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Facultad de Arquitectura, Diseño y Urbanismo SISTEMAS ESTRUCTURALES IV 2009 Prof. Titular: Ing. Enrique Chiappini Prof. Adjunto: Arq. Carlos Sastre Jefes de Trabajos Prácticos: Arq. Ricardo Palma Jefes de Trabajos Prácticos: Arq. Gabriela Cozzi Jefes de Trabajos Prácticos: Arq. Susana Gatti ARCOS

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Facultad de Arquitectura, Diseño y Urbanismo

SISTEMAS ESTRUCTURALES IV 2009 Prof. Titular: Ing. Enrique Chiappini

Prof. Adjunto: Arq. Carlos Sastre

Jefes de Trabajos Prácticos: Arq. Ricardo Palma Jefes de Trabajos Prácticos: Arq. Gabriela Cozzi Jefes de Trabajos Prácticos: Arq. Susana Gatti

ARCOS

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INTRODUCCIÓN Generación de formas estructurales La caracterización del Espacio Arquitectónico genera problemas estructurales derivados de la forma que adopta el mismo y que debe permanecer en el tiempo. La “Estructura” es la garantía de esta permanencia, y para comprender su comportamiento específico se propone estudiar aquellos elementos o sistemas que se consideran típicos, ya que poseen características cualitativas especiales originales y de las cuales es posible inferir una evolución formal ilimitada. Una vez identificada la razón de ser de una forma desde el punto de vista estructural, es decir, mantener esta forma para que cumpla su papel en el sistema arquitectónico, surge que la misma debe ser capaz de transmitir por su materialidad las cargas a las que está sometida, con seguridad y economía, y de allí que es necesario dotarlas de equilibrio, resistencia y rigidez a través del adecuado diseño de vinculaciones y la correcta disposición del material en cantidad y calidad. Con el enfoque de tratar de identificar los mecanismos elementales a partir de los cuales se puede evolucionar en complejidad, se observa que en general el problema comienza con dos situaciones de transmisión de cargas de acuerdo a la configuración formal:

• el espacio lineal vertical, mantener una “altura”, es decir, la transmisión de cargas a través de una línea coincidente con la dirección de éstas, y

• el espacio lineal horizontal, salvar una “luz”, es decir, la transmisión de cargas a través de una línea perpendicular a la dirección de las cargas.

Este apunte presenta el segundo caso, explicando las diferentes configuraciones formales que derivan en diferentes comportamientos estructurales y desarrollando en profundidad la configuración a que alude el título – Arcos - que no es más que la designación de un modelo formal que no siempre tiene similar comportamiento estructural y es necesario comprender en todos los aspectos para el éxito en la determinación dimensional. Así pues, el caso de salvar una “luz” se puede presentar en diferentes configuraciones formales: 1 - A través de un elemento lineal recto que vincule los puntos extremos: Se obtiene así la tipología de “Viga”, que trabajando a flexión y a corte, descarga la fuerza P a los puntos de apoyo. (Figura 1) En estas condiciones importa la Inercia del elemento, generada por su espesor o altura, que aumenta cuando más se concentre material lejos del eje y hacia ambos lados del plano. La transmisión a través del interior de la misma se produce mediante una combinación de esfuerzos de tracción y compresión, repartidas masivamente en el material (alma llena) o concentradas en líneas definidas (alma calada). Figura 1 Viga trabajando a flexión y a corte 2 - A través de un elemento lineal quebrado hacia la carga que vincule los puntos como lo indica la Figura 2. Suponiendo articulaciones en los puntos de apoyo y quiebre, las barras están sometidas a esfuerzos de compresión con lo que se obtiene una solución diferente. Aparecen reacciones horizontales llamadas “de empuje H”

Figura 2 Reticulado elemental

A B

B A

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3 - Evolucionando este mecanismo, se puede transmitir un sistema exterior de cargas, distribuido en una serie de barras de contorno poligonal articulado -coincidentes con la línea de acción de las cargas- entre los puntos de apoyo A y B, según se indica en la Figura 3. Esta solución comienza a parecerse a un “Arco” facetado.

