Arcos Trabajo

5/23/2018 Arcos Trabajo

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AO DE LA PROMOCION DE INDUSTRIA RESPONSABLE Y EL COMPROMISO CLIMATICO

INTEGRANTES:

CRUZADO HERNANDEZ CINTIA

BOBADILLA PALMADERA MAYRA

LARA RODRIGUEZ CRISTHIAN

UUVERO LUNA LUIS

SANTOS RAMIREZ GREYSI SARAVIA MEDINA KEVIN

VALLADAREZ RUIZ LETICIA

CARRERA:

INGENIERIA CIVIL

CURSO:

INGENIERA SISMICA

DOCENTE:

DIAZ GARCA GONZALO HUGO

CICLO:

VII

AO:

2014


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ANALISIS ESTRUCTURAL II ARCOS

INDICE DE CONTENIDOS

1. INTRODUCCION 2

2. GENERALIDADES 4

2.1. Hiptesis fundamentales 4

2.2. Ecuaciones de equilibrio 43. ARCO ARTICULADO 6

3.1. Esfuerzos internos 7

3.2. Deformacin en la clave 8

3.3. Arco sin momento flector 9

4. ARCO BIARTICULADO 11

5. ARCO BIARTICULADO TIRANTADO 15

6. ARCO BIEMPOTRADO 18

7. ARCO BIEMPOTRADO. CENTRO ELASTICO 21

8. ANALOGA DE LA COLUMNA 25

9. EJERCICIO RESUELTO 28


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ARCOS

1.- INTRODUCCIN

Un arco es una estructura plana constituida por un elemento curvo de seccin transversal

despreciable frente a su longitud, y cuya curvatura es pequea comparada con su seccintransversal. Los dos puntos extremos pueden estar sustentados de distintas formas y lascargas exteriores son habitualmente verticales.Los arcos son una de las estructuras ms utilizadas desde la antigedad. Ello esdebido a que, si su geometra es adecuada, soportan grandes cargas transversales y lastransmiten a los apoyos extremos trabajando bsicamente a compresin, con muy pocoesfuerzo de flexin. Esto permite utilizar en su construccin materiales que no soportanbien la traccin, como el hormign en masa o sencillamente ladrillos o bloques de piedraindependientes, adosados unos a otros.La figura 1.- muestra las disposiciones ms habituales de los arcos.

Los arcos estn normalmente sometidos a fuertes cargas verticales, aplicadas bien desdela parte superior del arco o desde la inferior (figura 2), as como a cargas horizontalesdebidas a empujes de viento, frenado, etc. Son tambin frecuentes las cargas trmicas olas debidas a los asientos de los apoyos, que pueden ser importantes en arcos de grantamao.

Es posible encontrar tambin arcosformando parte de otras estructuras planasms complejas, del tipo celosa o prtico(figura 3).


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2.- GENERALIDADES

2.1 HIPTESIS FUNDAMENTALESLa hiptesis fundamental para el estudio de los arcos es que su curvatura es pequea encomparacin con las dimensiones transversales de su seccin o lo que es lo mismo, queel radio de curvatura es mucho mayor que el canto de la seccin. Esta simplificacin esaplicable normalmente si la relacin entre el radio de curvatura y el canto es superior a 10.La suposicin de pequea curvatura hace que no sea necesario aplicar una teoraespecial de piezas curvas, sino que es directamente aplicable la teora convencional deflexin de vigas, considerando nicamente que el dominio de la estructura es curvo. Losprimeros trabajos sobre arcos empleando estas hiptesis se deben a Navier (1826) y aBresse (1854). La energa acumulada en un arco tiene la misma expresin que para unprtico plano, pero sustituyendo la coordenada longitudinal x por la longitud del arco s.

siendo N el esfuerzo axial y M el momento flector en una seccin cualquiera del arco. Lavariacin de temperatura a lo largo de la seccin del arco se supone lineal, definida porsus valores medio Tm y gradiente Tg. Tanto el esfuerzo axial como el momento flectorson en general variables a lo largo de la directriz. El canto normalmente tambin esvariable.Habitualmente no se considera la energa debida al esfuerzo cortante pues, porsu propia definicin, los arcos son esbeltos, con lo que la energa de cortante no essignificativa. En muchos casos tambin se desprecia la energa de esfuerzo axial, comose ve ms adelante.

2.2 ECUACIONES DE EQUILIBRIOPara hallar las ecuaciones de equilibrio se asla un elemento Ds que corresponde a unngulo Dj , tal y como se muestra en la figura 4.

