Post on 14-Oct-2015
Arcos planos
J. T. Celigeta
1Arcos planos. DefinicinQ Directriz curva plana. Seccin transversal despreciable.Q Curvatura pequea: radio mucho mayor que el canto R>>hQ Varias condiciones de apoyo en los extremos.
2Ejemplos
Puente romano (Crcega)
Puente del Milenio (Londres)Veldromo olmpico (Atenas)
Puente Michigan (Detroit) L=80 m
3Teora bsicaQ Esfuerzos internos: N, M, QQ Hiptesis de Navier: secciones perpendiculares a la directriz
curva se mantienen perpendiculares a la directriz deformadaQ R >> h Es aplicable la teora de flexin de vigas, en un dominio
curvo (ds sustituye a dx), pero hay acople entre N y M.Q Energa elstica:
2 2*
2 2 m gN M
U ds ds N T ds M T dsEA EI
= + +
4Ecuaciones de equilibrio
Q Equilibrio radial:X Nuevo trmino asociado a N
Q Equilibrio de momentos:
s
dQ Nq
ds R= +
dMQ
ds=
M
M+dMN
N+dNQ
Q+dQ
ds
qs
5Arco triarticulado (I)Q Isosttico
b=2 n=3 r=4 c=1
LA
h
fA
fB
LBA
C
B
Se aplica la frmula de los prticos planos
6 b + r = 16 3 n + 3 b + c = 16 h=0
6Arco triarticulado (II)
0extACx A y A AC f C L M + + =
0extCBx B y B BC f C L M+ + =
LA
h
fA
fB
LBA
CX
B
CY
CY
( ) 0ACAM =( ) 0BCBM =
CX, CY
7Arco triarticulado simtrico. Carga uniforme (1)
q
AX
AY
CX
2 2
08 8 2x y x yqL qL qL
C C A Af f
= = = =
Gran reaccin horizontal en los apoyos (1/f)
q
L
f
Forma y(x) sin definir.
Por simetra: CY=0
8Arco triarticulado sin momento flector (2)NM
Q
x
q
qL/2
qL2/8f
2 2
2 8 2qL qL qx
M x yf
=
22
4( )f
y Lx xL
= Parbola simtrica
0M =
2
cos sin cos 08 2qL qL
Q qxf
= + =Sustituyendo forma parablica
9Arco triarticulado sin momento flector (3)
2
8ClaveqL
Nf
=( )1/22 216
8AqL
N L ff
= +
2
8XqL
Nf
=2YqL
N qx=
2
sin sin cos2 8qL qL
N qxf
= 1/24 2
2264 4
L LN q x xL
f
= + +
Valor mximo en los apoyos
Es siempre de compresin
Proyeccin horizontal constante
10
Arco triarticulado parablico. Deformacin
L/2f
1/2V=1
L/2f
1/2
0 1cos sin2 2
V LNf
=
0 0 01 1 1( 0)V V VCY N N ds M M ds N N dsEA EI EA = + = =
0 1sin cos2 2
V LQf
=
Fuerza virtual unitaria
11
Arco triarticulado parablico. Deformacin
L/2f
1/2V=1
L/2f
1/2
0 1cos sin2 2
V LNf
=
1 1 1 1cos sin tan cos
2 2 2 2CYL L
N ds N dsEA f EA f
= =
1/24 22
264 4L L
N q x xLf
= + +
( )21 4 22CYL f
N L x dxEA f L
=
12
Simplificaciones habituales Rigidez axial infinita. Se desprecia la energa debida al esfuerzo axial
00
00
seccos
1 1cos cos
II I
EI EI
= =
= = =
10
EA = =
Momento de inercia variable segn la ley de la secanteFlexibilidad a flexin variable segn la ley coseno
Simplifica las integrales pues :
0 0( ) ( ) cos ( )f x ds f x ds f x dx = =
I0 : momento de inercia en la clave
13
Arco biarticulado parablico. Carga uniforme (1)q
L
fN0
M0
Q0
x
q
qL/2
N1M1
Q1
x1
0 2( )2q
M Lx x=
h=1 X1=Ax
1M y=
ParablicoSin energa de esfuerzo axial. Inercia variable segn la ley de la secante
22
4( )f
y Lx xL
=
14
Arco biarticulado parablico. Carga uniforme (2)
1M y=
1 1 1 1 211
2 211 0 0
20
11
( )
( ) cos
8
15
f N N ds M M ds y ds
f y ds y dx
f Lf
= + = = =
=
Sin energa de esfuerzo axial. Inercia variable segn la ley de la secante
15
Arco biarticulado parablico. Carga uniforme (3)
( )( )
0 1 0 11
21
21 0
30
1
( )2
cos ( )2
15
D N N ds M M ds
qD Lx x y ds
qD Lx x y ds
q f LD
= ==
=
=
21
