Apuntes de Diferencias Finitas

7/27/2019 Apuntes de Diferencias Finitas

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DIFERENCIAS FINITAS


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1.- Introduccin

En Matemtica generalmente se dice que una diferencia finita es una expresinmatemtica de la forma f(x + b) f(x +a). Si una diferencia finita se divide por b a:

ha x f b x f

aba x f b x f )()()()( ++=

++

se obtiene una expresin similar al cociente diferencial, o definicin de derivada. Esimportante observar que la diferencia fundamental entre ambos conceptos reside en queen el primer caso se emplean cantidades finitas mientras que el segundo empleacantidades infinitesimales. Unido a este aspecto es intuitivo ver que cuantas ms

pequeas sean tales cantidades finitas, ms aproximada al valor exacto sern lassoluciones.

La aproximacin de las derivadas por diferencias finitas desempea un papel central enlos mtodos de diferencias finitas del anlisis numrico para la resolucin de ecuacionesdiferenciales. En anlisis numrico, el Mtodo de las Diferencias Finitas es un mtodoutilizado para calcular de manera aproximada las soluciones a las ecuacionesdiferenciales, usando ecuaciones diferenciales finitas para aproximar las derivadas.

Por ltimo decir que la Tcnica del Mtodo de las Diferencias Finitas constituye la basede los Mtodos Numricos de Clculo, es el ms sencillo de ellos y a su vez es la basedel Mtodo de los Volmenes Finitos, que se aplica con profusin en Mecnica deFluidos. Las aplicaciones habituales de los mtodos de diferencias finitas son en loscampos de la computacin y reas de la ingeniera como ingeniera trmica o mecnicade fluidos.

2.- Desarrollo en serie de Taylor de una funcin

El Mtodo de las Diferencias Finitas se basa en el desarrollo en serie de Taylor unafuncin. Su expresin es:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) .....!3

'''

!2

''

!1

'3

00

20

00

00 x x

xU x x

xU x x

xU xU xU

+

+

+= 1.

Para que ello sea posible la funcin y sus derivadas tendrn que ser necesariamenteunivaluadas, finitas, y continuas.

Un aspecto importante en el Mtodo de las Diferencias Finitas es el nmero de puntosque es necesario hacer intervenir para poder aproximar correctamente una funcin y susderivadas. En general se dice que una derivada de orden p-esimo necesita p+1 puntos

para poder ser aproximada con cierta exactitud. Por ejemplo, una derivada primeranecesitara el concurso de dos puntos para obtener una aproximacin, y as

sucesivamente.


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Otro aspecto importante del desarrollo de Taylor aplicado al Mtodo de las DiferenciasFinitas es la forma de expresar tal desarrollo. Efectivamente, tal y como puede verse lafrmula 1 calcula el valor de la funcin U en un punto x (prximo al punto x 0), cuandose conoce el valor de la funcin y sus derivadas en el punto x 0.

Si se aplica la definicin anterior para un punto x = x 0 + h se tiene:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) .....!3

'''!2

''!1

'3

0

2

0000h

xU h

xU h

xU xU h xU +++=+ 2.

y si se aplica al punto x = x 0 h se tiene:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) .....!3

'''!2

''!1

'3

0

2

0000h

xU h

xU h

xU xU h xU += 3.

Ambas formas de expresar el desarrollo de Taylor son las que se emplean en el Mtodode las Diferencias Finitas

Grficamente sera:

X0 X0 + hX0 - h

e intuitivamente se ve que lo que se pretende es hallar el valor de la funcin en los puntos x 0 + h y x 0 h en funcin del valor de la funcin en el punto x 0.

2.- Aproximacin de derivadas unidimensionales por diferencias finitas

Tal y como se indic anteriormente, dada una funcin U, de la que se conocen susvalores en un punto x 0, se puede calcular su valor aproximado en puntos prximos a uno

dado x 0

h empleando el desarrollo en serie de Taylor as:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ).....'''61

''21

' 03

02

000 xU h xU h xU h xU h xU +++=+ 4.

y:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ).....'''61

''21

' 03

02

000 xU h xU h xU h xU h xU += 5.


