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7/27/2019 Apuntes de Diferencias Finitas
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DIFERENCIAS FINITAS
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1.- Introduccin
En Matemtica generalmente se dice que una diferencia finita es una expresinmatemtica de la forma f(x + b) f(x +a). Si una diferencia finita se divide por b a:
ha x f b x f
aba x f b x f )()()()( ++=
++
se obtiene una expresin similar al cociente diferencial, o definicin de derivada. Esimportante observar que la diferencia fundamental entre ambos conceptos reside en queen el primer caso se emplean cantidades finitas mientras que el segundo empleacantidades infinitesimales. Unido a este aspecto es intuitivo ver que cuantas ms
pequeas sean tales cantidades finitas, ms aproximada al valor exacto sern lassoluciones.
La aproximacin de las derivadas por diferencias finitas desempea un papel central enlos mtodos de diferencias finitas del anlisis numrico para la resolucin de ecuacionesdiferenciales. En anlisis numrico, el Mtodo de las Diferencias Finitas es un mtodoutilizado para calcular de manera aproximada las soluciones a las ecuacionesdiferenciales, usando ecuaciones diferenciales finitas para aproximar las derivadas.
Por ltimo decir que la Tcnica del Mtodo de las Diferencias Finitas constituye la basede los Mtodos Numricos de Clculo, es el ms sencillo de ellos y a su vez es la basedel Mtodo de los Volmenes Finitos, que se aplica con profusin en Mecnica deFluidos. Las aplicaciones habituales de los mtodos de diferencias finitas son en loscampos de la computacin y reas de la ingeniera como ingeniera trmica o mecnicade fluidos.
2.- Desarrollo en serie de Taylor de una funcin
El Mtodo de las Diferencias Finitas se basa en el desarrollo en serie de Taylor unafuncin. Su expresin es:
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) .....!3
'''
!2
''
!1
'3
00
20
00
00 x x
xU x x
xU x x
xU xU xU
+
+
+= 1.
Para que ello sea posible la funcin y sus derivadas tendrn que ser necesariamenteunivaluadas, finitas, y continuas.
Un aspecto importante en el Mtodo de las Diferencias Finitas es el nmero de puntosque es necesario hacer intervenir para poder aproximar correctamente una funcin y susderivadas. En general se dice que una derivada de orden p-esimo necesita p+1 puntos
para poder ser aproximada con cierta exactitud. Por ejemplo, una derivada primeranecesitara el concurso de dos puntos para obtener una aproximacin, y as
sucesivamente.
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Otro aspecto importante del desarrollo de Taylor aplicado al Mtodo de las DiferenciasFinitas es la forma de expresar tal desarrollo. Efectivamente, tal y como puede verse lafrmula 1 calcula el valor de la funcin U en un punto x (prximo al punto x 0), cuandose conoce el valor de la funcin y sus derivadas en el punto x 0.
Si se aplica la definicin anterior para un punto x = x 0 + h se tiene:
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) .....!3
'''!2
''!1
'3
0
2
0000h
xU h
xU h
xU xU h xU +++=+ 2.
y si se aplica al punto x = x 0 h se tiene:
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) .....!3
'''!2
''!1
'3
0
2
0000h
xU h
xU h
xU xU h xU += 3.
Ambas formas de expresar el desarrollo de Taylor son las que se emplean en el Mtodode las Diferencias Finitas
Grficamente sera:
X0 X0 + hX0 - h
e intuitivamente se ve que lo que se pretende es hallar el valor de la funcin en los puntos x 0 + h y x 0 h en funcin del valor de la funcin en el punto x 0.
2.- Aproximacin de derivadas unidimensionales por diferencias finitas
Tal y como se indic anteriormente, dada una funcin U, de la que se conocen susvalores en un punto x 0, se puede calcular su valor aproximado en puntos prximos a uno
dado x 0
h empleando el desarrollo en serie de Taylor as:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ).....'''61
''21
' 03
02
000 xU h xU h xU h xU h xU +++=+ 4.
y:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ).....'''61
''21
' 03
02
000 xU h xU h xU h xU h xU += 5.
