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Semana 14-Derivadas I[1/75]

Derivada

9 de junio de 2007

Derivada

Derivadas Semana 14-Derivadas I[2/75]

IntroducciónIntroducción

Q

P

f

Consideremos el gráfico de una función f con dominio R. Sea P = (x0, y0) un punto del gráfico de f y seaQ = (x1, y1) un punto móvil por el gráfico de f .La ecuación de la secante que pasa por P y Q es:

y − y0 =f (x1)− f (x0)

x1 − x0(x − x0).

Si consideramos el caso límite cuando x1 → x0, la recta se trasforma en la recta tangente que pasa por P, y suecuación es:

y − y0 =

[lim

x1→x0

f (x1)− f (x0)

x1 − x0

](x − x0)

El término entre paréntesis cuadrados se denomina derivada de la función f en x0 y representa a la pendientede la recta tangente a la curva y = f (x) en x0.

Derivada


Función Diferenciable en x0

ObservaciónPara poder estudiar la existencia del límite ya mencionado, es necesario que x0 ∈ Domf y que f esté definidaen torno a x0.Para evitar complicaciones, sólo estudiaremos la derivada de funciones en puntos x0 que esténcompletamente incluidos en el dominio de f y que satisfagan la relación

∃δ > 0, tal que (x0 − δ, x0 + δ) ⊆ Dom(f ).

Los puntos que satisfacen esta propiedad se llamarán puntos interiores al domino de f y los anotaremosdiciendo que x0 ∈ IntDom(f ).

DefiniciónSea f : A ⊆ R → R, diremos que f es derivable o diferenciable en x0 ∈ IntA si y sólo si el límite lim

h→0

f (x0+h)−f (x0)h

existe.En tal caso, el valor del límite se denominará derivada de f en x0 y se denotará por f ′(x0).

Derivada


Ejemplos

1 f (x) =√

x en x0 = 4

f ′(4) = limh→0

f (4 + h)− f (4)

h= lim

h→0

√4 + h − 2

h· [√

4 + h +√

4]

[√

4 + h +√

4]= lim

h→0

hh[√

4 + h +√

4]=

14

2 f (x) = 3√

x en x0 = 0

f ′(0) = limh→0

3√

h − 0h

= limh→0

13√

h2=6 ∃

3 f (x) = |x |i) x0 > 0 ⇒ f ′(x0) = lim

h→0

|x0+h|−|x0|h = 1

ii) x0 < 0 ⇒ f ′(x0) = limh→0

|x0+h|−|x0|h = −1

iii) x0 = 0 ⇒ f ′(0) = limh→0

|h|h =

{1 si h → 0+

−1 si h → 0−=6 ∃.

Derivada


Función Derivada

Función derivadaSea f una función, entonces la función tal que: x → f ′(x) se llama función derivada de f y se denota por f ′.

Observaciones1 Si y = f (x) entonces f ′ suele denotarse también como

f ′(x), y ′, dydx (de y a de x) o df (x)

dxLas dos últimas notaciones se llaman notación de Leibnitz.

2 El dominio de f y f ′ no necesariamente coiciden, por ejemplo:Si f (x) = |x | entonces Domf = R y Domf ′ = R \ {0}.En general se cumple Domf ′ ⊆ Domf .

3 Si una función es derivable en el punto x0 entonces el límite limx→x0 f (x) existe y vale f (x0).En efecto, basta observar que

f (x) =f (x)− f (x0)

x − x0· (x − x0) + f (x0), ∀x 6= x0.

Derivada


Función Derivada







f (x) =f (x)− f (x0)

x − x0· (x − x0) + f (x0), ∀x 6= x0.

Derivada


Cálculo de algunas derivadas

1. f (x) = c =cte.⇒ f ′(x) = 0.

2. f (x) = xn con n ∈ N.

f ′(x) = limh→0

(x + h)n − xn

h.