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Manipulando ambas expresiones se obtienen las diferentes frmulas de aproximacin dederivadas para su sustitucin en la ecuacin diferencial y tratamiento mediante elMtodo de las Diferencias Finitas

Diferencia Finita Hacia delante (forward difference):

Si se trunca la ecuacin 1 en la segunda derivada, (significa suponer que los trminos h 2 en adelante son muy pequeos o despreciables) se tiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ''21

' 2000 U h xU h xU h xU ++=+ 6.

Donde es un valor intermedio desconocido. Despejando ( )0' xU , se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ''2

1' 000 hU

h

xU h xU xU

+= 7.

De esta ltima expresin se deduce lo que se conoce como diferencia finita haciadelante:

( ) ( ) ( ) ( ) ''2

;' 000 U h

E h

xU h xU xU =

+= 8.

El tema del error tiene su importancia en los mtodos numricos, pues informan de lo bondad de la precisin de los posibles resultados. Puede observarse que para hallar elerror solo se ha tomado el trmino de la derivada segunda, desprecindose el resto, alsuponerse que este es el trmino de mayor peso en el error, y que el resto de lostrminos tienen cada vez menor importancia en el valor final. Esta suposicin es mscercana a la realidad cuanto ms pequeo sea el valor de h, lo cual conduce a unaconclusin inmediata: El Mtodo de las Diferencias funciona mejor cuanto menor sea laseparacin entre puntos. Otro aspecto relacionado es la magnitud del error, que como sedesprende de la ecuacin 8, es del orden de h. Por tanto cuanto menor sea h menor serel error cometido.

Diferencia Finita Hacia Atrs (backward difference)

Consiste en partir de la expresin 2, e igual que antes truncarla en la derivada segunda pues suponemos que los trminos h 2 en adelante son cantidades despreciables.

( ) ( ) ( ) ( ) ''21

' 2000 U h xU h xU h xU += 9.

Donde es un valor intermedio desconocido. Despejando ( )0' xU , se obtiene:

( )( ) ( )

( ) ''21

' 000 hU hh xU xU

xU +

= 10.


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De esta ltima expresin se deduce lo que se conoce como diferencia finita hacia atrs:

( ) ( ) ( ) ( ) ''2

1;' 00

0hU E

h

h xU xU xU =

= 11.

el error que se comete es del orden de h/2 y es del mismo orden que en el caso anterior.

Diferencia Finita Central (Central difference)

Es la ms usada, y consiste en restar las ecuaciones 1 y 2 truncndolas en la derivadatercera resultando:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ].....''''''61

'233

000 U hU h xhU h xU h xU +=+ 12.

Despejando la primera derivada se obtiene la frmula de la diferencia finita central:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) '''6

;2

1'

2

000 U h

E h xU h xU h

xU =+

= 13.

Donde el error es del orden de h 2/6. Como puede observarse, esta aproximacin esmucho ms exacta que las dos anteriores, pues multiplica el error por h/3, (si h es unacantidad pequea menor que la unidad el producto es inferior al valor original).

Una representacin grfica de estas aproximaciones es:

h h

x0x0-h x0+h

U(x 0-h)

U(x 0+h)

A B

C

Puede observarse que la diferencia central aproxima la tangente (derivada primera) enel punto x 0 por la pendiente o tangente de la cuerda que une los puntos A y B.

La diferencia finita hacia delante aproxima la tangente (derivada primera) en el puntox0 por la pendiente o tangente de la cuerda que une los puntos B y C


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La diferencia finita hacia atrs aproxima la tangente (derivada primera) en el punto x 0

por la pendiente o tangente de la cuerda que une los puntos A y B

Aproximacin de la derivada segunda

De igual forma que se aproximan las derivadas primeras se hace lo mismo con lasderivadas segundas, as, truncando en la derivada cuarta las expresiones 1 y 2 ysumando resulta:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) IV IV U U h xU h xU h xU h xU +++=++24

''24

02

000 14.

Despejando la segunda derivada resulta:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) IV U h E h

xU h xU h xU xU

12;

2''

4

2000

0 =++

= 15.

