Arcos

Arcos planos

J. T. Celigeta

1Arcos planos. DefinicinQ Directriz curva plana. Seccin transversal despreciable.Q Curvatura pequea: radio mucho mayor que el canto R>>hQ Varias condiciones de apoyo en los extremos.

2Ejemplos

Puente romano (Crcega)

Puente del Milenio (Londres)Veldromo olmpico (Atenas)

Puente Michigan (Detroit) L=80 m

3Teora bsicaQ Esfuerzos internos: N, M, QQ Hiptesis de Navier: secciones perpendiculares a la directriz

curva se mantienen perpendiculares a la directriz deformadaQ R >> h Es aplicable la teora de flexin de vigas, en un dominio

curvo (ds sustituye a dx), pero hay acople entre N y M.Q Energa elstica:

2 2*

2 2 m gN M

U ds ds N T ds M T dsEA EI

= + +

4Ecuaciones de equilibrio

Q Equilibrio radial:X Nuevo trmino asociado a N

Q Equilibrio de momentos:

s

dQ Nq

ds R= +

dMQ

ds=

M

M+dMN

N+dNQ

Q+dQ

ds

qs

5Arco triarticulado (I)Q Isosttico

b=2 n=3 r=4 c=1

LA

h

fA

fB

LBA

C

B

Se aplica la frmula de los prticos planos

6 b + r = 16 3 n + 3 b + c = 16 h=0

6Arco triarticulado (II)

0extACx A y A AC f C L M + + =

0extCBx B y B BC f C L M+ + =

LA

h

fA

fB

LBA

CX

B

CY

CY

( ) 0ACAM =( ) 0BCBM =

CX, CY

7Arco triarticulado simtrico. Carga uniforme (1)

q

AX

AY

CX

2 2

08 8 2x y x yqL qL qL

C C A Af f

= = = =

Gran reaccin horizontal en los apoyos (1/f)

q

L

f

Forma y(x) sin definir.

Por simetra: CY=0

8Arco triarticulado sin momento flector (2)NM

Q

x

q

qL/2

qL2/8f

2 2

2 8 2qL qL qx

M x yf

=

22

4( )f

y Lx xL

= Parbola simtrica

0M =

2

cos sin cos 08 2qL qL

Q qxf

= + =Sustituyendo forma parablica

9Arco triarticulado sin momento flector (3)

2

8ClaveqL

Nf

=( )1/22 216

8AqL

N L ff

= +

2

8XqL

Nf

=2YqL

N qx=

2

sin sin cos2 8qL qL

N qxf

= 1/24 2

2264 4

L LN q x xL

f

= + +

Valor mximo en los apoyos

Es siempre de compresin

Proyeccin horizontal constante

10

Arco triarticulado parablico. Deformacin

L/2f

1/2V=1

L/2f

1/2

0 1cos sin2 2

V LNf

=

0 0 01 1 1( 0)V V VCY N N ds M M ds N N dsEA EI EA = + = =

0 1sin cos2 2

V LQf

=

Fuerza virtual unitaria

11

Arco triarticulado parablico. Deformacin

L/2f

1/2V=1

L/2f

1/2

0 1cos sin2 2

V LNf

=

1 1 1 1cos sin tan cos

2 2 2 2CYL L

N ds N dsEA f EA f

= =

1/24 22

264 4L L

N q x xLf

= + +

( )21 4 22CYL f

N L x dxEA f L

=

12

Simplificaciones habituales Rigidez axial infinita. Se desprecia la energa debida al esfuerzo axial

00

00

seccos

1 1cos cos

II I

EI EI

= =

= = =

10

EA = =

Momento de inercia variable segn la ley de la secanteFlexibilidad a flexin variable segn la ley coseno

Simplifica las integrales pues :

0 0( ) ( ) cos ( )f x ds f x ds f x dx = =

I0 : momento de inercia en la clave

13

Arco biarticulado parablico. Carga uniforme (1)q

L

fN0

M0

Q0

x

q

qL/2

N1M1

Q1

x1

0 2( )2q

M Lx x=

h=1 X1=Ax

1M y=

ParablicoSin energa de esfuerzo axial. Inercia variable segn la ley de la secante

22

4( )f

y Lx xL

=

14

Arco biarticulado parablico. Carga uniforme (2)

1M y=

1 1 1 1 211

2 211 0 0

20

11

( )

