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Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo Facultad de Ciencias F´ ısicas y Matem´ aticas Escuela Profesional de Matem´ atica TEOREMAS DE ELEVACI ´ ON EN EL GRUPO FUNDAMENTAL DE ESPACIOS RECUBRIDORES Tesis presentada por Bach. Mat. Walter Gonzales Caicedo Bach. Mat. Verner Manuel Salcedo Campos SUSTENTADA EN EL CUMPLIMIENTO PARCIAL DE LOS REQUISITOS PARA OBTENER EL T ´ ITULO PROFESIONAL DE Licenciado en Matem´ atica LAMBAYEQUE, PER ´ U NOVIEMBRE 2002
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Universidad Nacional Pedro Ruiz GalloFacultad de Ciencias Fısicas y Matematicas
Escuela Profesional de Matematica
TEOREMAS DE ELEVACION EN EL GRUPO
FUNDAMENTAL DE ESPACIOS
RECUBRIDORES
Tesis presentada por
Bach. Mat. Walter Gonzales Caicedo
Bach. Mat. Verner Manuel Salcedo Campos
SUSTENTADA EN EL CUMPLIMIENTO PARCIAL DE
LOS REQUISITOS PARA OBTENER EL TITULO PROFESIONAL DE
Licenciado en Matematica
LAMBAYEQUE, PERU
NOVIEMBRE 2002
UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO
ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMATICA
Los firmantes, por la presente certifican que han leido y
recomiendan a la Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas
la aceptacion de la tesis titulada “Teoremas De Elevacion
En El Grupo Fundamental De Espacios Recubridores”
presentada por Bach. Mat. Walter Gonzales Caicedo y Bach.
Mat. Verner Manuel Salcedo Campos en el cumplimiento parcial
de los requisitos necesarios para la obtencion del Tıtulo Profesional de
Licenciado en Matematica.
Lic. Mat. Henrry Guevara QhilichePresidente del Jurado
Lic. Mat. Miguel Baca FerreyrosMiembro del Jurado
Lic. Mat. Raul Cuti GutierrezMiembro del Jurado
Fecha de defensa: 12 de noviembre de 2002
ii
JesusDecano de la FACFyM
SolisJefe de la Oficina de Investigacion
DorisJefe del Departamento de Matematica
Lic. Mat. Eulalio Altamirano FloresAsesor
iii
UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO
Fecha de defensa: 12 de noviembre de 2002
Tıtulo de la tesis : Teoremas de Elevacion En el Grupo
Fundamental De Espacios Recubridores
Autores : Bach. Mat. Walter Gonzales Caicedo
: Bach. Mat. Verner Manuel Salcedo Campos
Grado Academico : Bachiller en Matematica
Escuela Profesional : Matematica
Bach. Mat. Walter Gonzales Caicedo
Bach. Mat. Verner Manuel Salcedo Campos
iv
Dedicatoria
A mis padres, FULGENSIO y FELISA
por sus consejos, por su motivacion
permanente, por incentivarme a ser mejor
cada dıa y sobre todo, por su incondicional
y constante apoyo
En especial a mi madre FELISA por su afan
de lucha y superacion para con sus hijos
v
Agradecimiento
A Dios, por darnos la vida y el don de
la inteligencia, la lucidez suficiente para seguir el
camino del bien y poder alcanzar nuestras metas
que nos proponemos.
Al mas sincero y cordial agradecimiento al Mag. Mat:
EULALIO ALTAMIRANO FLORES,
por su constante apoyo
en la ejecucion y culminacion de la
presente tesis
vi
Indice
Indice VII
Introduccion 1
1. Preliminares 21.1. Espacios Topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Topologıa Inducida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Topologıa Cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4. Aplicaciones Continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5. Espacios Conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.1. Propiedades de los Espacios Conexos . . . . . . . . . . . . 121.6. Caminos y Espacios Arco-conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6.1. Caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.6.2. Espacios Arco-Conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.7. Homotopıa de caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.8. Homotopıa de Caminos Cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.9. El Grupo Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.10. Homomorfismo Inducido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.11. Espacios Simplemente Conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.12. Elevaciones de Caminos y Homotopıas . . . . . . . . . . . . . . . 511.13. El Grupo Fundamental de la Circunferencia . . . . . . . . . . . . 731.14. Espacios Recubridores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
1.14.1. Elevacion de Homotopıas de Caminos en Espacios Recubri-dores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1.15. Relacion de Grupos Fundamentales en Espacios Recubridores . . . 931.16. Relacion entre el grupo G y el Grupo Fundamental de un espacio
de orbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2. Teoremas de Elevacion en el Grupo Fundamental de EspaciosRecubridores 1072.1. Condiciones necesarias y suficientes de la utilizacion de una eleva-
cion para relacionar grupos fundamentales de los espacios recubri-dores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.2. Axiomas de Elevacion (corolarios) en el Grupo Fundamental deEspacios Recubridores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
2.3. Conjugacion de Subgrupos en el Grupo Fundamental de EspaciosRecubridores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.4. Accion del Grupo de Trasformaciones Recubridoras sobre un Es-pacio Arco-Conexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
vii
2.5. El Grupo Cociente del Grupo de Transformaciones Recubridoras . 1272.6. Ejemplos Aplicativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3. Conclusiones 144
Bibliografia 145
viii
Introduccion
1
Capıtulo 1
Preliminares
1.1. Espacios Topologicos
DEFINICION 1.1.1. Sea X 6= ∅ un conjunto. Una topologıa, denotada por τ
sobre el conjunto X, es una coleccion o familia dada por {Xλ}λ∈N, donde cada
Xλ es un subconjunto de X, la cual cumple con las siguientes condiciones:
i.- Los conjuntos ∅ y X pertenecen a τ
ii.- La interseccion finita (no arbitraria) de elementos de τ pertenecen a τ . Es
decirn⋂
λ=1
Xλ ∈ τ , Xλ ⊆ X
iii.- La union arbitraria de elementos de τ pertenecen a τ . Es decir
⋃
λ∈N
Xλ ∈ τ , Xλ ⊆ X
OBSERVACION 1.1.1. :
- Al par (X, τ) se le llama Espacio Topologico, dondeX 6= ∅ y τ es la topologıa
- Si sobre el conjunto X, se define una topologıa τ , entonces en vez de escribir
el espacio topologico como el par (X, τ) solamente se denotara por X
Ejemplo 1.1.1. :
Sea R el conjunto de los numeros reales. Sea τ = {∅,R, {Gλ}λ∈Z} una familia de
subconjuntos de R donde
{Gλ}λ∈Z = {x ∈ R / x < λ}
Luego la coleccion τ cumple las condiciones de topologıa, esto es
2
3
i). ∅,R ∈ τ ; por construccion de τ
ii).n⋂
λ=−nGλ = G−n ∈ τ ; donde n ∈ J ⊂ N
iii).⋃λ∈Z
Gλ = R ∈ τ
entonces (R, τ) es un espacio topologico.
OBSERVACION 1.1.2.
Sobre R se pueden construir otros tipos de topologıa ya sea usando o sin usar
metricas
1.2. Topologıa Inducida
DEFINICION 1.2.1.
Sea X un espacio topologico. Sea S ⊆ X y Ua⊂X; entonces la topologıa inducida
de X esta dada por la familia de los subconjuntos la cual es de la forma U ∩ S.
Es decir, si U es la familia de los conjuntos abiertos de X, entonces US = {U ∩S ; U ∈ U} es la familia de los conjuntos abiertos de S.
Para demostrar que US es una topologıa en S debemos comprobar las tres
condiciones para una topologıa. Esto es:
i). ∅ ∩ S = ∅ ∈ US y X ∩ S = S ∈ US
ii). Sean U1 ∩ S y U2 ∩ S dos elementos de US, entonces
(U1 ∩ S) ∩ (U2 ∩ S) = (U1 ∩ U2) ∩ S ∈ US
iii). Si {Uj ∩ S ; j ∈ J} es un conjunto arbitrario de elementos de US, entonces
⋃
j∈J(Uj ∩ S) =
(⋃
j∈JUj
)∩ S ∈ US
Ejemplo 1.2.1.
Si dotamos a la circunferencia unitaria S1 de la topologıa inducida por la topo-
logıa usual de R2.
En efecto
Sea X = R2 un espacio topologico
Sea S = S1 ⊂ R2
Tomemos:
U = {Uλ}λ∈N+ = {(x1, x2) ∈ R2 / x21 + x2
2 < 1 +1
λ}
4
una coleccion de abiertos de R2
entonces:
US = {Uλ ∩ S , Uλ ∈ U}es la familia de los conjuntos abiertos de S.
Luego, US cumple las condiciones de topologıa, es decir:
i). Para λ = ∞, U∞ ∩ S ∈ US, pero U∞ ∩ S = ∅, entonces ∅ ∈ US.Para λ 6= ∞, U∞ ∩ S ∈ US, pero Uλ ∩ S = S, entonces S ∈ USLuego ∅, S ∈ US
ii).n⋂λ=1
(Uλ ∩ S) ∈ US, para n 6= ∞
Veamos:n⋂
λ=1
(Uλ ∩ S) = (U1 ∩ S) ∩ (U2 ∩ S) ∩ . . . ∩ (Un ∩ S)
= S ∩ S ∩ . . . ∩ S= S ∈ US
por lo tanton⋂
λ=1
(Uλ ∩ S) ∈ US
iii).⋃
λ∈N+
(Uλ ∩ S) ∈ US
Veamos⋃
λ∈N+
(Uλ ∩ S) = (U1 ∩ S) ∪ (U2 ∩ S) ∪ . . . ∪ (U∞ ∩ S)
= S ∪ S ∪ . . . ∪ ∅= S ∈ US
por lo tanto⋃
λ∈N+
(Uλ ∩ S) ∈ US
Por lo tanto se tiene que US es una topologıa sobre S1 inducida por la metrica
pitagorica dada en R2.
OBSERVACION 1.2.1.
El ejemplo 1.2.1 se puede generalizar para n−esfera unitaria, considerando una
familia de abiertos de Rn+1 de la forma siguiente:
U = {Uλ}λ∈N+ =
{x = (x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+1 /
n∑
i=1
x2i < 1 +
1
λ, λ ∈ N+
}
Luego verificar que la coleccion dada por
USn = {Uλ ∩ Sn ; Uλ ∈ U , λ ∈ N}
es una topologıa sobre Sn inducida por la metrica pitagorica dada en Rn+1.
5
1.3. Topologıa Cociente
DEFINICION 1.3.1.
Sea X un espacio topologico. Y un conjunto no vacıo. U un subconjunto abierto
de Y . f : X → Y una aplicacion exhaustiva. Entonces la topologıa cociente se
define mediante la siguiente familia:
Uf ={U ; f−1(U)
a⊂X}
Figura 1.1: Construccion de la topologıa cociente
Xf−1(U)
f
f−1
Y
exhaustiva U
Luego se tiene que Uf satisface las condiciones para una topologıa:
i). Probar que φ, Y ∈ Uf
En efecto:
Como: φ = f−1(φ)a⊂X, entonces φ ∈ Uf
X = f−1(Y )a⊂X, pues X es un espacio topologico; entonces Y ∈ Uf
ii). Sea la familia {Ai}i∈J⊂N de subconjuntos abiertos de Y , entonces probar
quen⋂i=1
∈ Ai ∈ Uf .En efecto:
Como Aia⊂Y , ∀ i ∈ J ⊂ N, entonces A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An
a⊂Y , entonces
f−1(A1) ∩ f−1(A2) ∩ . . . ∩ f−1(An) =n⋂
i=1
f−1(Ai) donde cada f−1(Ai)a⊂X
= f−1
(n⋂
i=1
Ai
)a⊂X
por lo tanton⋂i=1
Ai ∈ Uf
iii). Sea la familia {Ai}i∈N de subconjuntos abiertos de Y , entonces probar que⋃i∈N
Ai ∈ Uf .
6
En efecto
Como Aia⊂Y ; ∀ i ∈ N, entonces A1 ∪ . . .
a⊂Y
entonces
f−1(A1) ∪ f−1(A2) ∪ . . . =⋃
i∈N
f−1(Ai) donde cada f−1(Ai)a⊂X
= f−1
(⋃
i∈N
Ai
)a⊂X
por lo tanto⋃i∈N
Ai ∈ Uf
OBSERVACION 1.3.1.
Puesto que Y esta dotado de una topologıa, entonces Y es un espacio topologico,
ademas f : X → Y es una aplicacion exhaustiva la cual tiene por mision de
cumplir la siguiente condicion:
f−1(U)a⊂X; ∀ U a⊂Y esto hace que f sea una aplicacion continua.
Ejemplo 1.3.1.
Sea el conjunto RP(n) = {{x,−x} : x ∈ Sn} de ciertos pares no ordenados de
puntos de Sn.
Sea la aplicacion exhaustiva
π : Sm → Sm × R definida por
x 7→ h(x) = {−x}
se tiene que
[x] = {x,−x} ; x ∈ Sn
[x] = {λx ∈ Rn+1 / λ ∈ R − {0}}
considere
[x] = {x,−x}
donde {x,−x} es una familia de rectas que pasan por el origen del RP(n).
Sea
Uπ ={
[x] ; π−1([x])a⊂Sn
}
probar que Uπ es una topologıa cociente.
Demostracion. -
i). Probar que ∅,RP(n) ∈ UπEn efecto:
7
x
−x
Sn RP(n)
Figura 1.2:
π
Como
∅ = π−1(∅) a⊂Sn, entonces ∅ ∈ UπSn = π−1 (RP(n))
a⊂Sn , Sn es un espacio topologico, entonces RP(n) ∈ Uπ
ii). Sea la familia {Vλ}λ∈J⊂N de subconjuntos abiertos de RP(n), entonces pro-
bar quen⋂
λ=1
Vλ ∈ Uπ
En efecto
Como cada Vλ ∈ RP(n), entonces
Vλ(x0) =
{x ∈ Rn / ‖x− x0‖d0 <
1
2d0(xλ,−xλ) = r , r ∈ R+ , xλ ∈ Rn
}
para todo λ = 1, n.
Puesto que los elementos de RP(n) son de la forma [xλ] = {xλ,−xλ} enton-
ces V1 ∩ V2 ∩ . . . ∩ Vna⊂RP(n)
Luego
π−1(V1) ∩ . . . ∩ π−1(Vn) =n⋂
λ=1
π−1(Vλ)a⊂Sn cada π−1([Vλ])
a⊂Sn
= π−1
(n⋂
λ=1
Vλ
)a⊂Sn
Por lo tanton⋂λ=1
Vλ ∈ Uπ
iii). Sea la familia {Vλ}λ∈N de subconjuntos abiertos de RP(n), entonces demos-
trar que⋃λ∈N
Vλ ∈ Uπ
8
En efecto:
Como cada Vλ ∈ RP(n), entonces
Vλ(x0) =
{x ∈ Rn / ‖x− x0‖d0 <
1
2d0(xλ,−xλ) = r , r ∈ R+ , xλ ∈ Rn
}
para todo λ ∈ N
Puesto que los elementos de RP(n) son de la forma [xλ] = {xλ,−xλ} enton-
ces V1 ∪ V2 ∪ . . . ∪ Vna⊂RP(n)
Luego
π−1(V1) ∪ π−1(V2) ∪ . . . =⋃
λ∈N
π−1(Vλ)a⊂Sn cada π−1(Vλ)
a⊂Sn
= π−1
(⋃
λ∈N
Vλ
)a⊂Sn
por lo tanto⋃λ∈N
Vλ ∈ Uπ
Luego el conjunto RP(n) con la topologıa cociente Uπ es un espacio topologico
llamado el n−espacio proyectivo real.
1.4. Aplicaciones Continuas
DEFINICION 1.4.1.
Sean X,Y espacios topologicos. Sea U un abierto en Y ; se dice que la aplicacion
f : X → Y es continua si f−1(U) es un subconjunto abierto en X.
f
f
f
−1
−1
continua
XY
U(U)
Figura 1.3:
Ejemplo 1.4.1.
Sea
9
π : [0, 2] → R definida por
x 7→ f(x) = x2 − 2
Se observa que f es inyectiva, por lo tanto se asegura la existencia de f−1.
f−1 : [−2, 2] → [0, 2] definida por
x 7→ f−1(x) =√x+ 2
Si se tomara un abierto U =< −2, 2 > de R, entonces de inmediato se comprueba
que f−1(U)a⊂[0, 2]
Por lo tanto se tiene que f , definida ası, es una aplicacion continua.
DEFINICION 1.4.2.
Sean X,Y espacios topologicos. Una aplicacion f : X → Y se dice que es un
homeomorfismo si
i). Es biyectiva
ii). Es continua, y
iii). Su inversa f−1 tambien es continua
XY
f
f−1
biyectiva
continua
continua
Figura 1.4: Homeomorfismo
El ejemplo 1.4.1 es una aplicacion homeomorfa.
OBSERVACION 1.4.1.
Los homeomorfismos son caracterizados como una biyeccion que tiene la cualidad
de relacionar puntos entre puntos o conjuntos abiertos entre conjuntos abiertos
de dos espacios topologicos X e Y respectivamente
Ejemplo 1.4.2.
La aplicacion
f : 〈−1, 1〉 → R definida por
x 7→ f(x) = x1−x2
10
1
1
−1
−1
Figura 1.5: Homeomorfismo
f(x) = x1−x2
f−1(y) = 2y
1+√
1+y2
es un homeomorfismo
En efecto
Se observa que f es inyectiva, por lo tanto se asegura la existencia de f−1, la
cual esta definida por:
f−1 : R → 〈−1, 1〉y 7→ f−1(y) = − 2y
1+√
1+4y2
se tiene que f es continua, ademas f−1 tambien es continua. Por lo tanto como
f es biyectiva, continua y f−1 es continua entonces f es un homeomorfismo
DEFINICION 1.4.3.
Sean X, Y espacios topologicos, Ac⊂X, g : A → Y una aplicacion continua.
Entonces podemos decir que f : X → Y es la extension de la aplicacion continua
g en X, donde f |A = g
X
Af
A= g
f Y
Figura 1.6:
11
Ejemplo 1.4.3.
Sea A = [1/2, 1] ⊂ R+ y
g : [1/2, 1] → R definida por
x 7→ g(x) = 1/x
una aplicacion continua.
Entonces decimos que
f : R+ → R definida por
x 7→ f(x) = 1/x
es la extension de la aplicacion continua g en R+. Donde
f |A = g
Graficamente tenemos:
1
2
g=fA
1
2
_ 1
Figura 1.7:
1.5. Espacios Conexos
DEFINICION 1.5.1.
Sea X un espacio topologico; entonces decimos que X es conexo si posee como
unicos subconjuntos abiertos y cerrados a la vez al ∅ y X
OBSERVACION 1.5.1.