Figura 3 En sentido amplio, un par de barras quebradas empieza por ser arco, y se podrían incluir también los pórticos y otras estructuras reticulares.

4 - Si la cantidad de quiebres es infinita, la forma es de un elemento lineal curvo, pero que transmite las cargas a los apoyos de la misma manera, es decir la curva del arco (Figura 4). La misma, dirige hacia los apoyos los esfuerzos internos debidos a las cargas exteriores, tratando de que resulten de compresión pura y eventualmente de flexo-compresión.

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Figura 4

COMPORTAMIENTO ESTRUCTURAL DE LOS ARCOS Interpretación del funcionamiento de un arco. El Polígono funicular como generador de la forma estructural del Arco. El funicular de las cargas constituye la forma que adopta naturalmente el cable traccionado. En el caso de un arco comprimido, la trayectoria de la línea de presiones es el antifunicular, es decir el funicular invertido de las cargas. (Figura 6)

Figura 6

A B

A A B B

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Como arco de compresión se verifica que el funicular de las cargas se corresponde con las líneas de presiones. La línea de presiones de un arco contiene la sucesión de puntos de aplicación de las resultantes parciales de cada sección. Si la línea de presiones coincide con el eje del arco, éste tendrá la forma del funicular de las cargas actuantes. (Figura 5)

Figura 5 La línea de presiones de un arco contiene la sucesión de puntos de aplicación de las resultantes parciales de cada sección.

El arco, debido a su rigidez, sólo será capaz de adoptar el funicular de un único estado de cargas. En líneas generales, el diseño -la forma del arco- consistirá en hallar el funicular de las cargas actuantes sobre la estructura.

Puente Kintai-Kyo. Iwakuni. Japón Siglo XVIII. Reconstruído en 1953. Arcos de madera. Cada tramo se reconstruye cada 5 años.

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El arco formal y el arco estructural. Importancia de la vinculación. A primera vista aparece como cualidad fundamental del arco su forma curva. Sin embargo, esto resulta insuficiente, pues si se apoya isostáticamente una barra arqueada sólo se dispondrá de una viga de eje curvo (Figura 7) y no de un arco. El arco genera empujes horizontales sobre los apoyos (Figura 8). La existencia de estas componentes horizontales en las reacciones, pese a que las cargas externas sean verticales, caracteriza a los arcos y los diferencia de las vigas. Los empujes en el arco se deben a la imposibilidad de desplazamiento de los apoyos, ya que los empujes bajo cargas verticales no aparecen si faltan los apoyos fijos que impidan la apertura del arco.

Figura 7 Viga flexionada no aprovecha el concepto de arco desde el punto de vista estructural. Es decir, que no obstante la morfología espacial evidente, no es seguro que las columnas sean capaces de resistir por sí misma los empujes (observar que no existe tensor)

Figura 8 - superior En general, para que un arco se comporte como tal es esencial que los extremos, ambos, articulados o empotrados, no se desplacen al aplicar las cargas. Puente Cruce Autopista A4. Luk Gdanski. Polonia. 2000 Arco metálico. Tablero hormigón pretensado Figura 9 - derecha Puente peatonal Av. Independencia Parà. Brasil. 2004 Arqs. Campos y Coelho Falso arco estructural, es en realidad un reticulado con el cordón superior curvo.

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Para que un arco resista fundamentalmente esfuerzos de compresión, es necesario evitar cualquier desplazamiento lateral ∆ (delta) de sus apoyos (Figura 9); de lo contrario, se comportará estructuralmente como una viga curva, introduciendo flexiones que alterarán la respuesta estructural que su forma sugiere. Al fijar los extremos, el momento se reduce por efecto del empuje H y de la geometría del arco. La ventaja estructural del arco frente a una viga curva consiste en su capacidad para resistir los esfuerzos por su forma curva, siempre que sus apoyos no puedan desplazarse lateralmente.

