Polinomio de Newton Diferencias Finitas

8/16/2019 Polinomio de Newton Diferencias Finitas

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INGENIERIA EN SOFTWARE

MÉTODOS NUMÉRICOS

TEMA:

POLINOMIO DE NEWTON DE DIFERENCIAS FINITAS

INTEGRANTES:

DAVID PULLOQUINGAFRANCISCO TENEDA

HENRY SALAZAR DAVID SAQUINGA

ENERO 20161. In!"#$%&'()n P$%(n$*(&% +! N!,$n !n D(-!"!n'(& D(/(+(+&


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Métodos NuméricosInterpolación de Polinomios

Con frecuencia se tienen que estimar valores intermedios entre valores conocidos.El método más comúnmente empleado para este propósito es la interpolación polinomial .

Recuérdese que la fórmula general de un polinomio de n-ésimo orden es

!"#

Para n + 1 puntos$ e%iste uno & sólo un polinomio de n-ésimo orden o menor que pasa a través de todos los puntos. Por e'emplo$ (a& sólo una l)nea recta !es decir un polinomio de primer orden# que conecta dos puntos. El polinomio de interpolaciónconsiste en determinar el único polinomio de n-ésimo orden que se a'usta a los n + 1 puntos dados. Este polinomio proporciona una fórmula para calcular los valoresintermedios.

*unque e%iste uno & sólo un polinomio de n-ésimo orden que se a'usta a los n + 1 puntos$ e%isten una gran variedad de fórmulas matemáticas mediante las cuales se puedee%presar este polinomio. +stas serán desarrolladas en el transcurso del documento.

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, -nivesidad de las uer/as *ramdas 0 E1PEIngenieria en 1oft2are


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1.1.In!"#$%&'()n L(n!&%

3a fórmula más simple de interpolación es la de conectar dos puntos con una l)nearecta. Este método$ llamado Interpolación Lineal $ se muestra en la figura siguiente.

-sando triángulos seme'antes$ se tiene

5ue se puede reordenar como

!6#

3a cual es la fórmula de interpolación lineal. 3a notación f!7# indica que se tratade un polinomio de interpolación de primer orden. Nótese que además de representar la pendiente de la l)nea que conecta los dos puntos$ el término 8f!7 "# 0 f!79#: ; !7" < 79# esuna apro%imación de diferencias divididas finitas a la primera derivada. En general$ entremás peque=o sea el intervalo entre los puntos$ más e%acta será la apro%imación.



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Ejemplo 1.1

Calcúlese el logaritmo natural de 4 !ln 2# usando interpolación lineal.Primero$ llévese a ca>o los cálculos interpolando entre ln 1 = 0 & ln 6 = 1.7917595.?espués rep)tase el procedimiento$ pero usando un intervalo más peque=o desde ln 1 a ln

4 = 1.36!944. Nótese que el valor real de ln ! = 0. 6931471

"ol#ción$

Evaluando la fórmula de interpolación lineal !6# de % = 1 a % = 6 da

3a cual representa un error porcentual de e@ A B.6 @. -sando el intervalo más peque=odesde % = 1 a % = 4 da

Por lo contrario$ usando el intervalo más peque=o reduce el error relativo porcentual a e@A 66.6@.



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1.2.In!"#$%&'()n C&+"('&

El error en el e'emplo "." de la sección anterior se de>e a que se apro%ima a unacurva mediante una l)nea recta. Por consiguiente$ una estrategia que me'ora laapro%imación es la de introducir cierta curvatura en la l)nea que conecta a los puntos. 1ise dispone de tres puntos lo anterior se puede llevar a ca>o con un polinomio de segundoorden !llamado tam>ién polinomio cuadrático o parábola#. -na manera conveniente paraeste caso es

!B#

Nótese que aunque la ecuación !B# pare/ca diferente de la ecuación general de un polinomio !"#$ las dos ecuaciones son equivalentes.

