10 Sistemas N GL

7/24/2019 10 Sistemas N GL

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Universidad Federico Santa Mara

Departamento de Obras Civiles

Dinmica de Estructuras (CIV235)

H. Jensen & M. Valdebenito

Anlisis Dinmico de Sistemas de

Varios Grados de Libertad


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Introduccin

Analizar sistemas dinmicos lineales de varios grados de libertad Conceptos a estudiar

Frecuencias naturales y modos de vibrar (propiedades de

ortogonalidad)

Coordenadas principales

Excitacin basal

Modelo de disipacin de energa viscoso

USM Dinmica de Estructuras (CIV235) 2

Objetivo


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Anlisis Modal

Asuma un sistema estructural lineal de grados de libertad sinamortiguamiento sometido a una excitacin externa. La ecuacin

diferencial de movimiento es:

La solucin homognea de la ecuacin diferencia de movimiento es:


Formulacin

Vector de fuerza externa

de dimensin 1

Matriz de masa de

dimensin

Matriz de rigidez de

dimensin

Vector de aceleracin

de dimensin 1

Vector de desplazamiento

de dimensin 1

(1)

(2)

(3)Solucin


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Anlisis Modal

Al sustituir la ecuacin (3) en (2), es posible determinar una condicinque debe cumplir la solucin homognea

La solucin no trivial de la ecuacin (4) implica un problema de valores

y vectores propios. La solucin de este ltimo problema permite

determinar frecuencias naturales y modos de vibrar


Formulacin

(4)

Ecuacin

caracterstica

Frecuencias del sistema: , , Modos de vibrar: {, , }

Vectores

propios


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Anlisis Modal

Para un sistema de grados de libertad, considere las frecuencias y y los modos de vibrar asociados y . De acuerdo a la

ecuacin (4), se cumple la siguiente igualdad

Al premultiplicar las ecuaciones (6) y (7) por y

,

respectivamente, se obtiene:


Propiedades de Ortogonalidad

(4)(6)

(7)

(8)

(9)


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Anlisis Modal

Note la siguiente igualdad

De manera similar, =

Al restar las ecuaciones (8) y (9) se determina que:



Igualdad de nmeros escalares

Matriz de rigidez simtrica

(8)

(9)


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Anlisis Modal

La ltima igualdad derivada es de suma relevancia. Note que si ,

luego y por lo tanto:

De manera similar, es posible demostrar que

En resumen, el sistema estructural cumple condiciones deortogonalidad

Nota: la propiedad anterior tambin es vlida para frecuencias con

multiplicidad mayor que uno



0

(10)

para

(11)

para


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Anlisis Modal

Para realizar anlisis modal, resulta de utilidad normalizar los modos devibrar de acuerdo al siguiente criterio

Al utilizar esta normalizacin, se verifica que = 1y

adems, =

En resumen, las propiedades de ortogonalidad y la aplicacin del

criterio de normalizacin aseguran que:


Normalizacin de los Modos de Vibrar

Modo de vibrar

normalizado

(12)

(13)donde


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Anlisis Modal

Los modos de vibrar normalizados de acuerdo al criterio descritoanteriormente se agrupan en una matriz

Es posible verificar que:


Matriz de Modos de Vibrar Normales

Primer modo normalizado,

dimensin 1 Segundo modo normalizado,dimensin 1

N-simo modo normalizado,

dimensin 1

El trmino (,)de esta

matriz es

El trmino (,)de

esta matriz es


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Coordenadas Principales

El vector de desplazamientos () (de dimensin ) puede serrepresentado en trminos de una base de vectores independientes.

Una posible seleccin para dicha base es la matriz de modos de vibrar

. Luego,

Alternativamente


Definicin

Vector de

desplazamientos

Matriz de modos de vibrar

Vector de coordenadas

principales

Nota: en adelante, los modos de vibrar normalizados

se denotan indistintamente como o


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El vector de desplazamientos () (de dimensin ) puede serrepresentado en trminos de una base de vectores independientes.

Una posible seleccin para dicha base es la matriz de modos de vibrar

. Luego,

La utilizacin de coo rdenadas pr inc ipaleses prctica para resolver la

ecuacin de movimiento ya que es posible explotar las propiedades de

ortogonalidad de los modos de vibrar


Definicin

Vector de

desplazamientos

Matriz de modos de vibrar

Vector de coordenadas

principales


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Considere la ecuacin de movimiento de un sistema lineal de gradosde libertad sin amortiguamiento

Esta ecuacin puede ser expresada en trminos de las coordenadas

principales al considerar la relacin () = ()


Aplicacin en Ecuacin de Movimiento

Premultiplicacin

por

Propiedades de

ortogonalidad


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Note que al utilizar coordenadas principales, el problema se reduce a laresolucin de un conjunto de ecuaciones diferenciales

independientes


Aplicacin en Ecuacin de Movimiento


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Las condiciones iniciales de movimiento de un sistema son descritaspor medio del vector de desplazamientos (0) y velocidad (0) ,

respectivamente

Al utilizar la formulacin que considera coordenadas principales, es

necesario determinar las condiciones iniciales en trminos de dichas

coordenadas. Es decir, es necesario calcular (0) y (0) Considere la definicin de coordenadas principales


