FUNCIONES ELEMENTALES

Laura Blázquez ChavesDepartamento de MatemáticasIES Villa de Valdemoro

TIPOS DE FUNCIONESA. Funciones polinómicasB. Funciones racionalesC. Funciones radicalesD. Funciones exponencialesE. Funciones logarítmicasF. Funciones trigonométricasG. Funciones arcoH. Funciones definidas a trozosI. Función valor absolutoJ. Función parte enteraK. Función parte decimal

A. FUNCIONES POLINÓMICAS. Función afín

baxxf ba,Estudio• Su gráfica es una línea recta:

•a = pendiente•b = ordenada en el origen ( si b = 0 la recta pasa por el origen de coordenadas y se llama función lineal)

•Monotonía:•Si a > 0 la recta es creciente•Si a < 0 la recta es decreciente•Si a = 0 la recta es constante

A. FUNCIONES POLINÓMICAS. Función cuadrática

cbxaxxf 2 cba ,,Estudio• Su gráfica es una parábola con

• vértice el punto:• eje de simetría la recta:

•Simetría: si b = 0 es par•Si a > 0 la parábola es convexa y el vértice es un mínimo.•Si a < 0 la parábola es cóncava y el vértice es un máximo

a

bf

a

bV

2,

2

a

bx

2

0,2 aaxxf

0,2 aaxxf

A. FUNCIONES POLINÓMICAS. Función de grado >2

011

1 ......... axaxaxaxf nn

nn

iaEstudio •Dominio:

•Recorrido:Si n es par: una semirrecta o Si n es impar:

•Es continua en todo el dominio.

•Su gráfica es una curva con un máximo de n-1 extremos relativos.

a, ,a

0,)( 23 adcxbxaxxf

0,)( 23 adcxbxaxxf

Grado 4 Grado 5

B. FUNCIONES RACIONALESFunción de proporcionalidad inversa

x

kxf k

Estudio• Su gráfica es una hipérbola con asíntotas en los ejes de coordenadas.•Dominio: •Ramas:

•Si k > 0 la hipérbola se sitúa en el primer y el tercer cuadrantes. Es decreciente en todo su dominio.•Si k < 0 la hipérbola se sitúa en el segundo y cuarto cuadrantes. Es creciente en todo su dominio.

•Simetría: impar, respecto del origen de coordenadas

0

0k

0k

B. FUNCIONES RACIONALESHipérbolas trasladadas

bax

kxf

bak ,,

La hipérbola se traslada según los parámetros a y b:

•Traslación horizontal de a unidades. La asíntota vertical es la recta y = a.

•Traslación vertical de b unidades. La asíntota horizontal es la recta x = b.

B. FUNCIONES RACIONALES

2

kf x

x k

Estudio•Dominio: •Asíntotas: en los ejes coordenados.•Ramas:

•Si k > 0 la hipérbola se sitúa en el primer y el segundo cuadrantes. •Si k < 0 la hipérbola se sitúa en el tercer y el cuarto cuadrantes.

•Simetría: Par, respecto del eje OY.

0

B. FUNCIONES RACIONALESGeneral

( )

( )

P xf x

Q x

Estudio

Dominio todos los números reales excepto aquellos en los que se anula el denominador, es decir, Q(x)=0. En esos puntos puede tener asíntotas verticales u oblicuas.

También puede presentar asíntotas horizontales.

Para un mejor estudio de las asíntotas es necesario el conocimiento de límites de funciones.

C. FUNCIONES RADICALES

( )nf x g x

Estudio•Dominio:

•Si n es par: el intervalo en el que

•Si n es impar:

•Monotonía: Creciente en todo su dominio

( ) 0g x

Nn

n par

n impar

D. FUNCIONES EXPONENCIALES

Estudio•Dominio: •Recorrido:

•Como a0 = 1, la función pasa siempre por el punto (0,1).•Como a1 = a, la función pasa siempre por el punto (1,a).

•Monotonía:•Si a>1: creciente.•Si 0<a<1: decreciente.

•Asíntotas: asíntota horizontal en y = 0.

xaxf )( 1,0, aaa

,0

x y-4 1/16-3 1/8-2 1/4-1 1/20 11 22 43 84 16

Si a>1

x y-4 16-3 8-2 4-1 20 11 1/22 1/43 1/84 1/16

Si 0<a<1

E. FUNCIONES LOGARÍTMICAS

Estudio•Dominio: •Recorrido:

•Como loga1 = 0, la función pasa siempre por el punto (1,0).•Como logaa = 1, la función pasa siempre por el punto (a,1).

•Monotonía:•Si a>1: creciente.•Si 0<a<1: decreciente.

•Asíntotas: asíntota vertical en x = 0.

xxf alog)( 1,0, aaa

,0

x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8

y -3 -2 -1 0 1 2 3

Si a>1

x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8

y 3 2 1 0 -1 -2 -3

Si a<1

La función exponencial y la función logarítmica son inversas, por lo tanto, sus gráficas son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.

