AlgebraLineal-Matrices

EcuacionesDiferencialesMayteéCruz-Aponte

Objetivos

•  Matrices •  Operaciones con matrices •  Determinate de una matriz •  Inversa de una matriz

Matrices

( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

nmnn

m

m

ij

aaa

aaaaaa

aA

!

"""

!

!

21

22221

11211

Una matriz es un arreglo rectangular de elementos de n renglones y m columnas.

Álgebra lineal

Definición: dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño n x m y si aij = bij para todo i = 1, 2, .., n y j = 1, 2, ..., m.

Definición: la suma de dos matrices A y B del mismo tamaño n x m es igual a una matriz C donde cij = aij + bij para todo i = 1, 2, .., n y j = 1, 2, ..., m.

Definición: la multiplicación de una matriz A de tamaño n x m por una escalar λ es una matriz de tamaño n x m cuyos elementos son λaij para todo i = 1, 2, .., n y j = 1, 2, ..., m.

Definiciones

Una matriz cuadrada:

Tiene igual número de renglones que de columnas.

Una matriz diagonal:

Es una matriz cuadrada con elementos ceros excepto en la

diagona i.e. aij = 0 para to i ≠ j. La matriz identidad de orden n:

In = (δij) es una matriz diagonal con

δij = 1 si i = j y δij =0 si i ≠j.

Propiedades de las matrices

Si A, B y C son matrices de tamaño n x m, y λ y µ son números reales, se cumplen las siguientes propiedades:

a. A + B = B + A e. λ(A + B) = λB + λA

b. (A + B) + C = A + (B + C) f. (λ + µ)A = λA + µA

c. A + 0 = 0 + A = A g. λ (µA) = (λµ)A

d. A + (-A) = -A + A = 0 h. 1A = A

Traspuesta

La traspuesta de una matriz A de n x m es una matriz At tal que la i_ésima columna de At es la misma que el i-ésimo renglón de A.

Se cumple que

a. (At)t = A

b. (A + B)t = At + Bt

c. (AB)t = Bt At

d. Si A-1 existe, (A-1)t = (At)-1

Multiplicación de matrices Sea A una matriz de n x m y B una matriz de m x p. El producto de la matriz A por la matriz B se define como la matriz C de n x p donde los elementos de C se calculan por:

c mjimjiji

m

kkjikij babababac +++==∑

=

...22111

Multiplicación de matrices

c

Ejemplo

A =1 −2 −30 2 −30 0 3

"

#

$$$

%

&

''',B =

5 0 04 −3 0−2 1 5

"

#

$$$

%

&

''',AB =

3 3 −1514 −9 −15−6 3 15

"

#

$$$

%

&

'''

Determinantes

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A

Paraunamatriz3x3delaforma:

( ) ( ) ( )223132211323313321122332332211

3231

222113

3331

232112

3332

232211

333231

232221

131211

aaaaaaaaaaaaaaa

aaaa

aaaaa

aaaaa

aaaaaaaaaa

D

−+−−−=

+−==

EldeterminantedeAes:

Determinante Si A es una matriz de 1 x 1, entonces det(A) = x.

Si a es de orden mayor que 1, calcule el determinante de A como sigue:

Escoja cualquier fila o columna. para cada elemento

A[i, j] en esa fila o columna, forme el producto

(-1)(i+ j)*A[i, j]*det(menor(A[i, j]))

Donde det(menor(A[i, j])) es el determinante del menor de A[i, j].

det(A) = suma de todos los productos para la columna o fila seleccionada.

Propiedades

a.  Si un renglón o columna tiene solo ceros, el determinante es cero.

b.  Si se intercambian 2 renglones o columnas, el signo del determinante cambia

c.  Si dos columnas o renglones son iguales, el determinante es cero.

d.  Si se multiplica un renglón o columna por un numero real el determinante se multiplica por ese número real.

Propiedades

e.  Si se suma un múltiplo de un renglón o columna a otro renglón o columna, el determinante no se altera.

f.  El determinante de un producto de matrices es igual al producto de los determinantes de cada una.

g.  El determinante de la inversa es el inverso del determinante de la matriz original.

Inversa La inversa de una matriz A de n x n es una matriz

A -1 tal que A A-1 = A-1 A = In

Una matriz que tiene inversa se le llama matriz no singular.

Una matriz que no tiene inversa es una matriz singular.

Se cumple que:

a. La inversa es única.

b. La inversa de una matriz no singular es no singular y (A-1)-1 = A

c. Si A y B son no singulares, (AB)-1 = B-1 A-1

Inversadeunamatriz2X2

A = 1 23 4

!

"#

$

%& → A−1 = −2 1

3 / 2 −1/ 2

!

"#

$

%&

Ejemplo: Inversa de una matriz 3 x 3

cA =1 −1 −22 −3 −5−1 3 5

"

#

$$$

%

&

'''⇒ A−1 =

0 1 15 −3 −1−3 2 1

"

#

$$$

%

&

'''

Comandos de Scilab para matrices

inv(m) – invierte una matriz cuadrada m.También m^-1.

det(m) – calcula el determinante de m.