2015-GUIA DE EJERCICIOS N° 1 EC.DIF.2015-II

8/20/2019 2015-GUIA DE EJERCICIOS N° 1 EC.DIF.2015-II

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UNIVERSIDAD DEL MAGDALENAFACULTAD DE INGENIERIA

ECUACIONES DIFERENCIALESGUIA DE EJERCICIOS N°1

Solución de una E.D

1. Compruebe que la función y=e3 xcos2 x es una solución de la E.D

y'' −6 y

' +13 y=0

2. ¿Para qué valores de la constante m la función y=emx

será una solución

de la ecuación diferencial y' ' ' −6 y

' ' +11 y

' −6 y=0 ?

. Demuestre que y=e− x

2

∫0

x

et 2

dt +c e− x

2

es solución de y'

+2 xy=1 .

!. "i ( x2+ y

2) dx+( x2− xy ) dy=0 # comprobar que C ( x+ y )2= x e

y / x

# es

solución $eneral.

O!ene" una E.D. a #a"!i" de la $olución %ene"al

%. Encuentre una E.D. que ten$a como solución $eneral y=3 x2+c e

−2 x

&. a' ¿Cuántas constantes arbitrarias tiene y=c1 e5 x+c2+c3 e

5 x?

b' Encuentre una E.D. que ten$a esto como solución $eneral.

(. Encuentre una E.D. que ten$a como solución $eneral y=c1 e3 x+c2e

−2 x

E.D. de &a"iale$ $e#a"ale$

En los e)ercicios * a 1+. ,esuelva las si$uientes E.D.

*. 2 y dx+e−3 x

dy=0

-.dr

dθ=

senθ+e2 r

senθ

3er+e

rcos2θ

; r=0 dondeθ=

π

2



1+.dy

dx=

xy+3 x− y−3

xy−2 x+4 y−8

11. Considere la E. D

y− x dy

dx=a

(1+ x

2 dy

dx ), a>1.

a' Encuentre la solución $eneral.

b' Encuentre la solución particular que verica y (1 )= a

a+1

Ecuacione$ 'o(o%)nea$

,esolver las si$uientes E.D.

12. ( x2− y

2 ) dx−2 xy dy=0

1. ( x− y cos ( y x ))dx+ x cos( y x )dy=0

1!. (4 x6− y

6 ) dx=3 x4

y2

dy

E.D. de coe*cien!e$ lineale$

,esolver las si$uientes E.D.

1%. ( x− y+1 ) dx+ ( x+2 y−5 )dy=0

1&. ( x+ y+1 )dx+(2 x+2 y−1 )dy=0

1(. /aciendo los cambios de coordenadas u=1

2 x

2

# v=1

2 y

2

#

resuelva la ecuación

(2 x2+3 y

2−7 ) x dx−(3 x

2+2 y

2−8 ) y dy=0

E.D. e+ac!a$

,esuelva



1*.dy

dx=

x− y cos x

y+sen x

1-. ( x

2

+ y

x )dx+(ln x+2 y )dy=0

2+. Encuentre la solución particular de la ecuación

[ ln ( ln ( y ) ) x

+2

3 x y

3+6 x ]dx+[ ln ( x )

y ln ( y )+ x

2 y

2+4e

−2 y]dy=0

que pasa por el punto (1, 1

2 ) .

E.D. 'ec'a$ e+ac!a$ #o" un ,ac!o" in!e%"an!e a#"o#iado

21. ,esolver (2 y sen x−cos3 x ) dx+cos x dy=0

22. Demuestre que μ ( x , y )= x y2

es factor inte$rante de la E.D.

(2 y−6 x ) dx+(3 x−4 x2 y

−1 ) dy=0

0se este factor inte$rante para resolver la ecuación.

2. ,esolver la E.D (7 x4

y−3 y8 ) dx+(2 x

5−9 x y

7 ) dy=0 # sabiendo que

eiste un factor inte$rante de la forma xm

yn

.

E.D. lineal de #"i(e" o"den.

2!. ,esolver la E.D. (1+ x ) dydx

− xy= x+ x2

2%. ,esuelvady

dx+2 xy=f ( x ) , y (0 )=2 # donde



f ( x )={ x , 0≤ x<1

0, x ≥1

2&. Con un cambio de variable adecuado transforme la E.D.

y' + x sen2 y= x e

− x2

cos2

y

en una E.D. lineal de primer orden lue$o resolverla.

E.D. de -e"noulli

,esolver3

2(.2

dy

dx

= y

x

− x

y

2 con y (1 )=1

2*. xy (1+ x y2 ) dy

dx=1

con y (1 )=0

2-.dx

dy−

2

y x=√ y ( x

y2 )

3 /2

con y (1 )=1

+.dydx

+ 1

2 tan ( x ) y=− x sen ( x ) y 3

E.D. de Ricca!i

1. ,esuelva la ecuacióndy

dx= x y

2−2 y+4−4 x notando que

y1=2

es una solución conocida.

2. Determine una familia uniparamétrica de soluciones de la E.D.

dy

dx=−4

x2 −

1

x y+ y

2

donde y1=2

x es una solución conocida de la ecuación.



. Para x>0 considere la ecuación

y' +e

−2 x y

2−

1

x(1+4 x+2 x

2 ) y=−e2 x

x(1+ x+2 x

2+ x

3 ) .

a' Encuentre la solución particular de la forma y1 ( x )=e2 x ( Ax+B )

b' Encuentre su solución $eneral.

!. "e lan4a una part5cula de masa m con velocidadv0 con una

inclinación θ respecto a la 6ori4ontal en un medio que e)erce una

fur4a de roce viscoso i$ual a – kv . ¿Cuánto tiempo transcurre antes

de que la traectoria vuelva a formar un án$ulo θ con la

6ori4ontal?

%. 0na resistencia de ! o6mios de 1 6enrio se conecta en serie con

un volta)e dado por 100e−4 t

cos50 t , t ≥0. Encuentre I (t ) s I =0en t =0.

&. 0n inductor de ! 6enrios un condensador de C faradios se

conectan en serie. "i "="0 # I =0 cuando t =0 # demuestre

que"="

0cos ( t

√ !C ) e I =−"0

√ !C sen( t

√ !C ) cuando t >0 .

(. En cada punto # ( x , y ) de una curva del plano# el án$ulo formado

por la tan$ente la ordenada es bisecado por la recta que une alpunto con el ori$en. /alle la ecuación de la curva sabiendo que pasa

por el punto (1,2 ) .

*. 0na part5cula de masa constante m es atra5da al ori$en con una

fuer4a proporcional a la distancia# siendo k la constante de

proporcionalidad. Determine la posición la velocidad de la part5cula



en todo instante si se suelta desde un punto que dista a metros del

ori$en.

-. En cada punto ( x , y ) de una curva el se$mento que la tan$ente

intercepta en el e)e y es i$ual a 2 x y 2 . /allar la curva.

!+. 7a ecuación diferenciald#

dt =k#(1− #

$ ) modela el crecimiento

poblacional es conocida como la ecuación lo$5stica. En ella # (t )

representa el tama8o de la población en el tiempo t k >0 es

una constante de proporcionalidad. 7a cantidad $ se llama

capacidad de soporte representa la cantidad máima de individuosen una población que el ambiente es capa4 de sostener.,esuelva el problema de valor inicial

d#

dt =0,08 #(1− #

1000 ); # (0 )=100

util5cela para 6allar los tama8os de la población # (40 ) # (80 ) .

¿En qué momento la población lle$a a -++?

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