𝑥sec 𝑥

𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑓 𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑐 𝑥

Derivada de funciones trigonométricas (seno)

𝑠𝑒𝑛 𝑓 𝑥 ´ cos 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 ´

𝑓 𝑥 6𝑥 10 6𝑥 10 ´ 6

𝑓 𝑥 𝑥 3𝑥 𝑥 3𝑥

4𝑥 6𝑥

Ejemplos

𝑠𝑒𝑛 6𝑥 10 ´ cos 6𝑥 10 6𝑥 10 ´

cos 6𝑥 10 66 cos 6𝑥 10

𝑠𝑒𝑛 𝑥 3𝑥 ´ cos 𝑥 3𝑥 𝑥 3𝑥 ´

cos 𝑥 3𝑥 4𝑥 6𝑥4𝑥 6𝑥 cos 𝑥 3𝑥

𝑠𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 3 ´ cos 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 3 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 3 ´

cos 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 3 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 3 2

2 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 3 cos 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 3

𝑓 𝑥 2𝑥 3

2𝑥 3 ´ 2

Derivada de funciones trigonométricas(coseno)

𝑐𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑛 𝑥 3𝑥 ´ 𝑠𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑥 3𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 3𝑥 ´

𝑠𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑥 3𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 3𝑥 𝑥 3𝑥 ´

𝑠𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑥 3𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 3𝑥 4𝑥 6

4𝑥 6 𝑐𝑜𝑠 𝑥 3𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑥 3𝑥

𝑐𝑜𝑠 𝑓 𝑥 ´ - sen 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 ´

cos 𝑥 2𝑥 ´ 3 cos 𝑥 2𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 2𝑥 ´ cos 𝑥 2𝑥 cos 𝑥 2𝑥𝑓 𝑥 ´= 𝑛 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 ´

3 cos 𝑥 2𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 2𝑥 2𝑥 2

3 2𝑥 2 cos 𝑥 2𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 2𝑥

Concepto de derivada Operaciones básicas Derivadas de funciones básicas Derivada de un polinomio Derivada de una función elevada a una

potencia Derivada de funciones trigonométricas Derivada del logaritmo y exponencial Derivada del producto y el cociente

Derivada de logaritmo natural

𝑙𝑛 𝑓 𝑥 ´´

𝑙𝑛 𝑥 ´´

𝑙𝑛 𝑥 2𝑥 ´´

𝑙𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑥 3𝑥 ´´

𝑠𝑒𝑛 𝑓 𝑥 ´ cos 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 ´

. ´

.

Calcular la derivada de:

𝑐𝑜𝑠 𝑙𝑛 𝑥 3𝑥

Derivada de logaritmo natural con división elevada a exponente

𝑙𝑛𝑥 2𝑥 3 2 𝑙𝑛

𝑥 2𝑥 3 2 𝑙𝑛 𝑥 2 𝑙𝑛 𝑥 3

𝑙𝑛 𝑎 𝑛 𝑙𝑛 𝑎

𝑙𝑛 𝑙𝑛 𝑎 𝑙𝑛 𝑏𝑙𝑛𝑥 2𝑥 3

2 𝑥 2𝑥 2

𝑥 3𝑥 3

2 𝑙𝑛 𝑥 3 𝑙𝑛 𝑥 3

2 2𝑥

𝑥 23𝑥

𝑥 3

4𝑥𝑥 2

6𝑥𝑥 3

Derivada de una exponencial

´ ´

𝑒 ´ 𝑒 𝑥 ´ 𝑒

𝑙𝑛 𝑓 𝑥 ´ ´

´

3𝑥 4 𝑒

𝑒 ´ 𝑒 𝑥 4𝑥 2 ´ 𝑒 3𝑥 4

𝑒 ´ 𝑒 𝑙𝑛 𝑥 10𝑥 ´

𝑒 𝑥 10𝑥

Hay que recordar que:

Concepto de derivada Operaciones básicas Derivadas de funciones básicas Derivada de un polinomio Derivada de una función elevada a una

potencia Derivada de funciones trigonométricas Derivada del logaritmo y exponencial Derivada del producto y el cociente

Derivada de un producto

𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 ´= 𝑓 𝑥 ´. 𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 ´

𝑦 𝑥 4 2𝑥 1

𝑓 𝑥 ´ 2 𝑥 4 2𝑥4𝑥 𝑥 4

𝑔 𝑥 ´ 3 2𝑥 1 6𝑥18𝑥 2𝑥 1

𝑓 𝑥 𝑥 4𝑔 𝑥 2𝑥 1

𝑦 ´ 4𝑥 𝑥 4 2𝑥 1 𝑥 4 18𝑥 2𝑥 1

𝑦 ´ 4𝑥 𝑥 4 2𝑥 1 18𝑥 2𝑥 1 𝑥 4

Derivada de un cociente

𝑦 𝑒

𝑙𝑛 5𝑥 3

𝑓 𝑥 ´ 𝑒 2𝑥 2𝑥 𝑒

𝑔 𝑥 ´ 5𝑥 35𝑥 3

55𝑥 3

𝑓 𝑥 𝑒𝑔 𝑥 𝑙𝑛 5𝑥 3

´ ´. ´.

𝑦2𝑥 𝑒 𝑙𝑛 5𝑥 3 5

5𝑥 3 𝑒

𝑙𝑛 5𝑥 3

𝑦 ´2𝑥 5𝑥 3 𝑒 𝑙𝑛 5𝑥 3 5 𝑒

5𝑥 3𝑙𝑛 5𝑥 3

𝑦 ´ 2𝑥 5𝑥 3 𝑒 𝑙𝑛 5𝑥 3 5 𝑒5𝑥 3 𝑙𝑛 5𝑥 3

𝑦 𝑓 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑙𝑛 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥𝑓 𝑥𝑓 𝑥

𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑓 𝑥 cos 𝑥

𝑔 𝑥 𝑙𝑛𝑥

𝑓 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑔 𝑥1𝑥

𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑥1𝑥 𝑙𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑙𝑛𝑥

𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑥1𝑥 𝑙𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑙𝑛𝑥

𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥

1𝑥 𝑙𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑙𝑛𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑥

Derivada de una función elevada a otra función

Deducción de la formula𝑦 𝑓 𝑥 ln 𝑦 𝑔 𝑥 𝑙𝑛 𝑓 𝑥

𝑦𝑦 𝑔 𝑥 ln 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥

𝑓 𝑥𝑓 𝑥

𝑦 𝑦 𝑔 𝑥 𝑙𝑛 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥𝑓 𝑥𝑓 𝑥

𝑦 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑙𝑛 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥𝑓 𝑥𝑓 𝑥

Tabla de derivadas