Algunos autores lo definen de la forma siguiente:
X es un espacio conexo si: X = A ∪ B, A ∩ B = ∅, A, B son subconjuntos
abiertos disjuntos; entonces A = ∅ o B = ∅.
12
Ejemplo 1.5.1.
Sea
X ={(x, y) ∈ R2 / −∞ < x < +∞ ∧ (−∞ < y < −2 ∨ 2 < y < +∞)
}
Entonces X no es un espacio conexo
Solucion:
Graficamente tenemos:
2
−2
Figura 1.8:
Consideremos
A ={(x, y) ∈ R2 / −∞ < x < +∞ ∧ −∞ < y < −2
}
B ={(x, y) ∈ R2 / −∞ < x < +∞ ∧ 2 < y < +∞
}
Entonces A ∩B = ∅, A 6= ∅ ∧ B 6= ∅Por lo tanto X = A ∪B no es conexo.
1.5.1. Propiedades de los Espacios Conexos
Propiedad 1.5.1.1.
Sean X un espacio conexo y f : X → Y una aplicacion continua, sobreyectiva,
entonces la imagen f(X) = Y tambien es conexa
Demostracion.
Consideremos un subconjunto U en Y , el cual es abierto y cerrado a la vez; es
decir:
Ua⊂Y y U
c⊂Y
Como f es continua, sobreyectiva; entonces existe su inversa y se cumple lo si-
guiente:
f−1(U)a⊂X y f−1(U)
c⊂X
13
Como X es un espacio conexo por definicion los unicos subconjuntos abiertos y
cerrados de X son ∅ y X, por esta razon se puede afirmar que:
f−1(U) = ∅ y f−1(U) = X
de donde se obtiene que:
U = f(∅) = ∅ y U = f(X) = Y
de estas dos ultimas igualdades se tiene que los unicos subconjuntos abiertos y
cerrados de Y son el ∅ e Y , puesto que U es abierto y cerrado.
Por lo tanto Y es conexo.
Propiedad 1.5.1.2.
Sean X un espacio topologico. {Xj j ∈ J ⊂ N} una familia o coleccion de
subconjuntos conexos de X, si se cumple que⋂
j∈J⊂N
Xj 6= ∅, entonces se tiene que
⋃
j∈J⊂N
Xj = X es conexo
Demostracion.
Suponga que:
Ua⊂X y U
c⊂X , U 6= ∅
Como⋂
j∈J⊂N
Xj 6= ∅ entonces para algun i ∈ J se cumple que U ∩Xi 6= ∅.Como U es abierto y cerrado a la vez y Xi es conexo para todo i ∈ J , entonces:
U ∩Xi es abierto y cerrado en Xi
es decir:
U ∩Xi
a⊂Xi y U ∩Xi
c⊂Xi
Puesto que Xi es conexo, entonces se cumple que: U ∩Xi = ∅ y U ∩Xi = Xi
de donde se obtiene que:
(U ∩Xi) ∪ (U ∩Xi) = ∅ ∪Xi
entonces:
U ∩Xi = Xi
Para que esto ocurra debe suceder que Xi ⊂ U
Como Xi son elementos de la familia {Xj ; j ∈ J ⊂ N} entonces cada Xi
intersecta a los otros Xj, j ∈ J ⊆ N. Es decir:
Xi ∩Xj 6= ∅ , ∀ i, j ∈ J ⊂ N
14
esto implica que:
U ∩ (Xi ∩Xj) 6= U ∩ ∅
de donde se obtiene:
Xi ∩ (U ∩Xj) 6= ∅
Para que esto ocurra debe suceder que:
U ∩Xj 6= ∅
Pero U ∩Xj
a⊂Xj y U ∩Xj
c⊂Xj, puesto que Xj es conexo, entonces se cumple:
U ∩Xj = ∅ y U ∩Xj = Xj
reuniendo estas dos igualdades se tiene que:
(U ∩Xj) ∪ (U ∩Xj) = ∅ ∪Xj = Xj
entonces:
U ∩Xj = Xj
luego para que esto ocurra tiene que cumplir:
Xj ⊂ U ,∀ j ∈ J ⊂ N
entonces: ⋃
j∈J⊂N
Xj ⊆ U
Pero: ⋃
j∈J⊂N
Xj = X
entonces:
X ⊆ U (a)
pero por hipotesis:
Xa
⊆X y Uc
⊆X , U 6= ∅ (b)
De (a) y (b) se tiene que X = U
Como U es abierto y cerrado entonces X es abierto y cerrado, esto implica
que X es conexo.
Propiedad 1.5.1.3.
Sean X, Y espacios topologicos. Decimos que X × Y es conexo si y solamente si
X e Y son ambos conexos
15
Demostracion. -
Condicion Necesaria:
Si X × Y es conexo, entonces X e Y son conexos
En efecto
Consideremos las proyecciones canonicas las cuales son continuas y sobreyectivas.
Como X × Y es conexo, entonces por la propiedad 1.5.1.1 se tiene que
π1(X × Y ) = X y π2(X × Y ) = Y
son conexos.
Condicion Suficiente:
Si X e Y son conexos entonces X × Y es conexo
En efecto:
Como X e Y son conexos y ademas:
X ≈ X × {y} y Y ≈ {x} × Y ; ∀x ∈ X , ∀ y ∈ Y
entonces:
X × {y} y {x} × Y
son conexos, puesto que los homeomorfismos conservan la propiedad de conexidad.
Como:
(X × {y}) ∩ ({x} × Y ) = (x, y) 6= ∅
entonces
(X × {y}) ∪ ({x} × Y )
es conexo, por la propiedad 1.5.1.2
Ademas
X × Y =⋃
x∈X((X × {y}) ∪ ({x} × Y )) , para algun y ∈ Y
se sabe que (X × {y}) ∩ ({x} × Y ) 6= ∅, entonces con mayor razon se tiene que:
(X × {y}) ∩ ({x} × Y ) 6= ∅ , ∀ x ∈ X y para algun y ∈ Y
luego: ⋂
x∈X((X × {y}) ∪ ({x} × Y )) 6= ∅, para algun y ∈ Y
entonces: ⋃
x∈X((X × {y}) ∪ ({x} × Y )) = X × Y
es conexo.
16
Ejemplo 1.5.2.
Demostrar que Rn+1−{0} es conexo y deducir que Sn y RP(n) son conexos para
n ≥ 1, considerar
f : Rn+1 − {0} → Sn definida por
x 7→ f(x) = x||x||
Demostracion.
Para el caso n = 1, se tiene que R2 − {0} es conexo.
En efecto:
Consideremos a R2 −{0} igual a la reunion de subconjuntos conexos, cuya inter-
seccion es diferente del vacıo, es decir:
R2 − {0} = U1 ∪ U2 ∪ U3
donde:
U1 = {(x, y) ∈ R2 / y > 0 ∨ x < 0}U2 = {(x, y) ∈ R2 / x < 0 ∨ y < 0}U3 = {(x, y) ∈ R2 / y < 0 ∨ x > 0}
son subconjuntos conexos de R2 − {0}, y ademas se tiene que:
3⋂
i=1
Ui 6= ∅
entonces por la propiedad 1.5.1.2 resulta que3⋃i=1
Ui = R2 − {0} es conexo.
Para el caso n = 2, se tiene que R3 − {0} es conexo.
En efecto
Consideremos a R3 − {0} igual a la reunion de subconjuntos conexos cuya inter-
seccion es diferente del vacıo. Es decir:
R3 − {0} = U1 ∪ U2 ∪ U3
donde:
U1 = {(x, y, z) ∈ R3 / x < 0 ∨ y > 0 ∨ z > 0}U2 = {(x, y, z) ∈ R3 / x < 0 ∨ y < 0 ∨ z > 0}U3 = {(x, y, z) ∈ R3 / x > 0 ∨ y < 0 ∨ z > 0}
son subconjuntos conexos de R3 − {0} y ademas se tiene que
3⋂
i=1
Ui 6= ∅
17
entonces por la propiedad 1.5.1.2 resulta que3⋃i=1
Ui = R3 − {0} es conexo.
Luego haciendo un analisis analogo como en el caso n = 1 y n = 2 se tiene
por induccion que
Rn+1 − {0} es conexo, para n ≥ 1.
Luego para demostrar que Sn, para n ≥ 1, sea conexo, consideremos la apli-
cacion:
f : Rn+1 − {0} → Sn definida por
x 7→ f(x) = x||x||
En efecto:
Se tiene que la aplicacion f es continua.
Veamos si f es sobreyectiva, tenemos que Sn ⊂ Rn+1. En este caso la aplicacion
f viene a hacer la funcion proyeccion, por lo tanto f es sobreyectiva.
Luego por la propiedad 1.5.1.1 se tiene que Sn, para n ≥ 1 es conexo.
Analogamente para demostrar que RP(n), n ≥ 1 sea conexo, considere la
aplicacion del ejemplo 1.3.1, es decir
π : Sn → RP(n) definida por
x 7→ π(x) = {−x, x}Se tiene que la aplicacion π es continua y sobreyectiva, entonces por la propiedad
1.5.1.1 se tiene que RP(n), n ≥ 1 es conexo.
Luego observe que:
Figura 1.9:
Rn+1 − {0} Sn RP(n)f π
π ◦ f
como f y π son continuas y sobreyectivas, entonces π ◦ f es continua y sobre-
yectiva, por lo tanto por la propiedad 1.5.1.1 se tiene que:
Como Rn+1 − {0}, n ≥ 1 es conexo, entonces π ◦ f (Rn+1 − {0}) = RP(n),
n ≥ 1, es conexo.
18
1.6. Caminos y Espacios Arco-conexos
1.6.1. Caminos
DEFINICION 1.6.1.1.
Sea X un espacio topologico. Un camino en X es una aplicacion continua
f : [0, 1] → X tal que
t 7→ f(t)
el cual tiene como punto inicial a f(0) = x0 y como punto final a f(1) = x1.
Graficamente se tiene:
x0
=f(0)
x1
=f(1)
f(t)
X
0 t 1
f
Figura 1.10: Camino
OBSERVACION 1.6.1.1. :
- El camino une los puntos x0 ∈ X y x1 ∈ X.
- Al parametro t considerese como el tiempo de tal forma que f(t) indica la
posicion en el instante t.
- El camino no es la imagen del intervalo I = [0, 1] via f .
Lema 1.6.1.1 (Sobre Aplicaciones Continuas).
Sean W,X dos espacios topologicos, A y B son subconjuntos cerrados en W .
f : A→ X y g : B → X aplicaciones continuas e inyectivas tales que f(w) = g(w)
para todo w ∈ A ∩B. Suponga que W = A ∪B, entonces la aplicacion
h : W → X definida por
x 7→ h(w) =
f(w) , si w ∈ A
g(w) , si w ∈ B
es continua.
19
A
B
W f
g
h
X
Figura 1.11:
w
A ∩B
f(w) ∀w ∈ A
g(w) ∀w ∈ B
f(w) = g(w) ∀w ∈ A ∩B
Demostracion.
En efecto:
Se tiene la condicion
∀ w ∈ A ∩B, entonces f(w) = g(w)
Como f y g son inyectivas, entonces h tambien es inyectiva, por lo tanto existe
h−1 : X → W .
Sea C un subconjunto cerrado en X, entonces:
h−1(C) = h−1(C) ∩ (A ∪B)
=(h−1(C) ∩ A
)∪(h−1(C) ∩B
)
h−1(C) = f−1(C) ∪ g−1(C)
pues tenemos que f es continua, inyectiva y C es cerrado en X, entonces:
f−1(C) es cerrado en W
de igual manera g es continua, inyectiva y C es cerrado en X, entonces:
g−1(C) es cerrado en W
entonces:
f−1(C) ∪ g−1(C) = h−1(C) es cerrado en W
por lo tanto h es continua.
Lema 1.6.1.2 (Construccion de caminos en particiones regulares del
intervalo [0, 1] ).
Sea X un espacio topologico.
20
a). Dado un camino f : [0, 1] → X entonces la aplicacion
f : [0, 1] → X definida por
t 7→ f(t) = f(1 − t)
es un camino
b). Dado los caminos f : [0, 1/2] → X y g : [1/2, 1] → X tal que f(1/2) =
g(1/2), entonces la aplicacion
h = f ∧ g : [0, 1] → X definida por
t 7→ h(t) = f ∧ g(t) =
f(2t) , si 0 ≤ t ≤ 1/2
g(2t− 1) , si 1/2 ≤ t ≤ 1
es un camino
Demostracion (a):
0 1t
f
f_
_f
f
X
Figura 1.12:
x1=f(1)=f(0)
x0=f(0)=f(1)
En efecto:
Si f(t) es continua, entonces f(t+ M t) tambien es continua, siempre que
(t+ M t) ∈ Dom(f).
Por otro lado como t ∈ [0, 1], entonces (1− t) ∈ [0, 1]. Por lo tanto f(1− t) es
continua en [0, 1]
Luego por definicion f(t) es continua en [0, 1]
En consecuencia f es un camino que tiene por punto inicial a f(1) = x1 y por
punto final a f(0) = x0.
�
21
Demostracion (b):
fX
g
0 1 ff
g
g(0)
(1/2)(1/2) =
(1)
1/2
Figura 1.13:
En efecto:
Adecuando al lema 1.6.1.1; es decir:
Sea:
A = [0, 1/2] y B = [1/2, 1]
se observa que A ∩B = {1/2}Entonces:
f : A→ X y g : B → X
son continuas y se cumple que:
f(1/2) = g(1/2)
entonces por el lema 1.6.1.1 se tiene que la aplicacion:
h = f ∧ g : [0, 1] → X definida por
t 7→ h(t) = f ∧ g(t) =
f(2t) , si t ∈ A = [0, 1/2]
g(2t− 1) , si t ∈ B = [1/2, 1]
es continua.
Por lo tanto h es un camino.
�
1.6.2. Espacios Arco-Conexos
DEFINICION 1.6.2.1.
Sea X un espacio topologico. Se dice que X es arco-conexo si dado dos puntos
cualesquiera x0, x1 ∈ X existe siempre un camino que une x0 con x1 y el camino
este totalmente incluido en X.
22
X
x x1 2
existe el
camino
Figura 1.14:
OBSERVACION 1.6.2.1 (Relacion entre espacios convexos y espacios
arco-conexos). -
Todo espacio convexo es arco-conexo.
En efecto:
Si X es un espacio convexo, entonces para todo x1, x2 ∈ X, existe un intervalo
que une a estos puntos, el cual esta contenido en X.
Como dicho intervalo representa a la grafica de una aplicacion continua, en-
tonces este intervalo es un camino que une x1 ∈ X con x2 ∈ X, por lo tanto X
es un espacio arco-conexo.
- Lo recıproco de la observacion 1.6.2.1 no es cierto.
Ejemplo 1.6.2.1.
Rn, n ≥ 1, es un espacio arco-conexo
x
x
=a
=b
0
1
0 1t
fR n
Figura 1.15:
En efecto:
Para todo a, b ∈ Rn, existe la aplicacion:
f : [0, 1] → Rn definida por
t 7→ f(t) = b.t+ (1 − t).a
23
la cual es continua y es llamado al camino rectilineo, el cual tiene por punto inicial
x0 = a y por punto final x1 = b; y ademas se cumple que {b.t + (1 − t).a ; 0 ≤t ≤ 1} ⊂ Rn para n ≥ 1.
Por lo tanto se tiene que Rn, para n ≥ 1, es arco-conexo.
TEOREMA 1.6.2.1.
Sean X un espacio topologico. {Xi , i ∈ J ⊂ N} una familia o coleccion de
subconjuntos arco-conexos de X. Si se cumple que⋂
i∈J⊂N
Xi 6= ∅, entonces se
tiene que X =⋃
i∈J⊂N
Xi es arco-conexo.
Demostracion.
Hagamos la demostracion considerando dos subconjuntos arco-conexos.
En efecto:
Sean a, b ∈ X, entonces existen j, l ∈ J tal que:
a ∈ Xj ∧ b ∈ Xl ∧ Xj ∩Xl 6= ∅
donde Xj, Xl son arco-conexos, por hipotesis.
Entonces:
sea c ∈ Xj ∩Xl ⇒ c ∈ Xj ∧ c ∈ Xl
X
X X
a
bc
0 11/2
f g
j l
Figura 1.16:
Como Xj es arco-conexo y ademas a, c ∈ Xj, entonces existe un camino:
f : [0, 1/2] → Xj el cual une a con c.
De igual manera: como Xl es arco-conexo y como c, b ∈ Xl, entonces existe
un camino g : [1/2, 1] → Xl el cual une c con b.
24
Luego: por el lema 1.6.1.2(b) se define lo siguiente:
h : [0, 1] → Xj ∩Xi
t 7→ h(t) = f ∧ g(t) =
f(2t) , si 0 ≤ t ≤ 1/2
g(2t− 1) , si 1/2 ≤ t ≤ 1
el cual es un camino que une a con b; es decir el camino h(t) esta contenido en
Xj ∪Xl.
Por tanto Xj ∪Xl es arco-conexo.
Ejemplo 1.6.2.2.
Probar que el espacio Y ⊆ R2 dado por Y = A ∪B ∪ C, donde:
A = {(x, y) ∈ R2 / x2 + y2 = 1 , y ≥ 0}B = {(x, y) ∈ R2 / − 1 ≤ x ≤ 0 , y = 0}
C =
{(x, y) ∈ R2 / 0 < x ≤ 1 , y =
1
2sen(πx
)}
es arco-conexo.
Demostracion.
Graficamente tenemos:
0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.4
-0.2
0.2
0.4
1
B
1
C
1
A
Figura 1.17:
Entonces por demostrar que Y = A ∪B ∪ C es arco-conexo.
En efecto:
Se tiene que A,B,C son arco-conexos.
Hagamos la demostracion considerando:
Primero los subconjuntos A y B puesto que A ∩ B 6= ∅, entonces por demostrar
que A ∪B es arco-conexo.
Segundo consideremos los subconjuntos (A ∪B) y C, donde se observa que:
25
(A ∪B) ∩ C 6= ∅, entonces por demostrar que (A ∪B) ∪ C es arco-conexo.
Es decir:
(i): Como A y B son arco-conexos, entonces demostrar que A∪B es arco-conexo.
En efecto:
Sean a, b ∈ A ∪B tal que a ∈ A, b ∈ B donde A y B son arco-conexos y se
tiene que A ∩B = (−1, 0) 6= ∅. Entonces:
sea p = (−1, 0) ∈ A ∩B ⇒ p ∈ A ∧ p ∈ B
Como A es arco-conexo y ademas a, p ∈ A, entonces existe un camino
f : [0, 1/2] → A, el cual une a con p.
De igual manera:
Como B es arco-conexo y ademas p, b ∈ B, entonces existe un camino
g : [1/2, 1] → B, el cual une p con b.
Luego definimos el camino:
h : [0, 1] → A ∪B
t 7→ h(t) = f ∧ g(t) =
f(2t) , si 0 ≤ t ≤ 1/2
g(2t− 1) , si 1/2 ≤ t ≤ 1
el cual une a con b.
