CÓNICAS

Prof. Carlos A. Blanco

Eje

SECCIONES CÓNICAS (I)

• Se define un cono

como una superficie de

revolución que se

obtiene al girar una

recta llamada

generatriz alrededor

de una recta secante a

ella llamada eje.

• El punto de corte de

ambas rectas es el

vértice del cono.

Generatriz

Vértice

SECCIONES CÓNICAS (II)Al intersecar un cono con un plano que no pase por el vértice, se

obtienen las diferentes cónicas no degeneradas. Llamamos al

ángulo que forma la generatriz con el eje. Entonces, si es el

ángulo que forma el plano con el eje, se tiene que:

1. Si el plano es perpendicular al eje

𝛽 = 90° se obtiene una

circunferencia.

2. Si 𝛼 < 𝛽 < 90° se obtiene una

elipse.

3. Si el plano es paralelo a la

generatriz 𝛽 = 𝛼 se obtiene una

parábola.

4. Si 𝛽 < 𝛼 se obtiene una hipérbola.

Circunferencia

Elipse

Parábola

Hipérbola

Imagen realizada a partir de otra tomada de es.wikipedia.org/wiki/Sección_cónica

SECCIONES CÓNICAS (III)Un experimento que se puede realizar es apuntar con una

linterna a una pared en algo de oscuridad. La forma que

adoptará la luz de la linterna contra la pared, según la

inclinación que tenga la linterna, irá formando las distintas

secciones cónicas.

CIRCUNFERENCIA

• Una circunferencia es el

lugar geométrico de los

puntos que equidistan de

un punto fijo llamado

centro.

• La distancia de cada punto

al centro se llama radio.

radio

Centro

,

,

𝑑 𝑂, 𝑃 = 𝑟 ⇔ 𝐶𝑃 = 𝑟 ⟺

⟺ 𝑥 − 𝑥02 + 𝑦 − 𝑦0

2 = 𝑟 ⟺ 𝑥 − 𝑥02 + 𝑦 − 𝑦0

2 = 𝑟2 ⟺⟺ 𝑥2 − 2𝑥0𝑥 + 𝑥0

2 + 𝑦2 − 2𝑦0𝑦 + 𝑦02 − 𝑟2 = 0

Si hacemos 𝐷 = −2𝑥0, 𝐸 = −2𝑦0 y 𝐹 = 𝑥02 + 𝑦0

2 − 𝑟2; se tiene

entonces:

CIRCUNFERENCIA ECUACIÓN• Para obtener la ecuación de la circunferencia, suponemos

que el centro tiene coordenadas 𝑂 = 𝑥0, 𝑦0 y que el radio

es 𝑟.

• Entonces si 𝑃 = 𝑥, 𝑦 es un punto de la circunferencia, se

tiene que

𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0

CIRCUNFERENCIAObtener la ecuación de la circunferencia de centro O = (4,1)

y de radio r = 2

Obtener el centro y el radio de 𝑥 − 3 2 + 𝑦 + 2 2 = 16

El centro es 𝑂 = 3,−2

𝑟 = 16 = 4

𝑥 − 4 2 + 𝑦 − 1 2 = 22 ⟺⟺ 𝑥2 − 8𝑥 + 16 + 𝑦2 − 2𝑦 + 1 − 4 = 0 ⟺

⟺ 𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑥 − 2𝑦 + 13 = 0

CIRCUNFERENCIA

Aplicamos las fórmulas de 𝐷, 𝐸 y 𝐹.

Obtener el centro y el radio de 𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑥 − 6𝑦 − 3 = 0

Obtener el centro y el radio de 𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑥 − 6𝑦 − 3 = 0

Completando cuadrados, tenemos que:

𝐷 = 4 = −2𝑥0 ⇒ 𝑥0 = −2𝐸 = −6 = −2𝑦0 ⇒ 𝑦0 = 3

⇒ 𝑂 = −2,3

𝐹 = 𝑥02 + 𝑦0

2 − 𝑟2 = −3 ⇒ 4 + 9 − 𝑟2 = −3 ⟹⟹ 𝑟2 = 3 + 4 + 9 ⟹ 𝑟2 = 16 ⟹ 𝑟 = 4

𝑥2 + 4𝑥 = 𝑥2 + 4𝑥 + 4 − 4 = 𝑥 + 2 2 − 4

𝑦2 − 6𝑦 = 𝑦2 − 6𝑦 + 9 − 9 = 𝑦 − 3 2 − 9⟹

𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑥 − 6𝑦 − 3 = 0 ⟺⟺ 𝑥 + 2 2 − 4 + 𝑦 − 3 2 − 9 − 3 = 0 ⟺