EQUILIBRIO RADIAL DE FUERZAS


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Cuando Ds tiende a cero el ngulo Dj tambin lo hace, y el seno y el coseno delmismo tienden a:

siendo R el radio de curvatura de la seccin. Sustituyendo estos valores,dividiendo por Ds y tomando el lmite cuando Ds 0 la ecuacin de equilibrio radialqueda:

Esta ecuacin es equivalente a la de las vigas rectas, con la diferencia de que enella hay un nuevo trmino en el que intervienen el esfuerzo axial N y el radio decurvatura R. Si este radio de curvatura tiende a infinito, la ecuacin anteriorcoincide con la habitual de las vigas rectas.

EQUILIBRIO DE MOMENTOSTomando momentos en el elemento diferencial respecto a su lado derecho seobtiene:

Procediendo igual que con la ecuacin de equilibrio de fuerzas se llega a:

que es la ecuacin equivalente a la de flexin de vigas rectas.


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3.- ARCO TRIARTICULADO

Se trata de una estructura isosttica, cuya disposicin geomtrica general puede verse enla figura 5. No se especifica en principio su forma, sino slo la posicin de los apoyos A, By de la clave C.

Las reacciones en las articulaciones se pueden hallar aislando los dos elementos AC y

CB, como se indica en la figura 6.6. Tomando momentos respecto de A en el elementoAC, y respecto de B en el elemento CB, se obtiene:

donde:

es el momento respecto de A de las fuerzas exteriores comprendidas entre

A y C, yes el momento respecto de B de las fuerzas exteriores entre C y B.

Ambos momentos se consideran positivos en sentido antihorario. De lasdos ecuaciones anteriores se obtienen las reacciones en la clave C.

Ambos momentos se consideran positivos en sentido antihorario. De las dos ecuacionesanteriores se obtienen las reacciones en la clave C.


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Las reacciones en los apoyos se obtienen del equilibrio de fuerzas horizontal y vertical decada tramo:

3.1 ESFUERZOS INTERNOS

Los esfuerzos en el interior del arco se obtienen aislando un tramo AP, donde P es unpuntocualquiera situado entre A y B (figura 7). El origen del sistema de coordenadas se sita en

A, con lo que las coordenadas de P son x,y.

El momento flector M se obtienetomando momentos respecto de P:

donde es el momento respecto de Pde las fuerzas exteriores aplicadas entre A yP. Se considera positivo en sentidoantihorario.

Los esfuerzos axial N y cortante Q se obtienen aplicando el equilibrio de fuerzas en lasdirecciones X e Y:

donde son las resultantes, segn X e Y, de las fuerzas exterioresaplicadas entre A y P. El valor que se obtiene para el esfuerzo axial es:


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3.2 DEFORMACIN EN LA CLAVELa deformacin vertical en la clave C se obtiene aplicando el mtodo de la fuerza virtualunitaria. La figura 8 muestra el caso virtual.

Tomando momentos respecto de A en AC, y respecto de B en CB se obtiene:

de donde se calculan las reacciones en la clave en el caso virtual:

Las reacciones en los apoyos son:

Los esfuerzos en el caso virtual se indican en la figura 9.

Tramo AC

Tramo CB


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La deformacin en la clave se obtiene aplicando el teorema de Crotti-Engesser, con laexpresin de la energa dada por la ecuacin :

3.3 ARCO SIN MOMENTO FLECTORSea un arco triarticulado simtrico, cargado con una carga distribuida uniforme q, como semuestra en la figura 10. Se desea determinar qu forma debe tener el arco para que noaparezcan momentos en l.

La reaccin vertical en la clave es nula por simetra (ver captulo 9). Aislando el tramo ACse obtienen las restantes reacciones:

El momento flector en un punto P situadoen unas coordenadas x,y es (figura 11):


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Imponiendo la condicin M=0 y despejando la coordenada y en funcin de la x se obtienela ecuacin de la forma del arco, que es una parbola simtrica con la concavidad haciaabajo:

El esfuerzo axial es:

El esfuerzo cortante es:

Teniendo en cuenta la relacin geomtrica

se obtiene:

Es decir que el arco est sometido nicamente a un esfuerzo axial, sin flexin ni cortante.Este resultado explica el inters de usar arcos de directriz parablica para soportar cargasverticales, pues se pueden utilizar materiales que no soportan la traccin ni el esfuerzocortante, o incluso elementos aislados, ya que stos se sujetan unos a otros porrozamiento al estar el arco siempre a compresin.


