Te

ma

4

Tem

a 4: T

rans. G

eom

étricas

2

Indice

Transformaciones Geométricas: Definición

Transformaciones Básicas: • Traslación

• Rotación

• Escalado

Transformaciones en Coordenadas Homogéneas

Componer Transformaciones

Otras Transformaciones

Transformaciones Afines

Tem

a 4: T

rans. G

eom

étricas

3

Definición

Transformación geométrica: mecanismo para alterar las descripciones de las coordenadas de un objeto 3D.

Las transformaciones implican cambios en:• Posición

• Orientación

• Tamaño y Forma

Transformaciones básicas• Traslación

• Rotación

• Escalado

Tem

a 4: T

rans. G

eom

étricas

4

Traslación

Cambia la posición de un objeto

Viene dada por un vector de traslación T=(tx,ty,tz)

Un punto trasladado se calcula como:

x’ = x + tx

y’ = y + ty

z’ = z + tz

En forma matricial:

X

Y

Z

P=(x,y,z)

P’=(x’,y’,z’)

T

PTP

z

y

x

t

t

t

z

y

x'

z

x

x

,

'

'

'

Tem

a 4: T

rans. G

eom

étricas

5

Rotación

Cambia la orientación de un objeto

Viene dada por un eje de rotación y un ángulo

P.ej., para rotar un punto alrededor del eje X:

x’ = x

y’ = y·cos - z·sen

z’ = y·sen + z·cos

En forma matricial:

X

Y

Z

P=(x,y,z)

P’=(x’,y’,z’)

PRP

z

y

x

sen

sen

z

y

x

' ,·

cos0

cos0

001

'

'

'

Tem

a 4: T

rans. G

eom

étricas

6

Rotación

El ángulo es positivo en sentido antihorario

visto desde la parte positiva del eje. Sentido

dextrógiro (mano derecha)

X

Y

Z

> 0 < 0

Tem

a 4: T

rans. G

eom

étricas

7

Escalado

Cambia el tamaño de un objeto

Viene dada por un vector de escalado S=(sx,sy,sz)

Un punto escalado se calcula como:

x’ = x · sx

y’ = y · sy

z’ = z · sz

En forma matricial:

X

Y

Z

S=(sx,sy,sz)

PSP

z

y

x

s

s

s

z

y

x

z

y

x

' ,·

00

00

00

'

'

'

Tem

a 4: T

rans. G

eom

étricas

8

Escalado

Si sx = sy = sz, se mantienen las

dimensiones relativas del objeto, el objeto

es proporcional al original

El escalado se realiza con respecto al

origen. Para definir otro punto fijo es

necesario primero trasladar la figura para

que el punto fijo se encuentre en el

origen.

Tem

a 4: T

rans. G

eom

étricas

9

Coordenadas Homogéneas.

Definición

Las matrices de rotación y escalado se

multiplican, mientras que la de traslación se

suma no se pueden componer

Para transformar la traslación en un producto de

matrices coordenadas homogéneas

Se añade una cuarta componente: (x,y,z)

(x,y,z,w), por sencillez y ser el elemento neutro

del producto se elige w=1

Tem

a 4: T

rans. G

eom

étricas

10

Coordenadas Homogéneas.

Traslación

La traslación, en forma matricial con coordenadas

homogéneas queda:

La traslación inversa se realiza con la matriz:

1

·

1000

100

010

001

1

'

'

'

z

y

x

t

t

t

z

y

x

z

y

x

1

·

1000

100

010

001

1

'

'

'

z

y

x

t

t

t

z

y

x

z

y

x

Tem

a 4: T

rans. G

eom

étricas

11

Coordenadas Homogéneas.

Rotación

Rotación alrededor del eje Z

Su matriz inversa coincide con su traspuesta

1

·

1000

0100

00cossen

00sencos

1

'

'

'

z

y

x

z

y

x

1

·

1000

0100

00cossen

00sencos

1

'

'

'

z

y

x

z

y

x

Tem

a 4: T

rans. G

eom

étricas

12

Coordenadas Homogéneas.

Rotación

Rotación alrededor del eje X

Su matriz inversa coincide con su traspuesta

1

·

1000

0cossen0

0sencos0

0001

1

'

'

'

z

y

x

z

y

x

1

·

1000

0cossen0

0sencos0

0001

1

'

'

'

z

y

x

z

y

x

Tem

a 4: T

rans. G

eom

étricas

13

Coordenadas Homogéneas.

Rotación

Rotación alrededor del eje Y

Su matriz inversa coincide con su traspuesta

1

·

1000

0cos0sen

0010

0sen0cos

1

'

'

'

z

y

x

z

y

x

1

·

1000

0cos0sen

0010

0sen0cos

1

'

'

'

z

y

x

z

y

x

Tem

a 4: T

rans. G

eom

étricas

14

Coordenadas Homogéneas.

