Ejercicios Funciones analíticas y elementales

Práctica 7Funciones Elementales

yFunciones Analíticas

1

Problema 1.

Capítulo 10

Funciones Elementales

Objetivos: Que el alumno amplíe su concepto de funciones elementales:para llegar a las importantes definiciones de , , , , , , , , . . . etc., con y susaplicaciones.

10.1 Introducción

Aquí hacemos una extensión de las funciones conocidas en cursos anteriores como “elementales”, esto es, ,, , , , etc., con , al plano complejo. Sin embargo, primero vamos a dar nociones sobre las

“propiedades geométricas de las funciones complejas”. Sólo vamos a presentar algunos ejemplos simples, toda vez

que el tema amerita más tiempo para exponerlo.Dada queremos estudiar en que transforma a algunas curvas simples y regiones simples, así

tendremos una idea de la manera en que “deforma al plano ”. El desarrollo de la idea lo haremos en los mismos

Ejercicios.

10.2 Ejercicios sobre transformaciones

Problema 1

Hallar la imagen de la circunferencia dada por , según la transformación ;

Solución

.

Por lo tanto

Así que con y por ser circunferencia centro , radio es en-

viada por en pero como

con , por lo tanto, y . La imagen es el intervalo en el eje .

Problema 2Sea dada por , sea

(a) Hallar la transformación de por .

(b) Resolver la ecuación .

105

Capítulo 10



10.1 Introducción





Ejercicios.


Problema 1


Solución

.

Por lo tanto







105 2

Problema 2.

Capítulo 10



10.1 Introducción





Ejercicios.


Problema 1


Solución

.

Por lo tanto







105Solución

(a)

Por tanto

Sin embargo el estudio de y no conduce a alguna idea aceptable (como en el ejercicio anterior) recurrimos en-tonces a la forma polar:

, puesto que en , y lo cual se deduce de que en ,

, 2do cuadrante. Por lo tanto ó

Así que

(b)

Problema 3

Hallar la imagen de la familia de rectas de ecuaciones , bajo la transformación .

Solución

, de modo que

Ahora, .

Por lo tanto, sumando ademá s

Por lo que . Obsérvese que

(Hemos “completado cuadrados”) Familia de circunferencias con centros en los puntos

con radios .

Más adelante, al estudiar las “funciones elementales” se verán más ejercicios.

10.3 Funciones Elementales

A continuación presentamos un resumen sobre las “Funciones Elementales”. Se extienden al plano complejo, lasfunciones elementales en : .

1. Función Exponencial.Sea , entonces se define . De modo que

con Exp

106

3

En demostramos, que es una función contínua en . Por lo tanto, lafunción Exp es contínua en .

Propiedades(a) Para todo(b)

(c) La exponencial es periódica con período , es decir es entero.(d)

(e) para todo

Es inmediato comprobar como ejercicio que

y como y queda probado que la Exponencial no es inyectiva no tiene inversa si definimos. Por eso cuando vayamos a definir tendremos que restringir el dominio de Exp a

un subconjunto de en el cual Exp si sea inyectiva.En los ejercicios veremos que hace Exp. sobre algunas regiones de .

2. Función LogarítmicaHemos visto que no es inyectiva, por lo tanto para construir la función inversa ( ) vamosa restringir a y

Así Exp restringida en se denota:

La imagen de la recta es el semirayo de ángulo (excluído el origen). Ahora construímos la

Figura 10.1:

función como

con yse nombra como la rama principal de la función log con imágenes en la zona .

Entonces, está bien definido si especificamos un intervalo de longitud donde tome sus valores,es decir, si indicamos el valor , tal que .

Así que

con elegido de tal modo que . En el caso particular

Ahora bien, definida la resulta que es inyectiva pero es discontínua en su dominiopuesto que la continuidad falla en la semirecta de ángulo , es decir, la función es discontínua en elsemirayo.

Por ejemplo, con escogido tal que .

Observemos la acción de la exponencial restringida a (Ver figura 10.2)Se observa la discontinuidad en la semirecta. Por lo tanto para que sea contínua quitamos del conjunto

la semirecta de ángulo y del Dominio de la recta de ecuación

107

4

Figura 10.2:

Quedando entonces

con .

En general, es contínua si la definimos como:

y la misma restricción se toma para derivabilidad de (la veremos más adelante), en el caso ,se denomina rama principal de y se denota .

