Bienvenidos a la presentación en la que discutiremos los conceptos relacionados con

las funciones lineales. Para avanzar, retroceder o detener la presentación, utiliza los

controles que aparecen en la parte inferior de la interacción.

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Comencemos repasando algunos conceptos necesarios, discutidos en cursos

anteriores. Uno de los más importantes es el sistema de coordenadas cartesianas o

plano cartesiano.

El sistema de coordenadas cartesianas se nombró a partir de René Descartes.

Consiste de dos líneas de números reales, el eje horizontal (eje de x) y el eje vertical

(eje de y) que se unen en ángulo recto en un punto llamado el origen. Estas líneas

dividen en plano en cuatro áreas llamadas cuadrantes.

Los cuadrantes se enumeran utilizando números romanos. Cada punto en el plano

corresponde a un solo par ordenado de números (x,y). En la próxima diapositiva

veremos un ejemplo del plano cartesiano con dos puntos graficados.

El plano cartesiano consiste en cuatro cuadrantes, nombrados en contra de las

manecillas del reloj. Identificamos la parte positiva del eje de x (eje horizontal) y

luego, en dirección contraria a las manecillas del reloj, nombramos lo siguientes

cuadrantes. Los pares ordenados (puntos o coordenadas cartesianas) pueden estar

sobre cualquiera de los cuatro cuadrantes o sobre alguno de los ejes. Si la

coordenada subyace sobre uno de los ejes, este punto se conoce como punto de

intersección o intercepto.

Ya que hemos repasado el plano cartesiano, podemos pasar a definir qué es una

ecuación lineal.

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Sea f una función. Se conocerá como una función lineal a toda función que se pueda

expresar de la forma: f de x es igual al producto de m y x más b. Donde m es la

pendiente de la línea recta no vertical y b es el intercepto de la línea con el eje de y.

m y b son números.

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Traza la gráfica de f de x = 2x + 1

Solución:

Se construye una tabla de valores, donde se le asigna un valor cualquiera a x y

se determina el valor de y, evaluando la función para cada valor de x.

Una vez completada la tabla de valores, ubicas las coordenadas en el plano

cartesiano y unes los puntos con una línea suave.

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La gráfica de f de x = 2x + 1 es una línea recta. Las gráficas se leen de izquierda a

derecha, donde la primera coordenada es el punto (-2, -3), el siguiente es (-1, -1), así

sucesivamente.

De la gráfica podemos leer el intercepto (o corte) en el eje de y, que es la coordenada

(0,1). Vea, que el valor de b en la función es 1, y el valor del intercepto en el eje de y

es 1.

La gráfica de toda función lineal es una línea recta no horizontal.

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Toda línea recta no vertical tiene una PENDIENTE o Razón de cambio. La pendiente de

una línea recta es la razón de cambio entre los componentes dependientes (valores

de y) y los componentes independientes (valores de x) de dos coordenadas.

Observa el ejemplo que aparece en pantalla. Recuerda que para avanzar, retroceder o

detener la presentación, puedes utilizar los controles que aparecen en la parte

inferior.

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Fíjate en el ejemplo de la diapositiva, donde se determina la pendiente de una

función lineal f que pasa por los puntos (2,5) y (8, 17). Observa la solución de este

ejemplo en la diapositiva.

La línea que contiene los puntos (2,5) y (8,17) tiene una pendiente de 2 unidades. A

continuación veremos la función lineal en la forma pendiente-intercepto.

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Sea f una función lineal. Determina la función lineal que pasa por los puntos (-4,-17)

y (7,16).

Solución:

Como f es una función lineal, está será de la forma f de x = mx + b

Se conoce que pasa por (-4, -17) y (7, 16), por lo que primero, se determina el valor

de m, que es la pendiente de la función.

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Como ya sabemos el valor de m = 3, sustituimos esto f de x = 3x + b

Para determinar el valor de b, sustituimos cualquier de los dos puntos en la función.

En este caso, tomemos ( 7, 16 ). La coordenada significa que f de 7 = 16. Al sustituir

esta información en la función, obtenemos una ecuación en b. Despejamos para b.

Por lo tanto, la función lineal que pasa por los puntos (-4,-17) y (7,16) es f de x = 3x - 5

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Observa el ejemplo que demuestra cómo encontrar la pendiente y el intercepto de

una ecuación lineal. Si tienes dudas, consúltalas con el profesor. Recuerda que para

avanzar, retroceder o detener la presentación, puedes utilizar los controles que

aparecen en la parte inferior.

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Ahora analizaremos las aplicaciones de las funciones lineales.

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En una producción en una empresa de productos o servicios, hay dos tipos de costos:

los fijos y los variables (Arya y Ladner, 2002):

• Costos fijos: Costos que no se afectan por la cantidad de productos o

servicios ofrecidos

• Costos variables: Costos que dependen del nivel de producción de

productos o servicios.

• Costo Total: Costos fijos + Costos variables

Modelo de costo lineal (Arya y Ladner, 2002)

• Este tipo de modelo asume que el costo variable por artículo producido es

constante

• Costos total = (Costos variables)(artículos producidos) + costos fijos.

• C de x = mx + b

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Observa cómo podemos aplicar el modelo de costo lineal en una situación de la vida

real.

Alicia tiene un servicio de banquetes, el cual tiene un costo de $12 por plato

preparado más un costo fijo de $350 por el uso de una cocina industrial que alquila

para cocinar.

a. Determina la ecuación de costo por banquete, si el mismo se comporta de

forma lineal.

b. Determina el costo para Alicia si tiene un banquete para 275 personas.

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Solución al ejercicio anterior:

Como el modelo de costo es lineal, tenemos que identificar el costo fijo y el

costo variable. Según la información:

Costo variable = $12 por plato preparado

Costo fijo = $350

Sustituimos esta información en el modelo de costo lineal y

obtenemos:

C de x = 12x + 350

Donde x son los platos preparados y C de x el costo total por

preparar x platos.

Utilizando la ecuación encontrada en a, tenemos que C de x = 12x + 350.

Para determinar el costo para 275 platos preparados, debemos encontrar

C de 275, siguiendo la operación que aparece en la pantalla.

Lo que significa, que el costo por preparar un banquete para 275 es de $3,650.

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Buen trabajo. Has llegado al final de esta presentación. Recuerda que el aprendizaje

no termina aquí. Sigue adelante con los demás contenidos y ejercicios que aparecen

en el curso.

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