Facultad de Ingeniería

Matemática II

Lic. Martha Armas Aguilar

LA DERIVADA DE UNA

FUNCIÓN

El problema qué motivo

el concepto de la

derivada fue determinar

la ecuación de la recta

tangente a una curva

dada, en un punto dado.

LT

y 𝒚 = 𝒇(𝒙)

F(a)

a

x

¿Qué problema motivo el concepto de

derivada?

Calculando la pendiente de la

recta secante se tiene:

h

afhafms

)()(

LT

x

y

𝒂 𝒂 + 𝒉

𝒇(𝒂 + 𝒉)

𝒇(𝒂)𝑷( 𝒂 , 𝒇(𝒂))

𝑸( 𝒂 + 𝒉 , 𝒇(𝒂 + 𝒉))

h

𝒚 = 𝒇(𝒙)LS

¿Cómo se solucionó este problema?

Entonces se tiene:

)(')()(

lim0

afh

afhafm

hT

pendiente de la recta tangente

h

afhafm

hS

h

)()(limlim

00

Sea 𝒇 una función definida en el punto 𝒂. La derivada de 𝒇 en 𝒂 se

denota como 𝒇′(𝒂) y se define como:

Observaciones:

Si el límite existe y es finito, se dice que 𝒇 es derivable en 𝒂.

La derivada de una función en 𝒂 es un límite.

𝒇′(𝒂) es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto

𝑎.

h

afhafaf

h

)()(lim)('

0

Derivada de una función

Ejemplos explicativos

Halla, usando la definición, la

derivada de las siguientes

funciones:

1) 𝒇 𝒙 =𝟐𝒙+𝟏

𝟒

2) 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟏

3) 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙

4) 𝒇 𝒙 =𝟑

𝒙

5) 𝒇 𝒙 = 𝒙

Halla, usando la definición, la derivada

de la siguientes funciones, en los

puntos que se indican:

1) 𝒇 𝒙 =𝟑𝒙+𝟏

𝟐en 𝑎 = −1

2) 𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 en 𝑎 = 1

3) 𝒇 𝒙 =𝒙𝟐

𝟑en 𝑎 = 6

4) 𝒇 𝒙 =𝟏

𝒙en 𝑎 = 2

5) 𝒇 𝒙 = 𝒙 en 𝑎 = 9

Sean 𝑓 y 𝑔 dos funciones derivables en 𝑥 y 𝑘 una constante,

entonces se tiene:

1. 𝒇 + 𝒈 ′ 𝒙 = 𝒇′ 𝒙 + 𝒈′ (𝒙)

2. ( 𝒇 𝒈 )′ (𝒙) = 𝒇′ (𝒙) 𝒈 (𝒙) + 𝒇 (𝒙) 𝒈′ (𝒙)

3.𝒇

𝒈′ (𝒙) =

𝒇′ 𝒙 𝒈 𝒙 −𝒇(𝒙) 𝒈′(𝒙)

𝒈(𝒙)𝟐𝒔𝒊 𝒈(𝒙) ≠ 𝟎

4. ( 𝒌 𝒇(𝒙)) ′ = 𝒌 𝒇′(𝒙)

Reglas básicas de derivación

1. Si 𝒇(𝒙) = 𝒌 ⇒ 𝒇′(𝒙) = 𝟎

2. Si 𝒇(𝒙) = 𝒙𝒏 𝒇′(𝒙) = 𝒏𝒙𝒏−𝟏

3. Si 𝒇(𝒙) = 𝒆𝒙 ⇒ 𝒇′(𝒙) = 𝒆𝒙

4. Si 𝒇 𝒙 = sin 𝒙 ⇒ 𝒇′(𝒙) = cos 𝒙

5. Si 𝒇(𝒙) = cos 𝒙 ⇒ 𝒇′(𝒙) = − sin 𝒙

6. Si 𝒇(𝒙) = k𝒙 𝒇′(𝒙) = k

7. Si 𝒇(𝒙) = ln 𝒙 𝒇′(𝒙) =𝟏

𝒙

Fórmulas de derivación

Determine la derivada de las siguientes funciones haciendo uso de la

reglas y fórmulas básicas de derivación:

1) 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟒 + 𝟓𝒙𝟐 − 𝟑

2) 𝒇 𝒙 = 𝟑𝒄𝒐𝒔𝒙 +𝒙𝟑

𝟖− 𝟐𝒙𝟐 +

𝟓

𝟒𝒙

3) 𝒇 𝒙 = 𝒆𝒙𝒔𝒆𝒏𝒙

4) 𝒇 𝒙 =𝟏−𝒙𝟐

𝟏+𝒙𝟐

5) 𝒇 𝒙 = 𝒍𝒏𝒙 +𝟑𝒙𝟐 − 𝒍𝒏𝟓

6) 𝒇 𝒙 =𝒂𝒙𝟔+𝒃

𝒂𝟐+𝒃𝟐

Ejemplos explicativos

¿Cómo se puede derivar la siguiente función?

23 )3( xy

Naturalmente, se puede efectuar el cuadrado del

binomio…. 𝒚 = 𝒙𝟔 + 𝟔𝒙𝟑 + 𝟗 y derivar la función

resultante

Pero ahora, ¿cómo haríamos para derivar 𝒚 = (𝒙𝟑 + 𝟑)𝟐𝟎 ???

Por supuesto, el problema no pasa por elevar el binomio a

la potencia 20.

Regla de la cadena

Con el fin de hallar una regla para estos casos, analicemos

el ejemplo anterior. Podríamos conjeturar que la derivada

de la función 𝒚 = (𝒙𝟑 + 𝟑)𝟐 es: 𝒚′ = 𝟐(𝒙𝟑 + 𝟑)

Es decir, estamos considerando la función interior como si

fuera una variable (u)

Calculando la derivada de la expresión desarrollada 𝒚 =𝒙𝟔 + 𝟔𝒙𝟑 + 𝟗 y se obtiene

)3(6

3)3(2

186'

32

23

25

xx

xx

xxy

Se observa, que derivar con la regla de potencias no es

suficiente cuando se tiene la potencia de una función, faltó

el factor 3𝑥2 que es justamente la derivada de dicha función.

Regla generalizada de la

potenciaSuponga que g(x) es una función de x.

Luego, para cualquier número real k,

)()]([)]([ 1 xgdx

dxgkxg

dx

d kk

Ahora, se va a derivar 𝒚 = (𝒙𝟑 + 𝟑)𝟐𝟎. Hay tres pasos a

seguir.

203 )3( x1. Se bloquea la función 𝑥3 + 3

2. Se deriva la función externa 𝑢20

193

19

)3(20

)(20

x

u

3. Se multiplica por la derivada

de la función interna u.2193 3)3(20 xx

1932 )3(60 xx

𝒖

Ejemplo 1:

Derivar2/13)1()( xxf

3

2

12

3:Rpta

x

x

Ejemplo 2:

Derivar2232 )1()1( xxy

)13)(1(2 :Rpta 22 xxx

Ejemplo 3:

Derivar104 )7()5()( xxxf

)739()7()5(2 :Rpta 93 xxx

Ejemplo 4:

Derivar 4

1

3)(

x

xxf

2)1(

11-x3x :Rpta

4/3

x

Regla de la cadena

Cuando analizamos el ejemplo inicial, pudimos, a partir de

𝒚 = (𝒙𝟑 + 𝟑)𝟐, plantear: 𝒖 = 𝒙𝟑 + 𝟑, entonces 𝒚 = 𝒖𝟐

Esta última expresión se puede derivar respecto a 𝒖.

udu

dy2

Pero nosotros deseamos hallar 𝑑𝑦

𝑑𝑥por lo que escribimos:

dx

du

du

dy

dx

dy

Regla de la cadenaPor lo tanto, podemos generalizar la regla de

la cadena para derivadas

etc....

entonces

)})]({([ Sea

dx

dk

dk

dh

dh

dg

dg

df

dx

dy

xkhgfy

Ejemplo 5:

Derivar 12 3 xy