Figura 9 Si los apoyos se desplazan libremente en el sentido x, éste se comportará estructuralmente como una viga curva y perderá su capacidad resistente por forma.

En la imagen siguiente se muestra la diferencia entre el comportamiento de un arco y de una viga curva. Mientras la viga se flexiona con un momento M viga, el arco se comprime y traslada el esfuerzo horizontal a los apoyos, aprovechándose de su forma (altura variable y). (Figura 10)

Esta eficacia en la transmisión de los esfuerzos se expresa: M arco = M viga – M

Arq. Gabriela Cozzi

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CLASIFICACIÓN Por su sistema de cargas. Forma del funicular del arco Como se menciona en el punto anterior, de los funiculares derivan las formas de las estructuras de compresión dominante. Para un conjunto de cargas dadas sobre el sistema existe una familia de funiculares asociados. A cada configuración le corresponderá un determinado valor de flecha o de peralte. Para cargas puntuales el funicular es una poligonal. Para pesos propios del arco solamente y con espesor constante, el funicular es una curva catenaria. Para carga uniformemente repartida a lo largo del elemento estructural, la directriz teórica es la parábola de segundo grado. (Figura 11)

Figura 11. En el gráfico se observa la diferencia entre la forma de la curva catenaria y la de la curva parabólica equivalente que la sustituye, ya que posee los mismos parámetros f (flecha o peralte) y L (luz entre apoyos). Esta curva catenaria, de difícil formulación matemática, puede entonces, reemplazarse por una parábola o, por un arco de circunferencia (en ciertas condiciones), permitiendo simplificar los cálculos, como se mostrará más adelante. (Figura 12)

Figura 12. La traza del arco podrá ser la catenaria, parabólica, circular, elíptica, etc. todas ellas soluciones preliminares o simplificadas equivalentes. Formas funiculares actuales Actualmente, ya sea para salvar obstáculos (puentes) o para ofrecer grandes espacios libres, las estructuras de grandes luces son las que retoman el vínculo con la forma catenaria y funicular, buscando el mejor aprovechamiento resistente de las formas y los materiales.

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Figura13. Formas geométricas

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Por su relación flecha-luz Una de las variables más importantes en el diseño de arcos es su altura h o flecha f. Optimizar el diseño supone encontrar el valor h más adecuado, variando el valor de empuje H de acuerdo con las cargas, los materiales y la forma. Para un conjunto de cargas dadas sobre el sistema existe una familia de funiculares asociados. A cada configuración le corresponderá un determinado valor de flecha. Siempre un arco produce esfuerzos horizontales en los apoyos que tienden a “abrirlo”: A mayor flecha, menor será el esfuerzo de compresión del elemento estructural y menores serán las resultantes horizontales en los apoyos (en relación a las verticales). Y a la inversa mientras más “tendido” sea un arco, mayores serán proporcionalmente los empujes horizontales en los estribos. (Figura 14a-b) La flecha o peralte de una estructura es un parámetro de diseño importante. Su magnitud depende de las necesidades del proyecto. En términos prácticos se recomienda una relación f/L (flecha/luz) del orden del 20% (1/5) para lograr esfuerzos de magnitudes razonables en el arco y los apoyos.

f / l ≥ 0.20 f / l ≥ 1/5 l siendo la flecha, la altura del arco y la luz, la distancia entre apoyos Se determina el valor 1/10 como límite entre arcos rebajados y arcos peraltados.