Escalado

El escalado en coordenadas homogéneas es:

La inversa de esta matriz es:

1

·

1000

000

000

000

1

'

'

'

z

y

x

s

s

s

z

y

x

z

y

x

1

·

1000

0100

0010

0001

1

'

'

'

z

y

x

s

s

s

z

y

x

z

y

x

Tem

a 4: T

rans. G

eom

étricas

15

Componer Transformaciones

En coordenadas homogéneas, la composición de transformaciones se realiza mediante el producto matricial

Aplicar varias transformaciones es equivalente a componer sus matrices y aplicarla una sola vez:P’ = Tn·...(T3·(T2·(T1·P))) = (Tn·…·T3·T2·T1)·P

La composición de transformaciones es:• Asociativa

• No conmutativa en general

Tem

a 4: T

rans. G

eom

étricas

16

Componer Transformaciones.

Rotación con respecto al centro de

masas

Eje de rotación paralelo a un eje de

coordenadas:

1. Trasladar el objeto desde CM al

origen de coordenadas T(-CM)

2. Realizar rotación alrededor del

eje elegido R()

3. Deshacer traslación T(CM)

M = T(CM)·Reje() ·T(-CM)

Tem

a 4: T

rans. G

eom

étricas

17

Otras Transformaciones.

Reflexiones

Produce una imagen de espejo

Reflexión con respecto a un eje:

• Con respecto al eje Y

• Con respecto a un punto general: trasladar el punto al

origen

1000

0100

0010

0001

yEspejo

Y

ZX

Tem

a 4: T

rans. G

eom

étricas

18

Otras Transformaciones.

Reflexión

Reflexión con respecto a un plano:

• Con respecto al plano XY

• Con respecto al plano XZ

• Con respecto al plano YZ

1000

0100

0010

0001

XYRflx

Y

Z

X

1000

0100

0010

0001

XZRflx

1000

0100

0010

0001

YZRflx

Tem

a 4: T

rans. G

eom

étricas

19

Otras Transformaciones.

Desencajado (Shear)

Distorsiona la forma del objeto como si estuviera

desencajado

Los puntos situados sobre uno de los ejes se quedan fijos.

Los demás se desplazan

Desencajado dejando fijo el eje X (dy, dz son los

desplazamientos en Y y Z)

1000

010

001

0001

z

y

Xd

dD

X

Y

Z X

Y

Z

Tem

a 4: T

rans. G

eom

étricas

20

Otras Transformaciones.

Desencajado

Desencajado dejando fijo el eje Y

Desencajado dejando fijo el eje Z

1000

0100

010

001

y

x

Z

d

d

D

1000

010

0010

001

z

x

Yd

d

DXX

Y

Z

Y

Z

X

Y

Z

X

Y

Z

Tem

a 4: T

rans. G

eom

étricas

21

Transformaciones Afines.

Definición y Características

Son transformaciones afines:• Traslación

• Rotación

• Reflexión

• Escalado

• Desencajado

Características de las transformaciones afines:• Conservan las líneas paralelas

• Conservan los puntos finitos

• Toda transformación afín es una combinación de las anteriores

De cuerpo rígido: conservan

longitudes y ángulos

De cuerpo no rígido: no conservan

longitudes y ángulos

Tem

a 4: T

rans. G

eom

étricas

22

Recortado

Cohen-Sutherland

Área de recortado rectangular

xmin xmax

ymin

ymax

Criterios:Rechazar si C(P0) AND C(P1) ≠ 0000

Aceptar si C(P0) OR C(P1) = 0000

Código de Punto

x3x2x1x0 / xi = 0 si pertenece región i

Tem

a 4: T

rans. G

eom

étricas

23

Recortado

Cyrus-Beck

Área de recortado convexa

Ecuación paramétrica de la recta• P(t)=P0+(P1-P0)t

P0

FiNi

P1

Ni[Pi (t)-PFi]<0

Ni[Pi (t)-PFi]=0Ni[Pi (t)-PFi

]>0

P(t)

PFi

Tem

a 4: T

rans. G

eom

étricas

24

Recortado Polígonos

Sutherland-Hodgeman

Área de recortado convexa

Polígono convexo o concavo. Divide y vencerás

b

a

cd

FiNi

Pi

Pi+1

Pi

Pi+1

Pi

Pi+1

Pi

Pi+1

Ij

Ij

Caso a: se añade Ij y Pi+1

Caso b: se añade Ij

Caso c: NO se añade nadaCaso d: se añade Pi+1

Tem

a 4: T

rans. G

eom

étricas

25

Recortado Polígonos

Weiler-Atherton

Área de recortado convexa o cóncava con y sin agujeros

Polígono cóncavo o convexo, con o sin agujeros

El exterior se da en orden horario

Los agujeros en sentido antihorario

Estrategia: en cada cruce se elige la dirección de más a la derecha