Guia Ejercicios Geometria

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE

FACULTAD DE CIENCIA

DEPARTAMENTO DE FÍSICA

Guía de Ejercicios de Geometría

1. Para que dos rectas sean iguales basta que:

a. Tengan un punto en común. b. Tengan dos puntos comunes. c. Estén en el mismo plano d. Tengan tres puntos comunes e. No sean paralelas.

2. ¿Cuál es la alternativa FALSA?

a. Un segmento AB obtenido de un rayo AB es un subconjunto de dicho rayo. b. Un segmento CD obtenido de una recta CD es un subconjunto de dicha recta. c. Una recta EF es un subconjunto de un rayo EF. d. Un rayo LP obtenido de una recta LP es un subconjunto de dicha recta e. Un rayo FG es un subconjunto de se mismo.

3. En la figura, si DE // FG , demuestre que

4. En la figura, si dos ángulos agudos tienen sus lados perpendiculares, demuestre que sus bisectrices interiores (o exteriores) son perpendiculares.

5. En la figura, si ABC es un triángulo cualquiera en el cual se traza la transversal de gravedad

CD. Luego, se traza el segmento AF tal que pasa por el punto medio E de CD . Demuestre que

CF=3

1BC.

6. En la figura 11, si BED es equilátero y el cuadrilátero ABDC es cuadrado, entonces

demuestre que la medida de AEC es R/2 (R ángulo recto).

7. En la figura, CD es simetral del segmento AB , demuestre que:

I) El segmento formado por el punto medio de AC y el de BC , es paralelo a AB .

II) El triángulo ADC es congruente con el triángulo BDC.

III) El segmento formado por el punto medio de AC y el de AB , es un segmento cuya

longitud es igual a la mitad de la longitud de BC .

8. En la figura, si ACB y ADB son Isósceles, siendo AC y CD sus respectivas bases,

entonces demuestre que =3

)(

CBAm

9. En la figura, si ACD y CBE son triángulos equiláteros, DB y AE se intersectan en el

punto F, entonces demuestre que )(2)( CDAmBFAm

Figura 16

10. En la figura, ACD y CBE son triángulos equiláteros, BE ED DA , entonces

demuestre que )(2)( DCEmBFAm

Figura 17

11. En la figura, si ABCD es un cuadrado y AB AE DE DF FC , entonces demuestre

que B, E y F son puntos colineales.

Figura 18

12. En la figura, si ABCD es un cuadrado y AB AE DE DF FC , entonces demuestre

que: I) DEFC y ABFE son rombos congruentes.

II) CEB es Isósceles.

III) CEF BEA .

13. En la figura, ABCD es un rectángulo, A es punto medio de BM y B es punto medio de NA ,

entonces demuestre que MAD NBC .

Figura 20

14. En la figura, si AC // BF , DE EF y G es punto medio de AB . Demostrar que

GED BFE

Figura 23

M

D A

C B

N

15. En la figura 24, si ABC es un triángulo cualquiera, los triángulos construidos sobre los lados

AC y BC son equiláteros, entonces demuestre que BE AD

Figura 24

16. En la figura 25, si los triángulos ABC y AKC con congruentes, los puntos H y D son el

circuncentro de los respectivos triángulos, entonces demuestre que:

I. El cuadrilátero HADC es un rombo.

II. Los cuadriláteros KACH y BACD son congruentes.

17.En la figura , Si ABC y EDC son triángulos equiláteros, los puntos A, E, F y D son colineales,

entonces CAE CBD

18. En la figura, los triángulos ABC y BAE son congruentes, entonces demuestre que ∆ACD

∆BED I

A

C E

D

B

19. En la figura 28, si sobre los lados del triángulo ABC se construyen exteriormente tres triángulos

equiláteros AFB, BDC y CEA. Demostrar que EB AD FC

20. En la figura, si ABC es un triángulo cualquiera, G es baricentro o Centro de Gravedad y H e I

son puntos medios de AG y GB respectivamente, entonces demuestre que

I) HIED es un paralelógramo II) IED DHI III) GE

AG=

1

2

21. En la figura 31, D es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo ABC, entonces

demuestre que m DCA + m DAB + m DBC es igual a un ángulo recto.