( ) cos

8

15

f N N ds M M ds y ds

f y ds y dx

f Lf

= + = = =

=

Sin energa de esfuerzo axial. Inercia variable segn la ley de la secante

15


( )( )

0 1 0 11

21

21 0

30

1

( )2

cos ( )2

15

D N N ds M M ds

qD Lx x y ds

qD Lx x y ds

q f LD

= ==

=

=

21

11 8X

D qLA

f f= =

N0M0

Q0

x

q

qL/2

0 2( )2q

M Lx x=

16


20 2 2

2

4( ) ( ) 02 8Xq f qL

M M yA Lx x Lx xL f

= = =

Sin momento flector. Mismo comportamiento que el arco triarticulado

2

cos sin cos 08 2qL qL

Q qxf

= + =Sustituyendo forma parablica

N0M0

Q0

x

q

qL/2

N1M1

Q1

x1

0 2( )2q

M Lx x= 1M y=

2

8XqL

Af

=

17


2

8ClaveqL

Nf

=

( )1/22 2168AqL

N L ff

= +

2

8XqL

Nf

=

2YqL

N qx=

2

sin sin cos2 8qL qL

N qxf

= 1/24 2

2264 4

L LN q x xL

f

= + +


N


Esfuerzo axial (igual que el triarticulado)

18

Arco biarticulado parablico. Carga puntual

( )2

0

1 0

5( ) cos

2 48

P f LPD L x y ds

= = 75384XPL

Af

=

max 0.0253 9 /50negM PL x L= =

20 75 27

96XP x

M M yA xL

= =

0.0547claveM PL=

M

P

19

Arco biarticulado. Clculo de la rigidez (1)

1 11X K=

IX=1

K21

K31K11

K41

Sin energa de esfuerzo axial.

11 1 1 11211

1 11f X X K

f y ds= = =

1 1 211 ( )f M M ds y ds = =

h=1

Clculo de la columna 1: deformacin unidad en IX

Caso 1

Condicin de compatibilidad:

20

Arco biarticulado. Clculo de la rigidez (2)

31 11 21 41 0K K K K= = =

IX=1

K21

K31K11

K41

1 11211

1 1X K

f y ds= =

Clculo de la columna 1

11

21

31 11

41

0

0

K

K

K K

K

= = =

Condicin de compatibilidad:11 1 1 11 0f X D D= + =

21

Arco biarticulado. Matriz de rigidez

2

1 0 1 0

0 0 0 011 0 1 0

0 0 0 0

Ly ds

= K

Slo aporta rigidez en la direccin X


IX JX

IY JYy

Columnas 2 y 4 nulasColumna 3 igual a la 1Agrupando las 4 columnas

22

Arco biarticulado parablico. Rigidez

Directriz parablica. Inercia segn la secante: I=I0 sec I0 inercia en la clave

02

1 0 1 0

0 0 0 0151 0 1 08

0 0 0 0

L

EILf

=

K

Si f se anula, no se obtiene la rigidez de la barra recta pues no se ha considerado la energa de axial

2

2 2 20 0

0

8cos

15

f Ly ds y ds y dx

EI = = =

23

Arco biarticulado circular. Carga uniforme (1)N0

M0

Q0

x

q

qL/2

N1M1

Q1

x1

1M y=0 2( )2q

M Lx x= h=1 X1=Ax

1 1 211

2 2

11

( )

2 32

f M M ds y Rd

R S e S eLRf

EI

= = + =

cosy R e=

y

L

R e

x

sin /2x R L= +

Longitud del arco S=2RInercia constante. Sin energa de axial

24

Arco biarticulado circular. Carga uniforme (2)

3 2 2 2

2 2

2 3 6 6

12 2 3XRL LeS e RL R eSq

X AR S e S eLR

+= = +

2 2max ( )

2 2 4 8X Xq L L qL

M L R e A fA = =

( )( )

0 1 21

3 2 2 21

( )2

2 3 6 624

qD M M ds Lx x y Rd

qD RL LeS e RL R eS

EI

+

= =

= +

0 2( ) ( cos )2X Xq

M M yA Lx x R e A= = Momento flector

Momento mximo en la clave x=L/2, =0 M0

M1=-yAx

qL2/8

f Ax

25

Arco biarticulado circular. Rigidez

cosy R e=

Directriz circular: Radio R, Luz L. Longitud del arco S=2RInercia constante

2 2 2( cos ) ( cos )y ds R e ds R e Rd

+

= =

2 2

1 0 1 0

0 0 0 021 0 1 02 3 R

0 0 0 0

L

EIR S e S eL

= +

K

Particularizando la expresin general de la rigidez del arco biarticulado

26

Arco atirantado

0t t tN =

Pretensin de montaje en el tirante: N0tPositiva a traccin

No se transmite reaccin horizontal en A. Tampoco en B para cargas verticales

1t

t t t

LK E A

= =

Error en longitud del tirante:(positivo ms largo)