Pero por el Binomio de Newton tenemos que (x + h)n =n∑

k=0(n

k )xn−khk , por lo tanto

f ′(x) = limh→0

(x + h)n − xn

h

= limh→0

n∑k=1

(nk

)xn−khk−1

= limh→0

{nxn−1 +

n∑k=2

(nk

)xn−khk−1

}= nxn−1.

Luegof ′(x) = (xn)′ = nxn−1.

Derivada



1. f (x) = c =cte.⇒ f ′(x) = 0.

2. f (x) = xn con n ∈ N.

f ′(x) = limh→0

(x + h)n − xn

h.

Pero por el Binomio de Newton tenemos que (x + h)n =n∑

k=0(n

k )xn−khk , por lo tanto

f ′(x) = limh→0

(x + h)n − xn

h

= limh→0

n∑k=1

(nk

)xn−khk−1

= limh→0

{nxn−1 +

n∑k=2

(nk

)xn−khk−1

}= nxn−1.

Luegof ′(x) = (xn)′ = nxn−1.

Derivada



3. f (x) = x−n con n ∈ N

f ′(x) = limh→0

(x + h)−n − x−n

h

= limh→0

1h

{1

(x + h)n −1xn

}= lim

h→0

1h

{xn − (x + h)n

(x + h)nxn

}= − lim

h→0

(x + h)n − xn

h· 1(x + h)nxn

= −nxn−1 1x2n

= −nx−n−1.

Luegof ′(x) = (x−n)′ = −nx−n−1.

Derivada



4. f (x) = n√

x con n ∈ N

f ′(x) = limh→0

n√

x + h − n√

xh

.

Sean a = n√

x , k = n√

x + h − a entonces h = (a + k)n − an.Con esto:

f ′(x) = limh→0

n√

x + .h − n√

xh

= limk→0

k(a + k)n − an

=1

g′(a), donde g(x) = xn

=1

nan−1

=1n

a1−n.

Derivada



Reemplazando el valor de a en la expresión anterior, obtenemos

f ′(x) =1n

( n√

x)(1−n)

=1n

x1n−1.

Luego:

f ′(x) = ( n√

x)′ =1n

( n√

x)(1−n).

Si x > 0 también puede escribirse

(x1n )′ =

1n

x1n−1.

Derivada



5. f (x) = ln x

f ′(x) = limh→0

ln(x + h)− ln(x)

h

= limh→0

ln(1 + hx )

h

= limh→0

ln(1 + hx )

hx

1x

=1x

.

Luego

(ln x)′ =1x

.

6. f (x) = exp x = ex

f ′(x) = limh→0

ex+h − ex

h

= limh→0

ex{

eh − 1h

}= ex .

Luegof ′(x) = (ex)′ = ex .

Derivada



7. f (x) = xα donde α ∈ R

f ′(x) = limh→0

(x + h)α − xα

h

= limh→0

xα

{(1 + h

x )α − 1h

}

= xα limh→0

exp(α ln(1 + hx ))− 1

h

= xα limh→0

{exp(α ln(1 + h

x ))− 1α ln(1 + h

x )

}{ln(1 + h

x )hx

}α

x

Pero conocemos los siguientes límites: limx→0

ex − 1x

= 1 y limx→0

ln(1 + x)

x= 1 . Con esto obtendremos:

f ′(x) = xα(α

x)

= αxα−1.

Luego

f ′(x) = (xα)′ = αxα−1.

Derivada



8. f (x) = sin x

f ′(x) = limh→0

sin(x + h)− sin xh

= limh→0

[sin x cos h + cos x sin h − sin x

h]

= limh→0

[sin x(cos h − 1)

h+ cos x

sin hh

]

= cos x

Luegof ′(x) = (sin x)′ = cos x

9. (cos x)′ = − sin xQueda como ejercicio.