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4 .-ARCO BIARTICULADOEste arco es hiperesttico de grado h=1 (figura 12). Para su anlisis se elige comoincgnita redundante la reaccin horizontal en el apoyo izquierdo Ax .

Por superposicin, los valores del esfuerzo axial N y del momento flector M son:

Caso 0 (figura 13).La reaccin vertical en A se obtiene tomando momentos respecto de B de todo elarco:

Los esfuerzos axial y cortante y el momento flector valen:


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donde el superndice se refiere a todas las fuerzas exteriores actuantesentre A y P.

Caso 1 (figura 14).La reaccin vertical en A se obtiene, como en el caso 0, tomando momentosrespecto de B de todo el arco:

Los esfuerzos axial y cortante y el momento flector valen:


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La condicin de compatibilidad se obtiene aplicando el segundo teorema deEngesser a la energa complementaria dada por la expresin :

Sustituyendo en la ecuacin anterior el valor de los distintos esfuerzos ydespejando, se obtiene el valor de la reaccin hiperesttica:

Los esfuerzos finales en el arco son:

ARCO RGIDO AXIALMENTE, SIN CARGAS TRMICAS:Una simplificacin muy frecuente es despreciar la energa de esfuerzo axial, empleandog=0. Suponiendo que no hay cargas trmicas sobre el arco y sustituyendo el valor de

M1 = -z en la expresin de la reaccin se obtiene:

El momento flector es:

que es una expresin tambin muy habitual en el diseo de arcos.


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ARCO DE INERCIA VARIABLE SEGN LA LEY DE LA SECANTEEn muchas ocasiones se disea la seccin transversal del arco de tal forma que su rigideza flexin vare segn la ley:

donde (EI)0 es la rigidez a flexin en la clave del arco y m 0 es la flexibilidadcorrespondiente. Esta ley de variacin no es excesivamente complicada de obtener ysimplifica mucho los clculos posteriores. En efecto, las integrales extendidas a la longituddel arco se pueden poner como:

con lo cual basta con integrar en la coordenada x, que es mucho ms sencillo.

ARCO SIMTRICO CON CARGA VERTICALMuchas veces los arcos se disean para minimizar el momento flector y para ello se da asu directriz una forma que coincide con el polgono funicular de las fuerzas exteriores. Enarcos simtricos diseados de esta manera y sometidos solamente a cargas verticales, secumple que la componente horizontal del esfuerzo axial se mantiene constante. Ademsesta componente horizontal es igual a la reaccin horizontal en el apoyo A, al haber slo

cargas verticales.

Con esta simplificacin los esfuerzos en el caso 1 son:

La ecuacin de compatibilidad queda:

En la primera integral se identifica el valor de la reaccin horizontal en A:


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Al ser Ax constante, se obtiene:

Esta frmula es tambin muy utilizada para el clculo prctico de arcos, si el diseo de sudirectriz se efecta tal y como se ha indicado antes.

5.- ARCO BIARTICULADO ATIRANTADOEs frecuente el empleo de un tirante de sujecin entre los dos apoyos, con objeto deeliminar la componente horizontal de la reaccin en un apoyo. De hecho, si todas lascargas son verticales este arco no produce ninguna reaccin horizontal sobre el terreno.

Se supone que el tirante tiene una flexibilidad axial de valor r t y que en l hay un esfuerzode pretensin inicial N0t definido por un alargamiento equivalente l t :

El arco es hiperesttico de grado 1, y para su anlisis se adopta como incgnitaredundante X el esfuerzo en el tirante. Se identifica con el subndice a al esfuerzo axial delarco y con t al del tirante.

Caso 0Este caso (figura 16) es igual que el caso 0 del arco biarticulado, por lo tanto losesfuerzos son los mismos que en l. El esfuerzo en el tirante es nulo.


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Caso 1. Se aplica un valor unidad al esfuerzo en el tirante, como se observa en lafigura 17. Los esfuerzos que se producen son:

donde se ha empleado la coordenada z' medida perpendicularmente desde el tirante alarco.

Los esfuerzos finales en el arco y en el tirante son:

La energa acumulada en la estructura es la suma de la del arco y la del tirante:


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La ecuacin de compatibilidad se obtiene aplicando el segundo teorema deEngesser:

Despejando el valor del esfuerzo en el tirante se obtiene:

Los esfuerzos finales son:

Caso particular. Arco rgido axialmenteDespreciando la energa de esfuerzo axial acumulada en el arco y considerandoque no hay variaciones de temperatura, se obtiene la siguiente expresin delesfuerzo en el tirante:


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6.- ARCO BIEMPOTRADO

El arco biempotrado (figura 6.18) es hiperesttico de grado 3, y para su estudio seconsideran como incgnitas hiperestticas los tres esfuerzos en el apoyo A: Ax , Ay , MA.