Aproximacin de la derivada tercera

En este caso es necesario desarrollar hasta la cuarta potencia, y tener en cuenta que slocon 2 puntos adyacentes (separados una distancia h) no es posible hallar una expresinvlida. Si recordamos lo que se dijo anteriormente del nmero de puntos necesarios para

aproximar una derivada, vemos que hace falta hacer uso de 4 puntos para aproximar laderivada 3. Una imagen grfica de este caso sera:

X0 X0+h X0+2hX0-hX0-2h

Existen dos mtodos para hallar la expresin de la derivada tercera: uno es a partir deldesarrollo de ( )h xU 2

0+ y de ( )h xU 2

0 y restarlos. Y el otro es el que se presenta a

continuacin, que se basa en la definicin de diferencia finita central. Hay que decir quelas frmulas que se obtienen no coinciden exactamente, pero son bastante similares.

Para hallar la expresin de la derivada tercera, aplicamos la definicin de derivadacentral a cada uno de los trminos de la derivada segunda, as:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )++

==2

00000

2'''''

h

xU h xU h xU dxd

xU dxd

xU 16.

Aplicando la definicin de diferencia central a cada uno de los trminos:


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( ) ( ) ( )+=

+

h xU h xU

hh

h xU dxd

221 00

220

( ) ( ) ( )=

hh xU xU

hh

h xU dxd

221 00

220

( ) ( ) ( )+=h

h xU h xU

hh

xU dxd

222 0022

0

Sumando se llega a:

( ) ( ) ( ) ( )3

00000

2

)(2222'''

h

h xU h xU h xU h xU xU

+++= 17.

Aproximacin de la derivada cuarta:

Consiste en aplicar el procedimiento anterior a la derivada tercera, obteniendodirectamente:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )4

000000

2)(4642

h

h xU h xU xU h xU h xU xU IV

+++= 18.

Como colofn de este tema indicar que se pueden obtener expresiones diferentes para laderivada tercera y cuarta, si se emplea la diferencia finita hacia delante o hacia atrs

para obtener las derivadas de la derivada segunda o tercera, pero con un coste adicional pues implica aumentar el error.

Temas avanzados

Hay autores que para aumentar la precisin de la derivadas hacia delante y hacia atrsintentan involucrar ms puntos en su clculo (actualmente involucran a dos). Ello loconsiguen sumando y restando adecuadamente expresiones de: ( )0 xU , ( )h xU 0 , yde ( )h xU 20 . As por ejemplo,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ).....'''61

''21

' 03

02

000 xU h xU h xU h xU h xU +++=+ 19.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).....'''261''2

21'22 0

30

2000 xU h xU h xU h xU h xU +++=+ 20.

si se multiplica la primera de ellas por 4 y se le resta la segunda, queda:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ).....'''64

'2324 03

0000 xU h xU h xU h xU h xU +=++ 21.

en que despejando la derivada primera se obtiene:


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9/20

( )

( )

( )3123

212

1

6111892'

234

'

;'

hO E h

U U U U U

hO E h

U U U U

hO E hU U

U

iiii

iii

ii

=++

=

=+

=

=

=

+

26.

Diferencia central

( )

( )42112

211

30

1

12

88'

;'

hO E h

U U U U U

hO E h

U U U

iiii

ii

=++

=

=

=

++

+

27.

Derivadas Segundas

Diferencias hacia delante

( )

( )22 1232

12

254''

2''

hO E h

U U U U U

hO E h

U U U U

iiii

iii

=++

=

=+

=

+++

++

28.

Diferencia hacia atrs

( )

( )22 2132

12

1211254

''

2''

hO E h

U U U U U

hO E h

U U U U

iiii

iii

=++

=

=+

=

+

29.

Diferencia central

( )

( )42 2112

22

11

901

12163016

''

1212

''

hO E h

U U U U U U

hO E h

U U U U

iiiii

iii

=++

=

=+

=

++

+

30.


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Derivadas Terceras

Diferencia hacia delante

( )2

3

123

2

333''' hO E

h

U U U U U iiii =

+= +++ 31.

Diferencia hacia atrs

( )23 321 2333

''' hO E h

U U U U U iiii =

+= 32.

Diferencia central

( )43

321123

120

7

8

813138''' hO E

h

U U U U U U U iiiiii =

+++= +++ 33.

Derivadas cuartas

( )44

321123

2407

6

1239563912hO E

h

U U U U U U U U iiiijiii IV =

+++=

+++34.