Derivada


Álgebra de derivadas

Álgebra de derivadasSi f y g son diferenciables en x0 y α ∈ R, entonces, f ± g, αf , fg y f/g con g(x0) 6= 0 son tambiéndiferenciables y además:

i) (f ± g)′ = f ′ ± g′

ii) (αf )′ = αf ′

iii) (fg)′ = f ′g + fg′

iv) (f/g)′ = f ′g−fg′

g2

Demostración

i)

(f ± g)′(x) = limh→0

(f ± g)(x + h)− (f ± g)(x)

h

= limh→0

f (x + h)− f (x)

h± lim

h→0

g(x + h)− g(x)

h= f ′(x)± g′(x)

= (f ′ ± g′)(x).

Derivada




i) (f ± g)′ = f ′ ± g′

ii) (αf )′ = αf ′

iii) (fg)′ = f ′g + fg′

iv) (f/g)′ = f ′g−fg′

g2

Demostración

i)

(f ± g)′(x) = limh→0

(f ± g)(x + h)− (f ± g)(x)

h

= limh→0

f (x + h)− f (x)

h± lim

h→0

g(x + h)− g(x)

h= f ′(x)± g′(x)

= (f ′ ± g′)(x).

Derivada



ii)

(αf )′(x) = limh→0

(αf )(x + h)− (αf )(x)

h

= limh→0

αf (x + h)− αf (x)

h

= limh→0

αf (x + h)− f (x)

h= αf ′(x)

= (αf ′)(x).

iii)

(fg)′ = limh→0

(fg)(x + h)− (fg)(x)

h

= limh→0

f (x + h)g(x + h)− f (x)g(x).

h

Sumando y restando f (x)g(x + h) en el numerador obtenemos:

(fg)′ = limh→0

f (x + h)g(x + h)− f (x)g(x + h) + f (x)g(x + h)− f (x)g(x)

h

= limh→0

[f (x + h)− f (x)]

h· g(x + h) +

[g(x + h)− g(x)]

h· f (x).

Si separamos en dos límites obtendremos el resultado final

(fg)′ = f ′g + fg′.

Derivada



iv) Se dejará como ejercicio.

Corolario (1f

)′

= − f ′

f 2 .

Ejemplos1 d

dx (tan x) = sec2 x

2 ddx (sec x) = sec x tan x

3 ddx (cot x) = − csc2 x

4 ddx (csc x) = − csc x cot x

Derivada




Corolario (1f

)′

= − f ′

f 2 .

Ejemplos1 d

dx (tan x) = sec2 x




Derivada


Aproximación de primer orden de funciones

TeoremaSea f : A ⊆ R → R y sea x0 ∈ Int(A). La función f es diferenciable en x0 si y sólo si existe una constante realm y una función E : [−δ, 0) ∪ (0, δ] → R con δ > 0 y lim

h→0E(h) = 0 tales que:

f (x0 + h) = f (x0) + mh + hE(h) ∀h ∈ [−δ, 0) ∪ (0, δ].

Demostración.Como h 6= 0 se tiene que la expresión del Lema es equivalente a

f (x0 + h)− f (x0)

h= m + E(h) ∀h ∈ [−δ, 0) ∪ (0, δ].

Si esta expresión es cierta entonces claramente la función es derivable en x0 ya que

limh→0

f (x0 + h)− f (x0)

h= m + lim

h→0E(h) = m.

Además se concluye que f ′(x0) = m.Si recíprocamente, f es diferenciable en x0 entonces definimos m = f ′(x0) y

E(h) =f (x0 + h)− f (x0)

h−m ∀h ∈ [−δ, 0) ∪ (0, δ],

y con esto la fórmula es cierta y además limh→0

E(h) = 0.

Obs: La función x → f (x0) + f ′(x0)(x − x0) se llama aproximación de primer orden de f y representagráficamente la recta tangente a la curva y = f (x) en el punto de abscisa x0.

Derivada


Derivada de una composición de funciones

TeoremaSea f diferenciable en x0 y sea g diferenciable en y0 = f (x0), entonces gof es diferenciable en x0 y además secumple que:

(gof )′(x0) = g′(f (x0)) · f ′(x0).