Flexibilidad del tirante

0t t t tN K N= +

( )t t t tN K =

27

Arco atirantado. Clculo por flexibilidad

30 1 0 1 1 0

1 15t t t t t tqf L

D M M ds N N N = =

1 1 1 1 211

22 0

11 0

( ) (1) (1)

815

t t t t

t t

f M M ds N N y ds

f Lf y dx

= + = +

= + = + Inercia segn la secante:I=I0 sec

N0M0

Q0q

qL/2

0 2( )2q

M Lx x= 1

1 cos

M y

N ==

Directriz parablica

h=1 X1=Nt

28

Arco atirantado. Esfuerzo en el tirante

30

01

2011

158

115

tt

t

t

qf LN

DX N

f Lf

+= = =

+

Esfuerzo final en el tirante siempre positivopara q hacia abajo y pretensin de traccin

La pretensin aumenta el esfuerzo final en el tirante

Constante D > 1

Nota: Si t=0 (tensor infinitamente rgido) sale Nt = q L 2 / 8fcomo en el arco biarticulado

29

Arco atirantado. Momento flector0 1 0 2( ) ( )

2t tq

M M XM M N y Lx x y N= + = + =

( ) 22 8C tqLLM M x f N= = =

M0

M1=-yNt

M=M0 y Nt

El tirante hace disminuir el momento flector. Disminuye ms cuanto ms arriba (y)

Momento sin tirante (Punto A libre)

Momento en la clave C:

2

8biartC X

qLM f A= Similar al arco biarticulado:

30

Arco atirantado. Esfuerzo axial0 1 sin cos

2 tqL

N N XN qx N = + = +

N0

N=N0 Nt cos

N1 = - cos

La traccin del tirante aumenta el valor de la compresin en el arco.

Axial sin tirante (Punto A libre)(negativo)

Axial siempre de compresin

C tN N=

31

Arco atirantado. Deformacin del apoyo A

0t

t tt

N N= +

0( )t t t tN N =

30

0

115t tqf L D

ND D = + t D= denominador de la expresin del esfuerzo en el tirante. D>1

Es igual a la deformacin del tirante

Despejando la deformacin:

Sustituyendo el valor del esfuerzo en el tirante:

Segundo sumando negativo. La pretensin hace disminuir la deformacin del apoyo:

N

N0t

t

32

Arco atirantado pretensado. Resumen

2( )2 tq

M Lx x yN=

sin cos2 tqL

N qx N = +

30 0

15t

tt

qf L NN

D D= +

La pretensin hace disminuir la deformacin del apoyo.

Sin reaccin horizontal en A. Tampoco en B para cargas verticales

Axial siempre de compresin- La traccin del tirante aumenta el valor de la compresin en el arco

Aparece momento flector- el esfuerzo en el tirante hace disminuir el flector

Esfuerzo final en el tirante:- siempre positivo para q hacia abajo y pretensin de traccin- la pretensin aumenta el esfuerzo final en el tirante

30

0

115t t tqf L D

ND D = +

33

Arco biempotrado

X

Y

A

A

A

M

= X

A

B

N2M2

Q2

x

1

y

1M y= 1 cosN =

2M x= 2 sinN = 3 1M = 3 0N =

N1M1

Q1

x1

y

N0M0

Q0

x

y

q

N3M3

Q3

x1

y

Caso 0Caso 1

Caso 2 Caso 3

34

Arco biempotrado

0 0

02 02 11 11 01

0 011 11 20 20 10

001 10 00

cos cos

sin sin

m gx

y m g

Ag

N ds T ds T yds M ydsAI J I J I

I J I J I A N ds T ds T xds M xds

I I I M T ds M ds

+ + + + + + = + +

Ecuaciones de compatibilidad:

, 0,1,2m nmnI x y ds m n= =sin cosm nmnJ ds =

0X Y AM M yA xA M= +

Esfuerzos finales:

0 cos sinX YN N A A =

=f X D

35

Arco biempotrado parablico. Carga uniformej k

jkf M M ds=

2 2

2 3 2

0

2

8 215 3 3

3 3 223 2

Lf L f Lf

L f L LEI

Lf LL

=

f

AB

Energa axial nula

Inercia segn la ley de la secante

1 2 3 1M y M x M= = =

36

Arco biempotrado parablico. Carga uniforme0 j

jD M M ds= N0M0Q0

x

y

q

20

2qx

M =

Coeficientes D

30

40

30

/10

/8

/6

qL f EI

qL EI

qL EI

=

D

2 / 8

/2

0

X

Y

A

qL fA

A qL

M

= = X

Mismas reacciones que en el arco isostticoNo hay momento en los apoyos

37

Arco biempotrado parablico. Carga uniforme

2 20 0 0

2 8 2X Y Aqx qL qL

M M yA xA M y xf

= + = + + =Momento flector: nulo !!

Axial: igual que en el arco isosttico

2

8ClaveqL

Nf

=

( )1/22 2168AqL

N L ff

= +

1/24 22

264 4L L

N q x xLf

= + +


N


38

Arco biempotrado. Clculo de la rigidez (1)

N2M2

Q2

x

1

y

N1M1

Q1

x1

y

N0M0

Q0

x

y

N3M3

Q3

x1

y

Caso 0Descargado

Caso 1

Caso 2 Caso 3

1 11

2 21

3 31

X

Y

A

X A K

X A K

X M K

= == == =

Columna 1 de K h=3

39


2 2

112 3 2

0 21

2 31

8 215 3 3 1

03 3 2

023 2

Lf L f Lf

KL f L L

EI K

KLf LL

=

i jijf M M ds= Sin energa de esfuerzo axial.Directriz parablica.

Inercia segn la secante: I=I0 sec()

0+f X = D

La matriz f es la empleada para el clculo del arco por flexibilidad.El vector D es nulo, pues el caso 0 est descargado.Hay que considerar el desplazamiento impuesto en la direccin X

40


2 2

11 12 132 3 2

0 21 22 23

2 31 32 33

8 2

15 3 3 1 0 0

0 1 03 3 2

0 0 12

3 2

Lf L f Lf

K K KL f L L

EI K K K

K K KLf LL

= 1II II

=K f

II IIf K = I

Columna 3

Repitiendo para las columnas 1, 2 y 3 de K en el nudo I: slo cambia la deformacin unidad

Columna 1 Columna 2

Flexibilidad en el nudo I Rigidez en el nudo I

Deformacin impuesta

41

Arco biempotrado. Rigidez

Directriz parablica. Inercia segn la secante.

I=I0 sec()I0 inercia en la clave

2

3 2 3 2

2 2

0

2 2

3 2 3 2

2 2

2

15 45 15

2 4 20 012 6 12 6

0 0156 9 6 32

45 15 45 15

4 2 4 20 012 6 12 6

0 015 156 3 6 92 2

454

152

IX

IY

I

JX

JY

J

Lf Lf Lf

L L L L

LfL L L LEI

Lf Lf Lf Lf

L L L L

Lf LfL L L L

Lf

P

P

M LfP

P

M

=

IX

IY

I

JX

JY

J

IXJX

IY JY

I J


42

Ejemplo 1

L

H

f

q

L

Rgido axialmente

0

0 03 2

0 02

22

2

0

0

3

6

0

0

152

12 6

6 9 4

45 14

261

2

5

X X

Y Y

ILf

I IL LI IL L

IH H

AE H

IH

IL

I

F

FI MI

Lf H

f

+ + + = +

+

Arco parablico, sin

energa de esfuerzo axial, inercia segn la secante.