Por el teorema 1.6.2.1 se tiene por tanto que A ∪B es arco-conexo.
(ii): Como (A ∪B) y C son arco-conexos, entonces demostrar que (A ∪B) ∪ Ces arco-conexo.
En efecto:
Sean d, c ∈ (A ∪ B) ∪ C tal que d ∈ (A ∪ B), c ∈ C donde A ∪ B y C son
arco-conexos, y se tiene que (A ∪B) ∩ C = (1, 0) 6= ∅.
Entonces:
sea q = (1, 0) ∈ (A ∪B) ∩ C ⇒ q ∈ (A ∪B) ∧ q ∈ C
Como A ∪ B es arco-conexo y ademas d, q ∈ (A ∪ B), entonces existe un
camino α : [0, 1/2] → A ∪B, el cual une d con q.
De igual manera:
Como C es arco-conexo y ademas q, c ∈ C, entonces existe un camino
β : [1/2, 1] → C, el cual une q con c.
Luego, definamos el camino:
26
γ : [0, 1] → (A ∪B) ∪ C
t 7→ γ(t) = α ∧ β(t) =
α(2t) , si 0 ≤ t ≤ 1/2
β(2t− 1) , si 1/2 ≤ t ≤ 1
el cual une d con c.
Por el teorema 1.6.2.1 se tiene por tanto que (A ∪B) ∪ C es arco-conexo.
Por tanto de (i) y (ii) se tiene que Y = A ∪B ∪ C es arco-conexo.
OBSERVACION 1.6.2.2.
En el ejemplo 1.6.2.2 se observa que B ∪ C no es arco-conexo; pues no existe
camino alguno que une un punto de B con un punto de C; es decir se tiene que
B y C son arco-conexos, pero B ∩ C = ∅, entonces B ∪ C no es arco-conexo por
el teorema 1.6.2.1. La unica forma de justificar la demostracion de que A∪B∪Ces arco-conexo es la demostracion dada.
OBSERVACION 1.6.2.3.
Todo espacio arco-conexo es conexo. Pero no todo espacio conexo es arcoconexo.
DEFINICION 1.6.2.2.
Sea X un espacio topologico. Se dice que X es localmente arco-conexo si para
todo x ∈ X, todo entorno abierto V de x contiene un entorno abierto U de x el
cual es arco-conexo y ademas se cumple que x ∈ Ua⊂V
x
U V
X
Figura 1.18:
OBSERVACION 1.6.2.2.1.
Se exige que el entorno abierto U debe ser arco-conexo respecto a X.
Ejemplo 1.6.2.3.
Probar que si X es localmente arco-conexo y U ⊂ X es abierto en X, entonces
U es localmente arco-conexo.
27
Demostracion.
En efecto:
Por hipotesis se tiene que:
- X es localmente arco-conexo
- Ua⊂X
ComoX es localmente arco-conexo, entonces por definicion se tiene que ∀ x1 ∈ X,
todo entorno abierto Va⊂U de x1 contiene un entorno abierto V ′ de x1 y se
cumple que x1 ∈ V ′ a⊂Va⊂U , de donde se puede afirmar que U es localmente
arco-conexo.
OBSERVACION 1.6.2.3.1.
Si X = Rn, entonces por el ejemplo 1.6.2.3 se puede concluir que todo subcon-
junto abierto de Rn es localmente arco-conexo.
OBSERVACION 1.6.2.2.2.
En el ejemplo 1.6.2.2 se demostro que el espacio Y ⊆ R2 es arco-conexo. Pero
no es localmente arco-conexo, es decir:
Sea x = (0, 0) ∈ Y , todo entorno abierto V de x contiene un entorno abierto
U de x, el cual no es arco-conexo respecto a Y , esto por la observacion 1.6.2.2.
1.7. Homotopıa de caminos
DEFINICION 1.7.1.
Sean X un espacio arco-conexo y los caminos λ, µ : [0, 1] → X los cuales cumplen
las siguientes condiciones:
(i). λ(0) = µ(0)
(ii). λ(1) = µ(1)
Se dice que estos caminos son homotopicos y se denota por λ ≈ µ si existe una
aplicacion continua :
H : [0, 1] × [0, 1] → X tal que
(s,t) 7→ H(s,t)
la cual cumple las siguientes condiciones:
a) Condicion de deformacion:
H(s, 0) = λ(s) , ∀ s ∈ [0, 1] (Camino de partida)
H(s, 1) = µ(s) , ∀ s ∈ [0, 1] (Camino de llegada)
b) Condicion de extremos:
H(0, t) = λ(0) = µ(0) , ∀ t ∈ [0, 1]
H(1, t) = λ(1) = µ(1) , ∀ t ∈ [0, 1]
28
Graficamente tenemos
( ) ( ,0)s H s
( ) ( ,1)s H s
(0) (0)
(1) (1)
0 1s
(0,0) (1,0)
(1,1)(0,1)
s
t
H
( , )s t
I I
Figura 1.19:
Ejemplo 1.7.1.
Sean los caminos λ, µ : [0, 1] → R2 definidos respectivamente por
λ(s) = (− sen(πs), cos(πs)) y µ(s) = (sen(πs), cos(πs))
verificar si λ ≈ µ.
Demostracion.
Se tiene que los caminos λ y µ cumplen las condiciones siguientes:
(i). λ(0) = µ(0) = (0, 1)
(ii). λ(1) = µ(1) = (0,−1)
dichas condiciones son requisitos para la existencia de una homotopıa.
En efecto:
Como R2 es arco-conexo, construyamos la siguientes aplicacion
H : [0, 1] × [0, 1] → R2 definida por
(s, t) 7→ H(s, t) = (1 − t).λ(s) + t.µ(s)
Tenemos que H ası definida es continua, por la combinacion convexa de los ca-
minos λ y µ que ademas son continuos.
Veamos que H cumple las condiciones de homotopıa.
29
a) H(s, 0) = λ(s) , ∀ s ∈ [0, 1] (Camino de partida)
H(s, 1) = µ(s) , ∀ s ∈ [0, 1] (Camino de llegada)
b) H(0, t) = (0, 1) = λ(0) = µ(0) , ∀ t ∈ [0, 1]
H(1, t) = (0,−1) = λ(1) = µ(1) , ∀ t ∈ [0, 1]
Puesto que H es una homotopıa, la cual deforma el camino λ en el camino µ,
entonces λ ≈ µ.
Graficamente tenemos:
(0,0) (1,0)
(0,1) (1,1)
0 1s
H
(0,−1)
(0,1)
I x I
Figura 1.20:
λ
µ
λ(s) µ(s)
OBSERVACION 1.7.1.
Un camino de una forma general se define:
λ : [a, b] → X
como la aplicacion continua de modo que:
λ(a) = x0 , punto inicial
λ(b) = x1 , punto final
La definicion de Homotopıa para este tipo de caminos no varıa, es decir, sean los
caminos:
λ : [a, b] → X y µ : [a, b] → X
los cuales cumplen las siguientes condiciones:
(i) λ(a) = µ(a)
(ii) λ(b) = µ(b)
se dice que estos caminos son homotopicos, y se denota por λ ≈ µ, si existe una
aplicacion continua:
30
H : [a, b] × [0, 1] → X tal que
(s, t) 7→ H(s, t)
la cual cumple las condiciones siguientes:
a) Condicion de deformacion:
H(s, 0) = λ(s) , ∀ s ∈ [a, b] (Camino de partida)
H(s, 1) = µ(s) , ∀ s ∈ [a, b] (Camino de llegada)
b) Condicion de extremos:
H(a, t) = λ(a) = µ(a) , ∀ t ∈ [0, 1]
H(b, t) = λ(b) = µ(b) , ∀ t ∈ [0, 1]
1.8. Homotopıa de Caminos Cerrados
DEFINICION 1.8.1.
Sean X un espacio arco-conexo, α : [0, 1] → X una aplicacion continua.
Se dice que α es un camino cerrado si y solamente si, su punto inicial coincide
con el punto final, es decir α(0) = α(1) = x0, donde x0 se llama punto basico.
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•x0 = α(0) = α(1)
j
X
0 s 1• • •
....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
...............................................................................................
*
αα(s)
Figura 1.21:
DEFINICION 1.8.2.
Sean X un espacio arco-conexo, λ, µ : [0, 1] → X caminos cerrados los cuales
cumplen la siguiente condicion:
λ(0) = µ(0) = λ(1) = µ(1) = x0 ∈ X
Se dice que λ y µ son homotopicos y se denota por λ ≈ µ, si existe una aplicacion
continua:
31
H : [0, 1] × [0, 1] → X
(s, t) 7→ H(s, t)
la cual cumple con las siguientes condiciones:
a) Condicion de deformacion:
H(s, 0) = λ(s) , ∀ s ∈ [0, 1] (Camino de partida)
H(s, 1) = µ(s) , ∀ s ∈ [0, 1] (Camino de llegada)
b) Condicion de extremos:
H(0, t) = λ(0) = µ(0) = λ(1) = µ(1) = H(1, t), ∀ t ∈ [0, 1]
Graficamente tenemos:
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'
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X
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1
q
λ
µ
λ(s) = H(s, 0)
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1H
s
t
(0, 0) (1, 0)
I × I
x0
µ(s)
Figura 1.22:
Ejemplo 1.8.1.
Sean los caminos cerrados :
λ : [−2, 2] → R2 definido por
s 7→ λ(s) = (4 − s2, s3 − 4s)
µ : [−2, 2] → R2 definido por
s 7→ µ(s) = (1 + cos(sπ2
), sen
(sπ2
))
verificar si λ ≈ µ.
Solucion :
Se tiene que los caminos λ y µ cumplen la siguiente condicion: λ(−2) = µ(−2) =
λ(2) = µ(2) = (0, 0) es el punto basico.
32
Dicha condicion es requisito para la existencia de una homotopıa.
En efecto:
Como R2 es arco-conexo, construyamos la siguiente aplicacion:
H : [−2, 2] × [0, 1] → R2 definida por
(s, t) 7→ H(s, t) = (1 − t)λ(s) + tµ(s)
tenemos que H, ası definida es continua, por la combinacion convexa de los ca-
minos λ y µ que ademas son caminos continuos.
Veamos si H cumple las condiciones de homotopıa:
a) H(s, 0) = λ(s) , ∀ s ∈ [0, 1] (Camino de partida)
H(s, 1) = µ(s) , ∀ s ∈ [0, 1] (Camino de llegada)
b) H(−2, t) = (0, 0) = λ(−2) = µ(−2) = λ(2) = µ(2) = H(2, t), ∀ t ∈ [0, 1]
puesto que H es una homotopıa, la cual deforma el camino λ en el camino µ,
entonces λ ≈ µ.
Graficamente tenemos:
(2,0)(−2,0)
(−2,1) (2,1)
−2 2s
Figura 1.23:
H
µ
λλ(s)=H(s,0)
µ(s)=H(s,1)
1.9. El Grupo Fundamental
El objetivo de la presente seccion es de que dado un espacio X el cual es arco-
conexo es construir un conjunto infinito de clases de equivalencia u homotopıas
de caminos cerrados con punto basico x0 ∈ X, el cual lo denotamos por:
π (X, x0) = {[H1(s, t)] , [H2(s, t)] , ..., [Hn(s, t)] , ...}
33
Donde cada Hi(s, t), ∀ i = 0,∞ es una homotopıa entre dos caminos cerrados con
punto basico x0 ∈ X.
Representemos cada una de estas homotopıas de la forma siguiente:
Hi(s, t) = Hi(s) , ∀ s ∈ [0, 1] , ∀ t ∈ [0, 1]
donde cada clase de equivalencia [Hi(s, t)] es un conjunto infinito de caminos
cerrados de la forma:
[Hi(s, t)] = [Hi(s)] = {hi0(s), ..., hit(s), ...} , ∀ i = 0,∞
tales que
hi0(0) = hi0(1), ..., hit(0) = hit(1), ...
Luego, bajo estas apreciaciones, el conjunto π(X, x0) se puede escribir de la forma:
π(X, x0) = {[Hi(s)] / hit(0) = hit(1) , ∀ t ∈ [0, 1]}
dicho conjunto es llamado conjunto de homotopıas de caminos cerrados sobre el
espacio topologico X con punto basico x0 ∈ X. Graficamente tenemos (ver figura
1.24):
Una vez construido el conjunto π(X, x0) el siguiente paso es dotarle a π(X, x0)
de una estructura de grupo; para ello definamos la aplicacion:
∗ : π(X, x0) × π(X, x0) → π(X, x0) por
([f ], [g]) 7→ ∗([f ], [g]) = [f ] ∗ [g] = [f ∧ g]
Donde [f ∧ g] es la clase de la yuxtaposicion de caminos cerrados f y g definido
en el lema 1.6.1.2-(b), con punto basico x0 ∈ X. Se obtiene que π(X, x0) es un
grupo; es decir que la operacion ∗ definida sobre π(X, x0) cumple con las siguientes
propiedades:
1) Cerradura; es decir: ∗ esta bien definida
2) Asociativa; es decir: ∀ [f ], [g], [h] ∈ π(X, x0) se debe cumplir:
([f ] ∗ [g]) ∗ [h] = [f ] ∗ ([g] ∗ [h])
3) Elemento neutro; es decir: ∀ [f ] ∈ π(X, x0), ∃! [ex0 ] ∈ π(X, x0) tal que:
[ex0 ] ∗ [f ] = [f ] = [f ] ∗ [ex0 ]
4) Elemento inverso; es decir: Para cada [f ] ∈ π(X, x0), ∃! [f ] ∈ π(X, x0) tal
que: [f ] ∗ [f ] = [ex0 ] = [f ] ∗ [f ]
por tanto, se obtiene que π(X, x0) es un grupo y se denota por (π(X, x0), ∗)llamado “EL GRUPO FUNDAMENTAL O DE POINCARE”.
34
(1,0)(0,0)
(1,1)(0,1)
Figura 1.24:
0
1 h00
h01
h10
h11
h20
h21
H0
H1
H2
[H0(s)]
[H1(s)]
[H2(s)]
π(X, x0)
Xh00(s)
h10(s)
h20(s)
x0
s
t (t, s)I×I
h21(s)
h11(s)
h01(s)
35
Ejemplo 1.9.1.
Sean los caminos cerrados
h0 : [0, 2π] → R2 definido por:
s 7→ h0(s) = (cos s(3 cos s− 3), sen s(3 cos s− 3))
h1 : [0, 2π] → R2 definido por:
s 7→ h1(s) = (cos s(cos s− 1), sen s(cos s− 1))
se tiene que los caminos h0 y h1 cumplen la siguiente condicion:
h0(0) = h1(0) = h0(2π) = h1(2π) = (0, 0) ∈ R2
donde (0,0) es el punto basico. Dicha condicion es requisito para la existencia de
una homotopıa.
En efecto:
Se tiene que R2 es arco-conexo, entonces construyamos la siguiente aplicacion:
H : [0, 2π] × [0, 1] → R2 definida por:
(s, t) 7→ H(s, t) = (1 − t).h0(s) + t.h1(s)
tenemos que H ası definida es continua, por la combinacion convexa de los cami-
nos cerrados h0 y h1 que ademas son caminos continuos.
Veamos si H cumple las condiciones de homotopıa:
a) H(s, 0) = h0(s) , ∀ s ∈ [0, 2π] (Camino de partida)
H(s, 1) = h1(s) , ∀ s ∈ [0, 2π] (Camino de llegada)
b) H(0, t) = (0, 0) = h0(0) = h1(0) = h0(2π) = h1(2π) = H(2π, t), ∀ t ∈ [0, 1]
puesto que H es una homotopıa, el cual deforma el camino h0 en el camino h1,
entonces h0 ≈ h1, es decir que se genera la clase [H(s)], dada por:
H(s) = {h0(s), . . . , ht(s), . . .} ∀ t ∈ [0, 1]
Donde H es una homotopıa entre los caminos cerrados h0 y h1 con punto basico
(0, 0) ∈ R2.
Nuestro objetivo es generar un conjunto infinito de subconjuntos infinitos no
vacıos llamados clases de equivalencia (homotopıas) de los caminos cerrados tales
como h0 y h1 con punto basico (0, 0) ∈ R2; es decir:
π(R2, (0, 0)
)={Hi(s) / h
i0(0) = hi0(2π) = (0, 0)
}∀ i = 0,∞
Para esto emplearemos la transformacion lineal siguiente:
36
T : R2 → R2 definida por
(x, y) 7→ T (x, y) =
[cos θi − sen θi
sen θi cos θi
][x
y
], ∀θi, i = 0,∞
donde θi = es el angulo de rotacion i = 0,∞.
Luego tenemos las composiciones siguientes:
T ◦ hi0 : [0, 2π] → R2 definida por
s 7→ T ◦ hi0(s) =
[cos θi − sen θi
sen θi cos θi
][cos s(3 cos s− 3)
sen s(3 cos s− 3)
]
T ◦ hi1 : [0, 2π] → R2 definida por
s 7→ T ◦ hi1(s) =
[cos θi − sen θi
sen θi cos θi
][cos s(cos s− 1)
sen s(cos s− 1)
]
se tiene que T◦hi0 y T◦hi1 son caminos cerrados que cumplen la siguiente condicion:
T ◦ hi0(0) = T ◦ hi1(0) = T ◦ hi0(2π) = T ◦ hi1(2π) = (0, 0) ∈ R2 ∀ i = 0,∞
donde (0, 0) es el punto basico de la familia de caminos cerrados.
Construyamos la siguiente familia de aplicaciones:
Hi : [0, 2π] × [0, 1] → R2 definida por
(s, t) 7→ Hi(s, t) = (1 − t)T ◦ hi0(s) + t.T ◦ hi1(s) ∀ i = 0,∞
se tiene que ∀ i = 0,∞, Hi ası definida es continua por la combinacion convexa
de los caminos cerrados T ◦ hi0 y T ◦ hi1.Veamos si Hi cumple con las condiciones de homotopıa:
a) Hi(s, 0) = T ◦ hi0(s) , ∀i = 0,∞ , ∀ s ∈ [0, 2π] (Camino de partida)
Hi(s, 1) = T ◦ hi1(s) , ∀i = 0,∞ , ∀ s ∈ [0, 2π] (Camino de llegada)
b) Hi(0, t) = (0, 0) = T ◦ hi0(0) = T ◦ hi1(0) = T ◦ hi0(2π) = T ◦ hi1(2π) =
Hi(2π, t), ∀ i = 0,∞ , ∀ t ∈ [0, 1]
Puesto que cada Hi, ∀ i = 0,∞, es una homotopıa, el cual deforma el camino
T ◦ hi0 en el camino T ◦ hi1, entonces T ◦ hi0 ≈ T ◦ hi1, es decir que se genera la
clase [Hi(s)] ∀ i = 0,∞, dada por:
[Hi(s)] = {T ◦ hi0(s), . . . , T ◦ hit(s), . . .} ∀ i = 0,∞, ∀ t ∈ [0, 1]
Donde cada Hi es una homotopıa entre los caminos cerrados T ◦ hi0 y T ◦ hi1 con
punto basico (0, 0) ∈ R2.
