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SISTEMAS COM UM GRAUDE LIBERDADE

Inês J. Barbosa

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Vibração forçada de sistema de 1 GL

Sistema sujeito a força não harmónica

Se a força de excitação do sistema for não harmónica: Periódica (não harmónica)

Não periódica

Força Periódica (não harmónica): substitui-se pela soma

de funções harmónicas e usa-se o princípio dasobreposição para encontrar a resposta do sistema

Força Não Periódica: usa-se um dos seguintes métodospara se obter a resposta do sistema:

Integral de convolução Transformadas de Laplace

Métodos numéricos

138

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Sistema sujeito a força periódica

Força de excitação periódica (não harmónica) com

período =2

:

Pode ser expandida em série de Fourier

em que

139

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Equação do movimento num sistema 1ª ordem com

mola-amortecedor

em que y(t) é o movimento periódico

imposto ao sistema em A

Se for definido em série de Fourier, a

equação do movimento vem

140

com

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Considerando que o lado direito da equação écomposto por uma constante e uma soma defunções harmónicas, usando o princípio da

sobreposição, a solução em regime estacionáriopode ser obtida pela soma das soluções destasfunções individuais

Equação do movimento de um sistema de 1ª ordem

sujeito a: Força constante :

Solução:

141

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sujeito a:

Força :

Solução:

Escrevendo a equação do movimento na sua forma

complexa como

Substituído e

como

142

ou

ou

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sujeito a:

Força :

Solução:

Ou seja

Se

143

ou

com

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sujeito a:

Força :

Solução:

Logo

144

ou

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sujeito a:

Força :

Solução:

Procedendo como anteriormente

Solução completa em regime estacionário:

145

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sujeito a força periódica:

Solução total

Solução homogénea:

C é obtido pelas condições iniciais. Se

Solução total

146

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sujeito a força periódica

Solução total:

147

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Exemplo 4.2148

Determine a resposta do sistema de amortecimento

na figura considerando que a equação do movimento

do sistema é dada por

e assuma a condição inicial .

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Equação do movimento num sistema 2ª ordem com

massa-mola-amortecedor

Se a força de excitação for periódica,

a eq. do movimento pode ser expressa

em série de Fourier

149

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Exemplo 4.4150

No estudo de vibrações em válvulas de sistemas de controlo

hidráulico, a válvula e a sua haste elástica são modeladas como

um sistema massa-mola-amortecedor. Além das forças elástica e

de amortecimento, existe a força de pressão do fluído que faz

variar a abertura da válvula. Encontre a resposta da válvula emregime estacionário quando a pressão varia como indicado no

gráfico na figura.

Dados: k=2500N/m

c=10Ns/m

m=0,25 kg

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Exemplo 4.5151

Determine a resposta completa de um sistema de 1grau de liberdade com amortecimento viscoso sujeitoa uma excitação harmónica da fundação.

Dados: m=10 kgc=20 Ns/m

k=4000 N/m

y(t)=0,05.sin(5t) m

x0=0.02 m

x 0=10 m/s

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Força de excitação periódica de forma irregular

Pode só ser possível de determinar experimentalmente

Exemplo: tremor de terra

não há função analítica

conhecida

152

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Força de excitação periódica de forma irregular

Se se conhecer a força em determinados instantes t1, t2,…, tN,

pode-se integrar numericamente para encontrar os coeficientes

de Fourier

Se N for um número par de pontos equidistantes num

período T (T=N.t)

153

Resposta do sistema em

regime estacionário com

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Exemplo 4.6154

Determine a resposta em regime

estacionário da válvula na figura se

as flutuações de pressão na camara

forem periódicas. Os valores dapressão medidos em intervalos de

0.01 segundos num ciclo encontram-se

na tabela.