11 8X
D qLA
f f= =
N0M0
Q0
x
q
qL/2
0 2( )2q
M Lx x=
16
Arco biarticulado parablico. Carga uniforme (4)
20 2 2
2
4( ) ( ) 02 8Xq f qL
M M yA Lx x Lx xL f
= = =
Sin momento flector. Mismo comportamiento que el arco triarticulado
2
cos sin cos 08 2qL qL
Q qxf
= + =Sustituyendo forma parablica
N0M0
Q0
x
q
qL/2
N1M1
Q1
x1
0 2( )2q
M Lx x= 1M y=
2
8XqL
Af
=
17
Arco biarticulado parablico. Carga uniforme (5)
2
8ClaveqL
Nf
=
( )1/22 2168AqL
N L ff
= +
2
8XqL
Nf
=
2YqL
N qx=
2
sin sin cos2 8qL qL
N qxf
= 1/24 2
2264 4
L LN q x xL
f
= + +
Valor mximo en los apoyos
N
Es siempre de compresin
Esfuerzo axial (igual que el triarticulado)
18
Arco biarticulado parablico. Carga puntual
( )2
0
1 0
5( ) cos
2 48
P f LPD L x y ds
= = 75384XPL
Af
=
max 0.0253 9 /50negM PL x L= =
20 75 27
96XP x
M M yA xL
= =
0.0547claveM PL=
M
P
19
Arco biarticulado. Clculo de la rigidez (1)
1 11X K=
IX=1
K21
K31K11
K41
Sin energa de esfuerzo axial.
11 1 1 11211
1 11f X X K
f y ds= = =
1 1 211 ( )f M M ds y ds = =
h=1
Clculo de la columna 1: deformacin unidad en IX
Caso 1
Condicin de compatibilidad:
20
Arco biarticulado. Clculo de la rigidez (2)
31 11 21 41 0K K K K= = =
IX=1
K21
K31K11
K41
1 11211
1 1X K
f y ds= =
Clculo de la columna 1
11
21
31 11
41
0
0
K
K
K K
K
= = =
Condicin de compatibilidad:11 1 1 11 0f X D D= + =
21
Arco biarticulado. Matriz de rigidez
2
1 0 1 0
0 0 0 011 0 1 0
0 0 0 0
Ly ds
= K
Slo aporta rigidez en la direccin X
Sin energa de esfuerzo axial.
IX JX
IY JYy
Columnas 2 y 4 nulasColumna 3 igual a la 1Agrupando las 4 columnas
22
Arco biarticulado parablico. Rigidez
Directriz parablica. Inercia segn la secante: I=I0 sec I0 inercia en la clave
02
1 0 1 0
0 0 0 0151 0 1 08
0 0 0 0
L
EILf
=
K
Si f se anula, no se obtiene la rigidez de la barra recta pues no se ha considerado la energa de axial
2
2 2 20 0
0
8cos
15
f Ly ds y ds y dx
EI = = =
23
Arco biarticulado circular. Carga uniforme (1)N0
M0
Q0
x
q
qL/2
N1M1
Q1
x1
1M y=0 2( )2q
M Lx x= h=1 X1=Ax
1 1 211
2 2
11
( )
2 32
f M M ds y Rd
R S e S eLRf
EI
= = + =
cosy R e=
y
L
R e
x
sin /2x R L= +
Longitud del arco S=2RInercia constante. Sin energa de axial
24
Arco biarticulado circular. Carga uniforme (2)
3 2 2 2
2 2
2 3 6 6
12 2 3XRL LeS e RL R eSq
X AR S e S eLR
+= = +
2 2max ( )
2 2 4 8X Xq L L qL
M L R e A fA = =
( )( )
0 1 21
3 2 2 21
( )2
2 3 6 624
qD M M ds Lx x y Rd
qD RL LeS e RL R eS
EI
+
= =
= +
0 2( ) ( cos )2X Xq
M M yA Lx x R e A= = Momento flector
Momento mximo en la clave x=L/2, =0 M0
M1=-yAx
qL2/8
f Ax
25
Arco biarticulado circular. Rigidez
cosy R e=
Directriz circular: Radio R, Luz L. Longitud del arco S=2RInercia constante
2 2 2( cos ) ( cos )y ds R e ds R e Rd
+
= =
2 2
1 0 1 0
0 0 0 021 0 1 02 3 R
0 0 0 0
L
EIR S e S eL
= +
K
Particularizando la expresin general de la rigidez del arco biarticulado
26
Arco atirantado
0t t tN =
Pretensin de montaje en el tirante: N0tPositiva a traccin
No se transmite reaccin horizontal en A. Tampoco en B para cargas verticales
1t
t t t
LK E A
= =
Error en longitud del tirante:(positivo ms largo)
Flexibilidad del tirante
0t t t tN K N= +
( )t t t tN K =
27
Arco atirantado. Clculo por flexibilidad
30 1 0 1 1 0
1 15t t t t t tqf L