⟺ 𝑥 + 2 2 + 𝑦 − 3 2 = 16 ⟹ 𝑂 = −2,3 y 𝑟 = 4

POSICIONES RELATIVAS• En las siguientes diapositivas vamos a estudiar las posiciones

relativas de:

• Calculamos centro

y radio de la

circunferencia

• Calculamos la

distancia del

punto al centro

• Comparamos la

distancia con el

radio

• Calculamos centro

y radio de la

circunferencia

• Calculamos la

distancia de la

recta al centro

• Comparamos la

distancia con el

radio

• Calculamos centro

y radio de las dos

circunferencias

• Calculamos la

distancia entre

ambos centros

• Comparamos la

distancia con la

suma y diferencia

de los radios

Punto y

circunferencia

Recta y

circunferenciaDos circunferencias

• Calculamos el centro O y el radio r de la circunferencia C y la

distancia del punto al centro, que llamamos d.

• Si d > r, entonces P es exterior a C.

• Si d = r, entonces P pertenece a C.

• Si d < r, entonces P es interior a C.

POSICIONES RELATIVAS: PUNTO Y CIRCUNFERENCIA

d

r

PO

C

d

r

P

O

C

d

r

P

O

C

POSICIONES RELATIVAS: PUNTO Y CIRCUNFERENCIA

El centro y el radio de la circunferencia son:

Puesto que d > r, se tiene que P es exterior a C.

d

r

P

O

C

Halla la posición relativa de 𝑃 = 3,4y de 𝐶 ≡ 𝑥2 + 𝑦 + 1 2 = 4

𝑂 = 0,−1 y 𝑟 = 2

𝑑 = 𝑑 𝑂, 𝑃 = 3 − 0 2 + 4 − −12= 9 + 25 = 34

• Calculamos el centro O y el radio r de la circunferencia C y la

distancia de la recta al centro, que llamamos d.

• Si d > r, entonces s es exterior a C.

• Si d = r, entonces s es tangente a C.

• Si d < r, entonces s es secante a C.

POSICIONES RELATIVAS:RECTA Y CIRCUNFERENCIA

d

r

s

O

C

d

rsO

C

d

r

sO

C

𝑂 = 0,−1 y 𝑟 = 2

POSICIONES RELATIVAS:RECTA Y CIRCUNFERENCIA

Halla la posición relativa de 𝑠 ≡ 𝑥 + 2𝑦 = 1y de 𝐶 ≡ 𝑥2 + 𝑦 + 1 2 = 4

El centro y el radio de la circunferencia son:

Puesto que d < r, se tiene que s es secante a C.

d

r

sO

C

𝑑 = 𝑑 𝑂, 𝑠 =0 + 2 · −1 − 1

12 + 22=

3

5=

3 5

5

POSICIONES RELATIVAS:DOS CIRCUNFERENCIAS

• Calculamos y llamamos r1 al radio de la circunferencia C1, r2

al radio de la circunferencia C2; y d a la distancia entre los

centros.

C1 C2

d

r1

O1

r2

O2

C1 C2

d

r1

O1

r2

O2

C1C2

d

r1

O1

r2

O2

C1

C2d

r1

O1

r2O2

C1C2

r1

O1= O2

r2

C1C2d

r1

O1

r2O2

Si d > r1 + r2, exteriores Si d = r1 + r2, tangentes

exteriores

Si r1 r2 < d < r1 + r2,

secantes

Si d = r1 r2, tangentes

interiores

Si 0 < d < r1 r2, interiores Si d = 0, concéntricas

POSICIONES RELATIVAS:DOS CIRCUNFERENCIAS

Halla la posición relativa de C1 y C2, siendo

El centro y el radio de las circunferencias son:

Se tiene que d es:

Puesto que r1 r2 = 1, que r1 + r2 = 5, y que 1 < d < 5, las

circunferencias son secantes.

C1C2

d

r1

O1

r2

O2

𝑂1 = 0,1 y 𝑟1 = 3 mientras que 𝑂2 = 2,−1 y 𝑟2 = 2

𝐶1 ≡ 𝑥2 + 𝑦 − 1 2 = 9 y 𝐶2 ≡ 𝑥 − 2 2 + 𝑦 + 1 2 = 4

𝑑 = 𝑑 𝑂1, 𝑂2 = 2 − 0 2 + −1 − 1 2 = 4 + 4 = 8

POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO A UNA CIRCUNFERENCIA (I)

• Dada una circunferencia C

y un punto P, si r es

cualquier recta secante a C

como en la figura, se tiene

que

𝑃𝐴 · 𝑃𝐵 = 𝑐𝑡𝑒

P

B

C A

POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO A UNA CIRCUNFERENCIA (II)

• Para demostrarlo, suponemos

que hay dos rectas que pasen

por 𝑃.

• Consideramos los triángulos

𝑃𝐴𝐵′ y 𝑃𝐴′𝐵.

