GENERACION DE NUMEROS

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO

Facultad de Ingeniera Civil, Sistemas y Arquitectura

Escuela Profesional de Ingeniera de Sistemas

PSEUDOALEATORIOSModelamiento y Simulacin

Ing. Csar Augusto Guzmn ValleCiclo 2014-II

Objetivo de la sesin

Identificar los diferentes tipos de algoritmos para la generacin de nmeros pseudoaleatorios.

Mapa Conceptual del Curso

Modelado y

Simulacin

Simulacin

X Eventos

Proyectos

Simulacin

Colas en

Serie

Colas con

un servidor

InventariosSeries de

Nro. Aleato X EventosSimulacin Serie

Colas en

Paralelo

Nro. Aleato

Validacin

de Series

Generacin

de VA

Mapa Conceptual

Fenmenos Fsicos Procedimientos MatemticosTabla de Nros.

aleatorios

Xi+1=(aXi+c) mod m

NmerosAleatorios

Validacin deSeries de NA

VariablesU (0,1)

VariablesAleatorias

Nmeros aleatorios

1, 0 x 1f(x)

0, en otro caso

1

f(x)

0, x < 0

F(x) x, 0 x 1

1, x

Nmeros aleatorios

La probabilidad de observar un valor en un particular intervalo es independiente del valor previo observado.

Todo punto en el rango tiene igual probabilidad de Todo punto en el rango tiene igual probabilidad de ser elegido.

Si el intervalo (0,1) es dividido en n sub-intervalos de igual longitud, el nmero esperado de observaciones en cada intervalo es N/n. (N nmero de observaciones totales).

Caractersticas de un Generador de Nros Aleatorios

Rol preponderante en el proceso de simulacin. Para simular necesitamos de nmeros aleatorios como

semillas para generar muestras de V.A.

Caractersticas de un generador de nros aleatorios: 1) Muestrea valores de Distribucin Uniforme. 2) Asegura la NO Correlacin Serial.

Algunas Propiedades de Nros Aleatorios

1. Distribucin Uniforme.Cualquier nmero quepertenezca al rango de intersdebe tener la mismaprobabilidad de resultarprobabilidad de resultarsorteado.

2. NO Correlacin Serial.La aparicin de un nmero enla secuencia, no afecta laprobabilidad de que aparescaotro (o el mismo) nmero.

Ejemplo

La sucesin 1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5...es uniformeperoest correlacionada.est correlacionada.

Existen Tests que verifican las condiciones de uniformidad ycorrelacin serial, temas que veremos mas adelante.

Generador de nmeros aleatorios

El objetivo de cualquier esquema de generacin es producir una secuencia de nmeros entre 0 y 1 que simule las propiedades ideales de distribucin uniforme y de independencia.

Generar nmeros que sean aleatorios por si mismos

Nmeros pseudoaleatorios

Nmeros que se comportan de manera muy similar a nmeros aleatorios.

Casi todas las aplicaciones comerciales tienen estos nmeros pseudoaleatorios

Nmeros pseudo-aleatorios

Los nmeros aleatorios son calculados a partir de una semilla (seed) y una frmula.

El problema es que si el mtodo es conocido, entonces la secuencia de nmeros aleatorios puede entonces la secuencia de nmeros aleatorios puede ser replicada.

En la prctica ninguna funcin produce datos aleatorios verdaderos -- las funciones producen nmeros pseudo-aleatorios.

Propiedades deseables

1. Uniformemente distribuidos.

2. Estadsticamente independientes (no correlacin).

3. Periodo largo (sin repeticin).

4. Reproducibles y mutables.4. Reproducibles y mutables.

5. Sencillo en su implementacin.

6. Portabilidad.

7. Mtodo rpido de generacin.

8. Poca memoria para la generacin.

Para realizar una simulacin se requieren nmeros aleatorios en el intervalo (0,1), a os cuales se har referencia como ri, es decir, una secuencia ri = {r1 , r2 , r3 , r4 ,.., rn } que contiene n nmeros, todos ellos diferentes; n recibe el nombre de periodo o ciclo de vida.

Los r constituyen la parte medular de la simulacin de Los ri constituyen la parte medular de la simulacin de procesos estocsticos y generalmente se utilizan para generar variables aleatorias, tanto continuas como discretas.

Para simular el comportamiento de una o ms variables aleatorias es necesario contar con un conjunto suficientemente gran de ri , para tener al menos un periodo de vida. (n= 2

31

2200)

Porque manejar una gran cantidad de ri ?

