La Funcion Lineal y La Funcion Afin
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MATEMATICA
NIVEL: SEGUNDO AO MEDIO
NOMBRE DE LA UNIDAD
FUNCIONES
SUBUNIDAD: LA FUNCION LINEAL Y LA FUNCION AFIN
Aprendizaje esperado
Analizar situaciones y fenmenos que se pueden modelar utilizando las funciones lineal y afn, establezcas la dependencia entre las variables y la expreses grfica y algebraicamente.
Conocer la expresin algebraica y grfica de las funciones lineal y afn, traducir de un registro a otro.
Resolver problemas que se pueden modelar usando las funciones lineal y afn.
INSTRUCCIONES:
Desarrolle los ejercicios siguiendo los ejemplos dados para cada tipo de funcin.
Sugerencia: revisar pgina www.vitutor.com que contiene ejercicios resueltos y videos de www.youtube.com relacionados con la funcin lineal, funcin afn y ecuacin de la recta.
LA FUNCION LINEAL
Lafuncin lineales del tipo:
, con m
EMBED Equation.3 (m pertenece a los nmeros reales).
o y se conocen como imagen de x, y es el valor de y para un determinado valor de xSu grfica es una lnea recta que pasa por el origen de coordenadas.
Ejemplo:Supongamos que nos piden graficar la funcin
Para ello debemos construir una tabla de valores que relacione las variables independiente y dependiente.
x 0 1 2 3 4 5
y = 2x 0 2 4 6 8 10
Ejemplo de clculo de valores:
Supongamos que x = 1, entonces . Luego cuando x=1, y=2
Supongamos que x = 3, entonces . Luego cuando x=3, y=6
La representacin grfica es la siguiente:
PENDIENTE
m es la pendiente de la recta.
Si y entonces la pendiente de es:
La pendiente es la inclinacin de la recta con respecto al eje de las abscisas (eje x).
Si m es positivo (m 0), la funcin es creciente y el ngulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo.
Si m es negativo (m < 0), la funcin es decreciente y el ngulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.
LA FUNCION AFINLa funcin afn es del tipo:
; donde m es la pendiente o inclinacin de la recta y n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de corte de la recta con el eje de las ordenadas (eje y)
Ejemplo:
Tabla de valores
x
0 3
1 5
2 7
-1 1
Ejemplo de clculo de valores:Si x=0, entonces
Si x=1, entonces
Si x=2, entonces
EJEMPLOS DE APLICACIN
1.- Calcular los coeficientes de la funcin , si y .
a) Representar grficamente la funcin.
b) Indicar si es creciente o decreciente.
Si , entonces tenemos que
; por lo tanto
Si , entonces tenemos que
Luego la funcin es:
2.- Representa la funcin, sabiendo que tiene pendiente y ordenada en el origen .
Tabla de valores
x
0
1
-1
3.- Representa la funcin que tiene por pendiente 4 y pasa por el punto (3, 2).
Solucin:
Aplicando la definicin tenemos: y = 4 x + n
Si para , entonces 2 = 4 (3) + n y luegon= 14
La funcin es
Tabla de valores x
0
1
-1
4.- En las 10 primeras semanas de cultivo de una planta, que meda 2 cm, se ha observado que su crecimiento es directamente proporcional al tiempo, viendo que en la primera semana ha pasado a medir 2.5 cm. Establecer una funcin a fin que d la altura de la planta en funcin del tiempo y representar grficamente.
Solucin: Altura inicial = 2cm
Crecimiento semanal = 2.5 2 = 0.5
Luego la funcin es la siguiente: y= 0.5 x + 2 La representacin grfica es la siguiente:
5.-Tres kilogramos de pejerreyes valen 18 . Escribe y representa la funcin que define el coste de los pejerreyes en funcin de los kilogramos comprados.
Solucin: luego
6.- Por el alquiler de un coche cobran 100 diarios ms 0.30 por kilmetro. Encuentra la funcin que relaciona el coste diario con el nmero de kilmetros y represntala. Si en un da se ha hecho un total de 300 km, qu importe debemos abonar?Solucin:
La funcin est dada por el cargo fijo de 100 por da y la cantidad de kilmetros que se recorren por da, cuyo costo es de 0,30 por kilmetro y queda expresada as:
y = 0.3 x +100 y = 0.3 300 + 100 =190
7.- Un taxista cobra la bajada de bandera a $ 200 y luego cobra $ 500 por cada kilometro recorrido. Cunto debe pagar Karla por un recorrido de 4 kilmetros?