D M M ds N N N = =
1 1 1 1 211
22 0
11 0
( ) (1) (1)
815
t t t t
t t
f M M ds N N y ds
f Lf y dx
= + = +
= + = + Inercia segn la secante:I=I0 sec
N0M0
Q0q
qL/2
0 2( )2q
M Lx x= 1
1 cos
M y
N ==
Directriz parablica
h=1 X1=Nt
28
Arco atirantado. Esfuerzo en el tirante
30
01
2011
158
115
tt
t
t
qf LN
DX N
f Lf
+= = =
+
Esfuerzo final en el tirante siempre positivopara q hacia abajo y pretensin de traccin
La pretensin aumenta el esfuerzo final en el tirante
Constante D > 1
Nota: Si t=0 (tensor infinitamente rgido) sale Nt = q L 2 / 8fcomo en el arco biarticulado
29
Arco atirantado. Momento flector0 1 0 2( ) ( )
2t tq
M M XM M N y Lx x y N= + = + =
( ) 22 8C tqLLM M x f N= = =
M0
M1=-yNt
M=M0 y Nt
El tirante hace disminuir el momento flector. Disminuye ms cuanto ms arriba (y)
Momento sin tirante (Punto A libre)
Momento en la clave C:
2
8biartC X
qLM f A= Similar al arco biarticulado:
30
Arco atirantado. Esfuerzo axial0 1 sin cos
2 tqL
N N XN qx N = + = +
N0
N=N0 Nt cos
N1 = - cos
La traccin del tirante aumenta el valor de la compresin en el arco.
Axial sin tirante (Punto A libre)(negativo)
Axial siempre de compresin
C tN N=
31
Arco atirantado. Deformacin del apoyo A
0t
t tt
N N= +
0( )t t t tN N =
30
0
115t tqf L D
ND D = + t D= denominador de la expresin del esfuerzo en el tirante. D>1
Es igual a la deformacin del tirante
Despejando la deformacin:
Sustituyendo el valor del esfuerzo en el tirante:
Segundo sumando negativo. La pretensin hace disminuir la deformacin del apoyo:
N
N0t
t
32
Arco atirantado pretensado. Resumen
2( )2 tq
M Lx x yN=
sin cos2 tqL
N qx N = +
30 0
15t
tt
qf L NN
D D= +
La pretensin hace disminuir la deformacin del apoyo.
Sin reaccin horizontal en A. Tampoco en B para cargas verticales
Axial siempre de compresin- La traccin del tirante aumenta el valor de la compresin en el arco
Aparece momento flector- el esfuerzo en el tirante hace disminuir el flector
Esfuerzo final en el tirante:- siempre positivo para q hacia abajo y pretensin de traccin- la pretensin aumenta el esfuerzo final en el tirante
30
0
115t t tqf L D
ND D = +
33
Arco biempotrado
X
Y
A
A
A
M
= X
A
B
N2M2
Q2
x
1
y
1M y= 1 cosN =
2M x= 2 sinN = 3 1M = 3 0N =
N1M1
Q1
x1
y
N0M0
Q0
x
y
q
N3M3
Q3
x1
y
Caso 0Caso 1
Caso 2 Caso 3
34
Arco biempotrado
0 0
02 02 11 11 01
0 011 11 20 20 10
001 10 00
cos cos
sin sin
m gx
y m g
Ag
N ds T ds T yds M ydsAI J I J I
I J I J I A N ds T ds T xds M xds
I I I M T ds M ds
+ + + + + + = + +
Ecuaciones de compatibilidad:
, 0,1,2m nmnI x y ds m n= =sin cosm nmnJ ds =
0X Y AM M yA xA M= +
Esfuerzos finales:
0 cos sinX YN N A A =
=f X D
35
Arco biempotrado parablico. Carga uniformej k
jkf M M ds=
2 2
2 3 2
0
2
8 215 3 3
3 3 223 2
Lf L f Lf
L f L LEI
Lf LL
=
f
AB
Energa axial nula
Inercia segn la ley de la secante
1 2 3 1M y M x M= = =
36
Arco biempotrado parablico. Carga uniforme0 j
jD M M ds= N0M0Q0
x
y
q
20
2qx
M =
Coeficientes D
30
40
30
/10
/8
/6
qL f EI
qL EI
qL EI
=
D
2 / 8
/2
0
X
Y
A
qL fA
A qL
M
= = X
Mismas reacciones que en el arco isostticoNo hay momento en los apoyos
37
Arco biempotrado parablico. Carga uniforme
2 20 0 0
2 8 2X Y Aqx qL qL
M M yA xA M y xf
= + = + + =Momento flector: nulo !!