22. En la figura, si ABC es rectángulo en C, CD es transversal de gravedad, entonces demuestre

que y = R1

23. En la figura 33, ABC es rectángulo en C, CD es transversal de gravedad y CF es altura,

entonces ¿cuál es la medida de ?

a) 31° b) 59° c) 62° d) 64° e) 84°

Figura 33

24. En la figura 34, ABC es rectángulo en C, AB=2AC, entonces ¿cuál es la medida de DAB ?

a) 100° b) 120° c) 130° d) 140°

e) No se puede determinar

Figura 34

25. En la figura 35, si EDC y BAC son rectángulos en D y A respectivamente, AC=8 cms y

CB= 54 cms entonces ¿cuál es el área del trapecio EDAB?

Figura 35

26. En la figura 36, ABC es rectángulo en C, BEes bisectriz del ABC , BG es bisectriz del

CBF . Si BE=15 cms y BG = 20 cms, entonces ¿cuál es la longitud de AB?

Figura 36

27. En la figura 37 ABC y DEF son semejantes con áreas 64 cms2 y 25 cms2 respectivamente,

Si uno de los lados del triángulo de mayor área es 16 cm, entonces ¿cuál es la longitud de lado correspondiente en el triángulo de área menor?

Figura 37

28. En la figura 38, el trapecio Isósceles ABDE sus lados AE=ED=DB=20cms. Si m( EAB ) =

m( ABD ) = 60°, entonces ¿cuál es la longitud de la base mayor, la altura y la diagonal del

trapecio?

Figura 38

29. En la figura 39, si ABC ~ EFG , entonces ¿cuál es el valor de g - e?

a) 1,5 b) 3,0

c) 3,5 d) 4,5 e) 5,0

Figura 39

30. Un triángulo tiene lados con longitudes 8, 12 y 15. Las longitudes de los lados de otro triángulo

son 12, 18 y 22,5. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?

a) Los triángulos tienen sus áreas en la razón 2:3. b) Los triángulos son semejantes por el postulado Lado-Lado-Lado. c) Los triángulos son semejantes por homotecia. d) Los triángulos no son semejantes. e) Ambos rectángulos son rectángulos.

31. En la figura 40, si ABC ~ DEF , entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

siempre verdadera(s)?

I) área ABC = 4

1área DEF

II) La razón de semejanza es 2 y la razón entre las áreas es el cuadrado de dicho valor.

III) DEF no es rectángulo.

a) Sólo I b) Sólo II c) I y II d) II y III e) I, II y III

Figura 40

32. Se puede obtener figuras semejantes a través de

a) Traslaciones. b) rotaciones.

c) reflexiones. d) Simetrías. e) homotecias.

33. Si a un polígono ABCDE se aplica una homotecia con centro en H y razón de homotecia –2 se

obtiene como imagen un polígono JKFGI. La figura que representa la transformación es:

a) b)

c) d) e)

34. En la figura 41, si ABC es rectángulo y se aplica una homotecia de razón 3:1, entonces ¿cuál

es el valor del perímetro y área respectivamente del triángulo imagen?

a) 36 cms y 54 cms2 b) 72 cms y 216 cms2 c) 108 cms y 486 cms2 d) 108 cms y 162 cms2 e) 324 cms y 486 cms2

Figura 41

35. En la figura 42, el polígono ABCD es un rectángulo y DB AE , entonces, en función a los

datos que se aprecian en la figura ¿cuál es la expresión que representa a AE en función de a y

b?

a)

baba

22

22

b)

baba

22

22

c)

ba

ab

22

d)

ba

ab

22

e)

ab

ba 22

Figura 42

36. En la figura 43, ABC , CD bisectriz del ángulo ACB y AE es bisectriz del ángulo CAB. AC =6cm, BC

=4cm y DB =2cm. ¿Cuál es al longitud de AD , BE

y EC ?, respectivamente.

a) 3.6 cm, 3cm, 1cm

b) 3 cm, 2 cm, 2 cm.

c) 3 cm, 11

20cm,

11

24cm.

d) 3.6 cm, 2 cm, 2 cm

e) 2 cm, 11

13 cm,

11

31 cm.