De modo que y para que sea contínua cambiamos a

con

Una de las propiedades más importantes de es que

con cualesquiera y entero.

3. Potencia ComplejaSean , dependiendo de la rama de que se tome, definimos

4. Función Raiz Enésima

Sea

con argumento principal de .Esto se deduce de la siguiente definición:

Luego depende de la rama de que se escoja. Es común elegir y

5. Funciones TrigonométricasRecordemos que y

Sumando

Restando

108

5

Problema 3.

y de la definición dada por exponenciales, se tiene las representaciones en series:

Dos propiedades básicas son:

con , las cuales se deducen fácilmente utilizando las fórmulasy

cony las definiciones

y

10.4 Ejercicios Resueltos

Problema 4

Estudiar en detalle la función

SoluciónPara ,

Sabemos por el Teorema que al ser funciones polinómicas en , por lo tanto contínuas en serácontínua en .

Ahora un complejo cualquiera o en forma polar

El efecto de la función es elevar al cuadrado el módulo de y duplicar su ángulo.

Figura 10.4:

(En caso , eleva al cubo el módulo y triplica el argumento, etc.)

Problema 5Transformación de por ? Es biyectiva?.

Solución

110





y


Problema 4


SoluciónPara ,




Figura 10.4:



Solución

110





y


Problema 4


SoluciónPara ,




Figura 10.4:



Solución

110

a)

6

b)





y


Problema 4


SoluciónPara ,




Figura 10.4:



Solución

110

Figura 10.5:

El primer cuadrante del plano complejo lo transforma al semiplano superior. Además tal transformación es biyectiva.(Ver figura 10.5)

Problema 6

Transformación de por . Es biyectiva?

Solución

La transformación no envía inyectivamente a en toda vez que por ejemplo a los puntos y

Figura 10.6:

los envía en . Luego en este ejercicio no actúa biyectivamente.

111

7

Figura 10.5:


Problema 6


Solución


Figura 10.6:


111

8

Figura 10.5:


Problema 6


Solución


Figura 10.6:


111

9

Ejercicio 3.

Ejercicio 4.

,

Problema 9

Calcular

Solución

,

Problema 10

Sea

(a) Hallar todas las soluciones en forma polar.

(b) Hallar todas las soluciones en forma binómica.(c) Representar las soluciones.

Solución

.

Sabemos que Primer cuadrante pero está en el segundo cuadrante. Por tanto

Figura 8.9:

(a)(b)

(c) La representación de las soluciones es (Ver figura 8.10)

95

Figura 10.5:


Problema 6


Solución


Figura 10.6:


111

10

Problema 4.Problema 7

Sea

(a) Transformación de(b) Transformación de

(c) Transformación de la franja entre dos rectas paralelas al eje imaginario.

(d) Transformación de la franja entre el eje real y la recta fijo real.(e) Transformación de la franja entre dos rectas paralelas al eje real con:

(f) Transformación de la franja entre dos rectas paralelas al eje real con: ,

Solución

(a)

Aquí .

Figura 10.7:

(b). Por lo tanto .

Figura 10.8:

Las soluciones de las partes (c) y (d) están en la página 123, mientras que las de (e) y (f) están en la 124.

Problema 8

Hallar

112

Problema 7

Sea





Solución

(a)

Aquí .

Figura 10.7:

(b). Por lo tanto .

Figura 10.8:


Problema 8

Hallar

112

11

Problema 7

Sea





Solución

(a)

Aquí .

Figura 10.7:

(b). Por lo tanto .

Figura 10.8:


Problema 8

Hallar

112

Figura 10.9:

Figura 10.10:

Solución

con

Ahora,

está en el primer cuadrante ya que y .

Por tanto,

Debemos hallar tal que

Es obvio que con , . Por tanto

Otros cálculos de logaritmos complejos a sugerir son:

(a)(b)

(c) .

Problema 9

Hallar las determinaciones de (desconocido ) para .

113

c)

12

d)

Figura 10.9:

Figura 10.10:

Solución

con

Ahora,

está en el primer cuadrante ya que y .

Por tanto,

Debemos hallar tal que

Es obvio que con , . Por tanto

Otros cálculos de logaritmos complejos a sugerir son:

(a)(b)

(c) .