Caso 0. Los esfuerzos en este caso dependen de las cargas exteriores y son: N0,M0 ,Q0 .

Caso 1. Se aplica un valor unitario de la reaccin horizontal, y los esfuerzos son:


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Caso 2. Se aplica un valor unidad de la reaccin vertical y los esfuerzosson:

Caso 3. Al aplicar un valor unidad al momento los esfuerzos que seproducen son:

Las tres condiciones de compatibilidad son:

siendo:

Sustituyendo el valor de M, pero no el de N, y desarrollando se llega a unsistema de tres ecuaciones y tres incgnitas, que se puede poner de formamatricial como:

donde la matriz del sistema es la matriz de flexibilidad del arco en el apoyoA, cuyos trminos valen:

Estos coeficientes representan las propiedades geomtricas de unaseccin plana, cuya directriz es una curva con la forma del arco, y cuyoespesor corresponde a la flexibilidad a flexin m. El sistema de ecuaciones


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anterior no puede resolverse, pues contiene el valor de N en el trminoindependiente. Sustituyendo dicho valor de N, y desarrollando se obtiene:

ARCO SIMTRICO CON CARGAS VERTICALESSi un arco simtrico, sometido nicamente a cargas simtricas y verticales, se disea conuna directriz que corresponda al polgono funicular de las cargas, ocurre que lacomponente horizontal del esfuerzo axial es constante e igual a la reaccin horizontal en

los apoyos.

Sustituyendo en la ecuacin y reagrupando trminos se obtiene:

donde se ha tenido en cuenta que las integrales del tipo sina y tana son nulas por ser elarcosimtrico.


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7.- ARCO BIEMPOTRADO. CENTRO ELSTICOTradicionalmente se ha efectuado el estudio de los arcos biempotrados mediante elempleo del llamado centro elstico. Esta tcnica se basa en el mtodo de flexibilidad, tal ycomo se ha presentado en el apartado anterior, y trata nicamente de simplificar elproceso de clculo, evitando la resolucin del sistema final de tres ecuaciones con tres

incgnitas.

Para el empleo de este mtodo se define una seccin plana equivalente al arco, cuyadirectriz es una curva con la forma de la directriz del arco y cuyo espesor corresponde a laflexibilidad a flexin m. Se considera asimismo que el arco es infinitamente rgido aesfuerzo axial g=0.

Se define el centro elstico del arco como un punto E, situado en el centro degravedad de la seccin plana equivalente al arco. Con esta definicin sus coordenadasson:

Adems, se define un sistema de ejes x,h situado en el punto E, de tal manera que seanlos ejes principales de inercia de la seccin plana equivalente (figura 20a). El ngulo j queforman estos ejes con el sistema inicial X,Y viene dado por la expresin:

Una vez definido este sistema de ejes, se traslada el empotramiento del apoyo A hasta elpunto E, a base de conectar A con E mediante un elemento infinitamente rgido tanto aflexin como axialmente, y que por lo tanto no acumula energa alguna (figura 20.b). Conesta sustitucin el arco se comporta de la misma forma, y slo varan las reacciones, queson distintas en A y en E.


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A continuacin se procede a efectuar el anlisis del arco tomando como incgnitashiperestticas las tres reacciones en el empotramiento situado en E. Este anlisis sedescompone en los cuatro casos que se muestran en la figura 21.

Caso 0. Los esfuerzos en este caso dependen de las cargas exteriores y

son N0 ,M0 ,Q0 .

Caso 1. Los esfuerzos son:

donde se ha denominado b al ngulo que forma la tangente al arco con eleje x. Por lo tanto se cumple que b=a-j.


M2 = x N2 = -sinb



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M3 = -1 N3 = 0

Obsrvese que las expresiones analticas de los esfuerzos en los casos 1 a

3 son iguales que las obtenidas en el apartado 6.6, cambiando slo lascoordenadas x,y por las x,h y el ngulo a por el b. Los momentos flectoresy esfuerzos axiales en el caso 0 son tambin los mismos que en dichoapartado, aunque sus expresiones analticas sern asimismo diferentes.