Figura 43

37. En la figura 44, ABCD es un trapecio, E y F son puntos medio de AD y BC respectivamente. Si AB

=32cm y DC =10 cm, entonces ¿cuál es la medida del segmento GH?

a) 5

b) 7

c) 9

d) 11

e) 12 Figura 44

38. En la figura 45, el triángulo ABC donde las medidas de sus lados AC y CB son 6 cm y 9 cm

respectivamente. La recta DE es paralela a AC y CD es bisectriz del ángulo ACB. ¿Cuánto mide CE ?

a) 3.6 cm

b) 5 cm

c) 4.5 cm

d) 6 cm

e) 2.5 cm Figura 45

39. En la figura, si el polígono ABCD es un rectángulo y DB AE , entonces, demuestre que

AE =

ba

ab

22

40. En la figura 47, ABCD es un cuadrado de lado 4 cm. El triángulo ABE es equilátero con mediana FG . Además los ángulos FIC y FHC son rectos. ¿Cuánto mide el área achurada?

a) 23512 cm

b) 23212 cm

c) 236 cm

d) 2346 cm

e) 23412 cm

Figura 47

41. En la figura 48, el ABC en su ángulo en B es trisectado mediante los segmentos BD y BE. demuestre

que : DBAE

ABEB

CD

CB

Figura 48

Guía de Ejercicios 2

42. Sea el ABC isósceles de base AB y ángulos basales de medida 45º que se rota en 90º con

centro en C obteniendo ''' CBA . Son puntos invariantes de la rotación:

a. Sólo C X b. Sólo C y B c. todos los puntos del segmento BC d. Sólo C y A e. todos los puntos del segmento AC

43. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

a. Todo punto que esté fuera de un eje de simetría es invariante. b. Toda circunferencia es simétrica respecto a su diámetro. x c. Todo punto de una recta perpendicular al eje de simetría no tiene

homólogo. d. En una figura que presenta simetría axial los puntos homólogos no están a

la misma distancia del eje de simetría.

e. El eje de simetría es una recta que divide a una figura en dos partes cualesquiera.

44. En la figura 2, los polígonos ABCD y A’B’C’D’ son congruentes, ¿a partir de cuál o cuáles

transformaciones isométricas es posible llegar de ABCD y A’B’C’D’?

a. Rotación 180°

b. Simetría rotacional

c. Traslación d. Rotación y traslación X e. Simetría axial

Figura 2

45. En la figura 3, una telaraña puede considerarse formada por polígonos regulares. ¿Cuántos ejes de simetría se observan los cuáles permiten dividir la figura en dos congruentes?

Figura 3

46. En la figura 4, corresponde a una circunferencia con centro en O. ¿cuántos son los ejes de

simetría que permite dividirla en dos figuras congruentes?

Figura 4

47. En la figura 5 ¿cuántos son los ejes de simetría que permite dividirla en dos figuras congruentes?

Figura 5

48. La figura 6, corresponde a copos de nieve observados en un microcopio ¿Cuántos ejes de simetría se observan?

Figura 6

49. ¿cuál de las siguientes transformaciones no corresponde a una isometría o movimiento rígido?

a. Reflexión respecto de una recta dada. b. Rotación en torno a un punto en un ángulo dado. c. Homotecia con centro en un punto dado y razón 2. d. Traslación en un vector dado.

e. Reflexión respecto de un punto dado.

50. Dada la traslación T: (a,b) ( a – 6, b – 3 ), la imagen del punto ( -2, -3)

a. ( 2, -6) b. ( 2, 0) c. ( -2, 0)

d. ( -8, 0) e. ( -8, -6)

51. ¿Cuál de los siguientes polígonos no presenta simetría rotacional?

a. Pentágono regular b. Cuadrado c. Hexágono regular d. Triángulo isósceles e. Rombo

52. La traslación de un punto P respecto a un vector v, es otro punto P’. Respecto de este enunciado. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I. El vector PP’ es equipolente al vector v.

II. El vector PP’ tiene el mismo sentido, dirección y longitud que v.

III. La recta que une P con P’ es paralela al vector v.

a. Sólo I b. Sólo II c. I y II d. II y III e. I, II y III

53. ¿Cuál(es) de los siguientes polígonos tiene(n) simetría respecto a sus diagonales?

I. El rombo II. El romboide. III. El Rectángulo.

a. Sólo I b. Sólo II c. Sólo III d. Sólo I y III e. Sólo I y II

54. ¿Cuál(es) de los siguientes polígonos tiene(n) simetría respecto a sus diagonales?