Queremos simular el tiempo de atencin a clientes en un banco que tiene 5 cajeros en paralelo y cada uno atiende aprox. 50 clientes diarios. Para simular el tiempo de atencin se requiere un generador de variable aleatoria en funcin de r , por ejemplo Ti= variable aleatoria en funcin de ri , por ejemplo Ti= 5 + 2ri . Cuantos ri se necesitan?

Diario: 5 * 50 = 250

Semanal: 5 * 250 = 1250

Donde queda el tiempo que demora cada cliente en llegar.

Diario: 5 * 50 = 250

Semanal: 5 * 250 = 12502500ri

Para bueno resultados en necesario realizar variasreplicas, corriendo cada una con nmerospseudoaleatorios diferentes.

Del ejemplo anterior en nueve replicas cuantos ri senecesitarias?

Por esto es necesario generar nmerospseudoaleatorios con algoritmos determinsticos.

Generar un conjunto de ri es una tarea relativamentesencilla; el lector puede generar su propio algoritmo; lodificil es:

Un conjunto de ri con periodo de vida suficientementegrande (N).grande (N).

Pase sin problemas las pruebas de uniformidad eindependencia, para evitar:

Que los nmeros no estn uniformemente distribuidos

Que los nmeros sean discretos en vez de continuos

Que la media del conjunto sea muy alta o muy baja (1/2).

Que la varianza del conjunto sea muy alta o muy baja (1/12)

Tcnicas para generar nmeros aleatorios

La mayora de los mtodos (generadores)comienzan con un nmero inicial (semilla), a estenmero se le aplica un determinado procedimientoy as se encuentra el primer nmero random.

Usando este nmero como entrada, elprocedimiento es repetido para lograr un prximonmero random.

Y as siguiendo.

Algoritmos determinsticos para generacin de ri

Algoritmos no congruenciales Cuadrados medios

Productos medios

Multiplicador constante

Algoritmos congruenciales Algoritmos congruenciales Lineal

Congruencial lineal

Congruencial multiplicativo

Congruencial aditivo

No lineales

Algoritmos No Congruenciales

Algoritmo de cuadrados medios

1. Seleccionar una semilla X0 con D dgitos (D>3)2. Sea Y0 = resultado de elevar X0 al cuadrado; sea Xi =

los D dgitos del centro, y sea el ri = 0.D digitos delcentro.

3. Sea Yi = resultado de elevar Xi al cuadrado; sea Xi+1 =los D dgitos del centro, y sea el r = 0.D dgitos del

3. Sea Yi = resultado de elevar Xi al cuadrado; sea Xi+1 =los D dgitos del centro, y sea el ri = 0.D dgitos delcentro para toda i= 1,2,3,,n

4. Repetir este paso hasta obtener los n nmeros rideseados.

Nota: Si no es posible obtener los D dgitos del centro delnumero Yi, agregue ceros a la izquierda del numero Yi

Ejemplo

Generar los primeros 5 nmeros ri a partir de unasemilla X0 = 5735, de donde se puede observarD= 4 dgitos

Xi riXi ri

Y0=(5735)2 = 32890225 8902 0.8902

Y1=(8902)2 = 79245604 2456 0.2456

Y2=(2456)2 = 06031936 0319 0.0319

Y3=(0319)2 = 101761 0176 0.0176

Y4=(0176)2 = 030976 3097 0.3097

El algoritmo de cuadrados mediosgeneralmente es incapaz de generar unasecuencia de r con periodo de vida n grande.secuencia de ri con periodo de vida n grande.

Algoritmo de productos medios

1. Seleccionar una semilla X0 con D dgitos (D>3)

2. Seleccionar una semilla X1 con D dgitos (D>3)

3. Sea Y0 = X0 *X1 ; sea X2 = los D dgitos del centro, y sea ri = 0.D dgitos del centro.

4. Sea Y = X X sea X = los D dgitos del centro, y sea 4. Sea Yi = Xi *Xi+1 ; sea Xi+2 = los D dgitos del centro, y sea ri+1 = 0.D dgitos del centro para toda i= 1,2,3,,n

5. Repetir el paso 4 hasta obtener los n nmeros ri deseados.

Nota: Si no es posible obtener los D dgitos del centro del numero Yi, agregue ceros a la izquierda del numero Yi