• El ángulo 𝑃 es común

• Los ángulos 𝐵 y 𝐵′ son

iguales, ya que ambos son

ángulos interiores de una

circunferencia que abarcan el

mismo arco.

• Entonces los triángulos 𝑃𝐴𝐵′ y

𝑃𝐴′𝐵 son semejantes.

• Por el teorema de Thales:

P

B

C A

B’

A’

𝑃𝐴 · 𝑃𝐵 = 𝑃𝐴′ · 𝑃𝐵′

𝑃𝐴

𝑃𝐴′=

𝑃𝐵′

𝑃𝐵

POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO A UNA CIRCUNFERENCIA (III)

• Teniendo en cuenta que el producto 𝑃𝐴 · 𝑃𝐵 no depende de la

recta, se escoge la recta que pase por 𝑃 y por 𝑂.

• Suponemos que 𝐶 ≡ 𝑥 − 𝑥02 + 𝑦 − 𝑦0

2 = 𝑟2 y 𝑃 = 𝑥1, 𝑦1• De este modo, 𝑃𝐴 = 𝑑 − 𝑟 , y 𝑃𝐵 = 𝑑 + 𝑟

• Así, 𝑃𝑜𝑡𝑃 𝐶 = 𝑃𝐴 · 𝑃𝐵 = 𝑑 − 𝑟 𝑑 + 𝑟 y la ecuación queda

𝑃𝑜𝑡𝑃 𝐶 = 𝑑 − 𝑟 · 𝑑 + 𝑟 = 𝑑2 − 𝑟2 = 𝑥1 − 𝑥02 + 𝑦1 − 𝑦0

2 − 𝑟2

• Para hallar la potencia, basta con sustituir las coordenadas del

punto en la ecuación de la circunferencia.

C P

A

B d

d r

r

POTENCIA Y POSICIÓN RELATIVA

• Teniendo en cuenta que la potencia de un punto respecto a

una circunferencia es 𝑑2 − 𝑟2 , conocido el signo de la

potencia, deducimos su posición relativa respecto a C.

d

r

PO

C

d

r

P

O

C

d

r

P

O

C• P es exterior a C equivale a que 𝑑 >

𝑟 ⟺ 𝑑2 − 𝑟2 > 0 ⟺ 𝑃𝑜𝑡𝐶 𝑃 > 0

• P pertenece a C equivale a que 𝑑 =𝑟 ⟺ 𝑑2 − 𝑟2 = 0 ⟺ 𝑃𝑜𝑡𝐶 𝑃 = 0

• P es interior a C equivale a que 𝑑 <𝑟 ⟺ 𝑑2 − 𝑟2 < 0 ⟺ 𝑃𝑜𝑡𝐶 𝑃 < 0

EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS

• Se define el eje radical de dos circunferencias como el lugar

geométrico de los puntos que tienen la misma potencia

respecto a las dos circunferencias:

• Si 𝐶1 tiene la ecuación 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0

• Si 𝐶2 tiene la ecuación 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷′𝑥 + 𝐸′𝑦 + 𝐹′ = 0

• Y si 𝑃 = 𝑥, 𝑦 es un punto de dicho eje radical, cumplirá que

𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷′𝑥 + 𝐸′𝑦 + 𝐹′𝐷 − 𝐷′ 𝑥 + 𝐸 − 𝐸′ 𝑦 + 𝐹 − 𝐹′ = 0

• De este modo se ve que el eje radical de dos circunferencias

es una recta (siempre que las circunferencias no sean

concéntricas)

• Dicha recta es perpendicular al segmento que une los centros

de las circunferencias, puesto que su vector normal es

proporcional al vector que une los centros.

CENTRO RADICAL DEL TRES CIRCUNFERENCIAS

• Si se tienen tres circunferencias no concéntricas dos a dos, y

con los centros no alineados; se puede demostrar que los tres

ejes radicales que se pueden formar se cortan en un único

punto.

• Se define el centro radical de tres circunferencias como el punto

que tiene la misma potencia respecto a tres circunferencias, que

será el punto de corte de los tres ejes radicales.

• Para calcular el centro radical bastará pues, con calcular dos

ejes radicales (el eje de 𝐶1 y 𝐶2 y el eje de 𝐶1 y 𝐶3 por ejemplo) y

después resolver el sistema formado por estas ecuaciones.