Problema 9

Hallar las determinaciones de (desconocido ) para .

113

e)

Figura 10.11:

Figura 10.12:

Solución

pero como está en el segundo cuadrante por ser y

Por tanto no conocemos pero nos indican los valores de en el ejercicio.

Problema 10

Calcular

Solución

AquíHemos de elegir tal que

puesto que .

114

13

Figura 10.11:

Figura 10.12:

Solución

pero como está en el segundo cuadrante por ser y

Por tanto no conocemos pero nos indican los valores de en el ejercicio.

Problema 10

Calcular

Solución

AquíHemos de elegir tal que

puesto que .

114

f)

14

Funciones Analíticas:

Capítulo 11

Derivación - Funciones Analíticas -

Ecuaciones de Cauchy-Riemann

Objetivos: En este capítulo el alumno aprenderá los conceptos de derivabilidad, Analiticidad de una funciónabierto , para ello tendrá que digerir varios teoremas importantes y saber aplicarlos.

Definición 1 (Función derivable) Sea abierto y sea . Se dice que es derivable en , si

existe

Notación Notación

Por comodidad, se escribe .

Ahora, si y .

El número complejo definido por el límite anterior se llama la derivada de en .

Si es derivable , se dice que es derivable en .

Definición 2 (Función Analítica) abierto se dice Analítica (u holomorfa) en un punto sies derivable en un entorno de , es decir, si es derivable en cada punto de un disco abierto (o encada punto de un abierto de que contenga a ). Si es analítica en cada punto de entonces se dice que esanalítica en .

Definición 3 (Función Entera) Si es analítica en cada punto de , se dice que es una función entera.

Una propiedad muy importante, que repasaremos más adelante y que contrasta con el caso real, es que paraabierto , si existe entonces también existen (lo cual no siempre sucede para

funciones reales).

Teorema 1 (Propiedades de funciones analíticas) Si y son analíticas en un abierto , , entoncesse cumple:

(a) La derivada de una constante compleja es cero

(b) y son analíticas en

(c) es analítica en

(d) es analítica en y

(e) Si , entonces es analítica en y

Ahora son ejercicios inmediatos, basándose en el teorema 12, que:

(i) Cualquier polinomio es analítica en (en otras palabras, las funciones

polinómicas son enteras) y .

123

15

Capítulo 11

Derivación - Funciones Analíticas -

Ecuaciones de Cauchy-Riemann

Objetivos: En este capítulo el alumno aprenderá los conceptos de derivabilidad, Analiticidad de una funciónabierto , para ello tendrá que digerir varios teoremas importantes y saber aplicarlos.

Definición 1 (Función derivable) Sea abierto y sea . Se dice que es derivable en , si

existe

Notación Notación

Por comodidad, se escribe .

Ahora, si y .

El número complejo definido por el límite anterior se llama la derivada de en .

Si es derivable , se dice que es derivable en .

Definición 2 (Función Analítica) abierto se dice Analítica (u holomorfa) en un punto sies derivable en un entorno de , es decir, si es derivable en cada punto de un disco abierto (o encada punto de un abierto de que contenga a ). Si es analítica en cada punto de entonces se dice que esanalítica en .

Definición 3 (Función Entera) Si es analítica en cada punto de , se dice que es una función entera.

Una propiedad muy importante, que repasaremos más adelante y que contrasta con el caso real, es que paraabierto , si existe entonces también existen (lo cual no siempre sucede para

funciones reales).

Teorema 1 (Propiedades de funciones analíticas) Si y son analíticas en un abierto , , entoncesse cumple:

(a) La derivada de una constante compleja es cero

(b) y son analíticas en

(c) es analítica en

(d) es analítica en y

(e) Si , entonces es analítica en y

Ahora son ejercicios inmediatos, basándose en el teorema 12, que:

(i) Cualquier polinomio es analítica en (en otras palabras, las funciones

polinómicas son enteras) y .

123

16

(ii) Cualquier función racional es analítica en excepto en los puntos donde .

Teorema 2 (Regla de la Cadena) Sean abierto y abierto con las condicionessiguientes: Imagen de , analítica en , analítica en Imagen de . Entonces se cumple que la compuesta

es analítica en con y .