IV. El rombo V. El romboide. VI. El Rectángulo.

f. Sólo I

g. Sólo II h. Sólo III i. Sólo I y III j. Sólo I y II

Sobre cuerpos Geométricos

Sobre Circunferencia (Ayudantía Sábados)

55. Si en una circunferencia dos arcos AB y BC se unen los puntos medio M y N de estos arcos. MN

interfecta a las cuerdas AB y BC en los puntos P y Q. Demostrar que BP BQ

56. En la circunferencia de centro O de la figura, .6,10 cmOBABcmBC Demuestre que

OD = 64

57. En la figura , si a dos circunferencias exteriores de distintos radios se les trazan las tangentes comunes exteriores e interiores las que cortan al segmento OO’ interiormente en B y exteriormente en A, entonces demuestre que

I. OA

AO

BO

BO ''

II. OG

HO

AK

AJ '

58. Si dos circunferencias de centro O y O´ son tangentes exteriormente en el punto A. Se

trazan las cuerdas AM y AM´, perpendiculares entre sí. Demostrar que OM es paralela con

´´MO .

Figura 12

59. Si las medidas de los ángulos interiores de los triángulos tiene el siguiente orden: en ΔABC, >>; en

ΔDCB >> y en ΔBED >>, entonces el segmento de mayor longitud es BE

Figura 3

60. En la figura, ABC es rectángulo en C, BEes bisectriz del ABC , BG es bisectriz del CBF . Si

BE=15 cms y BG = 20 cms, entonces ¿cuál es la longitud de AE? (Resp: 7

225 cm)

61. Si una recta l es perpendicular en A a un plano , y desde A y en se traza 1lAC en C

contenidos en , entonces se cumple que 1lBC con B en l.

62. Demostrar que las rectas que unen los puntos medios de las aristas opuestas de un tetraedro son

concurrentes.

63. Si B1 representa el área de la base de la pirámide ABCD y B2 el área de la sección transversal, entonces

2 2

1

2 2

2

( ) ( )

( ) ( )

B AD AI

B ED EJ

64. Si un paralelepípedo recto de base rectangular cuyas aristas son a, b y c está inscrito en una esfera de

diámetro d, entonces 2 2 2d a b c .

65. Si en un tetraedro ABCD se verifica que AB x CD = AC x DB = AD x BC, entonces las rectas que unen

los vértices con los centros de las circunferencias inscritas en las caras opuestas son concurrentes.

Guía de Ejercicios 3

Realice las siguientes demostraciones:

1. Si E, F, G y H son puntos medios de los lados del cuadrado ABCD, entonces el

cuadrilátero EFGH es un cuadrado.

figura 1

2. Los puntos medios de los lados de cualquier cuadrilátero, son los vértices de un

paralelogramo.

figura 2

3. Los puntos medios de los lados de cualquier cuadrilátero, son los vértices de un paralelogramo.

4. Las medidas de los ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360º.

5. Las diagonales de un paralelogramo dividen a éste en dos triángulos congruentes.

6. Los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes.

7. Si en un cuadrilátero los lados opuestos son congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.

8. Los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes.

9. Si un cuadrilátero tiene dos lados congruentes y paralelos, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.

10.Las diagonales de un paralelogramo se dimidian.

11.Si en un cuadrilátero las diagonales se dimidian, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.

12.Las diagonales de un rectángulo son congruentes.

13.Si en un cuadrilátero las diagonales son congruentes y se dimidian, entonces el cuadrilátero es un rectángulo o cuadrado.

14.Las diagonales de un cuadrado se cortan formando ángulos rectos.

15.Las diagonales de un rombo se cortan formando ángulos rectos.

16.Si las diagonales de un cuadrilátero se cortan formando ángulos rectos y se dimidian, entonces el cuadrilátero es paralelogramo equilátero (rombo o cuadrado)

17.Si las diagonales de un cuadrilátero se cortan formando ángulos rectos, se dimidian y son congruentes, entonces el cuadrilátero es un cuadrado.

18.Las diagonales de un paralelogramo equilátero bisectan los ángulos cuyos vértices

unen.

19.Si una diagonal de un paralelogramo bisecta los ángulos cuyos vértices une, entonces

el paralelogramo es equilátero. 20.Las diagonales de un rectángulo se cortan formando ángulos no rectos.

21.Las diagonales de un romboide se cortan formando ángulos no rectos.

22.Los ángulos basales de un trapecio isósceles son congruentes.

23.Las diagonales de un trapecio isósceles son congruentes.

24.La mediana de un trapecio es paralela a las bases.

25.La medida de la mediana de un trapecio es igual a la semisuma de las medidas de las bases.

Material de Referencia:

Clemens, S; O´Daffer, P; Cooney, T (1998). "Geometría". Edo. de México: Addison Wesley Longman de México.

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