C3

C2

C1

POTENCIA, EJE RADICALY CENTRO RADICAL

Halla la potencia de 𝑃 = 3,2 respecto 𝐶 ≡ 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 3 = 0

𝑃𝑜𝑡𝑃 𝐶 = 32 + 22 + 2 · 3 − 3 = 16 > 0

Se tiene entonces que P es exterior a C

Halla el eje radical de la circunferencia 𝐶1 ≡ 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 3 = 0y de la circunferencia 𝐶2 ≡ 𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑦 − 5 = 0

𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 3 = 𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑦 − 5 ⇔⟺ 2𝑥 − 4𝑦 + 2 = 0 ⟺ 𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0

Halla el centro radical de 𝐶1, 𝐶2 y 𝐶3, siendo 𝐶1 ≡ 𝑥2 + 𝑦2 − 1 = 0,

𝐶2 ≡ 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 3 = 0 y 𝐶3 ≡ 𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑦 − 5 = 0

Resolviendo el sistema 2𝑥 − 2 = 0

𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0

El centro radical es 𝑃 = 1,1

Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de

PARÁBOLA DEFINICIÓN

A la recta perpendicular a la

directriz que pasa por el foco se la

llama eje de la parábola

Al punto de corte del eje con la

parábola se le llama vértice

y de un punto fijo llamado foco

una recta fija llamada directriz

Eje

Vértice

Foco

Directriz

Se define la excentricidad de la

parábola como el cociente entre

las distancias de un punto P al foco

y a la directriz, y por tanto 𝑒 = 1

Para calcular la ecuación de la parábola, consideremos que la

ecuación de la directriz es x = p/2 y que las coordenadas del

foco son (p/2,0)

PARÁBOLA ECUACIÓN

Un punto 𝑃 = 𝑥, 𝑦 que esté en

la parábola debe cumplir

𝑑 𝐹, 𝑃 = 𝑑 𝑃, 𝑑 ⟺

⟺ 𝑥 −𝑝

2

2

+ 𝑦2 =𝑥 + 𝑝

2

12 + 02⟺

⟺ 𝑥 −𝑝

2

2

+ 𝑦2 = 𝑥 +𝑝

2

2

⟺

⟺ 𝑦2 = 2𝑝𝑥

ECUACIONES DE LA PARÁBOLASuponiendo que el vértice es el origen de coordenadas,

tenemos las siguientes posibilidades.

Si el vértice es el punto 𝑉 = 𝑥0 , 𝑦0 entonces es:

𝑦 − 𝑦02 = 2𝑝 𝑥 − 𝑥0

Intercambiando la x con la y según la dirección y siendo p

positivo o negativo según la orientación

𝑦2 = 2𝑝𝑥 𝑦2 = −2𝑝𝑥 𝑥2 = 2𝑝𝑦 𝑥2 = −2𝑝𝑦

CONSTRUCCIÓN DE LA PARÁBOLA

• Para dibujar la parábola,

basta con trazar

circunferencias centradas

en el foco, y rectas

paralelas a la directriz que

disten de dicha directriz la

longitud del radio de las

circunferencias.

• Los puntos de intersección

de las circunferencias y las

rectas serán los puntos de

la parábola.

LA PARÁBOLA CON ELMÉTODO DEL JARDINERO

• Deslizamos un cartabón a lo largo de la directriz.

• En la parte superior atamos un extremo de un hilo de la

misma longitud que el cartabón y el otro extremo lo atamos al

foco de la parábola.

• Mantenemos el hilo tenso con un lapicero.

• La curva que se obtiene al deslizar es una parábola.

USOS DE LA PARÁBOLALa parábola tiene la siguiente propiedad sorprendente:

• Un rayo paralelo al eje de simetría se refleja en la superficie

directamente hacia el foco y viceversa.

Así las parábolas se pueden usar para:

• Antenas (antena parabólica)

• Radares

• Concentrar los rayos solares para calentar un punto

• Los espejos dentro de faros y linternas

• etc

EJERCICIOS DE PARÁBOLAS

Hay dos tipos de ejercicios de parábolas:

El primer tipo de ejercicio trata de encontrar la ecuación de

la parábola a partir de unos datos determinados

El segundo tipo de ejercicio trata de encontrar los

elementos más destacados de la parábola y realizar un

dibujo aproximado a partir de la ecuación.

En este tipo de ejercicio, puede ser que nos den la

ecuación de la parábola en forma reducida (más fácil)

Ó puede ser que nos den la ecuación de la parábola en

forma desarrollada (más difícil)

EJERCICIO 1 DE PARÁBOLASHalla la ecuación de la parábola que tiene su foco en el punto

de F = (3,2) y su directriz es d 2x – 3 = 0

Para calcular la ecuación necesitamos conocer el

vértice y el parámetro 𝑝 = 𝑑 𝐹, 𝑑 El vértice será

el punto intermedio entre el foco y la directriz.