Demostración.Usamos la aproximación de primer orden de g en torno al punto y0 = f (x0), de este modo, para y = f (x) setiene que

g(f (x)) = g(y0) + g′(y0) (y − y0) + (y − y0) E (y − y0)

Por lo tanto

g(f (x))− g(y0)

x − x0= g′(y0)

(y − y0

x − x0

)+

(y − y0

x − x0

)E (y − y0)

Si x → x0 se tiene que y → y0 y y−y0x−x0

→ f ′(x0) por lo tanto se obtiene que

limx→x0

g(f (x))− g(y0)

x − x0= g′(y0)f ′(x0) + f ′(x0) · 0,

de donde se obtiene el resultado buscado.

Derivada


Ejemplos

Ejemplos1 d

dx (x2 − 1)2 = 2(x2 − 1) · 2x .

2 ddx

3√

x2 +√

1 + cos2 x = 13(x2 +

√1 + cos2 x)−

23 ·

{2x + 1

2√

1+cos2 x· 2 cos x · (− sin x)

}.

3 ddx xα = αxα−1.

4 ddx ax = ax ln a.

5 ddx xx = xx [ln x + 1].

6 ddx u(x)v(x) = u(x)v(x)[v ′(x) ln u(x) + v(x)u′(x)u(x).

Derivada


Funciones hiperbólicasA partir de la función exponencial, se definen las funciones hiperbólicas mediante las reglas

senh(x) =ex − e−x

2, cosh(x) =

ex + e−x

2, tanh(x) =

senh(x)

cosh(x), etc.

1) Derivada de seno hiperbólico:

ddx

senh(x) =

(ex − e−x

2

)=

ex − (e−x)′

2.

Pero, usando la regla de la derivada de una composición se tiene que(e−x)′ = e−x · (−x)′ = −e−x ,

por lo tanto

ddx

senh(x) =ex + e−x

2= cosh(x).

2) Derivada de coseno hiperbólico:

ddx

cosh(x) =

(ex + e−x

2

)′

=ex + (e−x)′

2=

ex − e−x

2= senh(x).

Derivada


Funciones hiperbólicas (II)

3) Derivada de la tangente hiperbólica:

ddx

tanh(x) =

(senh(x)

cosh(x)

)′

=cosh2(x)− senh2(x)

cosh2(x).

4) Algunas propiedades algebraicas:De la definición se obtiene directamente que senh(x) es una función impar y que cosh(x) es una función par.De hecho, corresponden a la descomposición de la función exponencial en una parte par y una impar.Además se tiene que

cosh(x) + senh(x) =ex + e−x

2+

ex − e−x

2= ex

cosh(x)− senh(x) =ex + e−x

2− ex − e−x

2= e−x .

por lo tanto, multiplicando se tiene que

cosh2(x)− senh2(x) = ex · e−x = 1.

Esto constituye la identidad fundamental de las funciones hiperbólicas.Con esta propiedad se tiene que

ddx

tanh(x) =1

cosh2(x)= sech2(x)

Derivada


Funciones hiperbólicas (II)

5) Derivada de la cotangente hiperbólica:

ddx

coth(x) =

(cosh(x)

senh(x)

)′

=senh2(x)− cosh2(x)

cosh2(x)= −cosech2(x).

6) Otras derivadas son: (sech(x))′ = −sech(x) tanh(x) y (cosech(x))′ = −cosech(x)coth(x).

Derivada


Observación

En aplicaciones físicas o de otro tipo, comúnmente las variables tienen significado, como tiempo, masa,volumen, densidad, etc.En estos casos suele tenerse lo siguiente:Sean x , u, v tres variables físicas que se encuentran relacionadas del siguiente modo:u = f (x) y v = g(u) = gof (x).

En estos casos el teorema de la derivada de una composición suele escribirse así:dvdx = (gof )′(x) = g′(f (x)) · f ′(x) = dv

du ·dudx .