Axial: igual que en el arco isosttico
2
8ClaveqL
Nf
=
( )1/22 2168AqL
N L ff
= +
1/24 22
264 4L L
N q x xLf
= + +
Valor mximo en los apoyos
N
Es siempre de compresin
38
Arco biempotrado. Clculo de la rigidez (1)
N2M2
Q2
x
1
y
N1M1
Q1
x1
y
N0M0
Q0
x
y
N3M3
Q3
x1
y
Caso 0Descargado
Caso 1
Caso 2 Caso 3
1 11
2 21
3 31
X
Y
A
X A K
X A K
X M K
= == == =
Columna 1 de K h=3
39
Arco biempotrado. Clculo de la rigidez (2)
2 2
112 3 2
0 21
2 31
8 215 3 3 1
03 3 2
023 2
Lf L f Lf
KL f L L
EI K
KLf LL
=
i jijf M M ds= Sin energa de esfuerzo axial.Directriz parablica.
Inercia segn la secante: I=I0 sec()
0+f X = D
La matriz f es la empleada para el clculo del arco por flexibilidad.El vector D es nulo, pues el caso 0 est descargado.Hay que considerar el desplazamiento impuesto en la direccin X
40
Arco biempotrado. Clculo de la rigidez (3)
2 2
11 12 132 3 2
0 21 22 23
2 31 32 33
8 2
15 3 3 1 0 0
0 1 03 3 2
0 0 12
3 2
Lf L f Lf
K K KL f L L
EI K K K
K K KLf LL
= 1II II
=K f
II IIf K = I
Columna 3
Repitiendo para las columnas 1, 2 y 3 de K en el nudo I: slo cambia la deformacin unidad
Columna 1 Columna 2
Flexibilidad en el nudo I Rigidez en el nudo I
Deformacin impuesta
41
Arco biempotrado. Rigidez
Directriz parablica. Inercia segn la secante.
I=I0 sec()I0 inercia en la clave
2
3 2 3 2
2 2
0
2 2
3 2 3 2
2 2
2
15 45 15
2 4 20 012 6 12 6
0 0156 9 6 32
45 15 45 15
4 2 4 20 012 6 12 6
0 015 156 3 6 92 2
454
152
IX
IY
I
JX
JY
J
Lf Lf Lf
L L L L
LfL L L LEI
Lf Lf Lf Lf
L L L L
Lf LfL L L L
Lf
P
P
M LfP
P
M
=
IX
IY
I
JX
JY
J
IXJX
IY JY
I J
Sin energa de esfuerzo axial.
42
Ejemplo 1
L
H
f
q
L
Rgido axialmente
0
0 03 2
0 02
22
2
0
0
3
6
0
0
152
12 6
6 9 4
45 14
261
2
5
X X
Y Y
ILf
I IL LI IL L
IH H
AE H
IH
IL
I
F
FI MI
Lf H
f
+ + + = +
+
Arco parablico, sin
energa de esfuerzo axial, inercia segn la secante.