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Sistema sujeito a força não periódica

Força de excitação não periódica

Exemplos: explosão, impacto

Métodos de obtenção da resposta:

Integral de Fourier Integral de convolução

Transformadas de Laplace

Integração numérica

155

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Integral de convolução

Força de excitação não periódica tem, normalmente,

uma magnitude que varia com o tempo

Actua durante um período e para Força mais simples: impulso elevada magnitude

período muito curto

Se e forem as velocidades da massa m antes de

depois do impulsoImpulso =

Se a magnitude da força for

156

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Unidade de impulso actuante em

Para F dt ter um valor finito, F tende para infinito (dt tendepara zero)

Este impulso unitário pode ser definido pela função delta

de Dirac

e a magnitude do impulso em

157

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Resposta de um sistema de um grau de liberdade a

uma força excitação impulsiva

Sistema massa-mola-amortecedor actuado por um

impulso unitário em

158

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Para um sistema sub-crítico, sendo a equação do

movimento dada por

Solução:

Se a massa estiver em descanso antes da aplicação doimpulso para ou , relação

impulso-quantidade de movimento

Impulso =

159

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As condições iniciais são, então:

Então, a solução vem

Resposta de um sistema de 1 grau de liberdade

sujeito a um impulso unitário

160

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Resposta função impulso - g(t)

161

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Se a magnitude do impulso não for unitária mas de

valor F

velocidade inicial =

resposta

Se o impulso F é aplicado num instante , a

velocidade irá mudar nesse instante em Se x=0 até o impulso actuar, em qualquer instante

subsequente, devido à alteração da velocidade, o

deslocamento será

162

= −

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Exemplo 4.7163

Num ensaio de vibrações a uma estrutura, usou-se um martelo de

impacto com uma célula de força para medir a força de impacto

por forma a causa uma excitação ao sistema. Assumindo m=5 kg,

k=2000 N/m, c=10 N.s/m e F=20 N.s, determine a resposta do

sistema.

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Exemplo 4.8164

Muitas vezes, impor apenas um impacto numa

estrutura é difícil. Em muitos casos, ocorre um segundo

impacto e a força F(t) pode ser expressa como

em que (t) é a função delta de Dirac e T indica o

tempo entre os dois impactos de magnitude F1 e F2.

Determine a resposta da estrutura sabendo que

m=5 kg, k=2000 N/m, c=10 N.s/m e F(t)=20

(t)+10 (t-0,2) N.

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Força de excitação arbitrária

Pode ser assumida como uma série de impulsos de

magnitude variável

165

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Se no tempo T, a força F(t) actuar o sistema durante

um período T muito pequeno

Impulso =F= F(t). T

O tempo desde a aplicação do impulso é t=t-Tlogo a resposta do sistema a este impulso no tempo

t é

Substituindo F:

166

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Resposta completa no tempo t é a soma de todas

as respostas aos impulsos elementares

Se e substituindo a soma por integração:

Donde resulta a resposta de um sistema de 1 grau

de liberdade a uma excitação arbitrária

167

Integral de convolução ou de Duhamel

Nota: massa

em repouso

antes da

aplicação do

impulso

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Se a fundação do sistema estiver sujeita a uma

excitação arbitrária, a equação do movimento

pode ser expressa em relação ao deslocamento

relativo da massa :

que é equivalente a

Idêntico a um sistema com aplicação de uma força

de excitação se

168

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Se o sistema for não amortecido e sujeito a um

movimento de excitação da base, o deslocamento

relativo pode ser obtido por:

169

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Exemplo 4.9170

Uma máquina de compactação é modelada como um sistema de

1 GL, como indicado na figura. A força que actua a massa m

(que inclui a massa do pistão, da plataforma e do material a ser

compactado) devido a uma aplicação súbita de pressão pode

ser considerada como indicado no gráfico na figura. Determine aresposta do sistema.

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Exemplo 4.10171

Determine a resposta da máquina de compactação

do exemplo anterior quando sujeita a uma força

como a indicada:

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Exemplo 4.11172

Se a máquina de compactação do exercício anterior

for sujeita a uma força constante durante ,

determine a resposta do sistema.

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Exemplo 4.12173

Determine a resposta de uma máquina de

compactação como a da figura quando uma força de

variação linear é aplicada devido ao movimento do

excêntrico.

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Exemplo 4.13174

A estrutura de um edifício é modelada como um

sistema não amortecido de 1 grau de liberdade.

Determine a resposta da estrutura se for sujeita a

uma explosão representada pelo impulso triangularno gráfico da figura.

