Post on 07-Aug-2018
8/20/2019 2015-GUIA DE EJERCICIOS N° 1 EC.DIF.2015-II
http://slidepdf.com/reader/full/2015-guia-de-ejercicios-n-1-ecdif2015-ii 1/6
UNIVERSIDAD DEL MAGDALENAFACULTAD DE INGENIERIA
ECUACIONES DIFERENCIALESGUIA DE EJERCICIOS N°1
Solución de una E.D
1. Compruebe que la función y=e3 xcos2 x es una solución de la E.D
y'' −6 y
' +13 y=0
2. ¿Para qué valores de la constante m la función y=emx
será una solución
de la ecuación diferencial y' ' ' −6 y
' ' +11 y
' −6 y=0 ?
. Demuestre que y=e− x
2
∫0
x
et 2
dt +c e− x
2
es solución de y'
+2 xy=1 .
!. "i ( x2+ y
2) dx+( x2− xy ) dy=0 # comprobar que C ( x+ y )2= x e
y / x
# es
solución $eneral.
O!ene" una E.D. a #a"!i" de la $olución %ene"al
%. Encuentre una E.D. que ten$a como solución $eneral y=3 x2+c e
−2 x
&. a' ¿Cuántas constantes arbitrarias tiene y=c1 e5 x+c2+c3 e
5 x?
b' Encuentre una E.D. que ten$a esto como solución $eneral.
(. Encuentre una E.D. que ten$a como solución $eneral y=c1 e3 x+c2e
−2 x
E.D. de &a"iale$ $e#a"ale$
En los e)ercicios * a 1+. ,esuelva las si$uientes E.D.
*. 2 y dx+e−3 x
dy=0
-.dr
dθ=
senθ+e2 r
senθ
3er+e
rcos2θ
; r=0 dondeθ=
π
2
8/20/2019 2015-GUIA DE EJERCICIOS N° 1 EC.DIF.2015-II
http://slidepdf.com/reader/full/2015-guia-de-ejercicios-n-1-ecdif2015-ii 2/6
1+.dy
dx=
xy+3 x− y−3
xy−2 x+4 y−8
11. Considere la E. D
y− x dy
dx=a
(1+ x
2 dy
dx ), a>1.
a' Encuentre la solución $eneral.
b' Encuentre la solución particular que verica y (1 )= a
a+1
Ecuacione$ 'o(o%)nea$
,esolver las si$uientes E.D.
12. ( x2− y
2 ) dx−2 xy dy=0
1. ( x− y cos ( y x ))dx+ x cos( y x )dy=0
1!. (4 x6− y
6 ) dx=3 x4
y2
dy
E.D. de coe*cien!e$ lineale$
,esolver las si$uientes E.D.
1%. ( x− y+1 ) dx+ ( x+2 y−5 )dy=0
1&. ( x+ y+1 )dx+(2 x+2 y−1 )dy=0
1(. /aciendo los cambios de coordenadas u=1
2 x
2
# v=1
2 y
2
#
resuelva la ecuación
(2 x2+3 y
2−7 ) x dx−(3 x
2+2 y
2−8 ) y dy=0
E.D. e+ac!a$
,esuelva
8/20/2019 2015-GUIA DE EJERCICIOS N° 1 EC.DIF.2015-II
http://slidepdf.com/reader/full/2015-guia-de-ejercicios-n-1-ecdif2015-ii 3/6
1*.dy
dx=
x− y cos x
y+sen x
1-. ( x
2
+ y
x )dx+(ln x+2 y )dy=0
2+. Encuentre la solución particular de la ecuación
[ ln ( ln ( y ) ) x
+2
3 x y
3+6 x ]dx+[ ln ( x )
y ln ( y )+ x
2 y
2+4e
−2 y]dy=0
que pasa por el punto (1, 1
2 ) .
E.D. 'ec'a$ e+ac!a$ #o" un ,ac!o" in!e%"an!e a#"o#iado
21. ,esolver (2 y sen x−cos3 x ) dx+cos x dy=0
22. Demuestre que μ ( x , y )= x y2
es factor inte$rante de la E.D.
(2 y−6 x ) dx+(3 x−4 x2 y
−1 ) dy=0
0se este factor inte$rante para resolver la ecuación.
2. ,esolver la E.D (7 x4
y−3 y8 ) dx+(2 x
5−9 x y
7 ) dy=0 # sabiendo que
eiste un factor inte$rante de la forma xm
yn
.
