Para generar una simulación se requiere

numeros aleatorios en el intervalo de [0,1]

Generación de números pseudo

aleatorios

Generación de numeros pseudo

aleatorios

ci

ni

si

si

ei

ei

ei

Ci = variables exogenas

• Algunas de las variables de entrada son de tipo aleatorio por lo que se

tendrán que generar valores que simulen dichas entradas.

• Para generar variables aleatorias que sigan determinadas funciones de

probabilidad necesitamos partir de series de números que cumplan la

aleatoriedad.

Propiedades deseadas de buenos

generadores

El método más común es generar el siguiente

número a partir de los últimos números generados

Una de estas funciones es:

Si comenzamos con xo = 5, los primeros 32 números

generados son: 10, 3, 0, 1, 6, 15, 12, 13, 2, 11, 8, 9,

14, 7, 4, 5, 10, 3, 0, 1, 6, 15, 12, 13, 2, 11, 8, 9, 14, 7,

4, 5

Propiedades deseadas de buenos

generadores

Los números generados: 10, 3, 0, 1, 6, 15, 12,

13, 2, 11, 8, 9, 14, 7, 4, 5, 10, 3, 0, 1, 6, 15,

12, 13, 2, 11, 8, 9, 14, 7, 4, 5

Algoritmos de cuadrados mediosAlgoritmo no congruencial, propuesto por Von Neumann y

Metropolis.

1. Seleccionar una semilla (Xo) con D dígitos (D>3)

2. Sea Yo= resultado de elevar Xo al cuadrado, sea X1= los D

dígitos del centro, y sea ri=0.D dígitos del centro.

3. Sea Yi=resultado de elevar Xi al cuadrado; sea Xi+1=los D

dígitos del centro, y sea ri=0.D dígitos del centro para toda

i=1,2,3,…n.

4. Repetir el paso 3 hasta obtener los n números ri, deseados.

Ejemplo: Generar los primeros 5 números ri, a partir de una semilla

Xo=5735, de donde se puede observar que D=4 dígitos

Algoritmos de productos medios1. Seleccionar una semilla (Xo) con D dígitos (D>3)

2. Seleccionar una semilla (X1) con D dígitos (D>3)

3. Sea Yo= Xo * X1,sea X2= los D dígitos del centro, y sea ri=0.D

dígitos del centro.

4. Sea Yi= Xi * Xi+1; sea Xi+2=los D dígitos del centro, y sea ri+1 =

0.D dígitos del centro para toda i=1,2,3,…n.

5. Repetir el paso 4 hasta obtener los n números ri, deseados.

Ejemplo: Generar los primeros 5 números ri, a partir de una semilla

Xo=5015 y X1=5734; observe que ambas semillas tienen D=4

dígitos.

Algoritmo de multiplicador constante1. Seleccionar una semilla (Xo) con D dígitos (D>3)

2. Seleccionar una constante (a) con D dígitos (D>3)

3. Sea Yo= a * X0, sea X1= los D dígitos del centro, y sea ri=0.D dígitos del centro.

4. Sea Yi= a *Xi; sea Xi+1 = los D dígitos del centro, y sea ri+1 = 0.D dígitos del centro para toda i=1,2,3,…n.

5. Repetir el paso 4 hasta obtener los n números ri, deseados.

Ejemplo: Generar los primeros 5 números ri, a partir de una semilla Xo = 9803 y con la constante a = 6915.

Algoritmo linealAlgoritmo congruencial propuesto por D.H. Lehmer en 1951.

Xi+1=(aXi + c) mod (m) i=0,1,2,3,….,n.

ri = Xi+1 / (m-1) i=0,1,2,3,…,n.

Ejemplo: Generar 5 números entre 0 y 1 con los siguientes

parámetros: Xo=37, a=19, c=33 y m=100.