37
Por tanto se tiene un conjunto infinito de subconjuntos infinitos no vacıos llama-
dos clases de equivalencia (homotopıas) de los caminos cerrados T ◦ hi0 y T ◦ hi1con punto basico (0, 0) ∈ R2; es decir el conjunto de homotopıas que se define por
π(R2, (0, 0)
)= {[Hi(s)] / T ◦ hi0(0) = T ◦ hi0(2π) = (0, 0)} ∀ i = 0,∞
Este conjunto de homotopıas cumple las propiedades de grupo, por esta razon es
llamado Grupo Fundamental y se denota por π (R2, (0, 0), ∗)Hagamos una breve descripcion de la estructura obtenida.
Observese que
- Si i = 0 y θ0 = 0◦, se tiene que:
T ◦ h00 : [0, 2π] → R2 definida por
s 7→ T ◦ h00(s) = (cos s(3 cos s− 3), sen s(3 cos s− 3))
T ◦ h01 : [0, 2π] → R2 definida por
s 7→ T ◦ h01(s) = (cos s(cos s− 1), sen s(cos s− 1))
se tiene que los caminos T ◦ h00 y T ◦ h0
1 cumplen la siguiente condicion:
T ◦ h00(0) = T ◦ h0
1(0) = T ◦ h00(2π) = T ◦ h0
1(2π) = (0, 0) ∈ R2
donde (0, 0) es el punto basico.
Dicha condicion es requisito para la existencia de una homotopıa.
Definamos la aplicacion:
H0 : [0, 2π] × [0, 1] → R2
(s, t) 7→ H0(s, t) = (1 − t)T ◦ h00(s) + tT ◦ h0
1(s)
tenemos que H0, ası definida es continua por la combinacion convexa de los
caminos cerrados T ◦ h00 y T ◦ h0
1.
Veamos si H0 cumple las condiciones de homotopıa:
a) H0(s, 0) = T ◦ h00(s) , ∀ s ∈ [0, 2π] (Camino de partida)
H(s, 1) = T ◦ h01(s) , ∀ s ∈ [0, 2π] (Camino de llegada)
b) H0(0, t) = (0, 0) = T ◦ h00(0) = T ◦ h0
1(0) = T ◦ h00(2π) = T ◦ h0
1(2π) =
H0(2π, t), ∀ t ∈ [0, 1]
puesto que H0 es una homotopıa, la cual deforma el camino T ◦ h00 en el
camino T ◦ h01, entonces T ◦ h0
0 ≈ T ◦ h01, es decir que se genera la clase
[H0(s)].
38
- Si i = 1 y θ1 = 30◦, se tiene que:
T ◦ h10 : [0, 2π] → R2 definida por
s 7→ T ◦ h10(s) =
(√3
2cos s(3 cos s− 3) − 1
2sen s(3 cos s
−3), 12cos s(3 cos s− 3) +
√3
2sen s(3 cos s− 3)
)
T ◦ h11 : [0, 2π] → R2 definida por
s 7→ T ◦ h11(s) =
(√3
2cos s(cos s− 1) − 1
2sen s(cos s
−1), 12cos s(cos s− 1) +
√3
2sen s(cos s− 1)
)
se tiene que los caminos T ◦ h10 y T ◦ h1
1 cumplen la siguiente condicion:
T ◦ h10(0) = T ◦ h1
1(0) = T ◦ h10(2π) = T ◦ h1
1(2π) = (0, 0) ∈ R2
donde (0, 0) es el punto basico.
Dicha condicion es requisito para la existencia de una homotopıa.
Definamos la aplicacion:
H1 : [0, 2π] × [0, 1] → R2
(s, t) 7→ H1(s, t) = (1 − t)T ◦ h10(s) + tT ◦ h1
1(s)
tenemos que H1, ası definida es continua por la combinacion convexa de los
caminos cerrados T ◦ h10 y T ◦ h1
1.
Veamos si H1 cumple las condiciones de homotopıa:
a) H1(s, 0) = T ◦ h10(s) , ∀ s ∈ [0, 2π] (Camino de partida)
H1(s, 1) = T ◦ h11(s) , ∀ s ∈ [0, 2π] (Camino de llegada)
b) H1(0, t) = (0, 0) = T ◦ h10(0) = T ◦ h1
1(0) = T ◦ h10(2π) = T ◦ h1
1(2π) =
H1(2π, t), ∀ t ∈ [0, 1]
puesto que H1 es una homotopıa, la cual deforma el camino T ◦ h10 en el
camino T ◦ h11, entonces T ◦ h1
0 ≈ T ◦ h11, es decir que se genera la clase
[H1(s)] (ver grafico 1.9.1)
Analogamente se obtiene para los casos cuando i = 2,∞.
Graficamente tenemos:
39
H
H1
0
T hº
º
oo
T h o1
T º h 11
Figura 1.25:
0 1
[0,2π]×[0,1]
(0,0) (2π,0)
(0,1) (2π,1)
T◦h10(s)
[H1(s)]
T◦h11(s)
T◦h00(s)
[H0(s)]T◦h01(s)
1.10. Homomorfismo Inducido
DEFINICION 1.10.1.
Sean X e Y espacios arco-conexos. f : X → Y una aplicacion continua.
Puesto que X e Y son espacios arco-conexos, entonces existe la posibilidad de
construir una infinidad de Grupos Fundamentales.
Por esta razon consideremos π(X, x0) y π(Y, y0) (donde y0 = f(x0)), grupos
fundamentales de X e Y respectivamente.
Entonces f induce una aplicacion:
f# : π(X, x0) → π(Y, y0) definida por
[α] 7→ f#([α]) = [f ◦ α]
donde α ∈ [α] es un camino cerrado en X, con punto basico x0
Demostraremos que f# es un homomorfismo
En efecto:
1o) Ver que f# esta bien definido.
Demostracion.
Sean [α], [α′] ∈ π(X, x0), donde α y α′ son caminos cerrados en X, con
punto basico x0 ∈ X.
Como α y α′ tienen el mismo punto basico, entonces α ≈ α′ y f ≈ f .
40
Entonces
f ◦ α ≈ f ◦ α′ ver [2]: pag. 9- proposicion 2
⇒ [f ◦ α] = [f ◦ α′]
⇒ f#([α]) = f#([α′]), por definicion de f#
por lo tanto f# esta bien definido.
2o) Ver si f# es un homomorfismo.
Demostracion.
Para esto veamos que la composicion es distributiva respecto a la yuxtapo-
sicion de caminos cerrados, es decir, demostrar que:
f ◦ (α ∧ β) = (f ◦ α) ∧ (f ◦ β)
En efecto:
Consideremos α, β : [0, 1] → X caminos cerrados con punto basico x0 ∈ X.
Luego tenemos que la yuxtaposicion de α y β esta dada por
α ∧ β : [0, 1] → X , definido por
s 7→ α ∧ β(s) =
α(2s) , si 0 ≤ s ≤ 1/2
β(2s− 1) , si 1/2 ≤ s ≤ 1
entonces analicemos la distributividad para:
(i) 0 ≤ s ≤ 1/2
Se tiene
(f ◦ (α ∧ β))(s) = (f ◦ α)(2s)
(ii) 1/2 ≤ s ≤ 1
Se tiene
(f ◦ (α ∧ β))(s) = (f ◦ β)(2s− 1)
Luego se tiene que
f ◦ (α ∧ β) : [0, 1] → Y , tal que
s 7→ f ◦ (α ∧ β)(s) =
(f ◦ α)(2s) , si 0 ≤ s ≤ 1/2
(f ◦ β)(2s− 1) , si 1/2 ≤ s ≤ 1
f ◦ (α ∧ β)(s) = (f ◦ α) ∧ (f ◦ β)(s)
41
donde f ◦ (α ∧ β) = (f ◦ α) ∧ (f ◦ β)
Luego:
Sean [α], [β] ∈ π(X, x0)
entonces
[α] ∗ [β] ∈ π(X, x0)
por definicion de f# se tiene:
f#([α]) = [f ◦ α] y f#([β]) = [f ◦ β]
Luego:
f#([α] ∗ [β]) = f#([α ∧ β]) pues [α] ∗ [β] = [α ∧ β]
= [f ◦ (α ∧ β)]
= [(f ◦ α) ∧ (f ◦ β)]
= [f ◦ α] ∗ [f ◦ β]
f#([α] ∗ [β]) = f#([α]) ∗ (f#[β])
Por lo tanto f# es homomorfismo, llamado homomorfismo inducido por
f
0( , )X x0( , )Y y
[ ]
[ ]f
f
#f
1sf
0x
0y
s
t
I I
0G
1H
0H
1G
X Y
0
Figura 1.26:
(0,0) (1,0)
(1,1)(0,1)
42
Ejemplo 1.10.1.
Sean X = R2 e Y = R2 espacios arco-conexos.
Los caminos definidos por:
α0 : [0, 1] → X = R2
s 7→ α0(s) = (2(1 − cos 2πs), 3 sen 2πs)
α1 : [0, 1] → X = R2
s 7→ α1(s) = (1 − cos 2πs, sen 2πs)
β0 : [0, 1] → X = R2
s 7→ β0(s) = (3 sen 2πs, 2(1 − cos 2πs))
β1 : [0, 1] → X = R2
s 7→ β1(s) = (sen 2πs, 1 − cos 2πs)
La aplicacion:
f : R2 → R2 , definida por:
(x, y) 7→ f(x, y) = (3x+ 4, y + 4)
Se observa que:
- α0(0) = α0(1) = α1(0) = α1(1) = β0(0) = β0(1) = β1(0) = β1(1) =
(0, 0) ∈ X. Por tanto estos caminos son caminos cerrados con punto basico
x0 = (0, 0) ∈ X = R2
- f ası definida es continua.
- f(x0) = f(0, 0) = (4, 4) ∈ Y = R2. Definamos las aplicaciones:
H0 : [0, 1] × [0, 1] → R2 , por:
(s, t) 7→ H0(s, t) = tα1(s) + (1 − t)α0(s)
H1 : [0, 1] × [0, 1] → R2 , por:
(s, t) 7→ H1(s, t) = tβ1(s) + (1 − t)β0(s)
se observa que:
- H0 es continua y cumple las condiciones de homotopıa; por tanto α0 ≈ α1.
43
- H1 es continua y cumple las condiciones de homotopıa; por tanto β0 ≈ β1.
- π(R2, (0, 0)) es un conjunto infinito de homotopıas o clases de equivalencia,
el cual se vio anteriormente que es un grupo fundamental.
- Puesto que α0 ≈ α1, entonces la clase H0 = [α] ∈ π(X, (0, 0)).
- Puesto que β0 ≈ β1, entonces la clase H1 = [β] ∈ π(X, (0, 0)).
Por otro lado se tiene los siguientes caminos:
f ◦ α0 : [0, 1] → Y = R2
s 7→ f ◦ α0(s) = (6(1 − cos 2πs) + 4, 3 sen 2πs+ 4)
f ◦ α1 : [0, 1] → Y = R2
s 7→ f ◦ α1(s) = (3(1 − cos 2πs) + 4, sen 2πs+ 4)
f ◦ β0 : [0, 1] → Y = R2
s 7→ f ◦ β0(s) = (9 sen 2πs+ 4, 2(1 − cos 2πs) + 4)
f ◦ β1 : [0, 1] → Y = R2
s 7→ f ◦ β1(s) = (3 sen 2πs+ 4, 2(1 − cos 2πs) + 4)
se observa que: f ◦ α0(0) = f ◦ α0(1) = f ◦ α1(0) = f ◦ α1(1) = f ◦ β0(0) =
f ◦ β0(1) = f ◦ β1(0) = f ◦ β1(1) = (4, 4) = y0 ∈ Y = R2
por tanto estos caminos son caminos cerrados con punto basico y0 = (4, 4) ∈ Y .
Definamos las aplicaciones
G0 : [0, 1] × [0, 1] → Y = R2
(s, t) 7→ G0(s, t) = f ◦H0(s, t)
G1 : [0, 1] × [0, 1] → Y = R2
(s, t) 7→ G1(s, t) = f ◦H1(s, t)
Se observa que:
- G0 y G1 son continuas.
- G0 es una homotopıa entre los caminos f◦α0 y f◦α1, por tanto f◦α0 ≈ f◦α1
44
- G1 es una homotopıa entre los caminos f◦β0 y f◦β1, por tanto f◦β0 ≈ f◦β1
Puesto que f ◦ α0 ≈ f ◦ α1 y f ◦ β0 ≈ f ◦ β1, entonces se garantiza que las clases
G0 = [f ◦ α] ∈ π(Y, (4, 4)) y G1 = [f ◦ β] ∈ π(Y, (4, 4)).
Por tanto se ha construido dos grupos fundamentales π(X, (0, 0)) y π(Y, (4, 4))
en X e Y respectivamente.
Sea la aplicacion:
f# : π(X, (0, 0)) → π(Y, (4, 4)) definida por:
[α] 7→ f#([α]) = [f ◦ α]
Veamos que f# es un homomorfismo de grupos.
Para esto consideremos dos caminos cualesquiera:
α ′ ∈ [α] y β ′ ∈ [β]; ası por ejemplo:
α ′ : [0, 1] → X = R2 definido por:
s 7→ α ′(s) = H0(s, 1/2) = 12α0(s) + 1
2α1(s)
β ′ : [0, 1] → X = R2 definido por:
s 7→ β ′(s) = H1(s, 1/2) = 12β0(s) + 1
2β1(s)
Luego demostraremos que:
f#([α ′] ∗ [β ′]) = f#([α ′]) ∗ f#([β ′])
es decir:
[f ◦ (α ′ ∧ β ′)] = [(f ◦ α ′) ∧ (f ◦ β ′)]
Entonces:
f ◦ (α ′ ∧ β ′) ≈ (f ◦ α ′) ∧ (f ◦ β ′)
En efecto:
Sea:
F : [0, 1] × [0, 1] → Y = R2 definida por:
(s, t) 7→ F (s, t) = t((f ◦ α ′) ∧ (f ◦ β ′))(s) + (1 − t)(f ◦ (α ′ ∧ β ′))(s)
45
F es continua, ademas cumple:
(a) F (s, 0) = f ◦ (α ′ ∧ β ′)(s) ,∀ s ∈ [0, 1]
F (s, 1) = (f ◦ α ′) ∧ (f ◦ β ′)(s) ,∀ s ∈ [0, 1]
(b) F (0, t) = t((f ◦ α ′) ∧ (f ◦ β ′))(0) + (1 − t)(f ◦ (α ′ ∧ β ′))(0)
= t(f ◦ α ′)(0) + (1 − t)(f ◦ α ′)(0)
= (f ◦ α ′)(0)
= (6(1 − cos 4π0) + 4, 3 sen 4π0 + 4)
= (4, 4)
= y0
F (1, t) = t((f ◦ α ′) ∧ (f ◦ β ′))(1) + (1 − t)(f ◦ (α ′ ∧ β ′))(1)
= t(f ◦ β ′)(1) + (1 − t)(f ◦ β ′)(1)
= (f ◦ β ′)(1)
= (9 sen 2π(2(1) − 1) + 4, 2(1 − cos 2π(2(1) − 1)) + 4)
= (4, 4)
= y0
Por lo tanto F es una homotopıa entre los caminos f ◦(α ′∧β ′) y (f ◦α ′)∧(f ◦β ′),
entonces f ◦ (α ′ ∧ β ′) ≈ (f ◦ α ′) ∧ (f ◦ β ′).
Tenemos, entonces:
[f ◦ (α ′ ∧ β ′)] = [(f ◦ α ′) ∧ (f ◦ β ′)]
f#([α ′ ∧ β ′]) = [f ◦ α ′] ∗ [f ◦ β ′]
f#[α ′ ∧ β ′] = f#([α ′]) ∗ f#([β ′])
por tanto f# es un monomorfismo de grupos, llamado homomorfismo inducido
por f .
Graficamente tenemos:
46
Figura 1.27:
0 1
β0
β1
α1
α0
f◦β0
f◦β1
f◦α1
f◦α0
β0(s)
α0(s)
[β]
[α]
π(R2,(0,0))
f#
f
f◦β0(s)
[f◦β]
f◦α0(s)
[f◦α]
π(R2,(4,4))
x0
y0
TEOREMA 1.10.1. :
i) Sean f : X → Y y g : Y → Z aplicaciones continuas, entonces g ◦ f es
continua. Si g ◦ f es continua, entonces g ◦ f induce un homomorfismo de
la forma siguiente:
(g ◦ f)# : π(X, x0) → π(Z, z0)
donde z0 = g ◦ f(x0) y se cumple que (g ◦ f)# = g# ◦ f#
ii) Si id : X → X es la aplicacion identidad, entonces el homomorfismo indu-
cido por id esta dado por
id# : π(X, x0) → π(X, x0) definido por
[α] 7→ id#([α]) = [α]
el cual es el homomorfismo identidad de π(X, x0)
Demostracion(i):
(1o) Probar que (g ◦ f)# esta bien definido. Es decir:
Sean [α], [α′] ∈ π(X, x0)p.d
=⇒ (g ◦ f)#([α]) = (g ◦ f)#([α′])
En efecto:
Como [α], [α′] ∈ π(X, x0), entonces α y α′ son caminos cerrados en X, con
punto basico x0 ∈ X, como ambos caminos tienen el mismo punto basico,
entonces α ≈ α′.
47
0( , )X x
X
0x
0( , )Y y
Y
0y
0( , )Z x
Z
0z
f g
#f#g
g f
#g f
Figura 1.28:
Ademas se tiene que g ◦ f es continua.
Entonces:
(g ◦ f) ◦ α ≈ (g ◦ f) ◦ α ′ (ver [2] pag. 9 prop. 2)
[(g ◦ f) ◦ α] = [(g ◦ f) ◦ α ′]
(g ◦ f)# ([α]) = (g ◦ f)# ([α ′])
por tanto se tiene que (g ◦ f)# esta bien definido.
(2o) Probar que (g ◦ f)# es un homomorfismo.
En efecto:
Sean [α], [β] ∈ π(X, x0), entonces:
(g ◦ f)#([α]) = [(g ◦ f) ◦ α] y
(g ◦ f)#([β]) = [(g ◦ f) ◦ β]
ademas:
[α] ∗ [β] = [α ∧ β] ∈ π(X, x0)
Por demostrar que:
(g ◦ f)#([α]∗[β]) = (g ◦ f)#([α]) ∗ (g ◦ f)#([β])
48
en efecto:
(g ◦ f)#([α] ∗ [β]) = (g ◦ f)#([α ∧ β])
= [(g ◦ f) ◦ (α ∧ β)]
= [((g ◦ f) ◦ α) ∧ ((g ◦ f) ◦ β)] por la distribu-
tividad de la yuxtaposicion
= [(g ◦ f) ◦ α] ∗ [(g ◦ f) ◦ β]
(g ◦ f)#([α] ∗ [β]) = (g ◦ f)#([α]) ∗ (g ◦ f)#([β])
por lo tanto (g ◦ f)# es un homomorfismo, llamado el homomorfismo indu-
cido por g ◦ f .