Solucin:
La funcin que relaciona la distancia recorrida con el cobro en pesos es la siguiente:
, donde x representa la cantidad de kilmetros recorridos.
8.- Encontrar la distancia entre el origen del sistema de coordenadas y el punto .
y
5 .
.
. C = 6,40312
C .
.
.
.
.
0 4 x
9.- En la funcin , si x = 5, cul es el valor de o imagen de 5?
Solucin: para encontrar la imagen de 5 o reemplazamos en la funcin el valor de x, quedando
EJERCICIOS PROPUESTOS1.- Representa grficamente la funcin y = x2.- Representa grficamente la funcin y = 2x3.- Representa grficamente la funcin y = 2x 14.- Representa grficamente la funcin y = -2x 15.- Representa grficamente la funcin y = x + 16.- Representa grficamente la funcin y = x 17.- Representa grficamente la funcin que tiene pendiente y ordenada en el origen
8.- Representa grficamente la funcin que tiene pendiente 3 y pasa por el punto
9.- En las 10 primeras semanas de cultivo de una planta, que meda 2 cm, se ha observado que su crecimiento es directamente proporcional al tiempo, viendo que en la primera semana ha pasado a medir 3 cm. Establecer una funcin a fin que d la altura de la planta en funcin del tiempo y representar grficamente.10.- Por el alquiler de un coche cobran $20.000 diarios ms $1.500 por kilmetro recorrido. Encuentra la funcin que relaciona el costo diario con el nmero de kilmetros y represntala. Si en un da se ha recorrido un total de 450 km, qu cantidad de dinero debemos pagar?
11.- Un taxista cobra por la bajada de bandera $ 150 y $ 750 por cada kilometro recorrido. Cuntos kilmetros recorri Francisco si debe pagar $ 1.650 por un viaje?
ECUACION DE LA RECTAEn una recta, lapendientees siempre constante. Se calcula mediante la ecuacin:Se puede obtener la ecuacin de la recta a partir de la frmula de la pendiente (ecuacin punto-pendiente):
Esta forma de obtener la ecuacin de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos. La pendientemes la tangente del ngulo que forma la recta con el eje deabscisasX.
La ecuacin de la recta que pasa por el punto y tiene la pendiente dadames:
Ejemplo
La ecuacin de la recta que pasa por el punto A(2, 4)y que tiene una pendiente de 1 / 3.
Al sustituir los datos en la ecuacin, resulta lo siguiente:
Reemplazamos los valores de , y m
La ecuacin es
La ecuacin encontrada se conoce como ecuacin general de la recta.
Forma simplificada de la ecuacin de la rectaSi se conoce la pendientem, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, n), podemos deducir, partiendo de la ecuacin general de la recta,yy1=m(xx1):
Esta es la segunda forma de la ecuacin de la recta la que se conoce como ecuacin principal de la recta y se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremosn. El termino n de la ecuacin principal de la recta se llama coeficiente de posicin de la recta e indica el valor de la ordenada del punto donde la recta se intersecta con el eje y.En la ecuacin principal de la recta , m es la pendiente y n es el coeficiente de posicin.
Recta que pasa por dos puntosTenemos una recta que pasa por dos puntos cualquiera A(x1,y1)y B(x2,y2), consideremos un punto Cluego , es decir que la pendiente es igual a la pendiente .
Entonces:
Despejando:
La ecuacin de la recta que pasa por dos puntos se puede obtener a partir de la frmula:
RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES.
Si dos rectas son paralelas, tienen la misma inclinacin por lo tanto sus pendientes son iguales.
Dos rectas son perpendiculares, si y solo s el producto de las pendientes es igual a , es decir
INCLUDEPICTURE "http://www.vitutor.co.uk/geo/rec/images/64.gif" \* MERGEFORMATINET
Ejemplos de aplicacin. 1.- Hallar la ecuacin de la recta que tienependientem = 3eintercepto n = 10.Tenemos que hallar la ecuacin de la recta, esto es,y = mx + n.
Usamos la informacin que tenemos:
m = 3y n = 10y sustituimos en la ecuacin
y = 3x + 10.
La ecuacin que se pide esy = 3x + 10.
Ntese que esta forma principal (simplificada o explcita) tambin podemos expresarla como una ecuacin general:
y 3x 10 = 0, la cual amplificamos por 1, quedando como
y + 3x + 10 = 0, que luego ordenamos, para quedar
3x y + 10 = 0 2.- Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto(1, 2)y tiene pendientem = 5.
Tenemos que hallar la ecuacin de la recta, esto es,y = mx + n.
