Métodos Numéricos 2012
INTRODUCCIÓN
A medida que avanzamos profesionalmente encontramos las matemáticas más complejas
Los problemas que se plantean en la vida cotidiana, sobre todo en ingeniería, que abarcan
como plano inicial el contenido matemático y aritmético para la solución de los problemas
planteados.
Como ingenieros no solo encontramos una solución a los problemas sino también una
eficiente, aplicable teórica y prácticamente que indiscutiblemente se verá afectada por
medios ajenos a la práctica, valores que tenemos en cuenta para concluir con éxito una
situación, optimizándola gracias a métodos numéricos obteniendo una solución exacta y
precisa del problema.
En el presente trabajo, se plantea de los conceptos básicos para tener en cuenta y
arrancar exitosamente el estudio de un método determinado, valiendonos por medios
computacionales y desarrollando pequeños software para grandes soluciones.
1. ¿QUÉ SON LOS MÉTODOS NUMÉRICOS?
Son los procedimientos lógicos que se realizan a partir de problemas planteados
matemáticamente y de manera aritmética, Herramientas poderosas que se usan en la
formulación de problemas complejos que requieren de un conocimiento básico en
ciencias matemáticas e ingeniería adaptando un sinnúmero de cálculos aritméticos que
ordenados de manera lógica resuelven problemas de alta complejidad manejando
sistemas de ecuaciones grandes, no linealidades y geometrías complicadas. Sin embargo,
gracias al apoyo computacional podemos emplear aplicaciones y desarrollar software que
contenga métodos numéricos. El uso inteligente de estos programas depende del
conocimiento de la teoría básica de estos métodos; además hay muchos problemas que
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no pueden plantearse al emplear programas hechos, conociendo bien los métodos
numéricos se puede diseñar programas propios. Al mismo tiempo se aprende a conocer y
controlar los errores de aproximación que son inseparables de los cálculos numéricos a
gran escala.
3. CLASIFICACION DE LOS METODOS NUMERICOS
Solución de sistemas de Ecuaciones
Eliminación Gaussiana
Matriz Inversa
Gauss-Jordan
Regla de Crammer
Jacobi
Gauss-Seidel
Diferenciación e Integración Numérica.
Derivación Numérica
Integración Numérica, trapecio, Simpson-Romberg
Solución de ecuaciones diferenciales
Euler
Euler Mejorado,
Runge-Kutta
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A continuación se Estudiara detenidamente el Método de Diferenciación Numérica
DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA
La derivación numérica es una técnica de análisis numérico para calcular una
aproximación a la derivada de una función en un punto utilizando los valores y
propiedades de la misma.
Por definición la derivada de una función es:
Las aproximaciones numéricas que podamos hacer (para h > 0) serán:
Diferencias hacia adelante:
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Diferencias hacia atrás:
La aproximación de la derivada por este método entrega resultados aceptables con un
determinado error. Para minimizar los errores se estima que el promedio de ambas
entrega la mejor aproximación numérica al problema dado:
Diferencias centrales:
DIFERENCIAS FINITAS
Para entender de una manera sencilla la discretización por diferencias finitas de una
derivada debe tenerse en cuenta la interpretación geométrica de la derivada en un punto,
que es la pendiente de la curva en el punto de interés
Formulas de Diferenciación con Alta Exactitud