(3o) Probar que (g ◦ f)# = g# ◦ f#
En efecto:
Sea [α] ∈ π(X, x0)
Entonces:
(g# ◦ f#)([α]) = g#(f#([α]))
= g#([f ◦ α])
= [g ◦ (f ◦ α)]
= [(g ◦ f) ◦ α]
(g# ◦ f#)([α]) = (g ◦ f)#([α])
por lo tanto:
(g# ◦ f#) = (g ◦ f)#
�
Demostracion(ii):
(1o) Probar que id# esta bien definido.
Es decir:
Sean [α], [α′] ∈ π(X, x0)p.d
=⇒ (id)#([α]) = (id)#([α′])
En efecto:
Se tiene que [α], [α′] ∈ π(X, x0), entonces α y α′ son caminos cerrados en
X, con punto basico x0 ∈ X, es decir α ≈ α′.
49
Entonces:
id ◦ α ≈ id ◦ α′ (ver [2] pag. 9-prop.2)
⇒ [id ◦ α] = [id ◦ α′]
⇒ id#([α]) = id#([α′])
por tanto se tiene que id# esta bien definido.
(2o) Probar que id# es un homomorfismo.
En efecto:
Sean [α], [β] ∈ π(X, x0), entonces:
id#([α]) = [id ◦ α] y
id#([β]) = [id ◦ β]
ademas se tiene que:
[α] ∗ [β] = [α ∧ β] ∈ π(X, x0)
Por demostrar que:
id#([α]∗[β]) = id#([α]) ∗ id#([β])
En efecto:
id#([α] ∗ [β]) = id#[α ∧ β]
= [id ◦ (α ∧ β)]
= [(id ◦ α) ∧ (id ◦ β)] por la distributividad
de la yuxtaposicion
= [id ◦ α] ∗ [id ◦ β]
id#([α] ∗ [β]) = id#([α]) ∗ id#([β])
por lo tanto id# es un homomorfismo, llamado el homomorfismo identidad
de π(X, x0).
�
1.11. Espacios Simplemente Conexos
DEFINICION 1.11.1.
Se dice que X ⊂ Rn es simplemente conexo, si X es arco-conexo y ademas todo
camino cerrado α : [0, 1] → X, es libremente homotopico a un camino constante
50
e : [0, 1] → X definido por:
s 7→ e(s) = x0 = ex0(s)
esto es α ≈ ex0.
Ejemplo 1.11.1.
Sea
D2 = {(x, y) ∈ R2 / (x− 3)2 + (y − 4)2 ≤ 4}
un disco cerrado en R2. Demostrar que D2 es simplemente conexo
Demostracion. -
(3,4)
2r
2D
X
Y
Figura 1.29:
En efecto:
Se tiene que D2 es convexo y arco-conexo.
Tomemos los caminos cerrados en D2, tales que:
α : [0, 1] → D2 definido por:
s 7→ α(s) = (2 cos 2πs+ 3, 2 sen 2πs+ 4)
e : [0, 1] → D2 definido por:
s 7→ e(s) = (3, 4)
Los caminos α y e cumplen las siguientes condiciones:
i) α(0) = α(1) = (5, 4)
ii) e(0) = e(1) = (3, 4)
dichas condiciones son requisitos para la existencia de la homotopıa.
Construyamos la siguiente aplicacion:
H : [0, 1] × [0, 1] → D2 definida por:
(s, t) 7→ H(s, t) = (1 − t)α(s) + t.e(s)
51
Como D2 es arco-conexo, se tiene que H ası definida es continua.
Veamos si H cumple las condiciones de homotopıa:
a) H(s, 0) = α(s) , ∀ s ∈ [0, 1] , (camino de partida)
H(s, 1) = e(s) = (3, 4) , ∀ s ∈ [0, 1] , (camino de llegada)
b) H(0, t) = (5 − 2t, 4) = H(1, t) , ∀ t ∈ [0, 1]
se tiene entonces que α y e son libremente homotopicos, es decir α ≈ e.
Por lo tanto se tiene que D2 es simplemente conexo, puesto que el camino
cerrado α es libremente homotopico al camino constante e.
Graficamente (figura 1.30):
(3,4)=e(s)
I
II x
H
e
D 2
(0,0) (1,0)
(1,1)(0,1)
(5,4)
Figura 1.30:
1.12. Elevaciones de Caminos y Homotopıas
DEFINICION 1.12.1 (Elevacion de Caminos).
Diremos que una aplicacion continua y sobreyectiva f : X → Y goza de la
propiedad de elevacion de caminos, cuando dados arbitrariamente un camino α :
[0, 1] → Y , y un punto x ∈ X tal que f(x) = α(0), existe un camino α : [0, 1] → X
tal que α(0) = x y f ◦ α = α se dice que α es una elevacion del camino α.
Graficamente tenemos (figura 1.31):
52
X
Y
0 1
Figura 1.31:
α
α
f
x=α(0)
f(x)=α(0)
Ejemplo 1.12.1.
Consideremos la aplicacion continua
e : R → S1 definida por:
t 7→ e(t) = (cos 2πt, sen 2πt)
Sea el camino α : [0, 1] → S1 tal que α(0) = α(1) = (1, 0) y dado un punto
t ∈ R tal que e(t) = α(0) = (1, 0), entonces demostraremos que existe una unica
elevacion α : [0, 1] → R tal que α(0) = t, t ∈ R y e ◦ α = α.
Demostracion.
Tenemos que [0, 1] es compacto, entonces tomemos una particion de la forma
siguiente:
Ik =
[0,k + 1
rs
]⊆ [0, 1]
donde k ∈ N, s, r ∈ Z+ tal que r ≥ 2, s ≥ r y k < rs.
Luego definamos elevaciones αk sobre Ik de manera que :
αk(0) = t, t ∈ R y e ◦ αk = α.
Para esto, consideremos la construccion de homeomorfismos lineales de un sub-
conjunto de [0, 1] en un subconjunto de R, es decir: ver como esta definida la
elevacion α.
En efecto:
Consideremos:
un = [n, n+ 1] ⊆ R ∀n ∈ Z
Entonces:
Sea
53
αk :[0, k+1
rs
]→ [n, n+ 1] definida por
x 7→ αk(x) = ax+ b , a 6= 0
tal que
αk(x) = n y αk
(k + 1
rs
)= n+ 1
Hallando los valores de a y b se tiene:
αk(x) =
(rs
k + 1
)x+ n
puesto que αk = e ◦ αk, entonces se tiene:
αk :[0, k+1
rs
]→ S1, definido por:
x 7→ αk(x) =(cos 2π
(rs
k+1x+ n
), sen 2π
(rs
k+1x+ n
))
Hagamos una breve descripcion de la estructura obtenida; es decir:
Si n = 0
Tenemos:
u0 = [0, 1]
Tomemos:
r = 2 y s = 2 tal que k < 22, entonces k = 0, 1, 2, 3
Luego tenemos Ik = [0, k+14
] para k = 0, 1, 2, 3
• Si k = 0, entonces I0 = [0, 1/4]
Se tiene que:
α0 : [0,1/4] → [0,1] definido por:
x 7→ α0(x) = 4x
tal que:
α0(0) = 0
α0(1/8) = 1/2
α0(1/4) = 1
por otro lado:
α0 : [0,1/4] → S1 definido por:
x 7→ α0(x) = (cos 8πx, sen 8πx)
54
y se cumple que:
α0(0) = 0 y e(0) = (1, 0) = α0(0)
Ademas :
e ◦ α0(0) = e(α0(0)) = e(0) = (1,0) = α0(0)
e ◦ α0(1/8) = e(α0(1/8)) = e(1/2) = (-1,0) = α0(1/8)
e ◦ α0(1/8) = e(α0(1/4)) = e(1) = (1,0) = α0(1/4)
Entonces e ◦ α0 = α0
Por tanto α0 es una elevacion de α.
Graficamente tenemos:
Figura 1.32:
0 14
α0
α0
S1
e
R
0 1u0
(1,0)
•• Si k = 1, entonces I1 = [0, 1/2]
tenemos:
α1 : [0,1/2] → [0, 1] , definido por:
x 7→ α1(x) = 2x
tal que:
α1(0) = 0
α1(1/4) = 1/2
α1(1/2) = 1
55
por otro lado:
α1 : [0,1/2] → S1 , definido por:
x 7→ α1(x) = (cos 4πx, sen 4πx)
y se tiene que:
α1(0) = 0 y e(0) = (1, 0) = α1(0)
ademas:
e ◦ α1(0) = e(α1(0)) = e(0) = (1,0) = α1(0)
e ◦ α1(1/4) = e(α1(1/4)) = e(1/2) = (-1,0) = α1(1/4)
e ◦ α1(1/2) = e(α1(1/2)) = e(1) = (1,0) = α1(1/2)
entonces:
e ◦ α1 = α1
Por lo tanto α1 es una elevacion de α1.
Graficamente tenemos:
Figura 1.33:
0 12
α1
α1
S1
e
R
0 1u0
(1,0)
• • • Si k = 2, entonces I2 = [0, 3/4]
tenemos:
α2 : [0,3/4] → [0, 1] , definido por:
x 7→ α2(x) = 43x
56
tal que:
α2(0) = 0
α2(1/2) = 2/3
α2(3/4) = 1
por otro lado:
α2 : [0,1/2] → S1 , definido por:
x 7→ α2(x) = (cos 8π3x, sen 8π
3x)
y se cumple que:
α2(0) = 0 y e(0) = (1, 0) = α2(0)
ademas:
e ◦ α2(0) = e(α2(0)) = e(0) = (1,0) = α2(0)
e ◦ α2(1/2) = e(α2(1/2)) = e(2/3) = (-1,0) = α2(1/2)
e ◦ α2(3/4) = e(α2(3/4)) = e(1) = (1,0) = α2(3/4)
entonces:
e ◦ α2 = α2
Por lo tanto α2 es una elevacion de α.
Graficamente tenemos:
Figura 1.34:
034
α2
α2
S1
e
R
0 1u0
(1,0)
57
• • •• Si k = 3, entonces I3 = [0, 1] = I
tenemos:
α3 : [0,1] → [0, 1] , definido por:
x 7→ α3(x) = x = α(x)
tal que:
α3(0) = 0 = α(0)
α3(1/4) = 1/4 = α(1/4)
α3(1/2) = 1/2 = α(1/2)
α3(3/4) = 3/4 = α(3/4)
α3(1) = 1 = α(1)
por otro lado:
α : [0,1] → [0, 1] , definido por
x 7→ α(x) = (cos 2πx, sen 2πx)
y se cumple que:
α3(0) = α(0) = 0 y e(0) = (1, 0) = α(0)
ademas:
e ◦ α3(0) = e(α(0)) = e(0) = (1,0) = α(0)
e ◦ α3(1/4) = e(α(1/4)) = e(1/4) = (0,1) = α(1/4)
e ◦ α3(1/2) = e(α(1/2)) = e(1/2) = (-1,0) = α(1/2)
e ◦ α3(3/4) = e(α(3/4)) = e(3/4) = (0,-1) = α(3/4)
e ◦ α3(1) = e(α(1)) = e(1) = (1,0) = α(1)
entonces:
e ◦ α3 = e ◦ α = α
Por lo tanto α3 = α es la unica elevacion para el camino cerrado α. Es decir:
Dada la aplicacion continua:
e : R → S1 , definido por:
t 7→ α(t) = (cos 2πt, sen 2πt)
Sea el camino:
58
α : [0,1] → S1 , definido por:
x 7→ α(x) = (cos 2πx, sen 2πx)
tal que α(0) = α(1) = (1, 0) y dado un punto t = 0 ∈ R tal que e(0) =
α(0) = (1, 0), entonces existe una unica elevacion:
α : [0,1] → [0, 1] ⊆ R , definida por:
x 7→ α(x) = x
tal que α(0) = t = 0 ∈ R y e ◦ α = α
Graficamente tenemos:
Figura 1.35:
0 34
α2
α2
S1
e
R
0 1u0
(1, 0)
Haciendo un analisis analogo se obtiene el mismo resultado para los demas
casos.
OBSERVACION 1.12.1.
Se observa que dado un camino α : [0, 1] → S1; existe una unica elevacion
α : [0, 1] → R; de tal manera que el camino dado es igual a la composicion de
la proyeccion “e” con la elevacion “α”, es decir e ◦ α = α, cuyo resultado lo
formalizamos con el siguiente teorema:
59
TEOREMA 1.12.1 (Teorema de elevacion de caminos para e : R → S1).
Sean α : [0, 1] → S1 un camino tal que α(0) = α(1) = (1, 0)
e : R → S1 , una aplicacion definida por:
t 7→ e(t) = (cos 2πt, sen 2πt)
t0 ∈ R.
Si e(t0) = α(0); entonces existe una unica elevacion:
α : [0, 1] → R
tal que α(0) = t0 y e ◦ α = α.
Demostracion.
Para cada x ∈ S1, tomemos un entorno abierto Vx tal que e−1(Vx) es la union
disjunta de subconjuntos abiertos de R, es decir
e−1 (Vx) =⋃
n∈Z
µn
donde µna⊂R, ∀n ∈ Z y cada µn ∀n ∈ Z se aplica por e homeomorficamente
sobre Vx.
Figura 1.36:
R
0 1
α
α−1
S1
x
Vx
µ−2
µ−1
µ0
µ1
µ2
e|µn
e e−1
60
Ahora tomemos el conjunto:
Ix = {α−1(Vx) ; x ∈ S1}
Ix, puede expresarse en la forma
Ij = {< xj, yj > ∪[0, 1] ; j ∈ N}
donde Ij es un recubrimiento abierto de [0, 1]. Puesto que [0, 1] es compacto,
existe un subrecubrimiento finito de la forma:
[0, t1 + ε1 > , < t2 − ε2, t2 + ε2 > , . . . , < tn − εn, 1]
Tomemos el i-esimo intervalo abierto:
< ti+1 − εi+1, ti + εi > , para i = 0, 1, . . . , n− 1
con ti + εi > ti+1 − εi+1.
Elijamos ahora:
ai ∈< ti+1 − εi+1, ti + εi > , para i = 0, 1, . . . , n− 1
de manera que:
0 = a0 < a1 < a2 < . . . < an = 1
obviamente tenemos que α([ai, ai+1]) ⊆ S1.
Ademas α([ai, ai+1]) esta contenido en un subconjunto abierto Si de S1 tal
que e−1(Si), ∀i = 0, 1, 2, . . . , n − 1 es la union disjunta de subconjuntos abiertos
de R; es decir:
e−1(Si) =⋃
n∈Z
µn
donde cada µn es aplicado por e homeomorficamente sobre Si.
Este tipo de aplicaciones homeomorficas son de la forma:
e|µn: µn → Si
Como nuestro objetivo es construir una unica elevacion α : [0, 1] → R tal que
α(0) = t0, t0 ∈ R.
Entonces vıa induccion, definamos elevaciones de la forma:
αk : [0, ak] → R
tal que αk(0) = t0, t0 ∈ R; para k = 0, 1, . . . , n.
Para k = 0:
61
Tenemos:
α0 : {0} → R
tal que:
α0(0) = t0
La aplicacion α0 es una elevacion de α0 pues se tiene:
e ◦ α0 = α0
Entonces:
e ◦ α0(0) = α0(0)
e(α0(0)) = α0(0)
e(t0) = α0(0)
Para k = h:
Suponga que:
αh : [0, ah] → R
es la unica elevacion de αh, tal que:
αh(0) = t0 y e ◦ αh = αh
con αh(0) = e(t0).
Para k = h+ 1:
Ahora probaremos que para k = h+ 1, la aplicacion:
αh+1 : [0, ah+1] → R
es una elevacion de αh+1
Sabemos que:
si αh+1 es una extension de αh y ademas α es una extension de αh+1, entonces
α([ah, ah+1]) ⊆ Sh
y que:
e−1(Sh) =⋃
n∈Z
µn
donde e|µn: µn → Sh es un homeomorfismo para cada n ∈ Z.
Graficamente tenemos:
62
Figura 1.37:
0 1ah ah+1
α
α([ah, ah+1])
Sh
S1
e−1 e
µ
Rαh(ah)
como e ◦ αh = αh; de aquı se tiene que:
e(αh(ah)) = αh(ah) ∈ Sh
luego:
αh(ah) ∈ e−1(Sh) =⋃
n∈Z
µn
puesto que la union es disjunta, entonces existe un unico abierto:
µ ∈⋃
n∈Z
µn, tal que αh(ah) ∈ µ
Por otra parte, cualquier extension αh+1 de αh debe aplicar [ah, ah+1] en µ ya que
se quiere tener una unica elevacion tal que:
e ◦ αh+1 = αh+1
Puesto que e es un homeomorfismo, entonces los αh tambien son homeomorfismos;
por tanto, e ◦ αh+1 es un homeomorfismo, luego se tiene que:
e ◦ αh+1 ([ah, ah+1]) = αh+1 ([ah, ah+1]) ⊆ Sh
como
e ◦ αh+1 ([ah, ah+1]) ⊆ Sh
63
entonces
αh+1 ([ah, ah+1]) ⊆ e−1(Sh) =⋃
n∈Z
µn
puesto que αh+1 es una extension de αh, entonces se tiene que:
αh+1 (ah) = αh (ah) ∈ µ
cualquier extension αh+1 debe aplicar [ah, ah+1] en µ y como [ah, ah+1] es arco-
conexo, entonces αh+1[ah, ah+1] es tambien arco-conexo y mas aun esta contenido
en µ, es decir: αh+1([ah, ah+1]) ⊆ µ.
Por otro lado, la restriccion e|µ : µ → Sh es un homeomorfismo, entonces
existe una unica aplicacion:
(e|µ)−1 : Sh → µ
el cual es un homeomorfismo; ademas α|[ah,ah+1] es continua, entonces considere
el siguiente diagrama: tomemos ρ = (e|µ)−1 ◦ (α|[ah,ah+1]), que es continua y unica
Figura 1.38:
[ah, ah+1] Sh µα|[ah,ah+1] (e|µ)−1
(e|µ)−1◦α|[ah,ah+1]
tal que
e ◦ ρ = α|[ah,ah+1]
En virtud de esto podemos definir αh+1, es decir:
αh+1 : [0, ah+1] → R , por
s 7→ αh+1(s) =
αh(s) , si 0 ≤ s ≤ ah
ρ(s) , si ah ≤ s ≤ ah+1
i). Veamos si αh+1 es continua.