Usamos a informacin: m= 5y sustituimos en la ecuacin:
y = 5x + nAhora tenemos que buscar lab; usamos el otro dato; la recta pasa por el punto(1, 2), por lo tanto, ese punto es una solucin de la ecuacin que buscamos. Se sustituyen esos valores dex = 1, y = 2en la ecuacin que estamos buscando:2 = 5 (1) + nDespejamos la variable n en:
2 = 5 (1) + n2 = 5 + n2 + 5 = nn = 7Sustituimos el valor denen la ecuacin que buscamos:y = 5x + 7La ecuacin en su forma principal (simplificada o explcita) esy = 5x + 7.
La cual tambin podemos expresar en su forma general:
y = 5x + 7y+ 5x 7 = 0la cual ordenamos y queda
5x + y 7 = 03.- Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto A (2, 4) y que tiene una pendiente de 1/3
Al sustituir los datos en la ecuacin, resulta lo siguiente:
y y1= m(x x1)y (4) = 1/3(x 2)3(y + 4) = 1(x 2)3y + 12 = x + 23y +12 + x 2 = 03y + x + 10 = 0x+ 3y + 10 = 04.- Determina la ecuacin general de la recta que pasa por los puntosP(1, 2)yQ(3, 4) Reemplazamos los valores en la formula:
Queda:
y 2 = x 1
Ecuacin principal y x + 1 = 0 Ecuacin general
5.- Determina la ecuacin general de la recta que pasa por los puntosP1(4, 3)yP2(3, 2)Sabemos que la ecuacin de la recta que pasa por dos puntos es:
Reemplazamos los valores:
Resolvemos:
Amplificamos por 7
Dividimos por 7
6.- Hallar la ecuacin de la recta cuya pendiente m = 1; y que pasa por el punto (2, 3)Sabemos que la ecuacin de la recta cuya pendiente se conoce y que pasa por un punto determinado es:
Reemplazamos los valores y 3 = 1(x + 2) y 3 = x 2 x + y 1 = 0
7. Hallar la ecuacin de la recta cuya pendiente m = 2; y que pasa por el punto (3/2, 1)
Reemplazando los valores y + 1 = 2(x + 3/2) y + 1 = 2x + 3 y= 2x + 2 Ecuacin principal
2x y + 2 = 0 Ecuacin general 8. Hallar la ecuacin de la recta cuya pendiente m = 0; y que pasa por el punto (3, 0) y 0 = 0(x + 3) y = 0
9. Hallar la ecuacin de la recta cuya pendiente m= 4; y que pasa por el punto (2/3, 2)y + 2 = 4(x 2/3)y + 2 = 4x + 8/3
Ecuacin principal de la recta
y 2/3 4x = 04x y + 2/3 = 0 Ecuacin general de la recta
10.- Hallar la ecuacin de la recta r, que pasa por A(1,5), y es paralela a la recta s 2x + y + 2 = 0.
La ecuacin general de la recta s es
EMBED Equation.3 Despejando
Para hallar la ecuacin de r, sabemos que la pendiente es -2 y que pasa por el punto A (1,5)
Reemplazando queda:
Despejando
11.- Determinar si la siguiente pareja de rectas son paralelas o perpendiculares:
y
Para determinar si una pareja de rectas es paralela, ambas deben tener la misma pendiente.
Para determinar si una pareja de rectas son perpendiculares, el producto de sus pendientes es igual a -1.
Ambas rectas no tienen la misma pendiente, por lo tanto no son paralelas.
El producto de sus pendientes es , luego la pareja de rectas es perpendicular.
Ejercicios propuestos.1.- Encuentra la distancia y la pendiente entre los puntos y .
2.- Si se conoce la longitud x del lado de un cuadrado, escribe una funcin que determine su permetro. Confeccionar una tabla de valores, dndole diversos valores a x(a lo menos seis valores). Graficar la funcin.
3.- Represente en un plano cartesiano las rectas e
4.- Haga un grfico de cada una de las siguientes rectas y luego determine cada pendiente y coeficiente de posicin:
a) b) c)
5.- Determine la ecuacin de la recta que pasa por cada par de puntos:
a) y b) y c) y d) y
6.- Determine la ecuacin de la recta dada su pendiente m y un punto de ella:
a) b) c)
7.- Las coordenadas de los vrtices de un cuadriltero son , , y . Dibuje el cuadriltero en un plano cartesiano y luego determine la ecuacin de la recta de sus lados y sus diagonales.
8.- Determine en qu punto la recta intercepta al eje x.
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