𝑝 = 𝑑 𝐹, 𝑑 =2 · 3 − 3

22 + 02=

3

2

Observando la posición de foco y directriz, y la distancia entre

ambos, el vértice es el punto 𝑉 = 3,2 − 3

4, 0 = 9

4, 2

La ecuación de la parábola es entonces

𝑦 − 2 2 = 3 𝑥 −9

4

d

V

F

EJERCICIO 2 DE PARÁBOLASPara la parábola de ecuación 𝑥 + 3 2 = −4 𝑦 − 1 halla las

coordenadas del foco, del vértice y de la directriz.

A la vista de la ecuación, la parábola es de

la forma:

Asimismo, a la vista de la ecuación, ya

tenemos tanto el vértice como el parámetro:

𝑉 = −3,1 y 𝑝 = 2 ⇒ 𝑝

2= 1

El Foco estará una unidad por debajo del vértice:

𝐹 = −3,1 − 1 = −3,0

La directriz, al ser paralela al eje x, tendrá por ecuación 𝑦 = 𝑘,

siendo k una unidad mayor que la ordenada del Vértice.

𝑦 = 1 + 1 ⇒ 𝑦 = 2

EJERCICIO 3 DE PARÁBOLASPara la parábola de ecuación 𝑦2 + 8𝑥 − 2𝑦 − 15 = 0 halla las

coordenadas del foco, del vértice y de la directriz.

Completamos cuadrados para obtener la ecuación

reducida

A la vista de la ecuación, deducimos que:

𝑉 = 2,1 y 𝑝 = 4 ⇒ 𝑝

2= 2

El Foco estará dos unidades a la izquierda del vértice:

𝐹 = 2 − 2,1 = 0,1

La directriz, al ser paralela al eje y, tendrá por ecuación 𝑥 = 𝑘,

siendo k dos unidades mayor que la abscisa del Vértice.

𝑥 = 2 + 2 ⇒ 𝑥 = 4

𝑦 − 1 2 = −8 𝑥 − 2

ELIPSE DEFINICIÓN

Una elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de

distancias a dos puntos fijos, llamados focos; es constante.

• En la elipse de la

figura, el punto medio

del segmento que

une los focos es el

centro de la elipse.

• La recta que une los

focos es el eje

mayor.

• Su perpendicular por

el centro es el eje

menor.

CentroEje menor

Eje mayor

ELIPSE ELEMENTOS

• Los puntos de corte de la elipse con los ejes son los vértices.

• 𝑐 = 𝑑 𝐹𝑖 , 𝐶 es la semidistancia focal.

• 𝑎 = 𝑑 𝐴𝑖 , 𝐶 es el semieje mayor.

• 𝑏 = 𝑑 𝐵𝑖 , 𝐶 es el semieje menor.

Vértices

c

a

b

ELIPSE RELACIÓN FUNDAMENTAL• Puesto que los vértices del eje mayor son puntos de la elipse

𝑑 𝐹1, 𝐴𝑖 + 𝑑 𝐹2, 𝐴𝑖 = 𝑎 + 𝑐 + 𝑎 − 𝑐 = 2𝑎.

• Puesto que los vértices del eje menor son puntos de la elipse

𝑑 𝐹1, 𝐵𝑖 = 𝑑 𝐹2, 𝐵𝑖

𝑑 𝐹1, 𝐵𝑖 + 𝑑 𝐹2, 𝐵𝑖 = 2𝑎⇒ 𝑑 𝐹𝑖 , 𝐵𝑖 = 𝑎 para 𝑖 = 1,2

• Se ve un triángulo rectángulo con hipotenusa a y catetos b y c

• Tenemos entonces la relación fundamental de la elipse.

a + c

a caa

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2

b

c

ELIPSE ECUACIÓNPara hallar la ecuación de la elipse, suponemos que 𝐹1 = 𝑐, 0 y

𝐹2 = −𝑐, 0 son los focos, 𝑎 el semieje mayor y 𝑏 el semieje

menor, siendo 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2. Si 𝑃 = 𝑥, 𝑦 es un punto de la elipse:

𝑑 𝐹1, 𝑃 + 𝑑 𝐹2, 𝑃 = 2𝑎 ⟹ 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦2 + 𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦2 = 2𝑎

Operando nos queda

𝑎2 − 𝑐2 𝑥2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎2 𝑎2 − 𝑐2 ⟺ 𝑏2𝑥2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎2𝑏2

𝑥2

𝑎2+𝑦2

𝑏2= 1

Lo que es equivalente a

En una elipse, se llama excentricidad al cociente 𝑒 =𝑐

𝑎y

determina el achatamiento. Será un valor entre 0 y 1, tanto más

próximo a 0 cuánto más se parezca la elipse a una circunferencia

y más próximo a 1 cuánto más achatada.

ECUACIONES DE LA ELIPSESuponiendo que el centro es el origen de coordenadas,

tenemos las siguientes posibilidades.