Donde:

Xo= semilla

a= constante multiplicativa

c= constante aditiva

m = modulo

Algoritmo linealPara lograr un máximo periodo de vida “n”. Banks,Carson, Nelson

y Nicol sugiere:

m=2^g

a = 1+4k

Donde:

k y g debe ser entero

C relativamente primo a m.

Bajo estas condiciones el periodo de vida máximo: N = m = 2^g

Ejemplo: Generar números entre 0 y 1 con los parámetros Xo=6,

k=3, g=3 y c=7, hasta encontrar el periodo máximo (N)

a= 1+4(3)=13 y m = 2^3=8

Algoritmo lineala= 1+4(3)=13 y m=2^3=8

Xo=6

X1=(13*6 +7)mod 8 = 5 r1=5/7=0.714

X2=(13*5 +7)mod 8 = 0 r2=0/7=0.000

X3=(13*0 +7)mod 8 = 7 r3=7/7=1.000

X4=(13*7 +7)mod 8 = 2 r4=2/7=0.285

X5=(13*2 +7)mod 8 = 1 r5=1/7=0.142

X6=(13*1 +7)mod 8 = 4 r6=4/7=0.571

X7=(13*4 +7)mod 8 = 3 r7=3/7=0.428

X8=(13*3 +7)mod 8 = 6 r8=6/7=0.857

Xi+1=(a *Xi + c)mod(m) i=0,1,2,3,….,n.

ri=Xi/m-1 i=0,1,2,3,…,n.

Algoritmo congruencial multiplicativo Surge del algoritmo congruencial lineal cuando c=0. entonces la

ecuación recursiva es:

Xi+1=(aXi) mod (m) i=0,1,2,3,….,n.

ri=Xi/(m-1)

De acuerdo con Banks,Carson, Nelson y Nicol sugieren lo

siguiente:

m = 2^g

a = 3+8k ó a=5+8k

A partir de estas condiciones se logra un periodo de vida

máximo N = m/4 = 2^(g-2)

K=0,1,2,3,….

Xo debe ser impar

g debe ser entero

Algoritmo congruencial multiplicativo

Ejemplo: Generar los suficientes números entre 0 y 1

con los siguientes parámetros: Xo=17, k=2 y g=5,

hasta encontrar el periodo o ciclo de vida.

Xi+1=(aXi)mod(m) i=0,1,2,3,….,n.

ri=Xi/(m-1)

N=m/4=2^(g-2)

m=2^g

a = 3+8k ó a=5+8k

Algoritmo congruencial aditivo Este algoritmo requiere una secuencia previa de “n”

números enteros X1, X2,…,Xn para generar una

nueva secuencia de números enteros que empieza

en Xn+1, Xn+2,…..

Su ecuación recursiva es:

Xi=(Xi-1 + Xi-n) mod (m) i=n+1, n+2, n+3,…., N

Los números ri = Xi / (m-1)

Algoritmo congruencial aditivoEjemplo: Generar 7 números pseudo aleatorios entre

cero y uno a partir de la siguiente secuencia de

números enteros: 65, 89, 98, 03, 69. m=100

Xi=(Xi-1 + Xi-n) mod (m) i=n+1, n+2, n+3,…., N

Algoritmo congruencial cuadrático

Xi+1=(a*(Xi)^2 + b*Xi +c) mod (m) i=0,1,2,…,N

ri=Xi/(m-1)

De acuerdo con L’Ecuyer las condiciones que

debe cumplir los parámetros m,a,b y c para

alcanzar un periodo máximo de N=m son:

m=2^g

Donde:

a= debe ser numero par

c= debe ser numero impar

g debe ser entero

(b-1)mod 4 = 1

Algoritmo congruencial cuadratico

Ejemplo: Generar, a partir del algoritmo

congruencial cuadrático, suficientes números

enteros hasta alcanzar el periodo de vida,

considerando los parámetros Xo=13, m=8, a=26,

b=27 y c=27Xi+1=(a*(Xi)^2 + b*Xi +c) mod(m)

i=0,1,2,…,N

ri=Xi/(m-1)