Esto se puede demostrar si se multiplican los términos de la ecuación !B# & o>tener

!D#

o$ agrupar términos

!#

en donde

!F#

?e esta manera$ las ecuaciones !"# & !B# son fórmulas alternativas equivalentes del único polinomio de segundo grado que une a los tres puntos.1e puede usar un procedimiento simple para determinar los valores de los coeficientes.Para &0$ se usa la ecuación !B# con % = %0$ & se o>tiene

>9 A f!79# !#



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1ustitu&endo la ecuación !# en la ecuación !B# & evaluando en % = %1 se o>tiene

!G#

H por último$ las ecuaciones !# & !G# se sustitu&en en la ecuación !B#$ & se evalúa ésta en % = %! & se o>tiene

!"9#

Nótese que$ al igual que en el caso de interpolación lineal$ &1 aún representa la pendientede la l)nea que une los puntos %0 & %1. Por lo tanto$ los primeros dos términos de laecuación !B# son equivalentes a la interpolación de %0 a %1$ como se especificó

anteriormente en la ecuación !6#. El último término$ b2(X-X0) (X-X1)$ introduce lacurvatura de segundo orden en la fórmula.

Ejemplo 1.!

*'ústese el polinomio de segundo orden a los tres puntos usados en el e'emplo "."

79 A " f !79# A 9.9999 999

7" A B f !7"# A ".64 GBB

74 A f !74# A ".FG"F DGD

sese el polinomio para evaluar ln !

"ol#ción:

*plicando la ecuación !# da >9 A 93a ecuación !G# genera

H la ecuación !"9# da

1ustitu&endo estos valores en la ecuación !B# se o>tiene la fórmula cuadrática

f 4 ! 7 # A 9 J 9.B49G" !7 0 "# 0 9.9D"F6"4 !7 0 "# !7 0 B#



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que se evalúa en % = ! & se o>tiene

f 4 ! 4 # A 9.DDBB6

3o que representa un error porcentual de e@ A ".B@. Por lo tanto$ me'ora lainterpolación comparada con los resultados o>tenidos al usar una l)nea recta.



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1..F$"*& G!n!"&% +! In!"#$%&'()n +! N!,$n

El análisis anterior se puede generali/ar en el a'uste de un polinomio de n-ésimo orden alos n+1 puntos. El polinomio de n-ésimo orden es

!""#

Como se (i/o anteriormente con las interpolaciones lineales & cuadráticas$ se usan los puntos en la evaluación de los coeficientes &0$ &1$ ... $ &n.1e requieren n + 1 puntos para o>tener un polinomio de n-ésimo orden %0' %1' ... ' %n.-sando estos datos$ con las ecuaciones siguientes se evalúan los coeficientes

>9 A f !79#

>" A f 87"$ 79: >4 A f 874$ 7"$ 79:.. >n A f 87 n$ 7n0"$ ...$ 7"$ 79:

En donde las evaluaciones de la función entre corc(etes son diferencias divididas finitas.Por e'emplo$ la primera diferencia dividida finita se representa generalmente como

!"6#

3a segunda diferencia dividida finita$ que representa la diferencia de dos primerasdiferencias divididas finitas$ se e%presa generalmente como

!"B#

?e manera similar$ la n-ésima diferencia dividida finita es ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, -nivesidad de las uer/as *ramdas 0 E1PEIngenieria en 1oft2are


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!"D#

Estas diferencias se usan para evaluar los coeficientes de la ecuación !"4#$ los cuales se

sustitu&en en la ecuación !""#$ para o>tener el polinomio de interpolación

f n !7# A f!79# J !7079# f87"$ 79: J !7079#!707"# f874$ 7"$ 79: J...J !7079#!707"#...!707n0"# f87n$ 7n0"$...$7"$ 79:

!"#

*l cual se le llama (olinomio )e Interpolación con *ierencias *i,i)i)as )e eton.