Ejemplo

Generar los primeros 5 nmeros ri a partir de unasemilla X0 = 5015 y X1= 5734, de donde se puedeobservar D= 4 dgitos

Xi riXi ri

Y0=(5015)(5734)= 28756010 7560 0.7560

Y1=(5734)(7560)= 43349040 3490 0.3490

Y2=(7560)(3490)= 26384400 3844 0.3844

Y3=(3490)(3844)= 13415560 4155 0.4155

Y4=(3844)(4155)= 15971820 9718 0.9718

Algoritmo de Multiplicador constante

1. Seleccionar una semilla X0 con D dgitos (D>3)

2. Seleccionar una constante (a) con D dgitos (D>3)

3. Sea Y0 = X0 *a ; sea X1 = los D dgitos del centro, y sea ri = 0.D dgitos del centro.

4. Sea Y = X a sea X = los D dgitos del centro, y sea 4. Sea Yi = Xi *a ; sea Xi+1 = los D dgitos del centro, y sea ri+1 = 0.D dgitos del centro para toda i= 1,2,3,,n

5. Repetir el paso 4 hasta obtener los n nmeros ri deseados.

Nota: Si no es posible obtener los D dgitos del centro del numero Yi, agregue ceros a la izquierda del numero Yi

Ejemplo

Generar los primeros 5 nmeros ri a partir de unasemilla X0 = 9803 y con la constante a= 6965, dedonde se puede observar D= 4 dgitos

Xi riXi ri

Y0=(6965)(9803)= 68277895 2778 0.2778

Y1=(6965)(2778)= 19348770 3487 0.3487

Y2=(6965)(3487)= 24286955 2869 0.2869

Y3=(6965)(2869)= 19982585 9825 0.9825

Y4=(6965)(9825)= 68431125 4311 0.4311

Algoritmos Congruenciales

Algoritmo lineal

Este algoritmo es el mas usado, genera una serie de nmeros aleatorios mediante la siguiente ecuacin recursiva:

Xi =(a Xi + c) mod (m) i=0,1,2,,n

Donde: X es la semilla, a es la constante multiplicativa, c es unaDonde: Xo es la semilla, a es la constante multiplicativa, c es unaconstante aditiva y m es el mdulo; todos los valores deben sernmeros enteros.

Es importante sealar que la ecuacin genera una secuencia denmeros enteros y que para obtener nmeros pseudoaleatorios (0,1)se requiere la siguiente ecuacin:

ri = Xi / (m-1) i= 1,2,3,,n

Ejemplo

Generar 4 nmeros entre 0 y 1 con los siguientesparmetros X0 = 37, a= 19, c= 33 y m = 100

Xi riXi ri

X1=(19*37+33) mod 100= 36 36/99 0.3636

X2=(19*36+33) mod 100= 17 17/99 0.1717

X3=(19*17+33) mod 100= 56 56/99 0.5656

X4=(19*56+33) mod 100= 97 97/99 0.9797

Los valores de Xo, a, c, m deben cumplir ciertas condiciones no sertomados de forma arbitraria

m= 2g

a= 1 + 4k K debe ser entero c relativamente primo a m g debe ser entero g debe ser entero

Bajo estas condiciones se obtiene un periodo de vida mximo: N= m = 2g

Ejemplo: realizar un algoritmo donde se genere 64 nmeros pseudoaleatorios

Ejemplo

Generar nmeros entre 0 y 1 con los siguientes parmetros X0 = 6, k= 3, g= 3 y c= 7

N=?; N= 2g = 23 = 8

a=?; a= 1+ 4(k) = 1 + 4(3) = 13

X0=6X0=6

X1=(13*6+7) mod 8= 5 5/7 0.714

X2=(13*5+7) mod 8= 0 0/7 0.000

X3=(13*0+7) mod 8= 7 7/7 1.000

X4=(13*7+7) mod 8= 2 2/7 0.285

X5=(13*2+7) mod 8= 1 1/7 0.142

X6=(13*1+7) mod 8= 4 4/7 0.571

X7=(13*4+7) mod 8= 3 3/7 0.428

X8=(13*3+7) mod 8= 6 6/7 0.857

Algoritmo Congruencial Multiplicativo

Este algoritmo surge del algoritmo congruencial lineal cuando c=0; mediante la siguiente ecuacin recursiva:

Xi =(a Xi + c) mod (m) i=0,1,2,,n

X =(a X ) mod (m) i=0,1,2,,nXi =(a Xi) mod (m) i=0,1,2,,n

Es importante sealar que la ecuacin genera una secuencia denmeros enteros y que para obtener nmeros pseudoaleatorios (0,1)se requiere la siguiente ecuacin:

ri = Xi / (m-1) i= 1,2,3,,n

Condiciones a cumplir

m= 2g

a= 3 + 8k o a= 5 + 8k

K= 0,1,2,3, K= 0,1,2,3,

Xo debe ser un numero impar

g debe ser entero

Bajo estas condiciones se obtiene un periodo de vida mximo: N= k/4 = 2g-2

Ejemplo

Generar nmeros entre 0 y 1 con los siguientes parmetros X0 = 17, k= 2, g= 5

a=?; a= 5+ 8(k) = 5 + 8(2) = 21

X0=17X0=17

X1=(21*17) mod 32= 5 5/31 0.1612

X2=(21*5) mod 32= 9 9/31 0.2903

X3=(21*9) mod 32= 29 29/31 0.9354

X4=(21*29) mod 32= 1 1/31 0.3225

X5=(21*1) mod 32= 21 21/31 0.6774

X6=(21*21) mod 32= 25 25/31 0.8064

X7=(21*25) mod 32= 13 13/31 0.4193

X8=(21*13) mod 32= 17 17/31 0.5483

Algoritmo Congruencial Aditivo

Este algoritmo requiere una secuencia previa de n numeroenteros Su ecuacin recursiva es:

Xi =(Xi-1 + Xi-n) mod (m) i=n+1,n+2,n+3,,N

Es importante sealar que la ecuacin genera una secuenciade nmeros enteros y que para obtener nmerospseudoaleatorios (0,1) se requiere la siguiente ecuacin:

ri = Xi / (m-1)

Ejemplo

Generar 7 nmeros entre 0 y 1 a partir de las siguiente secuencia de nmero

enteros: 65, 89, 98, 03, 69; m= 100

Para generar r1, r2, r3, r4, r5, r6, r7, antes es necesario generar x6, x7, x8, x9, x10, x11, x12,

X6=(X5*X1) mod 100= (69+65)mod100= 34 34/99 0.3434

X7=(X6*X2) mod 100= (34+89)mod100= 23 23/99 0.2323

X8=(X7*X3) mod 100= (23+98)mod100= 21 21/99 02121

X9=(X8*X4) mod 100= (21+03)mod100= 24 24/99 0.2424

X10=(X9*X5) mod 100= (24+69)mod100= 93 93/99 0.9393

X11=(X10*X6) mod 100= (93+34)mod100= 27 27/99 0.2727

X12=(X11*X7) mod 100= (27+23)mod100= 50 50/99 0.5050

Algoritmo Congruencial Cuadrtico

Este algoritmo tiene la siguiente ecuacin recursiva:

Xi+1 =(aXi2 + bXi + c) mod (m) i=0,1,2,3,,N

Es importante sealar que la ecuacin genera unasecuencia de nmeros enteros y que para obtenernmeros pseudoaleatorios (0,1) se requiere la siguienteecuacin:

ri = Xi / (m-1)

Condiciones a cumplir

m= 2g

a debe ser un numero par

c debe ser un numero impar c debe ser un numero impar

g debe ser entero

(b-1)mod 4= 1

Bajo estas condiciones se obtiene un periodo de vida mximo: N= m

Ejemplo

Generar suficientes nmeros hasta alcanzar el periodo de vida, considerando

los parmetros Xo = 13, m = 8, a = 26, b = 27 y c = 27

X1= (26*132+27*13+27)mod8= 4

X = (26*4 +27*4+27)mod8= 7X2= (26*42+27*4+27)mod8= 7

X3= (26*72+27*7+27)mod8= 2

X4= (26*22+27*2+27)mod8= 1

X5= (26*12+27*1+27)mod8= 0

X6= (26*02+27*0+27)mod8= 3

X7= (26*32+27*3+27)mod8= 6

X8= (26*62+27*6+27)mod8= 5

X9= (26*52+27*5+27)mod8= 4

Algoritmo de Blum, blum y shub

Este algoritmo tiene la siguiente ecuacin recursiva, dondea=1, b=0, c=0

Xi+1 =(Xi 2) mod (m) i=0,1,2,3,,n

Es importante sealar que la ecuacin genera una secuenciade nmeros enteros y que para obtener nmerospseudoaleatorios (0,1) se requiere la siguiente ecuacin:

ri = Xi / (m-1)