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Manipulando ambas expresiones se obtienen las diferentes frmulas de aproximacin dederivadas para su sustitucin en la ecuacin diferencial y tratamiento mediante elMtodo de las Diferencias Finitas
Diferencia Finita Hacia delante (forward difference):
Si se trunca la ecuacin 1 en la segunda derivada, (significa suponer que los trminos h 2 en adelante son muy pequeos o despreciables) se tiene:
( ) ( ) ( ) ( ) ''21
' 2000 U h xU h xU h xU ++=+ 6.
Donde es un valor intermedio desconocido. Despejando ( )0' xU , se obtiene:
( ) ( ) ( ) ( ) ''2
1' 000 hU
h
xU h xU xU
+= 7.
De esta ltima expresin se deduce lo que se conoce como diferencia finita haciadelante:
( ) ( ) ( ) ( ) ''2
;' 000 U h
E h
xU h xU xU =
+= 8.
El tema del error tiene su importancia en los mtodos numricos, pues informan de lo bondad de la precisin de los posibles resultados. Puede observarse que para hallar elerror solo se ha tomado el trmino de la derivada segunda, desprecindose el resto, alsuponerse que este es el trmino de mayor peso en el error, y que el resto de lostrminos tienen cada vez menor importancia en el valor final. Esta suposicin es mscercana a la realidad cuanto ms pequeo sea el valor de h, lo cual conduce a unaconclusin inmediata: El Mtodo de las Diferencias funciona mejor cuanto menor sea laseparacin entre puntos. Otro aspecto relacionado es la magnitud del error, que como sedesprende de la ecuacin 8, es del orden de h. Por tanto cuanto menor sea h menor serel error cometido.
Diferencia Finita Hacia Atrs (backward difference)
Consiste en partir de la expresin 2, e igual que antes truncarla en la derivada segunda pues suponemos que los trminos h 2 en adelante son cantidades despreciables.
( ) ( ) ( ) ( ) ''21
' 2000 U h xU h xU h xU += 9.
Donde es un valor intermedio desconocido. Despejando ( )0' xU , se obtiene:
( )( ) ( )
( ) ''21
' 000 hU hh xU xU
xU +
= 10.
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De esta ltima expresin se deduce lo que se conoce como diferencia finita hacia atrs:
( ) ( ) ( ) ( ) ''2
1;' 00
0hU E
h
h xU xU xU =
= 11.
el error que se comete es del orden de h/2 y es del mismo orden que en el caso anterior.
Diferencia Finita Central (Central difference)
Es la ms usada, y consiste en restar las ecuaciones 1 y 2 truncndolas en la derivadatercera resultando:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ].....''''''61
'233
000 U hU h xhU h xU h xU +=+ 12.
Despejando la primera derivada se obtiene la frmula de la diferencia finita central:
( ) ( ) ( )[ ] ( ) '''6
;2
1'
2
000 U h
E h xU h xU h
xU =+
= 13.
Donde el error es del orden de h 2/6. Como puede observarse, esta aproximacin esmucho ms exacta que las dos anteriores, pues multiplica el error por h/3, (si h es unacantidad pequea menor que la unidad el producto es inferior al valor original).
Una representacin grfica de estas aproximaciones es:
h h
x0x0-h x0+h
U(x 0-h)
U(x 0+h)
A B
C
Puede observarse que la diferencia central aproxima la tangente (derivada primera) enel punto x 0 por la pendiente o tangente de la cuerda que une los puntos A y B.
La diferencia finita hacia delante aproxima la tangente (derivada primera) en el puntox0 por la pendiente o tangente de la cuerda que une los puntos B y C
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La diferencia finita hacia atrs aproxima la tangente (derivada primera) en el punto x 0
por la pendiente o tangente de la cuerda que une los puntos A y B
Aproximacin de la derivada segunda
De igual forma que se aproximan las derivadas primeras se hace lo mismo con lasderivadas segundas, as, truncando en la derivada cuarta las expresiones 1 y 2 ysumando resulta:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) IV IV U U h xU h xU h xU h xU +++=++24
''24
02
000 14.
Despejando la segunda derivada resulta:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) IV U h E h
xU h xU h xU xU
12;
2''
4
2000
0 =++
= 15.