Figura 14 a. A mayor altura ó flecha, disminuye el empuje horizontal H; por lo tanto, se requiere menor sección de resistencia, pero se obtiene un arco de mayor longitud de circunferencia. Ludwig-Erhard-Haus Edificio de oficinas. Alemania. 1994 - 1997 Arq. Nicholas Grimshaw Arco biarticulado metálico luz: 33,7 m

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Figura 14 b Si se disminuye la altura, aumenta el empuje y se requerirá mayor sección de arco por resistencia y mayor resistencia lateral del apoyo. Le-Pont-de-Reynès – Pont du 19-août-1944. Francia 2004-2005 Arco biarticulado metálico

Arq. Gabriela Cozzi

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Por su vinculación externa- interna Sustentación de arcos Según las condiciones de apoyo, los arcos se clasifican en articulados o empotrados. Los articulados pueden ser isostáticos o hiperestáticos, en cambio, los empotrados son siempre hiperestáticos. Los arcos tri-articulados fueron los más utilizados por el uso de sistemas constructivos asociados a ellos y a la simplificación en el análisis estructural de un sistema estáticamente determinado. Estos tres esquemas estructurales serán comparables, en tanto su forma se acerque a la del funicular de las cargas predominantes actuantes; especialmente, son similares los valores de los esfuerzos de compresión, y las mayores diferencias se encuentran en las reacciones de los apoyos. Habrá notables diferencias en el comportamiento estructural de cada tipo cuando sea importante la asimetría de cargas o cuando esté expuesto a grandes variaciones de temperatura. El arco tri-articulado Los arcos tri-articulados tienen la ventaja de ser estáticamente determinados, es decir, permiten calcular con expresiones sencillas los esfuerzos internos debidos a diferentes estados de carga. Son estructuras isostáticas construidas con elementos rígidos, unidos en la parte superior mediante una articulación central o clave, y con sus otros extremos fijos a las fundaciones. La introducción de la articulación central permitió calcular los esfuerzos internos y el empuje en los apoyos con valores aceptables. Actualmente, la gran difusión de los sistemas asistidos de cálculo mediante computadoras hacen innecesario el empleo de estos modelos simplificados, motivo por el cual se opta por utilizar arcos hiperestáticos de mayor rigidez.

Sin embargo, la facilidad y la aproximación de resultados del arco tri-articulado lo convierten en una herramienta importante para comprender su funcionamiento. En un arco tri-articulado, estáticamente determinado, las reacciones en las articulaciones son independientes de su forma. Esta independencia entre las reacciones y las solicitaciones es la base del modelo aproximado que se utiliza para el diseño y cálculo preliminar o simplificado.

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Arcos hiperestáticos El arco bi-articulado. El arco empotrado. El arco bi-articulado, de un grado de indeterminación, y el empotrado, de tres grados de indeterminación, poseen un comportamiento estructural similar al arco isostático. En general, los arcos de acero o los de madera laminada son del tipo bi-articulados y los arcos monolíticos, hormigonados en obra, suelen estar empotrados en sus apoyos. Los arcos indeterminados son más sensibles a las variaciones de las cargas: mientras los isostáticos se deforman libremente, los hiperestáticos, con más restricciones de movimiento, deben resistir las sobretensiones flexionándose.

Ludwig-Erhard-Haus. Edificio de oficinas. Arq. Nicholas Grimshaw

Apoyo articulado metálico El arco biarticulado es más deformable que el empotrado. Pero, en los casos de arco atirantado o de arco sobre asientos que no admitan excentricidades fuertes, puede decirse que el arco articulado es necesario. Por su materialización. Los arcos se construyen en: . piedra labrada . mampostería de ladrillos . madera . madera laminada . metálicos . hormigón armado Köln Arena Colonia. Alemania. 1998 Arq. Gotfried Böhm Arco de Hormigón Armado Un buen diseño deberá tener en cuenta la proporción entre las cargas permanentes y las sobrecargas. Los arcos de materiales pesados, como los de hormigón, tienen una relación alta entre la carga permanente y la sobrecarga, mientras que en los arcos livianos, de secciones metálicas, por ejemplo, este cociente es menor.

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La relación entre las cargas permanentes y las sobrecargas denota una respuesta estructural diferente en cada caso: en los arcos livianos, más esbeltos, aparecen flexiones, mientras que en los más robustos la resultante estará probablemente dentro del núcleo central, favoreciendo una respuesta de compresión predominante.