Condiciones Iniciales

Premultiplicacin

por

Propiedades de

ortogonalidad


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Luego, las condiciones iniciales en trminos de las coordenadasprincipales son:


Condiciones Iniciales


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Considere un sistema lineal elstico de grados de libertad sinamortiguamiento en vibr acin l ibre(no hay fuerzas externas

aplicadas)

Objetivo: determinar condiciones iniciales de desplazamiento (0) yvelocidad (0) tal que la respuesta del sistema pueda ser descrita

exclusivamente por la coordenada principal (donde 1, , ), es

decir:


Aplicacin Vibraciones Libres

Con el propsito de visualizar

el problema de manera clara,

suponga un modelo de corte

de = 2grados de libertad


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Por ejemplo, el problema planteado puede corresponder a buscar lascondiciones iniciales tal que la respuesta de la estructura de = 2

grados de libertad de la diapositiva anterior sea descrita exclusivamente

por la coordenada principal asociada al segundo modo de vibrar



Segundo modo

de vibrar

Desplazamiento de

los pisos del modelo

de corte se

encuentra desfasado


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Para resolver este problema, es necesario analizar la expresin generalque relaciona el vector de desplazamiento con las coordenadas

principales

Se desea imponer la condicin que = 0 para y para

cualquier tiempo

Dado que cada coordenada principal est asociada a una ecuacin

diferencial independiente, basta con imponer la condicin 0 =

0 = 0para . Esto asegura que = 0 para y para

cualquier tiempo




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Por lo tanto, las condiciones iniciales que aseguren la condicinbuscada deben tener la forma




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Un caso particular de condiciones iniciales que permiten imponer lacondicin buscada es 0 = 1y 0 = 0. Luego, las condiciones

iniciales en trminos de desplazamiento y velocidad son

Esto significa que si se requiere que la respuesta de un sistema

corresponda a un modo de vibrar en particular, basta con imponer un

desplazamiento inicial proporcional al modo deseado




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De acuerdo a los conceptos presentados previamente, el vector dedesplazamientos de un sistema de grados de libertad puede ser

representado como la superposicin de las coordenadas principales.

Esto se conoce como superposicin modal

En muchos casos de inters, es posible considerar solo algunos modos

al efectuar superposicin

Esta estrategia puede reducir los costos numricos asociados a la

evaluacin de la respuesta

Esto ltimo es muy importante en problemas de gran dimensin


Truncamiento Modal


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Excitacin Basal

Objetivo: estudiar cmo excitacin basal(ejemplo: caso ssmico) puede ser

incorporada en ecuacin de movimiento de

un sistema de grados de libertad

Modelo: estructura lineal de grados de

libertad Por ejemplo, considere un modelo de

corte

, , 3(): desplazamientos

relativos a la base

(): aceleracin basal


Formulacin


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Excitacin Basal

Si se define , , = 1, ,como el desplazamiento total queexperimenta el grado de libertad , se verifica que:

La ecuacin de movimiento del sistema para este caso es:


Formulacin

Desplazamiento

total

Desplazamientorelativo a la base

Desplazamiento

de la base

donde


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Excitacin Basal

La ecuacin de movimiento del sistema para este caso es:

Note que el trmino del lado derecho de la ecuacin se denota como

vec to r de cargas ssm icas efect ivasy en este caso es igual a:


Formulacin


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Excitacin Basal

En casos generales, la ecuacin de movimiento de un sistemaestructural lineal sin amortiguamiento sometido a excitacin basal

puede ser expresada como:

Donde

: matriz de dimensin que acopla la excitacin basal a los

grados de libertad de la estructura

{ }: vector de dimensin que contiene las componentes

independientes del movimiento basal

Para el caso particular estudiado en las diapositivas anteriores:

= 1

= ()


Caso General

Vector de cargas

ssmicas efectivas


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Excitacin Basal

Considere la estructura de la figura (axialmente indeformable,masas puntuales, grados de libertad: desplazamientos

horizontales)

Excitacin: movimiento basal horizontal

Para este caso, las componentes del vector de cargas

ssmicas efectivas son:


Caso de Movimiento Basal Horizontal


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Excitacin Basal

Considere la estructura de la figura (axialmenteindeformable, masas puntuales, grados de libertad:

desplazamientos horizontales)

Excitacin: movimiento basal horizontal y rotacional

En este caso, el desplazamiento total del piso es

descrito por la siguiente ecuacin

Luego, las componentes del vector de cargas ssmicasefectivas son:


Caso de Movimiento Basal Horizontal y Rotacional


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Excitacin Basal

Considere un sistema tal que = 1 y () = () Al utilizar la formulacin en coordenadas principales () = () ,

la ecuacin de movimiento se expresa como:

La formulacin modal permite deducir ecuaciones diferencialesindependientes con la siguiente estructura


