TIPOS DE FUNCIONESA. Funciones polinómicasB. Funciones racionalesC. Funciones radicalesD. Funciones exponencialesE. Funciones logarítmicasF. Funciones trigonométricasG. Funciones arcoH. Funciones definidas a trozosI. Función valor absolutoJ. Función parte enteraK. Función parte decimal
A. FUNCIONES POLINÓMICAS. Función afín
baxxf ba,Estudio• Su gráfica es una línea recta:
•a = pendiente•b = ordenada en el origen ( si b = 0 la recta pasa por el origen de coordenadas y se llama función lineal)
•Monotonía:•Si a > 0 la recta es creciente•Si a < 0 la recta es decreciente•Si a = 0 la recta es constante
A. FUNCIONES POLINÓMICAS. Función cuadrática
cbxaxxf 2 cba ,,Estudio• Su gráfica es una parábola con
• vértice el punto:• eje de simetría la recta:
•Simetría: si b = 0 es par•Si a > 0 la parábola es convexa y el vértice es un mínimo.•Si a < 0 la parábola es cóncava y el vértice es un máximo
a
bf
a
bV
2,
2
a
bx
2
A. FUNCIONES POLINÓMICAS. Función de grado >2
011
1 ......... axaxaxaxf nn
nn
iaEstudio •Dominio:
•Recorrido:Si n es par: una semirrecta o Si n es impar:
•Es continua en todo el dominio.
•Su gráfica es una curva con un máximo de n-1 extremos relativos.
a, ,a
B. FUNCIONES RACIONALESFunción de proporcionalidad inversa
x
kxf k
Estudio• Su gráfica es una hipérbola con asíntotas en los ejes de coordenadas.•Dominio: •Ramas:
•Si k > 0 la hipérbola se sitúa en el primer y el tercer cuadrantes. Es decreciente en todo su dominio.•Si k < 0 la hipérbola se sitúa en el segundo y cuarto cuadrantes. Es creciente en todo su dominio.
•Simetría: impar, respecto del origen de coordenadas
0
B. FUNCIONES RACIONALESHipérbolas trasladadas
bax
kxf
bak ,,
La hipérbola se traslada según los parámetros a y b:
•Traslación horizontal de a unidades. La asíntota vertical es la recta y = a.
•Traslación vertical de b unidades. La asíntota horizontal es la recta x = b.
B. FUNCIONES RACIONALES
2
kf x
x k
Estudio•Dominio: •Asíntotas: en los ejes coordenados.•Ramas:
•Si k > 0 la hipérbola se sitúa en el primer y el segundo cuadrantes. •Si k < 0 la hipérbola se sitúa en el tercer y el cuarto cuadrantes.
•Simetría: Par, respecto del eje OY.
0
B. FUNCIONES RACIONALESGeneral
( )
( )
P xf x
Q x
Estudio
Dominio todos los números reales excepto aquellos en los que se anula el denominador, es decir, Q(x)=0. En esos puntos puede tener asíntotas verticales u oblicuas.
También puede presentar asíntotas horizontales.
Para un mejor estudio de las asíntotas es necesario el conocimiento de límites de funciones.
C. FUNCIONES RADICALES
( )nf x g x
Estudio•Dominio:
•Si n es par: el intervalo en el que
•Si n es impar:
•Monotonía: Creciente en todo su dominio
( ) 0g x
Nn
D. FUNCIONES EXPONENCIALES
Estudio•Dominio: •Recorrido:
•Como a0 = 1, la función pasa siempre por el punto (0,1).•Como a1 = a, la función pasa siempre por el punto (1,a).
•Monotonía:•Si a>1: creciente.•Si 0<a<1: decreciente.
•Asíntotas: asíntota horizontal en y = 0.
xaxf )( 1,0, aaa
,0
E. FUNCIONES LOGARÍTMICAS
Estudio•Dominio: •Recorrido:
•Como loga1 = 0, la función pasa siempre por el punto (1,0).•Como logaa = 1, la función pasa siempre por el punto (a,1).
•Monotonía:•Si a>1: creciente.•Si 0<a<1: decreciente.
•Asíntotas: asíntota vertical en x = 0.
xxf alog)( 1,0, aaa
,0
La función exponencial y la función logarítmica son inversas, por lo tanto, sus gráficas son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.
F. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASFunción seno
xxf sin)(
1,1
Zkkxx ),2sin()sin(
2,0
2,2
3
2,0
2
3,2
1,2
1,2
3
x es un ángulo medido en radianes
G. FUNCIONES ARCOFunción arcosenoxxf arcsin)(
Definición Si f(x) es una función, debe haber una única imagen para cada x, real. Es decir, aunque hay infinitos ángulos cuyo seno es un número dado y, debemos elegir sólo uno para definir la función. Por convenio se elige
el ángulo
2,2
x
Estudio•Dominio: • Recorrido: •Simetría: impar.•Monotonía: Creciente en su dominio•Curvatura:
Cóncava en
Convexa en
1,1)( fD
2,2
)Im(
f
0,1
1,0
x y-1 -/2≈-1,57
-√3/2 -/3≈-1,05-√2/2 -/4≈-0,79-1/2 -/6≈-0,52
0 01/2 /6≈0,52
√2/2 /4≈0,79√3/2 /3≈1,05
1 /2≈1,57
xy arcsin
G. FUNCIONES ARCOFunción arcocosenoxxf arccos)(
Definición: Igual que para el arcsinx restringimos el dominio de definición. Por convenio se elige el ángulo ,0x
Estudio
•Dominio:
• Recorrido:
•Simetría: no hay
•Monotonía: Decreciente en su
dominio
•Curvatura:
Cóncava en
Convexa en
,0)Im( f
1,1)( fD
0,1
1,0
xy arccos
x y-1 ≈3,14
-√3/2 5/6≈2,62-√2/2 3/4≈2,36-1/2 /3≈2,09
0 /2≈1,571/2 /3≈1,05
√2/2 /4≈0,79√3/2 /6≈0,52
1 0
G. FUNCIONES ARCOFunción arcotangentexxf arctan)(
Definición: Igual que para el arcsinx restringimos el dominio de definición. Porconvenio se elige el ángulo
2,2
x
2,2
)Im(
f
)( fD
0, ,0
2,2
yy
H. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS
Definición: “Una función definida a trozos es aquella cuyo dominio está dividido en intervalos disjuntos, de forma que en cada intervalo la función viene dada por expresiones matemáticas distintas”.
Para dibujar las funciones a trozos tendremos que representar cada una de las partes de las que está compuesta teniendo en cuenta, además, que solo tienen validez en el intervalo en el que están definidas.
I. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTOxxf )(
Se denomina así la función que a cada número real hace corresponder su valor absoluto.
Se puede expresar también como una función definida a trozos
0
0)(
xsix
xsixxf
Estudio
•Recorrido:Puesto que el valor absoluto de un número es siempre positivo el recorrido de una función con valor absoluto estará incluido en los .
I. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTODe un polinomio
)()( xPxf
0)()(
0)()()(
xPsixP
xPsixPxfA trozos:
Para establecer los intervalos en los que P(x) tiene signo negativo hay que resolver la ecuación P(x)=0 y estudiar el signo de P en cada uno de los intervalos en los que queda dividida la recta real.Para dibujar su gráfica, se dibuja normalmente y después se hace la simetría respecto del eje horizontal en aquellos tramos en los que la función sea negativa.
Ejemplo 128)( 2 xxxf
Para expresar la función a trozos se buscan las raíces del polinomio P.
0128)( 2 xxxP 6,2 21 xx
Se estudia el signo de P en cada intervalo de la recta real.
xsixx
xsixx
xsixx
xf
4128
42128
2128
)(2
2
2
J. FUNCIÓN PARTE ENTERA xExf )(
Se denomina así la función de ecuación f(x)=E[x], que a cada número real hace corresponder el mayor número entero que es menor o igual que él.
Se puede expresar también como una función definida a trozos
...
433
322
211
100
011
...
)(
xsi
xsi
xsi
xsi
xsi
xf
K. FUNCIÓN PARTE DECIMAL xDecxf )(
Se denomina así la función de ecuación f(x)=Dec[x], que a cada número real hace corresponder su parte decimal. Analíticamente:
Se puede expresar también como una función definida a trozos
...
433
322
211
10
011
...
)(
xsix
xsix
xsix
xsix
xsix
xf
xExxDecxf )(
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