Es decirdvdx

=dvdu

· dudx

.

Por esta razón el teorema de la derivada de una composición suele llamarse Regla de la Cadena.

Derivada


Observación



du ·dudx .

Es decirdvdx

=dvdu

· dudx

.


Derivada


Derivada de la función inversa

ProposiciónSea f : [a, b] → [c, d ] una función monótona y biyectiva. Si f es diferenciable en x0 ∈ (a, b) y f ′(x0) 6= 0entonces f−1 es diferenciable en y0 = f (x0) y además

(f−1)′(y0) =1

f ′(x0)=

1f ′(f−1(y0))

.

Observacióny = f (x) ⇐⇒ x = f−1(y) luego usando la notación de Leibnitz podemos escribir lo siguiente:

(dxdy

) =1

(dydx )

o bien (dydx

) =1

(dxdy )

.

Ejemplos

1 (arcsin x)′ = 1√1−x2

2 (arc cos x)′ = − 1√1−x2

3 (arctan x)′ = 11+x2

Derivada




(f−1)′(y0) =1

f ′(x0)=

1f ′(f−1(y0))

.


(dxdy

) =1

(dydx )

o bien (dydx

) =1

(dxdy )

.

Ejemplos

1 (arcsin x)′ = 1√1−x2

2 (arc cos x)′ = − 1√1−x2

3 (arctan x)′ = 11+x2

Derivada


Derivación de funciones implícitasExisten relaciones del tipo F (x , y) = 0, las cuales definen alguna función y = f (x) en torno de algún puntoP = (x0, y0), en las cuales no es posible despejar algebraicamente la variable dependiente y para obtener unaforma explícita de la función f . En este caso se dice que la relación F (x , y) = 0 define a la función y = f (x) enforma implícita en torno del punto P = (x0, y0).

Ejemplos1 x2 + y2 = R2

2 x3 + 3xy2 + 2y3 = 13 x3y3 + 3 sin y + cos xy2 = 1

4 x2

a2 + y2

b2 = 1

Para derivar estas funciones basta con recordar que y = f (x) y derivar las expresiones usando la regla paraderivar composiciones.Así por ejemplo en el caso (3) se obtiene que:

x3y3 + 3 sin y + cos xy2 = 1/ddx

3x2y3 + x3 · 3y2y ′ + 3 cos y · y ′ − sin xy2 · (y2 + 2xyy ′) = 0,

de donde:

y ′ =dydx

=y2 sin xy2 − 3x2y3

3x3y2 + 3 cos y − 2xy sin(xy2).

En estos casos, debe darse el punto completo para evaluar el valor de la derivada, es decir, debe conocerse(x0, y0).

Derivada





4 x2

a2 + y2

b2 = 1




de donde:

y ′ =dydx




Derivada


Derivación logarítmica

Operador logarítmicoEl operador L asigna a cada función diferenciable, y no nula f , la función f ′/f , es decir, es un operador tal que:f → L(f ) = (ln |f |)′ = f ′

fL se denomina operador logarítmico.

Propiedades1 L(f ) = f ′/f ⇐⇒ f ′ = f · L(f ) (por definición)

2 L(f · g) = (fg)′

fg = Lf + Lg

3 L(f/g) = Lf − Lg4 L(f α) = αL(f )

Ejemplos

1 L(x) = L(id(x)) = 1id(x)

= 1x

2 L(sin x) = cos xsin x = cot x

3 L(xm) = mxm−1

xm = mx

Derivada






2 L(f · g) = (fg)′

fg = Lf + Lg

3 L(f/g) = Lf − Lg4 L(f α) = αL(f )

Ejemplos

1 L(x) = L(id(x)) = 1id(x)

= 1x


3 L(xm) = mxm−1

xm = mx

Derivada


Ejercicios

1 Calcular f ′ para f (x) =(x2+1)3/2 sin3

√x2+4

(x4+1)7 cos6(x+2)

Tomando L se tiene:

L(f (x)) = L{

(x2+1)3/2 sin3√

x2+4(x4+1)7 cos6(x+2)

}= L(x2 + 1)3/2 + L sin3√x2 + 4− L(x4 + 1)7 − L cos6(x + 2)

= 32L(x2 + 1) + 3L sin

√x2 + 4− 7L(x4 + 1)− 6L cos(x + 2)

= 32

2xx2+1 + 3

cos√

x2+4· x√x2+4

sin√

x2+4− 7 4x3

x4+1 − 6− sin(x+2)cos(x+2)

= 3xx2+1 +

3x cot√

x2+4√x2+4

− 28x3

x4+1 + 6 tan(x + 2).

Con esto f ′(x) = f (x)L(f (x)).

1 f (x) = (sin x)3/2(cos x)1/5

4√

x2−2(propuesto)

Derivada


Aplicaciones de la derivada

La primera aplicación de la derivada es la proveniente de la definición, es decir, obtener rectas tangentes acurvas definidas por la regla y = f (x). De este modo, si f es diferenciable en el punto x0 la pendiente de larecta tangente es f ′(x0) y así:

LT : y = f (x0) + f ′(x0)(x − x0)

es la ecuación de la recta tangente.

Además, si f ′(x0) 6= 0, la ecuación de la recta normal es

LN : y = f (x0)−1

f ′(x0)(x − x0)

Derivada


Aplicación física

Consideremos una partícula P que se mueve sobre una curva C. Si llamamos s(t) a la función que define ladistancia del punto P a un punto fijo O de la curva, a lo largo de la curva, en función del tiempo, se tiene queentre dos instantes sucesivos t1 y t2 la partícula habrá recorrido una distancia neta dada por

s(t2)− s(t1).

Si se divide esta distancia por el tiempo empleado por la partícula para moverse (t2 − t1) se habrá calculado lavelocidad media de la partícula entre estos dos instantes. Es decir,

vm(t1, t2) =s(t2)− s(t1)

t2 − t1.

Si la función s fuera diferenciable en el instante t1, en la expresión anterior se puede calcular el límite cuandot2 → t1 obteniéndose así, la velocidad instantánea de la partícula en ese instante. Es decir

v(t1) = limt2→t1

s(t2)− s(t1)t2 − t1

= s′(t1).

De este modo se puede dar una nueva interpretación a la derivada de una función, diciendo que representa lavelocidad instantánea de una partícula.

En estricto rigor, en nuestro cálculo hemos obtenido lo que los físicos llaman la rapidez instantánea, ya que enfísica se reserva la palabra velocidad para la derivada del vector posición de una partícula y resulta ser unvector (más detalles al respecto corresponden al curso de física correspondiente).

Derivada


Aplicación física


s(t2)− s(t1).


vm(t1, t2) =s(t2)− s(t1)

t2 − t1.


v(t1) = limt2→t1

s(t2)− s(t1)t2 − t1

= s′(t1).



Derivada


Aplicación física

Si la función v(t) fuese conocida para todo t , podríamos repetir nuestro razonamiento diciendo que entre dosinstantes sucesivos t1y t2 la diferencia de velocidad dividida por el tiempo transcurrido es la aceleración mediade la partícula. Es decir

am(t1, t2) =v(t2)− v(t1)

t2 − t1.

Así, tomando el límite cuando t2 → t1, si la función v es derivable, se obtiene la aceleración instantánea de lapartícula. Es decir

a(t1) = limt2→t1

v(t2)− v(t1)t2 − t1

= v ′(t1).

De este modo, tenemos otra interpretación de la derivada.En estricto rigor, como sólo hemos derivado la rapidez, hemos obtenido la aceleración tangencial de lapartícula. En el curso de Física se verá que al derivar el vector velocidad, aparece una aceleración normal quees igual a v2

ρ, donde ρ es el radio de curvatura de la trayectoria. Por ejemplo, en un movimiento circular esta

aceleración es la llamada centrípeta.

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