En efecto:
Tenemos:
64
αh(ah) = αh+1(ah)
= α|[ah,ah+1](ah) pues αh+1 es extension de αh
=
((e|µ)−1
◦(e|µ))
◦ α|[ah,ah+1] (ah)
=(e|µ)−1
◦(e|µ ◦ α|[ah,ah+1]
)(ah)
=(e|µ)−1
◦ α|[ah,ah+1] (ah)
αh(ah) = ρ(ah)
por tanto se tiene que αh+1 es continua.
ii). Veamos si se cumple que:
αh+1(0) = t0 y e ◦ αh+1 = αh+1
con αh+1(0) = e(t0).
En efecto:
αh+1(0) = αh(0) = t0 y e ◦ αh+1 = αh+1
Entonces:
e ◦ αh+1(s) =
e ◦ αh(s) = αh(s) , si 0 ≤ s ≤ ah
e ◦ ρ(s) = α|[ah,ah+1](s) , si ah ≤ s ≤ ah+1
=
αh(s) , si 0 ≤ s ≤ ah
α|[ah,ah+1](s) , si ah ≤ s ≤ ah+1
e ◦ αh+1(s) = αh+1(s)
con αh+1(0) = e(t0).
Por lo tanto αh+1 es una elevacion para todo h, en particular para h = k−1
tenemos
αk−1+1 = αk : [0, ak] → R
que es la aplicacion α que deseamos.
OBSERVACION 1.12.2.
Este teorema nos permite definir el grado de un camino cerrado de S1. Es decir:
Sean:
65
e : R → S1 ; una aplicacion definida por:
t 7→ e(t) = (cos 2πt, sen 2πt)
α : [0, 1] → S1 un camino cerrado en S1 con punto basico (1, 0)
α : [0, 1] → R la unica elevacion de α, tal que α(0) = 0 y
e ◦ α = α.
tenemos que:
e−1 : S1 → R definida por:
(x, y) 7→ e−1(x, y) = 12πartan
(yx
)= t
Como: e ◦ α = α
Entonces:
e ◦ α(1) = α(1)
e−1(e ◦ α(1)) = e−1(α(1))
(e−1 ◦ e)α(1) = e−1(1, 0)
α(1) = e−1(1, 0) ∼= Z
por tanto α(1) ∈ Z, es decir α(1) es un entero, el cual definimos como el grado
de α (gradα = α(1)).
Observese que un camino cerrado α de S1 con punto basico (1, 0) ∈ S1 da un
cierto numero de vueltas alrededor de la circunferencia, el cual vıa su elevacion α
para α(1) ∈ Z nos define el numero de vueltas o grado de α. Es decir, si el camino
cerrado α empieza en α(0) = (1, 0) y considerando α(s) cuando s crece, cada vez
que damos vuelta a la circunferencia en la direccion contraria a las agujas del reloj
nos anotamos un tanto positivo, cuando α(1) = e−1(1, 0), para 0, 2π, 4π, 6π, . . . y
cada vez que damos una vuelta en la direccion de las agujas del reloj nos anotamos
un tanto negativo, cuando α(1) = e−1(1, 0), para −2π,−4π,−6π, . . .
TEOREMA 1.12.2 (Respecto a la elevacion de homotopıas).
Sean F : [0, 1] × [0, 1] → S1 una aplicacion continua,
t0 ∈ R,
e : R → S1 definida por:
t 7→ e(t) = (cos 2πt, sen 2πt)
tal que:
e(t0) = F (0, 0)
Puesto que F : [0, 1] × [0, 1] → S1 es una aplicacion continua, entonces F tiene
una unica elevacion F : [0, 1] × [0, 1] → R, tal que:
F (0, 0) = t0 y e ◦ F = F
66
Demostracion.
Para cada x ∈ S1, tomemos Vx un abierto de x tal que:
e−1(Vx) =⋃
i∈I⊆N
Ui
donde:
Uia⊂R y
⋂
i∈J⊆N
Ui = ∅
Ademas:
e|Ui: Ui → Vx
es un homeomorfismo.
Se observa que S1 ⊂ ⋃x∈S1
Vx y como e|Ui: Ui → Vx es un homeomorfismo y
{Vx / x ∈ S1} un recubrimiento abierto de S1, entonces la familia dada por
(I × I)x ={F−1 (Vx) / x ∈ S1
}
={〈xi, yi〉 ×
⟨x ′j, y
′j
⟩∪ [0, 1] × [0, 1] ; i, j ∈ N
}
es un recubrimiento abierto de [0, 1] × [0, 1].
Como [0, 1] es compacto, entonces [0, 1] × [0, 1] es compacto, luego existe un
subrecubrimiento abierto finito de [0, 1] × [0, 1], el cual es de la forma :
[0, s1+ ∈1 〉 × [0, t1+ ∈1 〉 , 〈s2− ∈2, s2+ ∈2〉 × 〈t2− ∈2, t2+ ∈2〉 , · · · ,〈sn− ∈n, 1] × 〈tm− ∈m, 1]
Considerando que:
si+1 − εi+1 < si + εi , para i = 0, 1, 2, . . . , n− 1
tj+1 − εj+1 < tj + εj , para j = 0, 1, 2, . . . ,m− 1
Ahora elijamos:
ai ∈ < si+1 − εi+1, si + εi > , para i = 0, 1, 2, . . . , n− 1
bj ∈ < ti+1 − εj+1, tj + εj > , para j = 0, 1, 2, . . . ,m− 1
De manera que:
0 = a0 < a1 < a2 < . . . < an = 1
0 = b0 < b1 < b2 < . . . < bm = 1
Para que cada rectangulo:
Ri,j = {(s, t) ∈ [0, 1] × [0, 1] ; 0 ≤ s ≤ ai+1 , 0 ≤ t ≤ bj+1} ⊆ [0, 1] × [0, 1]
67
sea mapeado por F en un abierto de S1; es decir que F (Ri,j) ⊆ S1, entonces
existe Ska⊂S1 tal que F (Ri,j) ⊂ Sk, de donde se tiene que:
e−1 (Sk) =⋃
i∈J⊆N
Ui ; con Uia⊂R y
⋂
i∈J⊆N
Ui = ∅
ademas:
e|Ui: Ui → Sk
es un homeomorfismo.
Como nuestro objetivo es construir una unica elevacion:
F : [0, 1] × [0, 1] → R
tal que F (0, 0) = t0, t0 ∈ R.
Entonces, definamos la elevacion F vıa induccion sobre los rectangulos:
R0,0 , R1,0 , R2,0 , · · · , Rn−1,0
R0,1 , R1,1 , R2,1 , · · · , Rn−1,1
...
R0,m−1 , R1,m−1 , R2,m−1 , · · · , Rn−1,m−1
Es decir:
sea:
Fi,j : [0, ai+1] × [0, bj+1] → R
(s, t) 7→ Fi,j(s, t)
Supongamos que se cumpla las condiciones de F en cada uno de los rectangulos
mencionados.
En general demostraremos para el caso cuando i = h, j = k, con h 6= k, donde
h = 0, n− 2, k = 0,m− 2.
Tenemos:
Fh,k : [0, ah+1] × [0, bk+1] → R
Para i = h, j = k, h 6= k
Supongamos que se cumpla para este caso, es decir:
Fh,k(0, 0) = t0 y e ◦ Fh,k = Fh,k con Fh,k(0, 0) = e(t0)
Para i = h+ 1, j = k + 1, h 6= k
Ahora probaremos que para i = h+ 1, j = k + 1, h 6= k la aplicacion:
Fh+1,k+1 : [0, ah+1] × [0, bk+1] → R
es una elevacion de Fh+1,k+1.
68
Figura 1.39:
1=bm
...
bk...
0=b00=a0 . . . ah
. . . an=1
Fh,k
Fh,k
e
S1
t0 R
(1,0)
Sabemos que F (Rh,k) ⊂ Sq, ademas:
e−1(Sq) =⋃
i∈I⊆N
Ui
donde:
e|Ui: Ui → Sq
es un homeomorfismo para cada i ∈ I ⊆ N.
Como e ◦ Fh,k = Fh,k, entonces se tiene que:
e(Fh,k(ah, bk)) = Fh,k(ah, bk) ∈ Sq
luego:
Fh,k(ah, bk) ∈ e−1(Sq) =⋃
i∈I⊆N
Ui
puesto que la union es disjunta, entonces existe un unico elemento U ∈ ⋃i∈I⊆N
Ui,tal que:
Fh,k(ah, bk) ∈ U
Graficamente tenemos (figura 1.40):
Por otra parte, cualquier extension Fh+1,k+1 de Fh+1,k+1 debe aplicar R =
[ah, ah+1] × [bk, bk+1] en U ya que se quiere tener una unica elevacion tal que:
e ◦ Fh+1,k+1 = Fh+1,k+1
Puesto que e es un homeomorfismo, entonces los Fh,k tambien son homeomorfis-
mos, se tiene que e ◦ Fh+1,k+1 es un homeomorfismo, por tanto se tiene que:
e ◦ Fh+1,k+1(R) = Fh+1,k+1(R) ⊆ Sq
69
R
Figura 1.40:
1 = bm...
bk+1
u
bk
...
0 = b0
0 = a0 . . . ah+1ah . . .. . .an = 1
F
Fh,k(ah, bk)
ee−1
S1
R
F (R)
Sq
como:
e ◦ Fh+1,k+1(R) ⊆ Sq
entonces:
Fh+1,k+1(R) ⊆ e−1(Sq) =⋃
i∈I⊆N
Ui
Puesto que Fh+1,k+1 es una extension de Fh,k, entonces se tiene que:
Fh+1,k+1(ah, bk) = Fh,k(ah, bk) ∈ U
cualquier extension Fh+1,k+1 debe aplicar R en U y como R es arco-conexo, en-
tonces Fh+1,k+1(R) es tambien arco-conexo y mas aun, esta contenido en U , es
decir:
Fh+1,k+1(R) ⊆ U
Por otro lado, la restriccion e|U : U → Sq es un homeomorfismo, entonces existe
una unica aplicacion:
(e|U)−1 : Sq → U
el cual es un homeomorfismo, ademas F |R es continua, entonces consideremos el
siguiente diagrama:
70
Figura 1.41:
R Sq µF |R (e|µ)−1
(e|µ)−1 ◦ F |R
tomemos ρ = (e|U)−1 ◦ F |R que es continua y unica tal que:
e ◦ ρ = F |R
en virtud de esto podemos definir Fh+1,k+1, es decir:
Fh+1,k+1 : [0, ah+1] × [0, bk+1] → R
tal que:
Fh+1,k+1(s, t) =
Fh,k(s, t) , 0 ≤ s ≤ ah ∧ 0 ≤ t ≤ bk
ρ(s, t) , ah ≤ s ≤ ah+1 ∧ bk ≤ t ≤ bk+1
(·) Veamos si Fh+1,k+1 es continua.
En efecto:
tenemos:
Fh,k(ah, bk) = Fh+1,k+1(ah, bk)
= F |R(ah, bk); pues Fh+1,k+1 es extension de Fh,k
=((e|U)−1 ◦ (e|U)
)◦(F∣∣∣R
)(ah, bk)
= (e|U)−1 ◦ (e|U ◦ F |R)(ah, bk)
= (e|U)−1 ◦ (F |R)(ah, bk)
Fh,k(ah, bk) = ρ(ah, bk)
Por tanto se tiene que Fh+1,k+1 es continua.
(··) Veamos si se cumple que:
Fh+1,k+1(0, 0) = t0 y e ◦ Fh+1,k+1 = Fh+1,k+1
con Fh+1,k+1(0, 0) = e(t0).
En efecto:
Fh+1,k+1(0, 0) = Fh,k(0, 0) = t0 y e ◦ Fh+1,k+1 = Fh+1,k+1
71
Entonces:
e ◦ Fh+1,k+1(s, t) =
e ◦ Fh,k(s, t) = Fh,k(s, t) , 0 ≤ s ≤ ah ∧ 0 ≤ t ≤ bk
e ◦ ρ(s, t) = F |R(s, t) , ah ≤ s ≤ ah+1 ∧ bk ≤ t ≤ bk+1
=
Fh,k(s, t) , 0 ≤ s ≤ ah ∧ 0 ≤ t ≤ bk
F |R(s, t) , ah ≤ s ≤ ah+1 ∧ bk ≤ t ≤ bk+1
e ◦ Fh+1,k+1(s, t) = Fh+1,k+1(s, t)
con Fh+1,k+1(0, 0) = e(t0).
Por tanto Fh+1,k+1 es una elevacion para todo h, k, h 6= k.
TEOREMA 1.12.3 (Teorema de monodromıa para e : R → S1).
Supongamos que α0 y α1 son caminos homotopicos de S1 con punto basico (1, 0).
Si α0 y α1 son elevaciones de α0 y α1 respectivamente tales que α0(0) = α1(0),
entonces α0(1) = α1(1)
Demostracion.
Como α0 ≈ α1, entonces existe una aplicacion continua
F : [0, 1] × [0, 1] → S1
la cual cumple las condiciones de homotopıa. Es decir:
a) F (s, 0) = α0(s), ∀s ∈ [0, 1]
F (s, 1) = α1(s), ∀s ∈ [0, 1]
b) F (0, t) = α0(0) = α1(0) = (1, 0) = α0(1) = α1(1) = F (1, t), ∀t ∈ [0, 1]
Luego por el teorema 1.12.2, F tiene una unica elevacion:
F : [0, 1] × [0, 1] → R
tal que F (0, 0) = α0(0) = α1(0) = 0 y e ◦ F = F
Pues sabemos que α0 y α1 son elevaciones de α0 y α1 respectivamente, es decir:
i) e(0) = α0(0) = (1, 0), α0(0) = 0 y e ◦ α0 = α0
ii) e(0) = α1(0) = (1, 0), α1(0) = 0 y e ◦ α1 = α1
Graficamente tenemos (figura 1.42):
72
(0,0) (1,0)
(1,1)(0,1)
Figura 1.42:
0 1
α0
α1
α0
α1
e
0
R
(1, 0)
F
F
S1
I × I
Tenemos que F es una elevacion de homotopıa, entonces
F (s, 0) = α0(s), ∀s ∈ [0, 1]
F (s, 1) = α1(s), ∀s ∈ [0, 1]
Ademas se tiene que F (0, t) y F (1, t) son valores enteros ∀t ∈ [0, 1], es decir:
F (1, t) es un camino de α0(1) a α1(1) ya que F (1, t) = α0(1) = α1(1).
Como:
F (0, 0) = 0 , F (0, t) = 0 ,∀t ∈ [0, 1]
Definamos:
α0 : [0, 1] → R
s 7→ α0(s) = F (s, 0)
α1 : [0, 1] → R
s 7→ α1(s) = F (s, 1)
Entonces:
α0(0) = 0 y e ◦ α0 = α0
por tanto:
gradα0 = α0(1) = F (1, 0)
Analogamente se tiene para α1; es decir:
α1(0) = 0 y e ◦ α1 = α1
73
por tanto:
gradα1 = α1(1) = F (1, 1)
Como: F (1, t) ∈ e−1(α0(1)) ∼= Z, ∀t ∈ [0, 1]
Entonces:
F (1, 0) = F (1, 1)
α0(1) = α1(1)
Por tanto:
α0(1) = α1(1)
gradα0 = gradα1
1.13. El Grupo Fundamental de la Circunferen-
cia
El objetivo central de esta seccion, es demostrar que el grupo fundamental de
la circunferencia π(S1, (1, 0)) es isomorfo al conjunto de los enteros Z. Para esto
es necesario conocer como son los elementos de π(S1, (1, 0)).
Sabemos que:
e : R → S1 una aplicacion definida por:
t 7→ e(t) = (cos 2πt, sen 2πt)
α : [0, 1] → S1 un camino cerrado con punto basico (1, 0) ∈ S1
es decir α(0) = α(1) = (1, 0)
α : [0, 1] → R una unica elevacion del camino cerrado α
tal que α(0) = 0 y e ◦ α = α
Ademas tenemos que:
e−1 : S1 → R definida por:
(x, y) 7→ e−1(x, y) = 12πarctan( y
x) = t
Luego:
Si t = 0 ∈ Z+0
74
tenemos:
arctan(y
x) = 0
⇒:y
x= tan 0 = 00 = (1, 0)
⇒: α habra dado 0−vueltas a S1
Si t = 1 ∈ Z+
tenemos:
arctan(y
x) = 2π = 1 − vuelta
⇒:y
x= tan(2π) = 00 = (1, 0)
⇒: α habra dado 1−vuelta a S1 en sentido antihorario
Si t = 2 ∈ Z+
tenemos:
arctan(y
x) = 4π = 2 − vueltas
⇒:y
x= tan(4π) = 00 = (1, 0)
⇒: α habra dado 2−vueltas a S1 en sentido antihorario
...
Si t = m ∈ Z+
tenemos:
arctan(y
x) = 2mπ = m− vueltas
⇒:y
x= tan(2mπ) = 00 = (1, 0)
⇒: α habra dado m−vueltas a S1 en sentido antihorario
Si t = −1 ∈ Z−
tenemos:
arctan(y
x) = −2π = 1 − vuelta
⇒:y
x= tan(−2π) = 00 = (1, 0)
⇒: α habra dado 1−vuelta a S1 en sentido horario
Si t = −2 ∈ Z−
tenemos:
arctan(y
x) = −4π = 2 − vueltas
⇒:y
x= tan(−4π) = 00 = (1, 0)
⇒: α habra dado 2-vueltas a S1 en sentido horario
75
...
Si t = −m ∈ Z−
tenemos:
arctan(y
x) = −2mπ = m− vueltas
⇒:y
x= tan(−2mπ) = 00 = (1, 0)
⇒: α habra dado m−vueltas a S1 en sentido horario
por tanto el camino cerrado α da una infinidad de vueltas sobre S1 tanto en
sentido horario como antihorario.
Observese que, arctan( yx) describe el numero de vueltas del camino cerrado α.
Entonces, de e ◦ α = α se tiene que:
e ◦ α(1) = α(1)
⇒: e−1(e ◦ α(1)) = e−1(α(1))
⇒: α(1) = e−1(1, 0) =1
2πarctan(
0
1)
donde:
α(1) representa al numero de vueltas del camino cerrado α sobre S1 y e−1(1, 0) ∈Z.
Entonces, de aquı se tiene dos resultados:
i) α = e−1(1, 0) ∼= Z
ii) α(1) ∈ Z se llama grado de α. Es decir grad(α) = α(1)
De igual manera, si tomaramos otro camino cerrado β : [0, 1] → S1 tal que
β(0) = β(1) = (1, 0) ∈ S1; entonces β cumple lo mismo que el camino cerrado α.
