Post on 06-Jul-2015
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IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Prof. Saúl QUISPE CHINO
Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo.
Galileo Galilei
DEFINICIÓN:
Las identidades trigonométricas son las relaciones de igualdad entre las funciones trigonométricas que se cerifican para todo valor de la variable angular, siempre y cuando, la función trigonométrica esté definida en dicho valor angular.
Demostración de una identidad:
Teniendo que Tgx + Ctg x = Sec x . Cosec xComprobamos que:
Si x = 45º Tg 45º + ctg 45º = sec 45º . Cosec 45º
1 + 1 = √2 . √2
RECÍPROCAS:
Sen x = 1 Cosec x = 1 .
Cosec x Sen x
Cos x = 1 . Sec x = 1 .
Sec x Cos x
Tg x = 1 . Ctg x = 1 .
Ctg x Tg x
sen x tan x = -------- csc x
cos xctg x = -------
sen x
cos x sen x = -------- ctg x
sen x cos x = ------ tan x
POR COCIENTE:
Pitagóricas
• sen² x + cos² x = 1
sec² x - tan² x = 1
csc² x - ctg² x = 1
Demostración:1. Demostrar que:Cosec x – Cotg x . Cos x = Sen X
Solución:Expresando el primer miembro de la identidad en función de seno y coseno tenemos:
1 . – Cos x . Cos x = Sen xSen x Sen x
1 . – Cos² x = Sen xSen x Sen x
1 – Cos ² x = Sen x Sen xPero 1- Cos² x = Sen ² x ; Luego Sen² x = Sen x Sen x
L.q.q.d Sen x = Sen x
Simplificación• Se buscará una expresión reducida de la planteada con ayuda de las
identidades fundamentales y/o auxiliares con transformaciones algebraicas.
Cos x (Tg x + 1) = Sen x + Cos x Cos x . Sen x + 1 Cos x Cos x . Sen x + Cos x Cos x
Sen x + Cos x = Sen x + Cos x
Tipo Condicional• Si la condición es complicada debemos simplificarlo y así a una
expresión que puede ser la perdida o que nos permita hallar fácilmente la que nos piden. Si la condición es simple inmediatamente se procede a encontrar la expresión perdida.
Si Tg x + Ctg x = 4 ¿Tg² x + Ctg² x ?
Solución:(Tg x + Ctg x) ² = (4) ²
Tg² x + 2Tg x . Ctg x + Ctg² x = 16
Tg² x + Ctg² x = 16 – 2
Tg² x + Ctg² x = 14
Eliminación Angular• Estos ejercicios consisten en que a partir de ciertas
relaciones trigonométricas debemos encontrar relaciones algebraicas en donde no aparezca el ángulo.
ß de:x = 4 Senß y = 5 Cosß x = 4Cosß x/4 = Senß x²/16 = Sen²ßy= 5Cosß y/5 = Cscß y²/25 = Cos²ß
X²/16 + y²/25 = Sen²ß + Cos²ß
X²/16 + y²/25 = 1