Formulacin en Coordenadas Principales

: factor de participacin modal


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Excitacin Basal

Si se define ()tal que = (), la ltima ecuacin se reduce a:

Una vez que se determina la solucin de (), es posible calcular el

vector de desplazamiento () por medio de superposicin modal


Formulacin en Coordenadas Principales


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Excitacin Basal

Considere el modelo de corte de lafigura

Las propiedades modales del sistema

son las siguientes


Ejemplo


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Excitacin Basal


Ejemplo

Las ecuaciones diferenciales de movimiento en trminos de lascoordenadas principales son:

Donde = 1

Para efectos ilustrativos, se asume una aceleracin basal constante

Aceleracin de gravedad

(unidades del sistema britnico)


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Excitacin Basal

La solucin de las 2 ecuaciones diferenciales desacopladasconsiderando la variable auxiliar es la siguiente

Finalmente, por medio de superposicin modal se calcula el vector de

desplazamiento


Ejemplo


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Excitacin Basal

Al comparar las contribuciones de los modos a la solucin en cadanivel, se observa que la contribucin del primer modo es mayor que la

del segundo

En aplicaciones prcticas (ejemplo: edificios), es habitual observar que

los primeros 5 6 modos son los que ms aportan a la respuesta total


Ejemplo


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Modelo de Disipacin de Energa Viscoso

Con el objeto de estudiar el modelo de disipacin de energa viscoso,considere un sistema estructural de corte que posee amortiguadores

viscosos entre los distintos pisos


Formulacin

Ecuacin de equilibrio


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Las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez del sistema sonrespectivamente:


Formulacin

Matriz de masa

Matriz de amortiguamiento

Matriz de rigidez


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Para analizar la ecuacin de movimiento, se hace uso de lascoordenadas principales

Al sustituir el vector de desplazamiento por las coordenadas principales

en la ecuacin de movimiento y premultiplicar por la matriz , se

obtiene la siguiente expresin



Note que los modos de vibrar son

calculados considerando el sistema

estructural sin amo rt iguamiento, es decir,

= 0

Matriz que NOes

necesariamente

diagonal


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Para el anlisis de varias situaciones prcticas, se asume que elproducto es una matriz diagonal

Este caso se denomina amortiguamiento clsico

Bajo esta suposicin, se tiene un total de ecuaciones diferenciales deequilibrio desacopladas



Amortiguamiento

generalizado del modo

Razn de amortiguamiento

del modo

M d l d Di i i d E Vi


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En resumen, para varias aplicaciones prcticas

Las matrices de masa y rigidez se construyen a partir de las

propiedades de la estructura (propiedades de los materiales,

dimensiones, estructuracin)

En vez de construir la matriz de amortiguamiento de manera

directa, se escogen valores de la razn de amortiguamiento segn

el tipo de estructura de acuerdo a valores tpicos de referencia





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Caso Particular 1: suponer que la matriz de amortiguamiento es unacombinacin lineal de las matrices de masa y rigidez

Para este caso, es sencillo demostrar que:

Este modelo de disipacin de energa se denomina amortiguamiento

tipo Rayleigho clsico


Casos Particulares

, : parmetros (nmeros reales)

La razn de amortiguamiento del modo depende

de los parmetros , y la frecuencia



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Caso Particular 1: para el caso de amortiguamiento tipo Rayleigh, vara segn tal como se ilustra en la figura

Una estrategia para construir la matriz de amortiguamiento es

seleccionar las razones de amortiguamiento de los dos primeros modos

y (por estar asociadas a los modos ms relevantes) y luego

deducir los valores de y


Casos Particulares

i



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Caso Particular 2: suponer que la matriz de amortiguamiento es unacombinacin de las matrices de masa y rigidez tal que:

Para un sistema de grados de libertad, 1

Por ejemplo, considere la situacin en que = 1


Casos Particulares

: nmero entero

: parmetro (nmero real)

Resultado idntico al caso

particular 1 con = y =



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Caso Particular 2: en general, es posible demostrar que

La ltima relacin permite especificar la razn amortiguamiento de

+ 1modos Este modelo de disipacin de energa se denomina amortiguamiento

tipo Caughey


Casos Particulares



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Note que al utilizar el mtodo de superposicin modal slo se requierenconocer los coeficientes correspondientes, es decir, no se requiere

calcular explcitamente la matriz de amortiguamiento []

Sin embargo, en algunas situaciones no es posible resolver la ecuacin

de equilibrio mediante anlisis modal clsico. En estos casos, laecuacin de equilibrio se debe resolver explcitamente mediante

tcnicas numricas o mediante un mtodo de superposicin modal

generalizado

Ejemplos de esta ltima situacin son: Sistemas no lineales

Casos de interaccin suelo-estructura

Sistemas con dispositivos de disipacin de energa o de aislacin

basal


Comentarios Finales



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Ms ejemplos de esta ltima situacin son: Modelos con sistemas de control

Sistemas con modelos de disipacin de energa diferente al viscoso

Sistemas compuestos (primarios / secundarios)

Comentarios Finales

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