En base a estos caminos construyamos la aplicacion siguiente:
H : [0, 1] × [0, 1] → S1 , definida por:
(s, t) 7→ H(s, t) = (1−t)α(s)+tβ(s)|(1−t)α(s)+tβ(s)|
Entonces H ası definida es continua.
Veamos si H cumple las condiciones de homotopıa:
a) H(s, 0) = α(s)|α(s)| = α(s) , ∀s ∈ [0, 1] , α(s) ∈ S1 ⇒ |α(s)| = 1
H(s, 1) = β(s)|β(s)| = α(s) , ∀s ∈ [0, 1] , β(s) ∈ S1 ⇒ |β(s)| = 1
b) H(0, t) = (1, 0) = H(1, t) , ∀t ∈ [0, 1]
76
Por tanto H cumple las condiciones de homotopıa y por el teorema 1.12.3 se
tiene que α ≈ β si grad(α) = grad(β).
Por tanto se tiene un conjunto infinito de subconjuntos infinitos no vacıos de
clases de equivalencia (homotopıas) de los caminos cerrados α y β con punto
basico (1, 0) ∈ S1, esto debido a que tanto α como β dan una infinidad de vueltas
sobre S1 y como grad(α) = grad(β) la homotopıa H da una infinidad de vueltas
sobre S1.
Sea [H] = [α] al cual le podemos asignar un entero, es decir el grado de α,
entonces los elementos de π(S1, (1, 0)) son de la forma [m4α].
Por tanto:
π(S1, (1, 0)) = {[m∆α] / m ∈ Z indica el numero de vueltas del camino cerrado
α : [0, 1] → S1 tal que α(0) = α(1) = (1, 0)}
donde
m4α =
α ∧ α ∧ . . . ∧ α︸ ︷︷ ︸m−veces
, si m es positivo
α(0) = ex0 , si m = 0
α−1 ∧ α−1 ∧ . . . ∧ α−1︸ ︷︷ ︸
−m−veces, si m es negativo
Se tiene entonces que π(S1, (1, 0)) es un grupo fundamental.
TEOREMA 1.13.1.
El grupo fundamental de la circunferencia unitaria es isomorfo al grupo aditivo
de los enteros.
Es decir:
π(S1, (1, 0)) ∼= Z
Demostracion.
Consideremos α : [0, 1] → S1 un camino cerrado con punto basico x0 = (1, 0) ∈S1; es decir α(0) = α(1) = (1, 0) y ademas α mapea a la circunferencia unitaria
en una vuelta completa en el sentido antihorario.
0 1 (1,0)
S1
Figura 1.43:
α
α(s)
Si definimos el camino constante
77
ex0 : [0,1] → S1 , por:
s 7→ ex0(s) = x0 = (1, 0)
entonces tenemos que α ≈/ ex0 .
Definamos:
ϕ : π(S1, (1, 0)) → Z
[m M α] 7→ ϕ[m M α] = grad(α) = m
Recordemos que grad(α) = α(1), donde α es la unica elevacion de α tal que
α(0) = 0.
10) Demostremos que la aplicacion ϕ esta bien definida.
En efecto:
Por el teorema 1.12.3, se tiene que:
Como α0 y α1 son caminos homotopicos en S1 con punto basico x0 = (1, 0)
y ademas α0 y α1 son elevaciones tales que α0(0) = α1(0), entonces:
α0(1) = α1(1)
grad(α0) = grad(α1)
ϕ([α0]) = ϕ([α1]), por definicion de ϕ
por tanto ϕ esta bien definida.
20) Demostraremos que ϕ es un isomorfismo de grupos: Es decir, probar que:
(i) ϕ es un homomorfismo
En efecto:
Definamos la aplicacion
la(α) : [0,1] → Z , por
s 7→ la(α)(s) = α(s) + a
donde α es un camino en S1 y la(α)(s) es la elevacion de α con origen
a ∈ e−1(α(0)) ∼= Z.
Si a = 0:
Tenemos:
l0(α)(s) = α(s)
Entonces:
l0(α)(1) = α(1)
Luego:
Consideremos los caminos α, β : [0, 1] → S1 tal que α(1) = β(0);
78
entonces se tiene que:
la(α ∧ β)(s) =
la′(α(2s)) , si 0 ≤ s ≤ 1/2
la′′(β(2s− 1)) , si 1/2 ≤ s ≤ 1
= (la′(α) ∧ la′′(β))(s)
para que la yuxtaposicion de elevaciones sea continua debe ocurrir que:
a′′ = α(1) + a′
Bajo estas condiciones tomemos las clases [α], [β] ∈ π(S1, (1, 0)), donde
α y β son caminos cerrados en S1 tal que α(1) = β(0). Luego:
ϕ([α] ∗ [β]) = ϕ([α ∧ β])
= α ∧ β(1)
= l0(α ∧ β)(1)
= (l0(α) ∧ la′′(β))(1); donde a′′ = α(1)
= la′′(β)(1)
= β(1) + a′′
= a′′ + β(1)
= α(1) + β(1)
= grad(α) + grad(β)
ϕ([α] ∗ [β]) = ϕ([α]) ∗ ϕ([β])
Por tanto ϕ es un homeomorfismo.
ii) ϕ es inyectiva:
En efecto:
Para ello utilicemos el siguiente resultado del algebra lineal:
Sean G y G′ dos grupos y θ una aplicacion:
θ : G→ G′
Entonces se dice que θ es inyectiva si y solamente si Ker(θ) = {e}. Es
decir:
Ker(θ) = {g ∈ G / θ(g) = e′}
Tenemos:
ϕ : π(S1, (1, 0)) → Z
[α] 7→ ϕ[α] = grad(α)
79
Demostraremos que ϕ es inyectiva.
Esto es: ϕ es inyectiva si y solamente si ϕ([α]) = 0, ∀[α] ∈ π(S1, (1, 0)).
En este caso solamente demostraremos, cuando se tiene que:
Si ϕ([α]) = 0, entonces ϕ es inyectiva.
Como ϕ([α]) = 0, es decir que grad(α) = 0, esto significa que la
elevacion α de α satisface la igualdad siguiente:
α(0) = α(1) = 0
Ademas, R es contractil, entonces se tiene que:
α ≈ e0
Es decir que existe una aplicacion:
H : [0, 1] × [0, 1] → R definida por:
(s, t) 7→ H(s, t) = t.e0(s) + (1 − t)α(s)
tal que:
a1) H(s, 0) = α(s), ∀s ∈ [0, 1]
H(s, 1) = e0(s), ∀s ∈ [0, 1]
b1) H(0, t) = 0 = H(1, t), ∀t ∈ [0, 1]
Luego tenemos la composicion de e con H, es decir:
e ◦H : [0, 1] × [0, 1] → S1
(s, t) 7→ e ◦H(s, t)
tal que:
a2) e ◦H(s, 0) = e(H(s, 0)) = e(α(s)) = e ◦ α(s) = α(s), ∀s ∈ [0, 1]
e ◦ H(s, 1) = e(H(s, 1)) = e(e0(s)) = e ◦ e0(s) = ex0(s) = x0 =
(1, 0), ∀s ∈ [0, 1]
b2) e ◦H(0, t) = e(H(0, t)) = e(0) = (1, 0) = e(H(1, t)) = e ◦H(1, t),
∀t ∈ [0, 1]
Por tanto se tiene que α ≈ ex0 ; es decir que [α] es el elemento identidad
de π(S1, (1, 0)); lo que demuestra la inyectividad de ϕ.
Graficamente tenemos (ver figura 1.44):
iii) ϕ es exhaustiva.
Es decir ∀n ∈ Z, ∃[α] ∈ π(S1, (1, 0)) tal que n = ϕ([α])
En efecto:
Dado n ∈ Z, consideremos la aplicacion:
80
(0,0) (1,0)
(1,1)(0,1)
Figura 1.44:
0 1
ex0
α
e0
α
e
0
R
(1,0)
e◦H
H
S1
I×I
g : [0, 1] → R definida por:
s 7→ g(s) = n.s , ∀n ∈ Z
como:
e : R → S1
s 7→ e(s) = (cos 2πs, sen 2πs)
entonces:
e ◦ g : [0, 1] → S1
es un camino cerrado con punto basico x0 = (1, 0).
Graficamente tenemos:
0 1
0
e
g
e gº
S1
(1,0)
Figura 1.45:
R
Como g es la elevacion del camino cerrado e ◦ g tal que g(0) = 0
81
Se tiene que:
ϕ([e ◦ g]) = grad(e ◦ g)= g(1), donde s = 1
Luego por la definicion de g se tiene :
ϕ([e ◦ g]) = n
Por tanto ϕ es exhaustiva
Por tanto se tiene que ϕ es un isomorfismo
Es decir:
π(S1, (1, 0)) ∼= Z
1.14. Espacios Recubridores
DEFINICION 1.14.1.
Sean X, X espacios topologicos, p : X → X una aplicacion continua exhaustiva.
Una⊂ X, ∀n ∈ Z, tal que Ui ∩ Uj = ∅; ∀i 6= j i, j ∈ Z. Se dice que “p”es una
aplicacion recubridora si y solamente si ∀x ∈ X que esta contenida en un abierto
Va⊂X, se cumple
p−1 (V ) =⋃
n∈Z
Un
Donde cada Un, ∀n ∈ Z cubre homeomorficamente sobre V mediante la aplicacion
“p”.
1
n
n
p V U
x
V Xp
nUp
1p
nU
Figura 1.46:
X
82
Ejemplo 1.14.1.
La aplicacion
p : R → S1 definida por:
t 7→ p(t) = e2πit
Veamos si p definida de esta forma es una aplicacion recubridora.
Demostracion.
Tomemos los abiertos:
U0 = 〈0, 0 + 3/4〉 = 〈0, 3/4〉 a⊂R
V0
a⊂S1, es el arco que empieza su recorrido en el punto (1, 0) ∈ S1 y se extiende
en sentido antihorario hasta el punto (0,−1) ∈ S1, al cual lo denotaremos por:
V0 =
+
〈(1, 0) , (0,−1)〉 a⊂S1
Entonces la aplicacion:
p|U0 : 〈0, 34〉 → V0
a⊂S1 definida por:
t 7→ p|U0(t) = e2πit
es un homeomorfismo.
Graficamente tenemos:
(0,−1)
(1,0)
S 1
Vº
0 3/4
U
Uº
º
p|
Figura 1.47:
R
Se observa que P |U0 mapea exactamente U0 sobre V0.
Ademas se tiene que:
(i) P |U0 es continua
(ii) P |U0 es biyectiva
83
(iii) (P |U0)−1(V0) = U0, entonces (P |U0)
−1 es sobreyectiva, por tanto (P |U0)−1 es
continua.
Luego, consideremos otro abierto U−1
a⊂R, el cual es de la forma siguiente:
U−1 = 〈−1,−1 + 3/4〉 = 〈−1,−1/4〉 a⊂R
tenemos que:
p|U−1: 〈−1,−1/4〉 → V0
a⊂S1
es un homeomorfismo que mapea exactamente a U−1 sobre V0.
Graficamente tenemos:
−1 −1/4 0 3/4
(0,−1)
(1,0)
S 1
Vo
Figura 1.48:
U−1 U0
p|U0
p|U−1
Donde p|U−1 cumple las condiciones (i), (ii), (iii) que se dio para p|U0 .
Observe que:
U0 ∩ U−1 = ∅
Entonces existen infinitos abiertos Una⊂R los cuales son de la forma:
Un = 〈n, n+ 3/4〉 ∀n ∈ Z
donde:
Ui ∩ Uj = ∅ ,∀i 6= j , i, j ∈ Z
De tal manera que:
p|Un: Un
a⊂R → V0
a⊂S1
es un homeomorfismo, ∀n ∈ Z.
Por tanto se tiene que:
(p|Un
)(⋃
n∈Z
Un
)= V0
a⊂S1 y (∗)
(p|Un
)−1(V0) =
⋃
n∈Z
Un ; Una⊂R , ∀n ∈ Z
84
Tomando el abierto:
V ′0 =
+
〈(−1, 0) , (0, 1)〉 a⊂S1
V ′0 es el arco que empieza su recorrido en el punto (−1, 0) y se extiende en sentido
antihorario hasta el punto (0, 1).
Para este abierto V ′0 existe una familia infinita de abiertos en R, los cuales
son de la forma:
U ′n = 〈n− 1/2, n+ 1/4〉 a⊂R , ∀n ∈ Z
donde:
U ′i ∩ U ′
j = ∅ , ∀i 6= j , i, j ∈ Z
tal que:
p|U ′
n: 〈n− 1/2, n+ 1/4〉 → V0
′ a⊂S1
es un homeomorfismo que cumple la condicion (∗).Por otro lado se observa que:
Un ∩ U ′n 6= ∅ , ∀n ∈ Z
por tanto: (⋃
n∈Z
Un
)∪(⋃
n∈Z
U ′n
)= R
Ademas se tiene que:
V0 ∩ V ′0 6= ∅
entonces:
V0 ∪ V ′0 = S1
por tanto:(p|Un
)−1(V0) ∪
(p|U ′
n
)−1
(V ′0) = R
de donde se obtiene que p es una aplicacion recubridora de S1 y se dice que R
asociado a p es un espacio recubridor de S1 ⊂ R2, y se denota por (R, p).
OBSERVACION 1.14.1.
Generalizando en espacios recubridores los teoremas estudiados para obtener el
Grupo Fundamental de la circunferencia, se obtiene lo siguiente:
DEFINICION 1.14.2.
Sean p : X → X, una aplicacion recubridora, f : Y → X, una aplicacion
continua.
Entonces, una elevacion de f , es una aplicacion continua f : Y → X tal que
p ◦ f = f .
85
Graficamente tenemos:
p
f
Y
X
Figura 1.49:
fX
Lema 1.14.1.
Sean p : X → X una aplicacion recubridora, f : Y → X una aplicacion continua,
f , f : Y → X dos elevaciones de f .
Si Y es conexo y f(y0) = f(y0) para algun y0 ∈ Y , entonces f = f
Por esta vez no nos vamos a ocupar de la demostracion del lema enunciado ya
que la justificacion de dicha demostracion se encuentra en el libro de Topologıa
Algebraica, pagina 156, cuyo autor es Czes Kosniowski, el cual esta enunciado
como el lema 17.4.
Mas bien nos ocuparemos de un corolario que se desliga del lema 1.14.1, el
cual va a hacer de bastante utilidad en la parte central de nuestro trabajo.
Corolario 1.14.1.
Sean X un espacio arcoconexo, p : X → X, una aplicacion recubridora, ϕ : X →X una aplicacion continua tal que p ◦ ϕ = p.
Si ϕ(x1) = x1 para algun x1 ∈ X, entonces ϕ(x) = x ; ∀x ∈ X (es decir, ϕ es la
aplicacion identidad).
Demostracion.
Tenemos p : X → X una aplicacion recubridora, ϕ : X → X, aplicacion continua.
Sea x ∈ X un punto arbitrario.
Por ser X arco-conexo, existe un camino
α : [0, 1] → X
tal que:
α(0) = x1
α(1) = x
86
Ademas como ϕ(x1) = x1, se tiene que:
(ϕ ◦ α)(0) = ϕ(α(0))
= ϕ(x1)
(ϕ ◦ α)(0) = x1
entonces, tanto el camino α y el camino ϕ ◦ α tienen el mismo origen; es decir:
α(0) = (ϕ ◦ α)(0) = x1
y se cumple:
p = p ◦ ϕ
Entonces:
p ◦ α = p ◦ ϕ ◦ α
En virtud de esto afirmamos que α y ϕ ◦ α son elevaciones del camino p ◦ α :
[0, 1] → X.
Graficamente tenemos:
10
Figura 1.50:
α
p ◦ ϕ = pp
x=α(1)
x1=α(0)
Xϕ
x=ϕ◦α(1)
x1=ϕ◦α(0)
X
ϕ ◦ α
X
p ◦ α
Como:
(ϕ ◦ α)(0) = x1 ∈ X , y
p ◦ (ϕ ◦ α) = p ◦ α
87
Entonces, ϕ ◦ α es una elevacion de p ◦ α.
Por otro lado:
α(0) = x1 ∈ X , y
p ◦ α = p ◦ α
Entonces, α es una elevacion de p ◦ α.
Luego por el lema 1.14.1, se tiene que
α = ϕ ◦ α
En particular, los puntos finales de α y ϕ ◦ α coinciden, es decir:
α(1) = (α ◦ α)(1)
= ϕ(α(1))
= ϕ(x)
= x
por tanto se tiene que:
ϕ(x) = x , ∀x ∈ X
1.14.1. Elevacion de Homotopıas de Caminos en Espacios
Recubridores
Se fundamenta mediante el siguiente:
TEOREMA 1.14.1.1.
Sea p : X → X una aplicacion recubridora.
i) Dados α : [0, 1] → X un camino. Si x0 ∈ X, p(x0) = α(0).
Entonces, existe un unico camino:
α : [0, 1] → X
tal que:
p ◦ α = α y α(0) = x0
ii) Dados F : [0, 1] × [0, 1] → X, una aplicacion continua.
x0 ∈ X.
Si p(x0) = F (0, 0).
Entonces existe una unica aplicacion continua:
F : [0, 1] × [0, 1] → X
88
tal que:
p ◦ F = F , F (0, 0) = x0
Demostracion.
La demostracion de dicho teorema:
Con respecto a la parte (i) es identico a la demostracion del teorema 1.12.1.
Y con respecto a la parte (ii) es identico a la demostracion del teorema 1.12.2.
Interpretamos graficamente este teorema:1.51):
0 1
F
p
(0,0) (1,0)
(1,1)(0,1)
Figura 1.51:
α
α
α(0)=p(x0)=F (0,0)
α(0)=x0=F (0,0)
X
F
I × I
X
TEOREMA 1.14.1.2.
Supongamos que α0 y α1 son caminos homotopicos de X.
Si α0 y α1 son elevaciones de α0 y α1 respectivamente, tales que:
α0(0) = α1(0), entonces α0(1) = α1(1).
Demostracion.
La demostracion de este teorema es identico a la demostracion del teorema 1.12.3.
Interpretamos graficamente este teorema (ver figura 1.52):
89
0 1
(0,0)(1,0)
(1,1)(0,1)
F
p
Figura 1.52:
α1
α0
X
α0
α1
X
F
I × I
Donde:
p ◦ α0 = α0 , α0(0) = x0 ∈ X y p(x0) = α0(0)
p ◦ α1 = α1 , α1(0) = x0 ∈ X y p(x0) = α1(0)
p ◦ F = F , F (0, 0) = x0 ∈ X y p(x0) = F (0, 0)
Ejemplo 1.14.1.1.
Una transformacion recubridora h del espacio recubridor (X, p) de X es un
homeomorfismo h : X → X tal que p ◦ h = p.
Demostrar que el conjunto de transformaciones recubridoras forman un grupo.
Demostracion.