E.D. lineal de #"i(e" o"den.
2!. ,esolver la E.D. (1+ x ) dydx
− xy= x+ x2
2%. ,esuelvady
dx+2 xy=f ( x ) , y (0 )=2 # donde
8/20/2019 2015-GUIA DE EJERCICIOS N° 1 EC.DIF.2015-II
http://slidepdf.com/reader/full/2015-guia-de-ejercicios-n-1-ecdif2015-ii 4/6
f ( x )={ x , 0≤ x<1
0, x ≥1
2&. Con un cambio de variable adecuado transforme la E.D.
y' + x sen2 y= x e
− x2
cos2
y
en una E.D. lineal de primer orden lue$o resolverla.
E.D. de -e"noulli
,esolver3
2(.2
dy
dx
= y
x
− x
y
2 con y (1 )=1
2*. xy (1+ x y2 ) dy
dx=1
con y (1 )=0
2-.dx
dy−
2
y x=√ y ( x
y2 )
3 /2
con y (1 )=1
+.dydx
+ 1
2 tan ( x ) y=− x sen ( x ) y 3
E.D. de Ricca!i
1. ,esuelva la ecuacióndy
dx= x y
2−2 y+4−4 x notando que
y1=2
es una solución conocida.
2. Determine una familia uniparamétrica de soluciones de la E.D.
dy
dx=−4
x2 −
1
x y+ y
2
donde y1=2
x es una solución conocida de la ecuación.
8/20/2019 2015-GUIA DE EJERCICIOS N° 1 EC.DIF.2015-II
http://slidepdf.com/reader/full/2015-guia-de-ejercicios-n-1-ecdif2015-ii 5/6
. Para x>0 considere la ecuación
y' +e
−2 x y
2−
1
x(1+4 x+2 x
2 ) y=−e2 x
x(1+ x+2 x
2+ x
3 ) .
a' Encuentre la solución particular de la forma y1 ( x )=e2 x ( Ax+B )
b' Encuentre su solución $eneral.
!. "e lan4a una part5cula de masa m con velocidadv0 con una
inclinación θ respecto a la 6ori4ontal en un medio que e)erce una
fur4a de roce viscoso i$ual a – kv . ¿Cuánto tiempo transcurre antes
de que la traectoria vuelva a formar un án$ulo θ con la
6ori4ontal?
%. 0na resistencia de ! o6mios de 1 6enrio se conecta en serie con
un volta)e dado por 100e−4 t
cos50 t , t ≥0. Encuentre I (t ) s I =0en t =0.
&. 0n inductor de ! 6enrios un condensador de C faradios se
conectan en serie. "i "="0 # I =0 cuando t =0 # demuestre
que"="
0cos ( t
√ !C ) e I =−"0
√ !C sen( t
√ !C ) cuando t >0 .
(. En cada punto # ( x , y ) de una curva del plano# el án$ulo formado
por la tan$ente la ordenada es bisecado por la recta que une alpunto con el ori$en. /alle la ecuación de la curva sabiendo que pasa
por el punto (1,2 ) .
*. 0na part5cula de masa constante m es atra5da al ori$en con una
fuer4a proporcional a la distancia# siendo k la constante de
proporcionalidad. Determine la posición la velocidad de la part5cula
8/20/2019 2015-GUIA DE EJERCICIOS N° 1 EC.DIF.2015-II
http://slidepdf.com/reader/full/2015-guia-de-ejercicios-n-1-ecdif2015-ii 6/6
en todo instante si se suelta desde un punto que dista a metros del
ori$en.
-. En cada punto ( x , y ) de una curva el se$mento que la tan$ente
intercepta en el e)e y es i$ual a 2 x y 2 . /allar la curva.
!+. 7a ecuación diferenciald#
dt =k#(1− #
$ ) modela el crecimiento
poblacional es conocida como la ecuación lo$5stica. En ella # (t )
representa el tama8o de la población en el tiempo t k >0 es
una constante de proporcionalidad. 7a cantidad $ se llama
capacidad de soporte representa la cantidad máima de individuosen una población que el ambiente es capa4 de sostener.,esuelva el problema de valor inicial
d#
dt =0,08 #(1− #
1000 ); # (0 )=100
util5cela para 6allar los tama8os de la población # (40 ) # (80 ) .
¿En qué momento la población lle$a a -++?