Conocer y aplicar el método de integración u y du.

Analizar el concepto de suma de Rieman como base de

la integración definida.

Analizar el concepto de integral definida.

Una vez analizado el termino integración como

operación inversa de la derivación y tenido en

cuenta las reglas de integración correspondiente

toca pasar a un segundo plano que consiste en el

análisis de la integral definida y su aplicación

directa en la ingeniería.

ANTES …

Método de integración indefinida

𝒖 - 𝒅𝒖.

MÉTODO 𝒖 − 𝒅𝒖

Ejemplo: Uso del método 𝒖 − 𝒅𝒖

Ejemplo: Uso del método 𝒖 − 𝒅𝒖

1. Se realiza la selección de 𝒖.

2. Se deriva 𝒖 en función de la

variable independiente para obtener

𝐝𝒖.

Ejemplo: Uso del método 𝒖 − 𝒅𝒖

INTEGRAL DEFINIDA

Dos problemas, ambos de geometría, motivan

las dos ideas más importantes en cálculo.

El problema de encontrar la

recta tangente nos llevó a la

derivada.

El problema de encontrar el área

nos conducirá a la integral

definida.

Para polígonos (regiones planas cerradas acotadas por segmentos de

recta), el problema de encontrar el área apenas es un problema.

Comenzamos con la definición del área de un rectángulo como la

conocida fórmula de largo por ancho y, a partir de esto, de manera

sucesiva deducimos las fórmulas para el área de un paralelogramo,

un triángulo y cualquier polígono.

INTRODUCCIÓN AL ÁREA

Incluso, en esta sencilla configuración es claro que el área

debe satisfacer cinco propiedades.

1. El área de una región plana es un número (real) no negativo.

2. El área de un rectángulo es el producto de su largo por ancho (ambos

medidos en las mismas unidades). El resultado está en unidades cuadradas;

por ejemplo, pies cuadrados o centímetros cuadrados.

3. Regiones congruentes tienen áreas iguales.

4. El área de la unión de dos regiones que se traslapan sólo en un segmento de

recta es la suma de las áreas de las dos regiones.

5. Si una región está contenida en una segunda región, entonces el área de la

primera es menor o igual que el de la segunda.

¿CÓMO CALCULAR EL ÁREA SI LA

FUNCIÓN ES DESCONOCIDA?George Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) quien nos dio la

definición moderna. La primera noción es la de una suma de Riemann.

SUMA DE RIEMANN

La siguiente función está definida

en el intervalo abierto 𝑎, 𝑏(no es necesaria su continuidad).

Se divide el intervalo 𝑎, 𝑏 en

sub intervalos.

SUMA DE RIEMANNSuma de Riemann para f correspondiente a la partición P

EJEMPLO

EJEMPLO

¿QUÉ SUCEDE SI EL ÁREA ESTÁ

POR DEBAJO DEL EJE X?

EJEMPLO

EJEMPLO