Pilar central infinitamente rgido axialmente

X

Y

q

L

H

f

43

Ejemplo 1. Fuerzas

2

8

2

0

X

Y

qLf

qLF

F

M

=

qL/2

qL2/8f qL2/8f

qL/2M0=0

Fuerzas de fase 0 en el arco debidas a la fuerza q

qL2/8f

qL/2

q

qL/2

qL2/8f

No hay momentos en la fase 0

44

Ejemplo 1. Esfuerzos finales en el arco2

2

02

2

15 45 158 2 4 20 0

12 0

0

8

2

0

454

IX

IY

I

JX

JY

J

qLf Lf Lf LfqL

EIqLf

qL

LfP

P

M

P

P

M

= +

3 2 3 2

2 2

2 2

3 2 3 2

2 2

2 6 12 60156 9 6 32

45 15 45 154 2 4 20 0

12 6 12 60 015 156 3 6 92 2

152

0

0

0

X

YL L L L

LfL L L L

Lf Lf Lf Lf

L L L L

Lf LfL L L L

Lf

Hay momentos, producidos por las deformaciones del nudo I

45

Ejemplo 1. Flector en el arco

IX

IY

I

2

2IY IX Iqx

M P x P y Mf

=

20 02

0 03 2

0 0 02

45 15

8 4 212 6

215 6 9

2

XIX

YIY

X YI

qL EI EIP

f Lf LfqL EI EI

PL L

EI EI EIM

Lf L L

= + = + +

= + +

Variacin parablica en x

46

Ejemplo 2

23

2

1 1

1

2

2

3

1

0 0

0 0 0

0 0

0 0 0

3

3C C

XC C

Y

X X

Y Y

X

Y

K

EAH

K

E

EIH

AH

KF

F

F

H

F

EI

K

+ = +

Arco semi circular uniforme

2 3

2 16C CC

EI EIK

R S L = =1X

1Y

q

L

H

R=L/2

2X

2Y

A

C

B

47

Ejemplo 2. Fuerzas

02

01

02

23

2

2

X

Y

Y

qLF

qLF

qLF

=

=

=

L=2R

1 2

qL/2

F1X -F2X

3 2 2 2

01 2 2

2 3 6 6 212 2 3 3XRL LeS e RL R eSq qL

FR S e S eLR += =+

48

Ejemplo 2. Ecuacin de equilibrio

3

1

1

2

3

2

3

20 03

0 0 0220 03

0 0 02

3C C

C C

X

Y

X

Y

qLK

EA qLH

qLK

EH

E

A qL

IH

EIH

K

K

+ = +

qL/2

q

qL/2

2qL 2qL

49

Ejemplo 3. Aadimos un tirante pretensado

( )

( )

0

03

3

1

1

2

2

20 03

0 0 02

3 20 03

0 0 02

3C C

C C

X

Y

X

Y

K K N

K K

qLK

EA qLH

EI qLKH

EA qLH

N

EIK

H

K

+ = +

+

+

1X

1Y

q

L

H

R=L/2

2X

2Y

A

C

B

K

Disminuyen las fuerzas exteriores

Aumenta la rigidez (poco)

Arcos planosArcos planos. DefinicinEjemplosTeora bsicaEcuaciones de equilibrioArco triarticulado (I)Arco triarticulado (II)Arco triarticulado simtrico. Carga uniforme (1)Arco triarticulado sin momento flector (2)Arco triarticulado sin momento flector (3)Arco triarticulado parablico. DeformacinArco triarticulado parablico. DeformacinSimplificaciones habitualesArco biarticulado parablico. Carga uniforme (1)Arco biarticulado parablico. Carga uniforme (2)Arco biarticulado parablico. Carga uniforme (3)Arco biarticulado parablico. Carga uniforme (4)Arco biarticulado parablico. Carga uniforme (5)Arco biarticulado parablico. Carga puntualArco biarticulado. Clculo de la rigidez (1)Arco biarticulado. Clculo de la rigidez (2)Arco biarticulado. Matriz de rigidezArco biarticulado parablico. RigidezArco biarticulado circular. Carga uniforme (1)Arco biarticulado circular. Carga uniforme (2)Arco biarticulado circular. RigidezArco atirantadoArco atirantado. Clculo por flexibilidadArco atirantado. Esfuerzo en el tiranteArco atirantado. Momento flectorArco atirantado. Esfuerzo axialArco atirantado. Deformacin del apoyo AArco atirantado pretensado. ResumenArco biempotradoArco biempotradoArco biempotrado parablico. Carga uniformeArco biempotrado parablico. Carga uniformeArco biempotrado parablico. Carga uniformeArco biempotrado. Clculo de la rigidez (1)Arco biempotrado. Clculo de la rigidez (2)Arco biempotrado. Clculo de la rigidez (3)Arco biempotrado. RigidezEjemplo 1Ejemplo 1. FuerzasEjemplo 1. Esfuerzos finales en el arcoEjemplo 1. Flector en el arcoEjemplo 2Ejemplo 2. FuerzasEjemplo 2. Ecuacin de equilibrioEjemplo 3. Aadimos un tirante pretensado

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