Pilar central infinitamente rgido axialmente
X
Y
q
L
H
f
43
Ejemplo 1. Fuerzas
2
8
2
0
X
Y
qLf
qLF
F
M
=
qL/2
qL2/8f qL2/8f
qL/2M0=0
Fuerzas de fase 0 en el arco debidas a la fuerza q
qL2/8f
qL/2
q
qL/2
qL2/8f
No hay momentos en la fase 0
44
Ejemplo 1. Esfuerzos finales en el arco2
2
02
2
15 45 158 2 4 20 0
12 0
0
8
2
0
454
IX
IY
I
JX
JY
J
qLf Lf Lf LfqL
EIqLf
qL
LfP
P
M
P
P
M
= +
3 2 3 2
2 2
2 2
3 2 3 2
2 2
2 6 12 60156 9 6 32
45 15 45 154 2 4 20 0
12 6 12 60 015 156 3 6 92 2
152
0
0
0
X
YL L L L
LfL L L L
Lf Lf Lf Lf
L L L L
Lf LfL L L L
Lf
Hay momentos, producidos por las deformaciones del nudo I
45
Ejemplo 1. Flector en el arco
IX
IY
I
2
2IY IX Iqx
M P x P y Mf
=
20 02
0 03 2
0 0 02
45 15
8 4 212 6
215 6 9
2
XIX
YIY
X YI
qL EI EIP
f Lf LfqL EI EI
PL L
EI EI EIM
Lf L L
= + = + +
= + +
Variacin parablica en x
46
Ejemplo 2
23
2
1 1
1
2
2
3
1
0 0
0 0 0
0 0
0 0 0
3
3C C
XC C
Y
X X
Y Y
X
Y
K
EAH
K
E
EIH
AH
KF
F
F
H
F
EI
K
+ = +
Arco semi circular uniforme
2 3
2 16C CC
EI EIK
R S L = =1X
1Y
q
L
H
R=L/2
2X
2Y
A
C
B
47
Ejemplo 2. Fuerzas
02
01
02
23
2
2
X
Y
Y
qLF
qLF
qLF
=
=
=
L=2R
1 2
qL/2
F1X -F2X
3 2 2 2
01 2 2
2 3 6 6 212 2 3 3XRL LeS e RL R eSq qL
FR S e S eLR += =+
48
Ejemplo 2. Ecuacin de equilibrio
3
1
1
2
3
2
3
20 03
0 0 0220 03
0 0 02
3C C
C C
X
Y
X
Y
qLK
EA qLH
qLK
EH
E
A qL
IH
EIH
K
K
+ = +
qL/2
q
qL/2
2qL 2qL
49
Ejemplo 3. Aadimos un tirante pretensado
( )
( )
0
03
3
1
1
2
2
20 03
0 0 02
3 20 03
0 0 02
3C C
C C
X
Y
X
Y
K K N
K K
qLK
EA qLH
EI qLKH
EA qLH
N
EIK
H
K
+ = +
+
+
1X
1Y
q
L
H
R=L/2
2X
2Y
A
C
B
K
Disminuyen las fuerzas exteriores
Aumenta la rigidez (poco)
Arcos planosArcos planos. DefinicinEjemplosTeora bsicaEcuaciones de equilibrioArco triarticulado (I)Arco triarticulado (II)Arco triarticulado simtrico. Carga uniforme (1)Arco triarticulado sin momento flector (2)Arco triarticulado sin momento flector (3)Arco triarticulado parablico. DeformacinArco triarticulado parablico. DeformacinSimplificaciones habitualesArco biarticulado parablico. Carga uniforme (1)Arco biarticulado parablico. Carga uniforme (2)Arco biarticulado parablico. Carga uniforme (3)Arco biarticulado parablico. Carga uniforme (4)Arco biarticulado parablico. Carga uniforme (5)Arco biarticulado parablico. Carga puntualArco biarticulado. Clculo de la rigidez (1)Arco biarticulado. Clculo de la rigidez (2)Arco biarticulado. Matriz de rigidezArco biarticulado parablico. RigidezArco biarticulado circular. Carga uniforme (1)Arco biarticulado circular. Carga uniforme (2)Arco biarticulado circular. RigidezArco atirantadoArco atirantado. Clculo por flexibilidadArco atirantado. Esfuerzo en el tiranteArco atirantado. Momento flectorArco atirantado. Esfuerzo axialArco atirantado. Deformacin del apoyo AArco atirantado pretensado. ResumenArco biempotradoArco biempotradoArco biempotrado parablico. Carga uniformeArco biempotrado parablico. Carga uniformeArco biempotrado parablico. Carga uniformeArco biempotrado. Clculo de la rigidez (1)Arco biempotrado. Clculo de la rigidez (2)Arco biempotrado. Clculo de la rigidez (3)Arco biempotrado. RigidezEjemplo 1Ejemplo 1. FuerzasEjemplo 1. Esfuerzos finales en el arcoEjemplo 1. Flector en el arcoEjemplo 2Ejemplo 2. FuerzasEjemplo 2. Ecuacin de equilibrioEjemplo 3. Aadimos un tirante pretensado