Aproximacin de la derivada tercera
En este caso es necesario desarrollar hasta la cuarta potencia, y tener en cuenta que slocon 2 puntos adyacentes (separados una distancia h) no es posible hallar una expresinvlida. Si recordamos lo que se dijo anteriormente del nmero de puntos necesarios para
aproximar una derivada, vemos que hace falta hacer uso de 4 puntos para aproximar laderivada 3. Una imagen grfica de este caso sera:
X0 X0+h X0+2hX0-hX0-2h
Existen dos mtodos para hallar la expresin de la derivada tercera: uno es a partir deldesarrollo de ( )h xU 2
0+ y de ( )h xU 2
0 y restarlos. Y el otro es el que se presenta a
continuacin, que se basa en la definicin de diferencia finita central. Hay que decir quelas frmulas que se obtienen no coinciden exactamente, pero son bastante similares.
Para hallar la expresin de la derivada tercera, aplicamos la definicin de derivadacentral a cada uno de los trminos de la derivada segunda, as:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )++
==2
00000
2'''''
h
xU h xU h xU dxd
xU dxd
xU 16.
Aplicando la definicin de diferencia central a cada uno de los trminos:
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( ) ( ) ( )+=
+
h xU h xU
hh
h xU dxd
221 00
220
( ) ( ) ( )=
hh xU xU
hh
h xU dxd
221 00
220
( ) ( ) ( )+=h
h xU h xU
hh
xU dxd
222 0022
0
Sumando se llega a:
( ) ( ) ( ) ( )3
00000
2
)(2222'''
h
h xU h xU h xU h xU xU
+++= 17.
Aproximacin de la derivada cuarta:
Consiste en aplicar el procedimiento anterior a la derivada tercera, obteniendodirectamente:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )4
000000
2)(4642
h
h xU h xU xU h xU h xU xU IV
+++= 18.
Como colofn de este tema indicar que se pueden obtener expresiones diferentes para laderivada tercera y cuarta, si se emplea la diferencia finita hacia delante o hacia atrs
para obtener las derivadas de la derivada segunda o tercera, pero con un coste adicional pues implica aumentar el error.
Temas avanzados
Hay autores que para aumentar la precisin de la derivadas hacia delante y hacia atrsintentan involucrar ms puntos en su clculo (actualmente involucran a dos). Ello loconsiguen sumando y restando adecuadamente expresiones de: ( )0 xU , ( )h xU 0 , yde ( )h xU 20 . As por ejemplo,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ).....'''61
''21
' 03
02
000 xU h xU h xU h xU h xU +++=+ 19.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).....'''261''2
21'22 0
30
2000 xU h xU h xU h xU h xU +++=+ 20.
si se multiplica la primera de ellas por 4 y se le resta la segunda, queda:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ).....'''64
'2324 03
0000 xU h xU h xU h xU h xU +=++ 21.
en que despejando la derivada primera se obtiene:
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( )
( )
( )3123
212
1
6111892'
234
'
;'
hO E h
U U U U U
hO E h
U U U U
hO E hU U
U
iiii
iii
ii
=++
=
=+
=
=
=
+
26.
Diferencia central
( )
( )42112
211
30
1
12
88'
;'
hO E h
U U U U U
hO E h
U U U
iiii
ii
=++
=
=
=
++
+
27.
Derivadas Segundas
Diferencias hacia delante
( )
( )22 1232
12
254''
2''
hO E h
U U U U U
hO E h
U U U U
iiii
iii
=++
=
=+
=
+++
++
28.
Diferencia hacia atrs
( )
( )22 2132
12
1211254
''
2''
hO E h
U U U U U
hO E h
U U U U
iiii
iii
=++
=
=+
=
+
29.
Diferencia central
( )
( )42 2112
22
11
901
12163016
''
1212
''
hO E h
U U U U U U
hO E h
U U U U
iiiii
iii
=++
=
=+
=
++
+
30.
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Derivadas Terceras
Diferencia hacia delante
( )2
3
123
2
333''' hO E
h
U U U U U iiii =
+= +++ 31.
Diferencia hacia atrs
( )23 321 2333
''' hO E h
U U U U U iiii =
+= 32.
Diferencia central
( )43
321123
120
7
8
813138''' hO E
h
U U U U U U U iiiiii =
+++= +++ 33.
Derivadas cuartas
( )44
321123
2407
6
1239563912hO E
h
U U U U U U U U iiiijiii IV =
+++=
+++34.