2.- Aproximacin de derivadas bidimensionales por diferencias finitas

En este caso la funcin U depende de las coordenadas x e y, es decir U(x,y).Consecuentemente, es necesario subdividir el espacio en una malla igualmenteespaciada tanto en direccin horizontal, como vertical. Una vez dibujada la trama, lainterseccin de lneas horizontales y verticales representan puntos de estudio, separados

por, ejemplo, una distancia h en direccin horizontal, e igualmente espaciados endireccin Y, por ejemplo una distancia m, tal y como muestra el grfico siguiente:


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Diferencia Finita Hacia Atrs (backward difference)

( ) ( )m

m jihU jmihU m

U U

yU

yU ji ji

ji P

)1(,,1,,

,

=

=

=

37.

( ) ( )h

m jihU jmihU hU U

xU

xU ji ji

ji P

)1(,,1,,

,

==

=

38.

Diferencia Finita Central (Central difference)

h

U U

xU

xU ji ji

ji P

=

=

+

2,1,1

,39.

m

U U

yU

yU ji ji

ji P

=

=

+

21,1,

,40.

Derivadas segundas

2,1,1

,2

2

2

2 2

h

U U U

x

U

x

U jiij ji

hi P

+ +=

=

41.

De igual forma:

21,1,

,2

2

2

2 2

m

U U U

y

U

y

U jiij ji

hi P

+ +=

=

42.

Aproximacin de derivadas cruzadas

Se trata de aproximar derivadas del tipo: y x

U

2y superiores. Todas ellas se resuelven

haciendo la siguiente manipulacin:


13/20

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

[ ]1,11,11,11,1

00000000

0000

0000

0000

2

41

,,,,4

1

,,4

1

,,4

1

,,2

1

+++++

=+++++

=+

+++

=+

=

=

ji ji ji ji

P

U U U U mh

m yh xU m yh xU m yh xU m yh xU mh

m yh xU m yh xU mh

m yh xU m yh xU mh

yh xU yh xU h y x

U y y x

U

43.

es decir se escribe la derivada central con respecto a x, por ejemplo, y luego se aplica acada sumando la definicin de derivada central con respecto a y.

Resumen de derivadas en diferencias finitas en dos dimensiones

Derivada Primera

Hacia delante

h

U U

xU

m

U U

yU ji ji

ji

ji ji

ji

,,1

,

,1,

,;

=

=

++44.

Hacia atrs

h

U U

xU

m

U U

yU ji ji

ji

ji ji

ji

1,,

,

1,,

,;

=

=

45.

Central

m

U U

yU

h

U U

xU ji ji

ji

ji ji

ji

=

=

++

2;

21,1,

,

,1,1

,46.

Derivadas segundas

21,1,

,2

2

2,1,1

,2

2 2;

2

m

U U U

y

U

h

U U U

x

U jiij ji

hi

jiij ji

hi

++ +=

+=

47.

21,1,

2,1,12 22

m

U U U

h

U U U jiij ji jiij ji ++ +++

=


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[ ]1,11,11,11,1,

2

41

++++ +

=

ji ji ji ji

ji

U U U U mh y x

U 48.

Derivadas cuartas

4,2,1,1,2

,4

4 464

h

U U U U U

x

U ji jiij ji ji

hi

++ ++=

49.

42,1,1,2,

,4

4 464

m

U U U U U

y

U ji jiij ji ji

hi

++ ++=

50.

( )

221,11,11,11,1

221,1,,1,1

,22

4 24

mh

U U U U

mh

U U U U U

y x

U

ji ji ji ji

ji ji ji jiij

hi

++++

++

+++

+

=

51.

3.- Representacin por molculas

Las expresiones de diferencias finitas suelen representarse mediante lo que sedenominan molculas, que facilitan su representacin. As, para las derivadas primerasy segundas vemos que slo intervienen 4 puntos:

En las derivadas cruzadas del tipo y x

2intervienen los puntos, 5, 6, 7, y 8

Mientras que las derivadas del tipo 22

4

y x

intervienen todos, es decir: 0, 1, 2, 3, 4, 5,

6, 7, y 8, as:

0 1

2

3

4

h

m


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Y por ltimo en las derivadas del tipo 4

4

y 4

4

y

intervienen los puntos 9, 10, 11,

y 12:

4.- Aplicacin al caso de placas

El comportamiento de placas est regido por una ecuacin diferencial de cuarto orden,que a su vez puede reducirse resolviendo dos ecuaciones acopladas de segundo orden.