1e de>e notar que no es necesario que los datos usados en la ecuación !"# esténigualmente espaciados o que los valores de la a>scisa necesariamente se encuentren enorden ascendente$ como se ilustra en el e'emplo 6.6Kodas las diferencias pueden arreglarse en una ta>la de diferencias divididas$ en donde

cada una de ellas se indica entre los elementos que la producen

( 3( -43(5 P"(*!"& S!n+& T!"'!"&

9 79 f!79# f!7"$ 79# f!74$ 7"$ 79# f!76$ 74$ 7"$ 79#

" 7" f!7"# f!74$ 7"# f!76$ 74$ 7"#

4 74 f!74# f!76$74#

6 76 f!76#

Ejemplo 1.3

-sando la siguiente ta>la de datos$ calcúlese ln ! con un polinomio de interpolación de Ne2ton con diferencias divididas de tercer orden.

3 -435

" 9.999 9999

B ".6 4GBB

".FG" FDGD

D ".9G B6FG



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"ol#ción:

El polinomio de tercer orden con n = 3$ es.

3as primeras diferencias divididas del pro>lema son

3as segundas diferencias divididas son

3a tercera diferencia dividida es

3os resultados para /%1' %0' /%!' %1' %0 /%3' %!' %1' %0 representan los

coeficientes &1' &! & &3 Lunto con &0 A f !79# A 9.9$ la ecuación da

f 6 !7# A 9 J 9.B49G"6 !70"# 0 9.9D"F6" !70"#!70B# J 9.99FDDB"D !70"#!70B#!70#

*rreglando la ta>la de diferencias

3 - 738 - 1 7 8 - 2 7 8 - 7 8

".9 9.99999999 9.B49G"6 0 9.9D"F6"" 9.99FDDB"D

B.9 ".64GBB 9.494F64DD 0 9.949B"9GD9

.9 ".FG"FDGD 9."464"9

D.9 ".9GB6FG



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Con la ecuación anterior se puede evaluar para % = !

f 6 !4# A 9.4FG

lo que representa un error relativo porcentual del e@ A G.6@.

Nótese que la estructura de la ecuación !"# es similar a la e%presión de la serie de Taylor en el sentido de que los términos agregados secuencialmente consideran elcomportamiento de orden superior de la función representada. Estos términos sondiferencias divididas finitas$ & por lo tanto$ representan apro%imaciones a las derivadas deorden superior. En consecuencia$ como sucede con la serie de Ka&lor$ si la funciónrepresentativa es un polinomio de n-ésimo orden$ el polinomio interpolante de n-ésimoorden >a'ado en n + 1 llevará a resultados e%actos.

El error por truncamiento de la serie de Ka&lor es

!"F#

en donde es un punto cualquiera dentro del intervalo !7i$ 7iJ"#. -na relación análogadel error en un polinomio interpolante de n-ésimo orden está dado por

!"#

En donde es un punto cualquiera dentro del intervalo que contiene las incógnitas & losdatos. Para uso de esta fórmula la función en cuestión de>e ser conocida & diferencia>le.H usualmente$ este no es el caso.*fortunadamente$ e%iste una fórmula alternativa que no requiere conocimiento previo dela función. En ve/ de ello$ se usa una diferencia dividida finita que apro%ima la /n+1-ésima derivada

Rn A f 87$ 7n$ 7n0"$ ... $ 7"$ 79:!7079#!707"#..!707n# !"G#

en donde f!7$ 7n$ 7n0"$ ... $ 79# es la /n+1-ésima diferencia dividida.Ha que la ecuación !"G# contiene la incógnita /%$ ésta no se puede resolver & o>tener elerror. 1in em>argo$ si se dispone de un dato adicional /%n+1$ la ecuación !"G# da una

apro%imación del error como

!49#



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2. In!"#$%&'()n +! L&"&n!