2.- Aproximacin de derivadas bidimensionales por diferencias finitas
En este caso la funcin U depende de las coordenadas x e y, es decir U(x,y).Consecuentemente, es necesario subdividir el espacio en una malla igualmenteespaciada tanto en direccin horizontal, como vertical. Una vez dibujada la trama, lainterseccin de lneas horizontales y verticales representan puntos de estudio, separados
por, ejemplo, una distancia h en direccin horizontal, e igualmente espaciados endireccin Y, por ejemplo una distancia m, tal y como muestra el grfico siguiente:
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Diferencia Finita Hacia Atrs (backward difference)
( ) ( )m
m jihU jmihU m
U U
yU
yU ji ji
ji P
)1(,,1,,
,
=
=
=
37.
( ) ( )h
m jihU jmihU hU U
xU
xU ji ji
ji P
)1(,,1,,
,
==
=
38.
Diferencia Finita Central (Central difference)
h
U U
xU
xU ji ji
ji P
=
=
+
2,1,1
,39.
m
U U
yU
yU ji ji
ji P
=
=
+
21,1,
,40.
Derivadas segundas
2,1,1
,2
2
2
2 2
h
U U U
x
U
x
U jiij ji
hi P
+ +=
=
41.
De igual forma:
21,1,
,2
2
2
2 2
m
U U U
y
U
y
U jiij ji
hi P
+ +=
=
42.
Aproximacin de derivadas cruzadas
Se trata de aproximar derivadas del tipo: y x
U
2y superiores. Todas ellas se resuelven
haciendo la siguiente manipulacin:
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( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
[ ]1,11,11,11,1
00000000
0000
0000
0000
2
41
,,,,4
1
,,4
1
,,4
1
,,2
1
+++++
=+++++
=+
+++
=+
=
=
ji ji ji ji
P
U U U U mh
m yh xU m yh xU m yh xU m yh xU mh
m yh xU m yh xU mh
m yh xU m yh xU mh
yh xU yh xU h y x
U y y x
U
43.
es decir se escribe la derivada central con respecto a x, por ejemplo, y luego se aplica acada sumando la definicin de derivada central con respecto a y.
Resumen de derivadas en diferencias finitas en dos dimensiones
Derivada Primera
Hacia delante
h
U U
xU
m
U U
yU ji ji
ji
ji ji
ji
,,1
,
,1,
,;
=
=
++44.
Hacia atrs
h
U U
xU
m
U U
yU ji ji
ji
ji ji
ji
1,,
,
1,,
,;
=
=
45.
Central
m
U U
yU
h
U U
xU ji ji
ji
ji ji
ji
=
=
++
2;
21,1,
,
,1,1
,46.
Derivadas segundas
21,1,
,2
2
2,1,1
,2
2 2;
2
m
U U U
y
U
h
U U U
x
U jiij ji
hi
jiij ji
hi
++ +=
+=
47.
21,1,
2,1,12 22
m
U U U
h
U U U jiij ji jiij ji ++ +++
=
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[ ]1,11,11,11,1,
2
41
++++ +
=
ji ji ji ji
ji
U U U U mh y x
U 48.
Derivadas cuartas
4,2,1,1,2
,4
4 464
h
U U U U U
x
U ji jiij ji ji
hi
++ ++=
49.
42,1,1,2,
,4
4 464
m
U U U U U
y
U ji jiij ji ji
hi
++ ++=
50.
( )
221,11,11,11,1
221,1,,1,1
,22
4 24
mh
U U U U
mh
U U U U U
y x
U
ji ji ji ji
ji ji ji jiij
hi
++++
++
+++
+
=
51.
3.- Representacin por molculas
Las expresiones de diferencias finitas suelen representarse mediante lo que sedenominan molculas, que facilitan su representacin. As, para las derivadas primerasy segundas vemos que slo intervienen 4 puntos:
En las derivadas cruzadas del tipo y x
2intervienen los puntos, 5, 6, 7, y 8
Mientras que las derivadas del tipo 22
4
y x
intervienen todos, es decir: 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, y 8, as:
0 1
2
3
4
h
m
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Y por ltimo en las derivadas del tipo 4
4
y 4
4
y
intervienen los puntos 9, 10, 11,
y 12:
4.- Aplicacin al caso de placas
El comportamiento de placas est regido por una ecuacin diferencial de cuarto orden,que a su vez puede reducirse resolviendo dos ecuaciones acopladas de segundo orden.