Si el centro es el punto 𝐶 = 𝑥0 , 𝑦0 entonces es:

𝑥−𝑥02

𝑎2 +𝑦−𝑦0

2

𝑏2= 1 ó

𝑦−𝑦02

𝑎2 +𝑥−𝑥0

2

𝑏2= 1

𝑥2

𝑎2+𝑦2

𝑏2= 1

𝑦2

𝑎2+𝑥2

𝑏2= 1

según sea la orientación de la elipse.

CONSTRUCCIÓN DE LA ELIPSE• Trazamos circunferencias centradas en los focos cuya suma

de radios sea constante.

• Los puntos de intersección serán los puntos de la elipse.

LA ELIPSE CON ELMÉTODO DEL JARDINERO

• Atamos una hilo en cada uno de los focos y manteniéndolo

tenso con un lapicero, trazamos la elipse.

• Este es conocido como el “método del jardinero”.

PROPIEDAD DE LA ELIPSELa elipse tiene una importante propiedad de reflexión

Si desde uno de los focos se emite un rayo de luz, que se

refleja en el interior de la elipse, el rayo reflejado pasará por el

otro foco.

Gráficamente, la recta perpendicular a la tangente a una elipse

en un punto es la bisectriz del ángulo formado por los radio-

vectores de dicho punto.

Se usa para diseñar las bóvedas de las estaciones de metro.

ELIPSES Y MOVIMIENTO PLANETARIO

El movimiento que describen los planetas alrededor de su

estrella sigue una elipse, estando la estrella en uno de los

focos.

Además, el planeta se mueve más deprisa en los momentos en

los que está más cerca de la estrella, y más despacio cuando

está más alejado de la misma.

EJERCICIOS DE ELIPSES

Hay dos tipos de ejercicios de elipses:

El primer tipo de ejercicio trata de encontrar la ecuación de

la elipse a partir de unos datos determinados

El segundo tipo de ejercicio trata de encontrar los

elementos más destacados de la elipse y realizar un dibujo

aproximado a partir de la ecuación.

En este tipo de ejercicio, puede ser que nos den la

ecuación de la elipse en forma reducida (más fácil)

Ó puede ser que nos den la ecuación de la elipse en forma

desarrollada (más difícil)

EJERCICIO 1 DE ELIPSESHalla la ecuación de la elipse de centro el punto de 𝑂 = 2,3 ,

cuya semidistancia focal es 4 y cuyos radio-vectores de un

punto son 7 y 3.

Para hallar la ecuación de una elipse necesitamos conocer el

centro y los semiejes.

Como los radio-vectores de un punto son 7 y 3 se tiene que:

7 + 3 = 2𝑎 ⟹ 𝑎 = 5

Ya tenemos a y c. Hallamos b con la relación fundamental

52 = 𝑏2 + 42 ⟹ 𝑏 = 3

Puesto que también tenemos el centro, la elipse es

𝑥 − 2 2

52+

𝑦 − 3 2

32= 1

EJERCICIO 2 DE ELIPSESHalla todos los elementos de la elipse

𝑥+1 2

22+

𝑦−1 2

32= 1

A la vista de la ecuación sabemos el centro y los semiejes.

Siendo además el semieje mayor el paralelo al eje y. Hallamos

pues la semidistancia focal y con todo ello hallamos los focos y

los vértices.

32 = 22 + 𝑐2 ⟹ 𝑐 = 5

𝐹1 = −1,1 + 5 , 𝐹2 = −1,1 − 5

𝐴1 = −1,1 + 3 = −1,4 , 𝐴2 = −1,1 − 3 = −1,−2

𝐵1 = −1 + 2,1 = 1,1 , 𝐵2 = −1 − 2,1 = −3,1

𝑒 = 53

𝑂 = −1,1 , 𝑎 = 3 y 𝑏 = 2

EJERCICIO 3 DE ELIPSESHalla los elementos de la elipse 𝑥2 + 4𝑦2 + 4𝑥 − 16𝑦 + 4 = 0

A la vista de la ecuación sabemos el centro y los semiejes.

Siendo además el semieje mayor el paralelo al eje x. Hallamos

pues la semidistancia focal y con todo ello hallamos los focos y

los vértices.

42 = 22 + 𝑐2 ⟹ 𝑐 = 12

𝐹1 = −2 + 12, 2 , 𝐹2 = −2 − 12, 2

𝐴1 = −2 + 4,2 = 2,2 , 𝐴2 = −2 − 4,2 = −6,2

𝐵1 = −2,2 + 2 = −2,4 , 𝐵2 = −2,2 − 2 = −2,0 y 𝑒 = 12

4

𝑂 = −2,2 , 𝑎 = 4 y 𝑏 = 2

En primer lugar completamos cuadrados para hallar la ecuación

reducida.𝑥 + 2 2

42+

𝑦 − 2 2

22= 1

HIPÉRBOLA DEFINICIÓNUna hipérbola es el lugar geométrico de los puntos cuya

diferencia de distancias a dos puntos fijos, (focos), es constante.