Estación del Metro. Genova. Italia. 1990 Arq. Renzo Piano Arcos articulados metálicos perforados

Estación Spandau. Berlín. Alemania. 1997. Arqs. Von Gerkan, Marg & Partner. Arcos metálicos de alma llena.

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Predimensionado de arcos Dada la similitud en la respuesta estructural de los esquemas de arcos tri-articulados (isostáticos) y los bi-articulados o empotrados, se desarrollarán las ecuaciones que proporcionen el valor de los esfuerzos en los arcos isostáticos, siendo éstos aplicables al diseño preliminar de los arcos hiperestáticos. Arcos parabólicos que soportan cargas verticales uniformemente repartidas Para hallar las reacciones verticales VA y VB, se toman momentos con respecto a las articulaciones B y A, respectivamente. + VA L – q L (L/2) = 0 - VB L + q L (L/2) = 0 y se obtiene: VA = VB = q L/2 Para un arco tri-articulado las reacciones verticales resultan iguales a las que se producirían en una viga simplemente apoyada y con idéntica carga. Para hallar el empuje H se analiza, como cuerpo libre, medio arco, al que se le ha aplicado el empuje de compresión H sobre la articulación superior para garantizar el equilibrio del sistema. Evaluando los momentos con respecto al punto A, se obtiene:

Σ MC = 0 = q (L/2) (L/4) – H h = 0 Despejando, el empuje resulta: H = q L2 (1) 8 h Reemplazando en la expresión (1), H = (q L2) 1 = M viga 8 h h donde M viga = q L2 es el momento máximo de 8

la viga equivalente, simplemente apoyada en los puntos A y B. De esta manera, el empuje H en un arco es proporcional al momento flector de la viga equivalente e inversamente proporcional a la elevación (h) del arco. A partir de esta expresión, se interpreta que el arco resiste el momento de las cargas con una sección cuyo brazo elástico es h y cuyo par reactivo está constituido por la compresión (- H) en la clave del arco y la tracción o empuje (H) en los apoyos. Así, se evidencia la ventaja que representa emplear estructuras funiculares (en este caso, parabólicas) para resistir los esfuerzos producidos por las cargas externas. Las reacciones en los apoyos del arco son: _______ R = √ H2 + V2 = V = H tg θ = V sen θ cos θ H

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Arcos hiperestáticos Arcos parabólicos con dos articulaciones Los arcos parabólicos con dos articulaciones son sistemas indeterminados de primer grado. Para obtener la expresión de sus esfuerzos, es necesario plantear condiciones de elasticidad. Sin embargo, el valor del esfuerzo H, para un arco bi-articulado sometido a carga uniforme, no difiere mucho del que se obtendría si el mismo arco fuera tri-articulado.

Las reacciones en los apoyos del arco son: _______ R = √ H2 + V2 = V = H tg θ = V sen θ cos θ H

Arq. Gabriela Cozzi

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Arcos parabólicos bi-empotrados Los arcos parabólicos empotrados, cuyos apoyos impiden la rotación, son más rígidos que los bi-articulados. De la misma manera que para el caso anterior, se plantean simplificadamente las ecuaciones del esfuerzo horizontal H para un arco empotrado sometido a una carga uniformemente repartida a lo largo de su luz: En este caso, la evaluación de H es más compleja, dado que los momentos MA y MC deben estimarse teniendo en cuenta la elasticidad del arco. Para arcos bi-empotrados, el ing. Valerian Leontovich propone: H = q l2 VA = VB = q l 8 h 2 MA = MB = q l2 MC = q l2 12 24

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EJERCICIO DE APLICACIÓN Arco metálico – 2 articulaciones Calcular y dimensionar el arco parabólico metálico de 20m de luz y un Tablero de 3m de ancho. Tensión admisible = 1200kg/cm2