El polinomio de interpolación de 3agrange$ simplemente es una reformulación del polinomio de Ne2ton que evita los cálculos de las diferencias divididas. +ste se puederepresentar concretamente como

!4"#

en donde

!44#

En donde denota el producto de .Por e'emplo$ la versión lineal !n A "# es

!46#

& la versión de segundo orden es

!4B#

*l igual que en el método de Ne2ton$ la versión de 3agrange tiene un error apro%imadodado por



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!4D#

3a ecuación !4"# se deriva directamente del polinomio de Ne2ton. 1in em>argo$ la ra/ónfundamental de la formulación de 3agrange se puede comprender directamente notando

que cada término !i(X) será 1 en X"Xi & 0 en todos los demás puntos.Por lo tanto$ cada producto !i(X) f(Xi) toma un valor de f(Xi) en el punto Xi. Por consiguiente$ la sumatoria de todos los productos$ dada por la ecuación !4"# es el único polinomio de n0ésimo orden que pasa e%actamente por los nJ" puntos.



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Ejemplo !.1

sese un polinomio de interpolación de 3agrange de primer & segundo orden paraevaluar %n 2 en >ase a los datos

( 3 -4359 ".9 9

" B.9 ".6 GB

4 .9 ".FG"F

"ol#ción$

El polinomio de primer orden es

&$ por lo tanto$ la apro%imación en 7 A 4 es

de manera similar$ el polinomio de segundo orden se desarrolla como

Como se e%presa>a$ am>os resultados son similares a los que se o>tuvieron previamente usando la interpolación polinomial de Ne2ton.

En resumen$ para los casos en donde el orden del polinomio se descono/ca$ elmétodo de Ne2ton tiene venta'as de>ido a que profundi/a en el comportamiento de lasdiferentes fórmulas de orden superior. *demás$ la apro%imación del error dada por laecuación !49# en general puede integrarse fácilmente en los cálculos de Ne2ton &a que laapro%imación usa una diferencia dividida. ?e esta forma$ desde el punto de vista decálculo$ a menudo se prefiere el método de Ne2ton.

Cuando se va a llevar a ca>o sólo una interpolación$ am>os métodos$ el de

Ne2ton & el de 3agrange requieren de un esfuer/o de cálculo similar. 1in em>argo$ laversión de 3agrange es un poco más fácil de programar. Kam>ién e%isten casos en dondela forma de Ne2ton es mas suscepti>le a los errores de redondeo. ?e>ido a esto & a queno se requiere calcular & almacenar diferencias divididas$ la forma de 3agrange se usa$ amenudo$ cuando el orden del polinomio se conoce a priori.



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A%$"(*$ #&"& In!"#$%&'()n +! N!,$n

Entrada Número de datos n$ datos 49 -4955 & el valor para el que se desea interpolar 9(naria>le Matri/ T4nn5

P"$"&*& #"(n'(#&%

".0 E'ecutar Ka>la,diferencias,divididas4.0 acer f!%int#Af!%!9##

6.0 acer iA9B.0 M(!n"& iOAn0" ;&'!"

D.0 acer pA".0 acer 'A9F.0 M(!n"& 'OAi ;&'!"

.0 acer pAp!%int0%!'##G.0 acer 'A'J"

"9.0 acer f!%int#Af!%int#JK!i$i#P

"".0 acer iAiJ"

"4.0 Imprimir f!%int#

Ka>la,diferencias,divididas !#

".0 acer mAn0"4.0 acer iA96.0 M(!n"& iOAm0" ;&'!"

B.0 acer K!i$9#A

D.0 acer iAiJ"



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.0 acer 'A"F.0 M(!n"& 'OAm0" ;&'!"

.0 acer iA'G.0 M(!n"& iOAm0" ;&'!"

"9.0 acer K!i$'#A

"".0 acer iAiJ"

"4.0 acer 'A'J"


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