• En la hipérbola de

la figura, el punto

medio del segmento

que une los focos

es el centro de la

hipérbola.

• La recta que une

los focos es el eje

real.

• Su perpendicular

por el centro es el

eje imaginario.

Eje real

Eje imaginario

Centro

HIPÉRBOLA ELEMENTOS• 𝐴𝑖 , 𝐵𝑖 son los vértices.

• 𝑎 = 𝑑 𝐴𝑖 , 𝐶 es el semieje real.

• 𝑏 = 𝑑 𝐵𝑖 , 𝐶 es el semieje imaginario.

• 𝑐 = 𝑑 𝐹𝑖 , 𝐶 es la semidistancia focal.

• Las rectas son las asíntotas de la hipérbola

c

Asíntotas

a

b

HIPÉRBOLA RELACIÓN FUNDAMENTAL

En una hipérbola se cumple 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 que se llama

relación fundamental de la hipérbola.

c

a

b

Asimismo, y tal y como

se definió en la elipse,

la excentricidad es

𝑒 =𝑐

𝑎Que en este caso será

mayor que la unidad

puesto que el

numerador es mayor

que el denominador.

HIPÉRBOLA ECUACIÓNPara hallar la ecuación de la hipérbola, suponemos que 𝐹1 =𝑐, 0 y 𝐹2 = −𝑐, 0 son los focos, 𝑎 el semieje real y 𝑏 el semieje

imaginario, siendo 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2. Si 𝑃 = 𝑥, 𝑦 es un punto de la

elipse:

𝑑 𝐹1, 𝑃 − 𝑑 𝐹2, 𝑃 = 2𝑎 ⟹ 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦2 − 𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦2 = 2𝑎

Operando nos queda

𝑐2 − 𝑎2 𝑥2 − 𝑎2𝑦2 = 𝑎2 𝑐2 − 𝑎2 ⟺ 𝑏2𝑥2 − 𝑎2𝑦2 = 𝑎2𝑏2

𝑥2

𝑎2−𝑦2

𝑏2= 1

Lo que es equivalente a

Para terminar, escribimos las ecuaciones de las asíntotas, que

son rectas que pasan por el centro y tienen pendientes𝑏

𝑎y

−𝑏

𝑎

𝑦 =𝑏

𝑎𝑥 y 𝑦 =

−𝑏

𝑎𝑥

ECUACIONES DE LA HIPÉRBOLASuponiendo que el centro es el origen de coordenadas,

tenemos las siguientes posibilidades.

Si el centro es el punto 𝐶 = 𝑥0 , 𝑦0 entonces es:

𝑥−𝑥02

𝑎2 −𝑦−𝑦0

2

𝑏2= 1 ó

𝑦−𝑦02

𝑎2 −𝑥−𝑥0

2

𝑏2= 1

𝑥2

𝑎2−𝑦2

𝑏2= 1

𝑦2

𝑎2−𝑥2

𝑏2= 1

Según cuál sea el eje real, siendo las asíntotas entonces:

𝑦 − 𝑦0 = ±𝑏

𝑎𝑥 − 𝑥0 ó 𝑦 − 𝑦0 = ±

𝑎

𝑏𝑥 − 𝑥0

CONSTRUCCIÓN DE LA HIPÉRBOLA• Trazamos circunferencias centradas en los focos de modo

que la diferencia de los radios sea constante.

• Los puntos de intersección son los puntos de la hipérbola.

LA HIPÉRBOLA CON ELMÉTODO DEL JARDINERO

• Fijamos un extremo de un

listón a uno de los focos

(En este caso 𝐹2)

• Del otro extremo fijamos el

extremo de un hilo, cuyo

otro extremo atamos al otro

foco (𝐹1).

• Manteniendo el hilo tenso

con el lapicero movemos el

listón hacia arriba para

trazar una de las ramas de

la hipérbola.

• La otra rama se trazaría de

modo similar.

PROPIEDAD DE LA HIPÉRBOLALa tangente a la hipérbola en cualquier punto tiene la siguiente

propiedad:

La recta tangente en un punto P es bisectriz del ángulo que

forman los radio vectores de ese punto.

Esto se traduce en que los rayos emitidos desde un foco

de un hipérbola se reflejan en la rama más alejada de

dicho foco y salen de la hipérbola como si fuesen emitidos

por el otro foco.

Su uso son los espejos hiperbólicos.

