7/21/2019 Análisis Vectorial: Divergencia y Rotacional

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Trabajo de Análisis VectorialDivergencia y Rotacional

Por: Juan Pablo Duran Darwin Tipan

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Divergencia

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Concepto

La divergencia de un campo vectorial en un punto esun campo escalar, se de!ne como el "ujo del campovectorial por unidad de volumen con#orme el volumenalrededor del punto tiende a cero:

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Formulas en los diferentes tipos decoordenadas

Realizando derivaciones parcialesobtenemos lo siguiente:

Para cartesianas:

Para $il%ndricas:

Para &s#'ricas:

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Ejemplo(alle el "ujo del campo F ) x; y; z * + ) x 3 ; y 3 ; z 3* a trav's de lasuper!cie del cono x 2 y 2 + z 2 , con - ≤ z ≤ H .

a* Directamente.b* Aplicando el teorema de /auss.

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Teorema de laDivergencia de Gauss

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Este teorema enuncia que:

&l 0lujo de un campo vectorial a trav's de unasuper!cie cerrada es igual a la integral devolumen de la divergencia del campo vectorial

evaluada sobre el volumen encerrado V - , siendoe1presado de la siguiente manera:

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Ejemplo

$alcule el "ujo del campo vectorial F(x; y; z) (xz;!y 2 ; xz) atrav's de la super!cie cerrada 2ue limita el cilindro x 2 y 2 ≤ R 2 con - ≤ z ≤ 3 :

a* 4esuelva el apartado anterior utili5ando el teoremade /auss.

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ROTAC O!A"

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CO!CE#TO:

&l rotacional de un campo vectorial se de!necomo la capacidad de un vector de rotaralrededor de un punto. Tambi'n es de!nido como

la circulaci6n del vector sobre por un caminocerrado del borde de un área con direcci6nnormal a ella misma cuando el área tiende a sercero.

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#ropiedades delrotacional7. 8i el campo escalar # )1, , 5* tiene derivadas parciales continuas

de segundo orden entonces el rot ) #* + .

9. 8i 0 )1, , 5* es un campo vectorial conservativo entonces rot ) 0*

+ .3. 8i el campo vectorial 0 )1, , 5* es una #unci6n de!nida sobre

todo cu as componentes tienen derivadas parciales continuas el rot )0 * + entonces 0 es un campo vectorial conservativo.

&l rotacional de un campo vectorial tiene su principal interpretaci6n#%sica cuando la #unci6n vectorial 0 )1, , 5* representa el "ujo de un"uido, el rotacional en este caso se interpreta como la circulaci6n2ue presenta el "uido alrededor de un punto ) o,;o,<o*. 8i elcampo vectorial 0 representa el "ujo de un "uido rot)0*+ entonces se dice 2ue el "uido es irrotacional.

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FOR$%"A& E! "O& D FERE!TE& T #O& DECOORDE!ADA&

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TEORE$A DE"ROTAC O!A" DE&TO'E&

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Este Teorema enunciaque:

&l cálculo de la integral de l%nea del campovectorial 0 en la direcci6n tangencial de la curva $,es igual a la integral sobre la super!cie 8 de la

circulaci6n del campo 0 alrededor de la #rontera, enla direcci6n de la componente normal unitaria a lasuper!cie, siendo la curva $ es una curva orientadapositivamente, de tal manera 2ue es la #rontera dela super!cie orientada positivamente 8, 6sea:

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Ejemplo

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