Las tres condiciones de compatibilidad son:

siendo:

Sustituyendo M y desarrollando las ecuaciones de compatibilidad seobtiene:

En estas ecuaciones ya se han tenido en cuenta las propiedades del arcorespecto de los ejes x,h, por ser principales de inercia de la seccinequivalente:


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y se han definido los momentos de segundo orden respecto de estos ejesprincipales:

Las tres ecuaciones estn desacopladas, por lo que se pueden calcular confacilidad las tres reacciones en el centro elstico. Conocidas stas, losvalores del momento flector y del esfuerzo axial en un punto cualquiera delarco son:

La relacin entre las reacciones en A y en E se obtiene estableciendo elequilibrio del segmento rgido AE. Empleado para las reacciones en A el

mismo criterio de signos que en la figura 19. se obtiene:

Como puede observarse, el mtodo del centro elstico lo nico que hace esaplicar un cambio de ejes de tal forma que las ecuaciones decompatibilidad queden desacopladas en los nuevos ejes, para facilitar su

resolucin por separado.


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8.- ANALOGA DE LA COLUMNA

Se supone un arco infinitamente rgido a esfuerzo axial, cargado de forma arbitraria perosin variaciones de temperatura. La expresin del momento flector en un punto cualquierase puede calcular empleando el mtodo del centro elstico. Para ello se resuelven las tres

ecuaciones y se sustituyen los resultados en laecuaxion . Al no haber variaciones detemperatura se obtiene el siguiente valor del momento flector:

Para crear una analoga entre el arco y una columna, se supone una columna de material

perfectamente rgido, cuya seccin transversal coincide con la directriz del arco y cuyoespesor es igual al valor de la flexibilidad a flexin e=m. La columna se supone apoyadaen su base en un suelo tambin rgido, como se muestra en la figura 22.

Se carga la columna en su parte superior con una carga distribuida vertical q, cuyovalor corresponde al momento flector en el arco en el caso 0, es decir: q=M0. Esta cargase supone positiva cuando acta hacia abajo, comprimiendo la columna. Como reaccinaparece una distribucin de presiones en la base de la columna, que se denomina p y seconsidera positiva cuando acta hacia arriba.

El valor de la presin en un punto cualquiera, situado en la base de la columna, y cuyascoordenadas son x,h, es:


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siendo:

Rq la resultante de la carga distribuida:

los momentos de la carga distribuida exterior q, respecto de los

ejes x,h:

A el rea de la seccin de la columna:

los momentos de inercia de la seccin de la columna respecto delos ejes x,h.

Estos momentos de inercia coinciden con respectivamente:

Sustituyendo los valores de las distintas magnitudes en la expresin (6.87) de la presinen la base se obtiene:


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Comparando esta expresin de la presin en la base de la columna con la del momentoflector en un punto del arco , se observa que son iguales, a diferencia del signo menosy de la ausencia del momento isosttico. Se puede poner por lo tanto que:

Esta expresin permite establecer una analoga entre el diagrama de momentos flectoresdel arco M, y la presin en la base de la columna p, que son iguales a diferencia delmomento isosttico, segn la ecuacin anterior.

La analoga de la columna brinda un mtodo sencillo e intuitivo para ladeterminacin del momento flector en un arco en las condiciones establecidas, pues bastacon calcular el diagrama de momentos isostticos y aplicar la analoga con las presionesen la base de la columna para obtener el momento flector real.


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9.- EJERCICIO RESUELTO

9.1 Calcular los esfuerzos internos en un arco biarticulado simtrico, condirectriz parablica definida por su flecha f y su luz L, y que est sometidoa una carga uniforme hacia abajo q. Despreciar la energa de esfuerzo axial,

y suponer que la rigidez a flexin vara segn la ley de la secante.

La directriz del arco es:

La flexibilidad a flexin sigue la ley m = m 0 cosa , donde m 0 es la flexibilidad enla clave.

Tomando como incgnita hiperesttica lareaccin horizontal en el apoyo izquierdo (figura24), el diagrama de flectores del caso 0 es:

La reaccin en el apoyo izquierdo viene dada por la ecuacin :


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Esta es la misma reaccin que aparece en un arco triarticulado de la mismadirectriz, con carga uniforme. El diagrama de momentos flectores viene dado por laecuacin:

No aparecen momentos flectores, al igual que ocurre en el arco triarticulado. Enrealidad esto es debido a que se ha considerado el arco rgido axialmente; si no sehace esta suposicin s que aparecen momentos flectores.Los esfuerzos axiales y cortantes (figura 25) valen:

Teniendo en cuenta la relacin

se obtiene que

Como era de esperar, el arco tampoco est sometido a esfuerzos cortantes, al serstos la derivada del momento flector. El comportamiento de este arco es por lotanto similar al del arco de tres articulaciones. Los valores extremos de N seproducen en los apoyos y en la clave, y valen

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