EJERCICIOS DE HIPÉRBOLAS

Hay dos tipos de ejercicios de hipérbolas:

El primer tipo de ejercicio trata de encontrar la ecuación de

la hipérbola a partir de unos datos determinados

El segundo tipo de ejercicio trata de encontrar los

elementos más destacados de la hipérbola y realizar un

dibujo aproximado a partir de la ecuación.

En este tipo de ejercicio, puede ser que nos den la

ecuación de la hipérbola en forma reducida (más fácil)

Ó puede ser que nos den la ecuación de la hipérbola en

forma desarrollada (más difícil)

EJERCICIO 1 DE HIPÉRBOLASHalla la ecuación de la hipérbola de centro el punto de 𝑂 =2,3 , con vértice 𝐴 = 5,3 y con un foco en 𝐹 = 7,3 .

Para hallar la ecuación de una hipérbola necesitamos conocer

el centro y los semiejes. Calculamos los semiejes:

𝑎 = 𝑑 𝑂, 𝐴 = 5 − 2 2 + 3 − 3 2 = 3

Ya tenemos a y c. Hallamos b con la relación fundamental

52 = 𝑏2 + 32 ⟹ 𝑏 = 4

Puesto que también tenemos el centro, y el eje real de la

hipérbola es horizontal; la ecuación es

𝑥 − 2 2

32−

𝑦 − 3 2

42= 1

𝑐 = 𝑑 𝑂, 𝐹 = 7 − 2 2 + 3 − 3 2 = 5

EJERCICIO 2 DE HIPÉRBOLASHalla todos los elementos de la hipérbola

𝑦+1 2

22−

𝑥−1 2

32= 1

A la vista de la ecuación sabemos el centro y los semiejes.

Siendo además el semieje real el paralelo al eje y. Hallamos

pues la semidistancia focal y con todo ello hallamos los focos,

los vértices y las asíntotas.

𝑐2 = 32 + 22 ⟹ 𝑐 = 13

𝐹1 = 1,−1 + 13 , 𝐹2 = 1,−1 − 13

𝐴1 = 1,−1 + 2 = 1,1 , 𝐴2 = 1,−1 − 2 = 1,−3

𝐵1 = 1 + 3,−1 = 4,−1 , 𝐵2 = 1 − 3,−1 = −2,−1

𝑒 = 13

2y 𝑦 + 1 = ±

2

3𝑥 − 1

𝑂 = 1,−1 , 𝑎 = 2 y 𝑏 = 3

EJERCICIO 3 DE HIPÉRBOLASEstudia la hipérbola 16𝑥2 − 9𝑦2 + 96𝑥 + 36𝑦 − 36 = 0

A la vista de la ecuación sabemos el centro y los semiejes.

Además el semieje real es paralelo al eje x. Hallamos el resto

de los elementos de la hipérbola.

𝑐2 = 32 + 42 ⟹ 𝑐 = 5

𝐹1 = −3 + 5,2 = 2,2 , 𝐹2 = −3 − 5,2 = −8,2

𝐴1 = −3 + 3,2 = 0,2 , 𝐴2 = −3 − 3,2 = −6,2

𝐵1 = −3,2 + 4 = −3,6 , 𝐵2 = −3,2 − 4 = −3,−2

𝑒 = 5

3y 𝑦 − 2 = ±

4

3𝑥 + 3

𝑂 = −3,2 , 𝑎 = 3 y 𝑏 = 4

En primer lugar completamos cuadrados para hallar la ecuación

reducida.𝑥 + 3 2

32−

𝑦 − 2 2

42= 1

CONICAS Y ESFERAS DE DANDELIN

• En las siguientes imágenes se puede

observar que las secciones cónicas

cumplen las definiciones como lugares

geométricos.

• Las imágenes proceden de la página

http://www.aulamatematicas.org/Conicas/

ConicasSeccionesCono.htm

• Para saber más sobre las esferas de

Dandelin, clic aquí

CONICAS Y ESFERAS DE DANDELIN

𝑃𝐹 = 𝑃𝑀 = 𝐻𝑇 = 𝑅𝑄 = 𝑃𝐷

CONICAS Y ESFERAS DE DANDELIN

𝑃𝐹1 = 𝑃𝑀

𝑃𝐹2 = 𝑃𝑀′⇒

𝑃𝐹1 + 𝑃𝐹2 =

= 𝑃𝑀 + 𝑃𝑀′Que es la longitud

de la generatriz

entre 𝐶1 y 𝐶2 y no

depende del punto 𝑃

CONICAS Y ESFERAS DE DANDELIN

𝑃𝐹1 = 𝑃𝐻

𝑃𝐹2 = 𝑃𝐺⇒

𝑃𝐹2 − 𝑃𝐹1 == 𝑃𝐺 − 𝑃𝐻

Que es la longitud de la

generatriz entre 𝐶1 y 𝐶2 y

no depende del punto 𝑃