Simetría de las funciones inversas si a<1

F. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASFunción seno

xxf sin)(

1,1

Zkkxx ),2sin()sin(

2,0

2,2

3

2,0

2

3,2

1,2

1,2

3

x es un ángulo medido en radianes

Función seno: transformaciones

Traslaciones verticales

Función seno: transformaciones

Dilataciones y contracciones

Función seno: transformaciones

Traslaciones horizontales

F. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASFunción coseno

xxf cos)(

1,1

Zkkxx ),2cos()cos(

2,0

2,

1, 1,0

,0

F. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASFunción tangente

Zkk

,2

Zkkxx ),tan()tan(

,

Zkkx ,2

G. FUNCIONES ARCOFunción arcosenoxxf arcsin)(

Definición Si f(x) es una función, debe haber una única imagen para cada x, real. Es decir, aunque hay infinitos ángulos cuyo seno es un número dado y, debemos elegir sólo uno para definir la función. Por convenio se elige

el ángulo

2,2

x

Estudio•Dominio: • Recorrido: •Simetría: impar.•Monotonía: Creciente en su dominio•Curvatura:

Cóncava en

Convexa en

1,1)( fD

2,2

)Im(

f

0,1

1,0

x y-1 -/2≈-1,57

-√3/2 -/3≈-1,05-√2/2 -/4≈-0,79-1/2 -/6≈-0,52

0 01/2 /6≈0,52

√2/2 /4≈0,79√3/2 /3≈1,05

1 /2≈1,57

xy arcsin

Funciones inversas: seno y arcoseno

xxfxxf

xyxy

sin)(arcsin)(

sinarcsin1

G. FUNCIONES ARCOFunción arcocosenoxxf arccos)(

Definición: Igual que para el arcsinx restringimos el dominio de definición. Por convenio se elige el ángulo ,0x

Estudio

•Dominio:

• Recorrido:

•Simetría: no hay

•Monotonía: Decreciente en su

dominio

•Curvatura:

Cóncava en

Convexa en

,0)Im( f

1,1)( fD

0,1

1,0

xy arccos

x y-1 ≈3,14

-√3/2 5/6≈2,62-√2/2 3/4≈2,36-1/2 /3≈2,09

0 /2≈1,571/2 /3≈1,05

√2/2 /4≈0,79√3/2 /6≈0,52

1 0

Funciones inversas: coseno y arcocoseno

xxfxxf

xyxy

cos)(arccos)(

cosarccos1

G. FUNCIONES ARCOFunción arcotangentexxf arctan)(

Definición: Igual que para el arcsinx restringimos el dominio de definición. Porconvenio se elige el ángulo

2,2

x

2,2

)Im(

f

)( fD

0, ,0

2,2

yy

xy arctan

x -√3 -1 -1/√3 0 1/√3 1 √3

y -/3≈-1,05 -/4≈0,79 -/6≈-0,52 0 /6≈0,52 /4≈0,79 /3≈1,05

Funciones inversas: tangente y arcotangente

xxfxxf

xyxy

tan)(arctan)(

tanarctan1

H. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS

Definición: “Una función definida a trozos es aquella cuyo dominio está dividido en intervalos disjuntos, de forma que en cada intervalo la función viene dada por expresiones matemáticas distintas”.

Para dibujar las funciones a trozos tendremos que representar cada una de las partes de las que está compuesta teniendo en cuenta, además, que solo tienen validez en el intervalo en el que están definidas.

Ejemplo 1:

2

20

( ) 3 6 0 3

8 12 3

si xx

f x x si x

x x si x

TRAMO I

TRAMO II

TRAMO III

Ejemplo 2:

181

31445

42

)( 2

xsix

xsixx

xsi

xf

TRAMO I

42)( xsixf

TRAMO II

1445)( 2 xsixxxf

TRAMO III

181

3)( xsi

xxf

I. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTOxxf )(

Se denomina así la función que a cada número real hace corresponder su valor absoluto.

Se puede expresar también como una función definida a trozos

0

0)(

xsix

xsixxf

Estudio

•Recorrido:Puesto que el valor absoluto de un número es siempre positivo el recorrido de una función con valor absoluto estará incluido en los .

I. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTODe un polinomio

)()( xPxf

0)()(

0)()()(

xPsixP

xPsixPxfA trozos:

Para establecer los intervalos en los que P(x) tiene signo negativo hay que resolver la ecuación P(x)=0 y estudiar el signo de P en cada uno de los intervalos en los que queda dividida la recta real.Para dibujar su gráfica, se dibuja normalmente y después se hace la simetría respecto del eje horizontal en aquellos tramos en los que la función sea negativa.

Ejemplo 128)( 2 xxxf

Para expresar la función a trozos se buscan las raíces del polinomio P.

0128)( 2 xxxP 6,2 21 xx

Se estudia el signo de P en cada intervalo de la recta real.

xsixx

xsixx

xsixx

xf

4128

42128

2128

)(2

2

2

La gráfica sería:

J. FUNCIÓN PARTE ENTERA xExf )(

Se denomina así la función de ecuación f(x)=E[x], que a cada número real hace corresponder el mayor número entero que es menor o igual que él.

Se puede expresar también como una función definida a trozos

...

433

322

211

100

011

...

)(

xsi

xsi

xsi

xsi

xsi

xf

f(x)=E[x]

K. FUNCIÓN PARTE DECIMAL xDecxf )(

Se denomina así la función de ecuación f(x)=Dec[x], que a cada número real hace corresponder su parte decimal. Analíticamente:

Se puede expresar también como una función definida a trozos

...

433

322

211

10

011

...

)(

xsix

xsix

xsix

xsix

xsix

xf

xExxDecxf )(