A pesar del paralelismo con funciones reales, resulta un poco más serio demostrar que una función es derivableen el caso complejo que en el caso real. Por ejemplo

no es derivable en todo (aunque pareciera serlo).

Ahora bien, necesitamos una herramienta más fuerte que la definición para demostrar que ciertas funciones son

derivables. Esta herramienta la constituyen las ecuaciones de Cauchy-Riemann y los criterios de diferenciabilidadde funciones de en .

Recordemos que una función compleja

abierto

puede ser considerada como una función vectorial de dos variables

Recordemos también de MA 2112, que es diferenciable en si existen y son

continuas las derivadas parciales en una vecindad de

Teorema 3 Sea abierto , . Si existe entonces con , existen

en y se cumple que

Teorema 4 (Ecuaciones de Cauchy-Riemann) Sea abierto , . Suponga que es

derivable en . Entonces existen en y se satisfacen las ecuaciones de

Cauchy-Riemann:

Observación 1 El teorema 15 va en una sola dirección: Si existe , existen y se satisfacen lasecuaciones de Cauchy-Riemann (C-R) en . El recíproco es falso, si existen , , , y se satisfacen lasecuaciones de (C-R) en ( , ), no tiene porque ser derivable en .

El próximo teorema nos da las condiciones necesarias y suficientes para que sea derivable.

Teorema 5 Sea abierto , , . es derivable en , consideradacomo función de un subconjunto de en , es diferenciable en y se satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en .

124

17









abierto





en y se cumple que



Cauchy-Riemann:




124









abierto





en y se cumple que



Cauchy-Riemann:




124

Ahora bien, si y son funciones (tienen primeras derivadas parciales continuas), podemos concluir el

Corolario 1 es derivable en y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en .

Finalmente, recordando la definición 2 (de función analítica), podemos extender el corolario 4 a funcionesanalíticas:

Corolario 2 abierto es analítica en (es decir, derivable en un entorno de ) lascomponentes de , y (un entorno de ) y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en dichoentorno.

11.1 Condiciones de Cauchy-Riemann en forma polar

En algunas situaciones, es conveniente utilizar las ecuaciones de (C-R) en forma polar (o trigonométrica). Para ello,

recordamos que la transformación

no es biyectiva (por no ser inyectiva). Por ejemplo, (y así, a dos puntos

distintos, y , les corresponde una misma imagen, ).

Por lo tanto, restringimos el dominio de a un abierto donde la función sea biyectiva y diferenciable.

Un dominio adecuado es .Ahora presentamos el teorema correspondiente:

Teorema 6 Sea abierto , , . es analítica en (es decir, derivableen un entorno de de ) las componentes de , y un entorno de y satisfacen las siguientesecuaciones (conocidas como ecuaciones de Cauchy-Riemann en forma polar) en dicho entorno:

Además, en el teorema 3 se puede sustituir el resultado por:

con

o bien

Teorema 7 Sea

abierto

con analítica en . Entonces, las partes real e imaginaria de son funciones armónicas en (es decir,

considerando como subconjunto de )

Teorema 8 Sea armónica. Entonces, para cada en (considerando ahora abierto) existe una función analítica , definida en una vecindad de , tal queEl teorema podría aplicarse también, cambiando por , con )

Corolario 3 Las funciones armónicas pueden ser consideradas como la parte real o parte imaginaria de algunafunción analítica (al menos localmente)

125

18

Problema 5.


Problema 1Sea tal que . Demuestre formalmente que es una función entera y que

utilizando la teoría estudiada.

SoluciónVamos a utilizar el corolario 5 del teorema 17 y la definición 3:

En primer lugar, entera significa que es función de (lo es por definición) y además es analítica. Esto lovamos a demostrar. Para ello, necesitamos que y (las componentes de ) sean en todo (el dominio de la

función) y satisfagan las ecuaciones de Cauchy-Riemann en todo .

En efecto: .Ahora bien, y son funciones polinómicas en y por tanto (de MA-2112) sabemos que existen

y que estas son, a su vez, funciones polinómicas en y por tanto continuas en . Asi que . Faltaprobar que y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en .

Finalmente, aplicando la definición 3 y el teorema 17 concluimos que es función entera. Además, por el teorema 3

.

Luego, y .

Problema 2Dada la función abierto por .(a) Demuestre que es analítica en un subconjunto de .

(b) Halle el conjunto donde es analítica.