Como la escritura de estas ecuaciones es bastante tediosa, se recurre a la siguientenomenclatura:
0 1
2
3
4
h
m
56
7 8
0 1
2
3
4
h
m
56
7 8
9
10
11
12
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0 1
2
3
4
56
7 8
9
10
11
12
h
h
En ella se representa el punto bajo estudio (el punto 0) y rodeado por 12 puntos. De estaforma se escribe:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]876520
2
40220
2
2
30120
2
2
420
310
4
1
21
21
21
21
wwwwh x y
w
wwwh y
w
wwwh x
w
wwh y
w
wwh x
w
+
=
+=
+=
=
=
52.
El operador de Laplace de la flecha sera:
( ) [ ]04321202
41
wwwwwhw +++= 53.
Las derivadas de orden superior implicadas en la formulacin son:
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[ ]
[ ]
[ ]
[ ]124021040
4
4
11301940
4
4
12421030
3
3
1131930
3
3
4641
4641
222
1
222
1
wwwwwh y
w
wwwwwh x
w
wwwwh y
w
wwwwh x
w
++=
++=
+
=
+
=
54.
[ ]
[ ]
( )[ ]43210876540
22
4
42876530
2
3
31876530
2
3
241
222
1
222
1
wwwwwwwwwh y x
w
wwwwwwh y x
w
wwwwwwh y x
w
+++++++=
++
=
++
=
55.
Conocidas todas las derivadas, se puede escribir que:
[ ] [ ] [ ] D p
hwwwww
hwwww
hwwww
h
D p
w
04
0432148765412111094
4
20821 =+++++++++++
=
y si se desea resolver mediante las dos ecuaciones acopladas:
d M
w
p M
=
=
2
2
Resulta:
[ ]
[ ] D
M wwwww
hd M
w
p M M M M M h
p M
0043212
2
0'0432122
41
41
=+++=
=+++=
Es decir primero se resuelve la primera de ellas y se hallan los diversos M en cadauno de los puntos de la malla, y luego se resuelve la segunda hallndose las flechas encada punto de la malla, que es la solucin definitiva.
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Ejemplo unidimensional:
Hallar la flecha en 9 puntos de una viga simplemente apoyada sometida a cargauniforme.
La ecuacin general de una viga tipo Euler Bernouilli es:
I E M y
=''
Donde y es la ordenada de la flecha, M es el momento flector, E es el Mdulo deElasticidad del material, e I es el momento de inercia.
La ecuacin de momentos para esta pieza es:
22
2 Px x
PL M =
Particularizando para los 9 puntos se obtiene el valor del momento, as:
cos128
16;8
4
12815;83
12812;
82
1287;
8
0;0
2
5
2
4
2
3
2
2
1
Simtri
PL M
L x
PL M
L x
PL M
L x
PL M
L x
M x
==
==
==
==
==
Ecuacin de la diferencia finita para las derivadas segundas:
( ) ( ) ( ) ( )2
0000
2''
h
xU h xU h xU xU
++=
8
Lh =
2 3 4 5 6 7 89
L/8
L
P
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La aplicacin de la frmula anterior a los distintos puntos da:
46
2
2456
5
2
2
3454
2
2234
3
2
2123
2
12112112
1
12816
8
2''5
128
15
8
2''4
12812
8
2''3
1287
8
2''2
0'';0;0
8
2''1
y y EI
PL
L
y y y y punto
EI
PL
L
y y y y punto
EI PL
L
y y y y punto
EI PL
L
y y y y punto
y y y y L
y y y y punto
==
+=
=
+=
=
+=
=
+=
====
+=
No contando con la primera ecuacin, pues no aporta informacin se puede plantear unsistema de ecuaciones del tipo:
=
16
15
127
8192
2200
1210
01210012
4
5
4
3
2
EI PL
y
y
y y
Resolviendo se obtiene: EI
PL EI
PL y
44
5 01318.0204827 =
Si se compara con la exacta: EI PL
EI PL
y44
5 01302.03845
=
Que tiene un error aproximadamente del orden del 1 %
7/27/2019 Apuntes de Diferencias Finitas
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