1. Formulas de diferencias divididas finitas hacia delante:
Primera Derivada
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f ´ (x i)=f (x i+1 )−f (x i)
h
Segunda Derivada
f ´ ´ (x i)=f (x i+2 )−2 f( x¿¿ i)+ f (x i)
h2¿
Tercera Derivada
f ´ ´ ´ (x i)=f (x i+3 )−3 f (x i+ 2)+3 f (x i+1 )−f (x i )
h3
2. Fórmulas de Diferencias Divididas Finitas hacia atrás
Primera Derivada
f ´ (x i)=f (x i)−f (x i+1 )
h
Segunda Derivada
f ´ ´ (x i)=f (x i )−2 f (x i−1)−f (x i−2 )
h2
Tercera Derivada
f ´ ´ ´ (x i)=f (x i )−3 f (x i−1)+3 f (x i−2)−f (x i−3 )
h3
3. Fórmulas de Diferencias divididas Finitas centradas
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Primera Derivada
f ´ (x i)=f (x i+1 )−f (x i)
2h
Segunda Derivada
f ´ ´ (x i)=f (x i+2 )−2 f( x¿¿ i)+ f (x i−1)
h2¿
Tercera Derivada
f ´ ´ ´ (x i)=f (x i+2 )−2 f (x i+1 )+2 f (x i−1 )−f (x i−2)
2h3
Ejemplo: Formulas de Diferenciación con alta exactitud
Planteamiento del Problema.- f ( x )=−0.1x4−0.15 x3−0.5 x2−0.25 x+1.2
X=0.5 usando diferencias divididas finitas y un tamaño de paso de h=0.25
Hacia adelante Hacia atrás Centrada
Estimación
ƐT (%)
-1.155 -0.714 -0.934
-26.5 21.7 -2.4
Donde los errores fueron calculados basándose en el valor verdadero: -0.9125.
Repita este calculo, pero ahora emplee las formulas con alta exactitud a partir de
las Fórmulas de diferencias de las 1 a 3
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Solución: Los datos necesarios para este ejemplo son
x i−2=0 f (x i−2 )=1.2
x i−1=0 .25 f (x i−1 )=1.103516
x i=0 .5 f (x i )=0.925
x i+1=0.75 f ( xi )=0.6363281
x i+2=1 f (x i+2 )=0.2
La diferencia hacia adelante de exactitud 0 (h2) se calcula como sigue (Formula 1)
f ´ (0.5 )=−0.2+4 (0.6363281 )−3 (0.925 )2 (0.25 )
=−0.859375Ɛt=5.82%
La diferencia hacia atrás de exactitud 0(h2) se calcula como sigue (Formula 2)
f ´ (0.5 )=3 (0.925 )−4 (1.035256 )+1.22 (0.25 )
=−0.878125 Ɛt=3.77%
La diferencia centrada de exactitud 0 (h4) se calcula como sigue (Formula 3)
f ´ (0.5 )=−0.2+8(0.6363281)−8 (1.035156 )+1.2
12 (0.25 )=−0.9125Ɛ t=0%
Como se esperaba. Los errores para las diferencias hacia adelante y hacia atrás son
considerablemente menores y los resultados más exactos .Sin embargo de manera
sorprendente, la diferencia centrada da un resultado perfecto. Esto es porque las formulas
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se basan e la serie de Taylor, y son equivalentes a polinomios que pasan a través de os
puntos.
4. Codificación en MATLAB
cla
clear
clc
valx=input('ingrese val x ')
f=input('ingrese f: ','s')
fn=inline(f)
n=input('iteraciones ')
h=0.1
for k=1:n
valx0=valx+h
dx=feval(fn,valx0)
dxx=feval(fn,valx)
d=(dx-dxx)/(h)
pf=diff(f)
pf=inline(pf)
d1=feval(pf,valx)
h=h/10
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e(k)=abs((d1-d)/d1)
end
plot(e)
5. CONCLUSIONES
Gracias a los métodos numéricos podemos ser precisos y exactos en nuestros
cálculos.
En ingeniería, ciencia, industria y estadística, exactitud se define a partir del valor
real y precisión a partir de un conjunto numerario aproximado entre sí.
A partir de este conocimiento podemos desarrollar e implementar software
personalizados y además de ello, modificar el cálculo de error con el que
trabajemos.
El ingeniero implementa los métodos numéricos para perfección y optimización de
sus proyectos.
Los métodos numéricos se convierten en parte esenciales para nuestros cálculos ya que
de ellos depende el éxito de nuestro resultado y análisis aplicado a la formulación de
problemas.