(c) Demuestre que , justificando su respuesta

126










.

Luego, y .




126










.

Luego, y .




126

19










.

Luego, y .




126

20

Problema 6.

Solución

Primero vamos a la parte (b).

(b) El posible conjunto de analiticidad de es y

(Para ello es preciso recurrir al conjunto definido al repasar la función logarítmica.)(a) Ahora, será analítica en si satisface el corolario 5, teorema 17, es decir, si las partes real e imaginaria de ,

y , tienen derivadas parciales continuas y además satisfacen las ecuaciones de (C-R) eny }.

Observemos que con y

, siendo y consideradas como funciones de , derivables con

(Observar que estas condiciones se cumplen ). Además, son contínuas en . Resta probarque y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann allí. En efecto:

Ahora, aplicando el Teorema 3, al existir ,

. Por otra parte, .

Así, hemos demostrado que en y .

Nota Didáctica: El alumno debe entender que en un examen, no basta con nombrar un teorema por un núme-ro, sino que es necesario que enuncie las condiciones del mismo (como lo hemos hecho hasta ahora). Sin embargo,

de aquí en adelante, para no hacer las exposiciones de las soluciones demasiado largas, mencionaremos sólo el

teorema por su número, quedando al alumno agregar las condiciones correspondientes. Problema 3Hallar el dominio de analiticidad de dada por y dibujarlo.

Solución

. Por lo tanto, Dom. Analiticidad rayo

.En este caso, el dominio queda como en la Figura 11.1

Problema 4

Demuestre que es derivable en , la función , donde

127

Solución

Primero vamos a la parte (b).

(b) El posible conjunto de analiticidad de es y

(Para ello es preciso recurrir al conjunto definido al repasar la función logarítmica.)(a) Ahora, será analítica en si satisface el corolario 5, teorema 17, es decir, si las partes real e imaginaria de ,

y , tienen derivadas parciales continuas y además satisfacen las ecuaciones de (C-R) eny }.

Observemos que con y

, siendo y consideradas como funciones de , derivables con

(Observar que estas condiciones se cumplen ). Además, son contínuas en . Resta probarque y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann allí. En efecto:

Ahora, aplicando el Teorema 3, al existir ,

. Por otra parte, .

Así, hemos demostrado que en y .

Nota Didáctica: El alumno debe entender que en un examen, no basta con nombrar un teorema por un núme-ro, sino que es necesario que enuncie las condiciones del mismo (como lo hemos hecho hasta ahora). Sin embargo,

de aquí en adelante, para no hacer las exposiciones de las soluciones demasiado largas, mencionaremos sólo el

teorema por su número, quedando al alumno agregar las condiciones correspondientes. Problema 3Hallar el dominio de analiticidad de dada por y dibujarlo.

Solución

. Por lo tanto, Dom. Analiticidad rayo

.En este caso, el dominio queda como en la Figura 11.1

Problema 4

Demuestre que es derivable en , la función , donde

127

Figura 11.1:

Solución

En este ejercicio, no necesitamos herramientas fuertes como las del teorema 17. La sencillez de la función, nos

hace pensar en la definición de derivada:

Luego, existe y (por ser ,

continua debido a que , son funciones polinómicas en ).

Problema 5

Sea . Demuestre que no es derivable para .

Solución

La demostración se hará usando (teorema de lógica que ha debido estudiar en algún curso) el hecho de que siun teorema es cierto entonces también lo es su contra-recíproco (o negación del recíproco). Pensemos en el

teorema 15: derivable en (abierto) existen en

y se satisfacen las ecuaciones de Cauchy- Riemann en . El contra-recíproco sería: Si no se satisfacen lascondiciones de (C-R) en no es derivable en .

En nuestro caso, sea

Por ser función polinómica en y la función nula en , es obvio que existen las derivadas parciales de y :

, recordemos que (C-R) serían:

pero en nuestro caso, la única manera de cumplirse (C-R) sería con , cosa imposible ya que por hipótesis,

.Conclusión: no es derivable para .

Problema 6

Sea . Demuestre que es función entera.

128

21

Problema 7.

Figura 11.1:

Solución





Problema 5


Solución









Problema 6


128

Figura 11.1:

Solución





Problema 5


Solución









Problema 6


128

22

Ejercicios Funciones analíticas y elementales

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