A - Análisis de cargas 1 - Permanentes: Peso propio Tablero. Superficie de madera sobre correas metálicas = 20kg/m2 Vigas (estimado un IPN 220) = 25kg/m2 g = 45kg/m2 Sobrecarga puente peatonal p = 400kg/m2 g + p → q = 445kg/m2 Arco parabólico. Peso propio: Caño estructural (estimado D = 168,28mm) → g = 15kg/m2

2 - Carga accidental: viento = no se considera en este caso

40º

f = 4

m

l = 20m

3m

4m

1.5m

V1 V2 V3

V6 V7 V8 V9

V4

V10

V5t1 t2

t

t3 t4

t8t7t6t5

t t t

Vista - Arco

Planta de Estructuras

A B

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B – Solicitaciones. Arco Se adopta una flecha igual a: f = l / 5 f = 0.5 x 20m = 4m 1 - Se calculan y dimensionan las vigas del tablero y los tensores de anclaje con la carga q: q = 445 kg/m2 x 1,5m = 675 kg/m q = 675 kg/m 2 – Se obtienen los valores de las cargas P1 a P6 en unidad de peso. 3 – Se realiza el cálculo simplificado del Arco aplicando las fórmulas de Leontovich, para lo cual repartimos la carga en forma uniforme, entonces: q arco = P2 / l1 + peso propio arco = 675 kg/m + 22,5 kg/m

q arco z 700 kg/m

Se calculan las componentes de las reacciones del arco: HA = HB = q L2 VA = VB = q L/2 8 f VB = VA = q L = 700kg/m x (20m) = 7000kg 2 2 HA = HB = 700kg/m x (20m)2 = 8500kg 8 x 4m Las reacciones en los apoyos del arco son: _______ R = N = √ H2 + V2 = V = H tg θ = V sen θ cos θ H _______ ___________________

R = N = √ H2 + V2 = √ (8500kg)2 + (7000kg)2 = 11.500kg El Momento flector M y el esfuerzo de corte Q tienen valor 0 (nulo) en cualquier sección del arco.

A

f = 4

m

Bl1 = 4m

P1

P2

P3 P4

P5

P6

lp = 4.45m

t1 t2 t3 t4

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C - Dimensionamiento Se considera el esfuerzo normal N constante en toda la longitud de circunferencia. Esbeltez local Adopto tubo de acero D = 168.28mm (5 5/8”) e = 6.35mm A = 32.3 cm2 i = 5.73cm Longitud del arco la la = L [ 1 + 8/3 ( f /L)2 ] = = 20m [ 1 + 8/3 (4m/20m)2 ] = 22,13m Longitud de pandeo lp lp = 22.13m/5 = 4.45m λ = lp / i 445cm/ 5.73cm = 78 ω = 1.52 σ = ω x N = 1.52 x 11.500kg = 541 kg/cm2 ≤ 1200kg/cm2 A 32.3 cm2 Se coloca 1 tubo de Diámetro = 168.28mm ( 6 5/8” ) espesor = 6.35 mm

___________________

Elaboró: Arq. Gabriela Cozzi Imágenes: Libros “ Tipologías estructurales”; “Sistemas de estructuras” Páginas web: www. structurae.de + www.GreatBuildings.com Bibliografía consultada: 1- BECKER, José. 2005. “Tipologías estructurales: la desmaterialización de las estructuras.” Buenos Aires: el autor. 2- DÍAZ PUERTAS, Diego. 1992. “Introducción a las estructuras de los edificios. Interpretación gráfico-experimental de su comportamiento.” El Graduado. Tucumán. 3- ENGEL, Heinrich. 1979. “Sistemas de estructuras.” H. Blume Ediciones. Madrid. 4- LEONTOVICH, Valerian. 1984 . “Pórticos y Arcos”. Cía Editorial Continental, S.A. México. D.F. 5- TORROJA, Eduardo. 1960. “Razón y Ser de los Tipos Estructurales”. I.T.CyC. Madrid 6- Notas de clase.