Facultad de MatematicasDepartamento de MatematicasMAT1610 - Calculo ISeccion 8 - Sala B15

Ayudanta N8Ayudante: Maximiliano Cubillos Alvarez

mecubill@uc.cl

Problema 1Encontrar la derivada enesima de la funcion

f(x) = log(a+ bx

a bx)

Solucion:Notemos que la primera derivada de f puede ser calculada separando la resta de logaritmos yaplicando la regla de la cadena, teniendo cuidado con los signos:

f (x) =b

a+ bx+

b

a bxo bien

f (x) =(ab

+ x)1

+(ab x)1

Ahora notemos que cada vez que se derive esta expresion, por derivacion de polinomio, caera elexponente anterior y se multiplicara. Al derivar las siguientes n 1 veces y teniendo cuidado conlos signos tendriamos:

f (n)(x) = (1)(n1)(n 1)!(ab

+ x)n

+ (n 1)!(ab x)n

Reordenando terminos tenemos:

f (n)(x) =(n 1)!bn

(a2 (bx)2)2 ((a+ bx)n + (1)n(a bx)n)

Problema 2En triangulo 4ABC esta formado por una cuerda AC de la parabola y = kx2 y las tangentesAB y BC en cada extremo de la cuerda. Si AC permanece perpendicular al eje de la parabola yse acerca al vertice cde ella a razon constante de dos unidades por segundo, determine la tasa decambio que experimenta el area del triangulo cuando la cuerda AC se encuentra cuatro unidadessobre el vertice de la parabola.Solucion:

Por simetra con respecto al eje Y, como AC es horizontal, el 4ABC es isoseles y B se encuentrasobre el eje Y. Si C se encuentra sobre la parabola, entonces para un punto x0 la pendiente de larecta tangente es m = 2kx0 y la ecuacion de la recta tangente es y = 2kx0(x x0) + k(x0)2 (vistoen ayudanta). Debemos encontrar la ubicacion del punto B, para esto hacemos x=0 en la recta ytenemos y = kx0. Luego B(0,kx0) y el area del triangulo es:

4 = 2k(x0)3

1

Figura 1: Parabola y = kx2

Derivando con respecto a x0 tenemos:

d4dx0

= 6k(x0)2

Ahora, derivando con respecto al tiempo (que es lo que nos interesa) y usando regla de la cadenatenemos,

d4dt

=d4dx0

dx0dt

=d4dx0

dx0dy0

dy0dt

Por enunciado y lo que se dedujo, tenemos

d4dx0

= 6k(x0)2 y

dx0dy0

=1dy0dx0

=1

2kx0

y como el enunciado nos dice que AC se acerca a tasa de 2 unidades por segundo la derivada de y0con respecto al tiempo es 2 (negativa porque disminuye):

dy0dt

= 2

Reemplazando esto tenemos,

d4dt

= 6k(x0)2 1

2kx0(2) = 6x0

pero debemos dejar esto en funcion de y0 y no de x0 ya que el momento que nos dan (cuando lacuerda BC se encuentra a 4 unidades sobre el vertice) esta en funcion de esta variable:

d4dt

= 6y0k

Luego para y0 = 4,d4dt

= 12k

2

Problema 3Un nino eleva un volantn que esta a 50 metros de altura y que se mueve horizontalmente convelocidad constante de 5 m/s. Determinar la velocidad con que cambia el angulo entre el hilo y lahorizontal cuando se han soltado 50

2 metros de hilo.

Solucion:Ocuparemos la variable x para denotar la distancia horizontal que ha recorrido el volantn desde suorigen y para el angulo que forma. Podemos considerar el triangulo que forma el hilo del volantncon la horizontal y la altura, en donde se cumple para ,

50

x= tan() x = 50 cot()

Notemos que tanto como x varan con el tiempo (x = x(t) y = (t)). Podemos segun estoderivar la ultima expresion con respecto al tiempo t ,

dx

dt= 50(cot ) = 50 csc d

dt

Ahora, por enunciado tenemos quedx

dt= 5

Luego despejandod

dtque es lo que nos pide este ejercicio tenemos,

d

dt= sin

2

10

Pero nos falta calcular ya que el momento que nos dan (cuando el hilo se ha soltado 50

2 metros)no esta en eso terminos.Para esto usamos pitagoras para encontrar x (distancia horizontal recorrida) y notamos que

x = 50

Luego el triangulo formado es isoseles y =pi

4(es un triangulo rectangulo). Reemplazando tenemos

que la velocidad con que cambia el angulo en el punto dado es

d

dt=

( 12)2

10= 1

20

Problema 4

Demostra que si 0 < x 0 (Porque?), ademas, como 0 < x < 1 , 0 < x2 < x < 1.Y coseno es estrictamente decreciente en (0, 1) (Porque?), luego:

cos(x2) > cosx > cos 1 > 0

As, usando lo anterior tenemos que x cos(x2) > sinx cosx, por lo tanto,

f (x) = 2(x cos(x2) sinx cosx) > 0

que es lo que queramos probar.Problema 5Sea f(x) = (x b)n(x a)m . Probar que existe un c R tal que:

m

m=c ab c

Solucion:Notemos que la funcion f es continua con dos races a y b con multiplicidad m y n respectivamente.Tenemos que f(a) = f(b) = 0. Por el teorema del valor medio tenemos que existe un c R tal que

(b a)f (c) = f(b) f(a) = 0 f (c) = 0

Ahora,f (x) = (x a)m1(x b)n1[(m(x b) + n(x a)]

Luego para el c anterior tenemos,

(c a)m1(c b)n1[(m(c b) + n(c a)] = 0

y asm(c b) = n(c a)

que es lo que piden.

4