Como la escritura de estas ecuaciones es bastante tediosa, se recurre a la siguientenomenclatura:

0 1

2

3

4

h

m

56

7 8

0 1

2

3

4

h

m

56

7 8

9

10

11

12


16/20

0 1

2

3

4

56

7 8

9

10

11

12

h

h

En ella se representa el punto bajo estudio (el punto 0) y rodeado por 12 puntos. De estaforma se escribe:

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]876520

2

40220

2

2

30120

2

2

420

310

4

1

21

21

21

21

wwwwh x y

w

wwwh y

w

wwwh x

w

wwh y

w

wwh x

w

+

=

+=

+=

=

=

52.

El operador de Laplace de la flecha sera:

( ) [ ]04321202

41

wwwwwhw +++= 53.

Las derivadas de orden superior implicadas en la formulacin son:


17/20

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]124021040

4

4

11301940

4

4

12421030

3

3

1131930

3

3

4641

4641

222

1

222

1

wwwwwh y

w

wwwwwh x

w

wwwwh y

w

wwwwh x

w

++=

++=

+

=

+

=

54.

[ ]

[ ]

( )[ ]43210876540

22

4

42876530

2

3

31876530

2

3

241

222

1

222

1

wwwwwwwwwh y x

w

wwwwwwh y x

w

wwwwwwh y x

w

+++++++=

++

=

++

=

55.

Conocidas todas las derivadas, se puede escribir que:

[ ] [ ] [ ] D p

hwwwww

hwwww

hwwww

h

D p

w

04

0432148765412111094

4

20821 =+++++++++++

=

y si se desea resolver mediante las dos ecuaciones acopladas:

d M

w

p M

=

=

2

2

Resulta:

[ ]

[ ] D

M wwwww

hd M

w

p M M M M M h

p M

0043212

2

0'0432122

41

41

=+++=

=+++=

Es decir primero se resuelve la primera de ellas y se hallan los diversos M en cadauno de los puntos de la malla, y luego se resuelve la segunda hallndose las flechas encada punto de la malla, que es la solucin definitiva.


18/20

Ejemplo unidimensional:

Hallar la flecha en 9 puntos de una viga simplemente apoyada sometida a cargauniforme.

La ecuacin general de una viga tipo Euler Bernouilli es:

I E M y

=''

Donde y es la ordenada de la flecha, M es el momento flector, E es el Mdulo deElasticidad del material, e I es el momento de inercia.

La ecuacin de momentos para esta pieza es:

22

2 Px x

PL M =

Particularizando para los 9 puntos se obtiene el valor del momento, as:

cos128

16;8

4

12815;83

12812;

82

1287;

8

0;0

2

5

2

4

2

3

2

2

1

Simtri

PL M

L x

PL M

L x

PL M

L x

PL M

L x

M x

==

==

==

==

==

Ecuacin de la diferencia finita para las derivadas segundas:

( ) ( ) ( ) ( )2

0000

2''

h

xU h xU h xU xU

++=

8

Lh =

2 3 4 5 6 7 89

L/8

L

P


19/20

La aplicacin de la frmula anterior a los distintos puntos da:

46

2

2456

5

2

2

3454

2

2234

3

2

2123

2

12112112

1

12816

8

2''5

128

15

8

2''4

12812

8

2''3

1287

8

2''2

0'';0;0

8

2''1

y y EI

PL

L

y y y y punto

EI

PL

L

y y y y punto

EI PL

L

y y y y punto

EI PL

L

y y y y punto

y y y y L

y y y y punto

==

+=

=

+=

=

+=

=

+=

====

+=

No contando con la primera ecuacin, pues no aporta informacin se puede plantear unsistema de ecuaciones del tipo:

=

16

15

127

8192

2200

1210

01210012

4

5

4

3

2

EI PL

y

y

y y

Resolviendo se obtiene: EI

PL EI

PL y

44

5 01318.0204827 =

Si se compara con la exacta: EI PL

EI PL

y44

5 01302.03845

=

Que tiene un error aproximadamente del orden del 1 %


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Apuntes de Diferencias Finitas

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