Vib ã f d d i d 1 GL

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Espectro da resposta: gráfico onde se visualiza aresposta máxima (deslocamento, velocidade ouaceleração, …) em relação à frequência natural(ou período natural) de um sistema de 1 grau deliberdade sujeito a uma força de excitação Resposta máxima em cada sistema de um grau de

liberdade possíveis

Se a força de excitação for arbitrária, o espectroda resposta só pode ser obtido numericamente. Ovalor máximo da resposta de um sistema semamortecimento é:

175

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Exemplo 4.14176

Determine o espectro da resposta de um sistema não

amortecido sujeito à força sinusoidal na figura,

usando para condições iniciais:

Vib ã f d d i t d 1 GL

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Espectro de resposta a uma excitação da base

Se a base é sujeita a uma aceleração , a equação

do movimento em termos do movimento relativo

é dada por:

e a resposta por:

No caso de um impacto, geralmente usa-se o espectro

de resposta em velocidade

177


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Sistema sujeito a força não periódica178

Para um sistema sem amortecimento em vibração

livre:

Assim, o espectro de aceleração e o de

deslocamento podem ser obtidos em termos do

espectro de velocidade


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Considerando o amortecimento, assume-se que o

valor máximo do deslocamento relativo ocorre depois

do choque, e que a oscilação subsequente é

harmónica pseudo-espectro da resposta O espectro da velocidade relativa vem

ou


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O espectro da resposta em velocidade

O pseudo-espectro da resposta

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Exemplo 4.15181

O tanque de água na figura é submetido a uma

aceleração do chão de variação linear devido a um

tremor de terra. A massa do tanque é m, a rigidez da

coluna é k e o amortecimento é desprezável. Determineo espectro da resposta para o deslocamento relativo z

do tanque de água.


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Transformadas de Laplace182

Definição: Se uma função f(t) é definida para

≥ 0, a transformada de Laplace de f(t), é

definida por

em que s a variável de Laplace, geralmente

complexa

A função original depende de t e a suatransformada de Laplace depende de s

As funções transformadas são designadas por

maiúsculas: f(t) F(s)


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A transformada de Laplace de em que é

constante é

A transformada de Laplace de uma soma linear é

Inversa da transformada de Laplace


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Transformada de derivadas

1ª derivada

2ª derivada

Valor inicial de f(t) f(t=0)


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Transformada de derivadas

nª derivada

Transformada de


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Integral de convolução

Seja f(t) definida como

então f(t) é a convolução das funções f1(t) e f2(t) no

intervalo 0

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Encontrar a resposta de um sistema sujeito a uma

força de excitação através da transformada de

Laplace:

Escrever a equação do movimento do sistema Transformar cada termo da equação usando as

condições iniciais

Resolver para a transformada da resposta do sistema

Obter a resposta usando a inversa da transformada

de Laplace


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Resposta do sistema no domínio de Laplace

Valor inicial da resposta x(t=0)

Resposta em regime estacionário

Resposta de um sistema de 1 GL

Seja a equação do movimento

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Exemplo 4.19189

Encontre a solução da equação se a

força de excitação for um impulso unitário em t=0 e

determine os valores iniciais da resposta e a resposta

em regime estacionário.

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Exemplo 4.20190

Encontre a solução da equação se a

força de excitação for uma função em rampa.

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Exemplo 4.21191

Encontre a resposta de um sistema massa-mola-

amortecedor sub-amortecido sujeito a um impulso

unitário.

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Exemplo 4.22192

Uma massa m desloca-se com velocidade v1 e colide

com a massa M do sistema de 1 grau de liberdade

na figura e fica agarrada a essa massa M depois do

impacto. Determine o deslocamento do sistema.

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Exemplo 4.23193

Uma massa m desloca-se com velocidade v1 e colide

com a massa M do sistema de 1 grau de liberdade na

figura. A colisão é perfeitamente elástica e, depois do

impacto, a massa m ressalta com velocidade v1 .Determine o deslocamento da massa M.

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Exemplo 4.24194

Determine a resposta de um sistema de 1 GL sub-

amortecido a uma função em degrau unitária.

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Exemplo 4.25195

Encontre os valores iniciais e de regime estacionário

da resposta de uma sistema de 1 GL sub-amortecido

a uma função em degrau unitária, utilizando a

resposta do exemplo anterior.

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