Tenemos p : X → X una aplicacion recubridora, h : X → X un homeomorfismo
(transformacion recubridora)
tal que:
p ◦ h = p
Denotemos por:
G(X, p,X) = {h : X → X un homeomorfismo / p ◦ h = p}
el conjunto de transformaciones recubridoras del espacio recubridor (X, p) de X.
Dotemos a G(X, p,X) de una estructura de grupo.
En efecto:
Definamos una operacion sobre G(X, p,X) de la forma siguiente:
90
◦ : G(X, p,X) ×G(X, p,X) → G(X, p,X)
(f, g) 7→ ◦(f, g) = f ◦ gverifiquemos las propiedades de grupo:
(i): Cerradura:
Sean f, g ∈ G(X, p,X)pd⇒ f ◦ g ∈ G(X, p,X)
Como f, g ∈ G(X, p,X)
entonces
p ◦ f = p (1)
p ◦ g = p (2)
Luego como f y g son homeomorfismos, entonces f ◦ g es tambien homeo-
morfismo.
Figura 1.53:
X X X
X
f ◦ g
p
p◦f=p
fg
p◦(f◦g)=p
Del grafico (figura 1.53) tenemos:
(p ◦ f) ◦ g = p ◦ g = p (3)
p ◦ (f ◦ g) = p (4)
Entonces de (3) y (4) tenemos:
(p ◦ f) ◦ g = p ◦ (f ◦ g) (5)
Como:
p ◦ f = p de (1)
⇒: (p ◦ f) ◦ g = p ◦ g⇒: p ◦ (f ◦ g) = p de (2) y (5)
91
por tanto f ◦ g ∈ G(X, p,X).
(ii): Asociativa:
Sean f, g, h ∈ G(X, p,X)pd⇒ (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h)
Como:
f ∈ G(X, p,X), entonces : p ◦ f = p (1’)
g ∈ G(X, p,X), entonces : p ◦ g = p (2’)
h ∈ G(X, p,X), entonces : p ◦ h = p (3’)
se tiene que f, g, h son homeomorfismos, entonces (f ◦ g) ◦ h es homeomor-
fismo y f ◦ (g ◦ h) tambien es homeomorfismo.
X
h g f
p
Figura 1.54:
X X X X
g◦h f◦g
(f◦g)◦h
f◦(g◦h)
p◦f=p
(p◦f)◦g
p ◦ [f ◦ (g ◦ h)]
Del grafico (figura 1.54) tenemos
(p ◦ f) ◦ g = p = p ◦ (f ◦ g) (4’)
p ◦ [(f ◦ g) ◦ h] = p = [(p ◦ f) ◦ g] ◦ h (5’)
p ◦ [f ◦ (g ◦ h)] = p = [(p ◦ (f ◦ g)] ◦ h (6’)
Tenemos
92
p ◦ f = p de (1’)
⇒ : (p ◦ f) ◦ g = p ◦ g por (2’) y (4’)
⇒ : p ◦ (f ◦ g) = p
⇒ : [p ◦ (f ◦ g)] ◦ h = p ◦ h por (3’) y (5’)
⇒ : p ◦ [(f ◦ g) ◦ h] = p por (6’) (7’)
Ademas:
p ◦ f = p de (1’)
⇒ : (p ◦ f) ◦ g = p ◦ g por (2’) y (4’)
⇒ : (p ◦ f) ◦ g = p
⇒ : [(p ◦ f) ◦ g] ◦ h = p ◦ h por (3’) y (5’)
⇒ : (p ◦ f) ◦ (g ◦ h) = p
⇒ : p ◦ [f ◦ (g ◦ h)] = p por (6’) (8’)
Luego de (7’) y (8’) se tiene que:
p ◦ [(f ◦ g) ◦ h] = p ◦ [p ◦ (g ◦ h)] = p
por tanto (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) ∈ G(X, p,X).
(iii): Elemento neutro.
∀ f ∈ G(X, p,X) ∃ ! e ∈ G(X, p,X) / f ◦ e = e ◦ f = f
En efecto:
Tenemos:
f ◦ e = f
como f es homeomorfismo, entonces existe f−1.
Luego:
f−1 ◦ (f ◦ e) = f−1 ◦ f(f−1 ◦ f) ◦ e = id
(id ◦ e) = id
e = id
93
por tanto:
∀ f ∈ G(X, p,X) ∃ ! e = id ∈ G(X, p,X) / f ◦ id = id ◦ f = f .
(iv:) Elemento inverso.
Para cada f ∈ G(X, p,X) , ∃ ! g ∈ G(X, p,X) / f ◦ g = g ◦ f = e.
En efecto:
Tenemos:
f ◦ g = e
como f es homeomorfismo, entonces existe f−1.
Luego:
f−1 ◦ (f ◦ g) = f−1 ◦ e(f−1 ◦ f) ◦ g = f−1 ◦ e , como e = id
⇒: id ◦ g = f−1 ◦ id⇒: g = f−1
por tanto: para cada f ∈ G(X, p,X) , ∃ ! g = f−1 ∈ G(X, p,X) / f ◦f−1 =
f−1 ◦ f = e.
Luego de (i), (ii), (iii), (iv) se tiene que G(X, p,X) asociado a la operacion compo-
sicion “◦”es un grupo, es decir que (G(X, p,X), ◦) es el grupo de transformaciones
recubridoras del espacio recubridor (X, p) de X.
1.15. Relacion de Grupos Fundamentales en Es-
pacios Recubridores
Esta seccion esta dedicada al estudio de la relacion existente entre los gru-
pos fundamentales π(X, x0) y π(X, x0), donde p : X → X es una aplicacion
recubridora y p(x0) = x0.
Observe que p−1(x0) es un conjunto de puntos para x0 ∈ X. Para esto daremos
las siguientes definiciones:
DEFINICION 1.15.1.
- Si (G, ∗) es un grupo y sean a, a′ ∈ G, entonces se dice que a y a′ son
elementos conjugados en G si y solamente si existe b ∈ G tal que:
a = b ∗ a′ ∗ b−1
94
- Si H es un subgrupo de G, entonces el subgrupo:
b ∗H ∗ b−1 = {b ∗ a′ ∗ b−1}
es llamado subgrupo conjugado de H.
- Una clase de conjugacion de H en G es el conjunto de todos los subgrupos
b ∗H ∗ b−1 conjugados de H, obtenidos cuando se hace variar b en G.
- El subgrupo H es un subgrupo normal y lo denotamos por N(H), el cual es
representado por:
N(H) = {b ∈ G / b ∗H ∗ b−1 = H}
Del teorema 1.14.1.1, tenemos el siguiente resultado fundamental:
TEOREMA 1.15.1.
Sean (X, p) un espacio recubridor de X, x0 ∈ X, x0 ∈ X con p(x0) = x
Entonces el homomorfismo inducido:
p# : π(X, x0) → π(X, x0) definido por:
[α] 7→ p#([α]) = [p ◦ α] = [α]
es un monomorfismo.
Figura 1.55:
α
p◦α=α p# p
x0
[α]
π(X, x0)
X
x0
[α]π(X, x0)X
0 1
95
Demostracion.
Veamos si p# es inyectivo, es decir:
Sean [α] , [α] ∈ π(X, x0)pd⇒ si p#([α]) = p#([α]) ⇒ [α] = [α]
En efecto:
Como:
p#([α]) = p#([α])
entonces:
p ◦ α = p ◦ α
Como p es una aplicacion recubridora, entonces p es un homeomorfismo, por tanto
existe p−1 y es continua.
Luego:
⇒ : p−1 ◦ (p ◦ α) ≈ p−1 ◦ (p ◦ α)
⇒ : (p−1 ◦ p) ◦ α ≈ (p−1 ◦ p) ◦ α⇒ : α ≈ α
⇒ : [α] = [α]
por tanto p# es un monomorfismo.
TEOREMA 1.15.2.
Sean p : X → X una aplicacion recubridora, X un espacio arco-conexo. Si
x0 ∈ X, entonces la coleccion {p#(π(X, x0)) / x0 ∈ p−1(x0)} es una clase de
conjugacion en π(X, x0).
Demostracion.
Tenemos
p : X → X aplicacion recubridora
p# : π(X, x0) → π(X, x0)
usaremos la notacion H(x0) para representar la imagen del homomorfismo indu-
cido p#, es decir:
H(x0) = p#(π(X, x0)) ⊂ π(X, x0)
Como X es arco-conexo, entonces existe un camino g en X de x0 en x1. El
camino g determina un isomorfismo:
96
g∗ : π(X, x0) → π(X, x1) definido por:
[α] → g∗([α]) = [g−1 ∧ α ∧ g]
por tanto se tiene que
g∗(π(X, x0)) = π(X, x1) (1)
veamos esto graficamente:
Figura 1.56:
α
g
p ◦ g = g
p p# ◦ g∗p#
π(X, x0)
x0
g X
x0
x1g
g−1
α
g−1 ∧ α ∧ g
π(X,x0) π(X,x1)
g∗
X
0 1
Observese que p ◦ g = g es un camino cerrado en X, con punto basico x0.
Luego aplicando el homomorfismo p# en (1) se tiene:
p# ◦ g∗(π(X, x0)) = p#(π(X, x1)) ⊂ π(X, x0)
observese, ademas que si p(x0) = p(x1) = x0 ∈ X, [g] ∈ π(X, x0) y sea β =
g−1 ∧ α ∧ g, entonces [β] = [g−1 ∧ α ∧ g] ∈ π(X, x1) y [α] ∈ π(X, x0).
97
Entonces:
p#([β]) = [p ◦ β]
= [p ◦ (g−1 ∧ α ∧ g)]= [(p ◦ g−1) ∧ (p ◦ α) ∧ (p ◦ g)]= [p ◦ g−1] ∗ [p ◦ α] ∗ [p ◦ g]
p#([β]) = [g−1] ∗ [α] ∗ [g]
por tanto se dice que:
p#(π(X, x1)) = [g−1] ∗ [p#(π(X, x0))] ∗ [g]
es decir que los subgrupos [p#(π(X, x0))] = H(x0) y [p#(π(X, x1))] = H(x1)
son subgrupos conjugados de π(X, x0). Luego supongamos ahora que H es un
subgrupo de π(X, x0) conjugado de uno de los subgrupos p#(π(X, x0)), entonces
H es de la forma:
H = [g−1] ∗ [p#(π(X, x0))] ∗ [g]
para algun [g] ∈ π(X, x0), donde g : [0, 1] → X es un camino cerrado con punto
basico x0 ∈ X.
Por el teorema de elevacion de caminos (teorema 1.14.1.1(i)) se tiene:
g : [0, 1] → X es la elevacion de g con origen en x0 ∈ X. Sea x1 = g(1) el extremo
de g, entonces se tiene que:
p#(π(X, g(1))) = p#(π(X, x1)) = [g−1] ∗ [p#(π(X, x0))] ∗ [g] = H
entonces H = H(x1) = p#(π(X, x1)).
Por tanto H pertenece a la coleccion {p#(π(X, x0)) / x0 ∈ p−1(x0)}.
1.16. Relacion entre el grupo G y el Grupo Fun-
damental de un espacio de orbitas
Primeramente observese que si: X es un espacio arco-conexo. G es un grupo.
Entonces:
- Se dice que G actua (u opera) sobre X y que X es un G−espacio, si existe
una aplicacion:
A : G×X → X
(g, x) 7→ A(g, x) = g.x
98
tal que:
(i): Si g = e (elemento identidad de G) se tiene que: ∀x ∈ X, g = e ∈ G,
entonces A(g, x) = g.x = x = e.x = A(e, x).
(ii): ∀x ∈ X, ∀ g, h ∈ G, se tiene que g.(h.x) = (g.h).x.
- Si G es normal a X y actua sobre X, podemos definir una relacion de
equivalencia ∼ en X mediante:
x ∼ y ⇔ ∃ g ∈ G tal que g.x = y , x, y ∈ X
esta relacion de equivalencia “∼” origina el espacio cociente:
X
G= {[x] : x ∈ X}
donde:
[x] = G.x = {g.x = y : g ∈ G , x, y ∈ X}
es decir que los elementos de X/G son clases de equivalencias G.x llamadas
orbitas de x.
- Se dice que la accion A es propiamente discontinua si : ∀x ∈ X, existe una
vecindad Va⊂X tal que V ∩ g.V = ∅, ∀g ∈ G, g 6= e.
Nuestro objetivo de esta seccion es establecer la relacion existente entre el
grupo G y el grupo fundamental del espacio de orbitas X/G.
Para ello consideremos la aplicacion
p : X → X
G
la cual es una aplicacion recubridora. Ver la demostracion en [1]: Teorema 17.1-
pag. 154.
Ademas observese que si x0 ∈ X y y0 = p(x0) ∈ XG
, entonces:
p−1(y0) = {g.x0 : g ∈ G}
pues, p es una aplicacion recubridora.
Luego si [α] ∈ π(XG, y0), entonces existe una unica elevacion: α : [0, 1] → X de
α tal que α(0) = x0 ∈ X, α(1) ∈ p−1(y0); y por tanto existe un unico elemento
gα ∈ G tal que α(1) = gα.x0.
La correspondencia α → gα define una aplicacion:
ϕ : π(XG, y0
)→ G
[α] 7→ ϕ([α]) = gα
Graficamente tenemos:
99
Figura 1.57:
α = p ◦ α
y0
[α]
p p−1
π(X/G,y0)
α(1)=gα.x0
α(0)=x0
p−1(y0)
X
ϕ
X
G
ϕ([α])=gα
α
X/G
TEOREMA 1.16.1.
Sean X un espacio arco-conexo, G un grupo, p : X → XG
una aplicacion re-
cubridora. x0 ∈ X, y0 = p(x0) ∈ XG, entonces p−1(y0) = {g.x0 : g ∈ G}. Si
[α] ∈ π(X/G, y0), entonces existe una unica elevacion α : [0, 1] → X de α tal que
α(0) = x0 ∈ X, α(1) ∈ p−1(y0) y por tanto existe un unico elemento gα ∈ G tal
que α(1) = gα.x0, entonces la aplicacion:
ϕ : π(XG, y0
)→ G definida por:
[α] 7→ ϕ([α]) = gα
es un homomorfismo de grupos.
Demostracion.
Debemos probar que dados [α], [β] ∈ π(X/G, y0) entonces:
ϕ([α] ∗ [β]) = ϕ([α]) ∗ ϕ([β]) (1)
En efecto:
Sean:
α ∈ [α], entonces α es un camino cerrado en X/G con punto basico y0
β ∈ [β], entonces β es un camino cerrado en X/G con punto basico y0
y sean α, β las elevaciones de α y β respectivamente, tales que:
p ◦ α = α y p(α(0)) = α(0) = y0
p ◦ β = β y p(β(0)) = β(0) = y0
Ademas se tiene que:
[α] ∗ [β] = [α ∧ β]
100
Entonces α ∧ β es un camino cerrado en X/G con punto basico y0, es decir
α ∧ β(0) = α ∧ β(1) = y0, de donde se tiene que existe una unica elevacion α ∧ βde α ∧ β tal que:
p ◦ (α ∧ β) = α ∧ β y p(α ∧ β(0)) = (α ∧ β)(0) = y0
donde α ∧ β(0) = x0 ∈ X.
Denotemos:
la(β) = β
Entonces:
α ∧ β = α ∧ β= α ∧ la(β)
donde α(0) = x0 y la(β)(0) = a = α(1).
Observese que α ∧ la(β) es tambien una elevacion de α ∧ β con origen en
x0 ∈ X, es decir (α ∧ la(β))(0) = x0.
Entonces:
p0(α ∧ la(β)) = α ∧ β y p0(α ∧ la(β)(0)) = α ∧ β(0) = y0 (2)
Definamos:
α ∧ la(β) : [0, 1] → X
s 7→ α ∧ la(β)(s) =
α(2s) , si 0 ≤ s ≤ 1/2
la(β)(2s− 1) , si 1/2 ≤ s ≤ 1
donde la(β) es la elevacion de β con origen en a = α(1) = la(β)(0).
Comprobemos las condiciones de (2):
(i):
(p0(α ∧ la(β)))(0) = p(α ∧ la(β))(0)
= p(α(0)) por definicion de yuxtaposicion
= p(x0)
= y0
= α(0)
(p0(α ∧ la(β)))(0) = α ∧ β(0)
101
(ii):
(p0(α ∧ la(β)))(s) = ((p ◦ α) ∧ (p ◦ la(β)))(s)
= (p ◦ α)(s) ∧ (p ◦ la(β))(s)
= α(s) ∧ β(s)
= α ∧ β(s)
(p0(α ∧ la(β)))(s) = (α ∧ β)(s)
Como se sabe que si existe la elevacion, esta es unica, entonces
α ∧ β = α ∧ la(β)
Graficamente tenemos:
Figura 1.58:
0 1α=p◦α
β=p◦β
α∧β=p◦α∧βy0
π(X/G,y0)
[α]
[β]
p
α
β
α∧β
β(1)=la(β)(1)
a=α(1)=la(β)(0)
x0=β(0)=α∧la(β)(0)X
X/G
Sabemos que: α(1) = gα.x0
sea β la unica elevacion de β con origen en x0, es decir β(0) = x0. Entonces se tiene
que gα.β es una elevacion de β con origen en gα.x0, es decir (gα.β)(0) = gα.x0.
Pero, como:
α(1) = a = la(β)(0)
entonces:
a = α(1) = gα.x0 = la(β)(0) = (gα.β)(0)
resulta que:
la(β) = gα.β (3)
102
Entonces:
α ∧ β(1) = (α ∧ la(β))(1)
= la(β)(1) , por definicion de yuxtaposicion
= (gα.β)(1) , por (3)
= gα.β(1) , pero β(1) = gβ.x0
= gα.(gβ.x0)
α ∧ β(1) = (gα.gβ).x0
por tanto se dice que α ∧ β es la elevacion del camino α∧β, el cual tiene su origen
en α ∧ β(0) = x0 y su final en α ∧ β(1) = (gα.gβ).x0.
Observese que [α], [β] ∈ π(X/G, y0), entonces [α] ∗ [β] = [α ∧ β] ∈ π(X/G, y0).
Luego, en (1) se tiene:
ϕ([α] ∗ [β]) = ϕ([α ∧ β])
= gα.gβ , por definicion de ϕ
= ϕ([α]).ϕ([β])
por tanto se dice que ϕ es un homomorfismo.
Lema 1.16.1.
Sean X un espacio arco-conexo, G un grupo, p : X → X/G una aplicacion
recubridora, x0 ∈ X, y0 ∈ X/G, con p(x0) = y0. p#(π(X, x0)) un subgrupo
de π(X/G, y0). ϕ : π(X/G, y0) → G un homomorfismo de grupos. Entonces,
nucleo(ϕ) = p#(π(X, x0)).
Demostracion.
En efecto:
Como nucleo(ϕ) = p#(π(X, x0)), entonces demostraremos que
i). nucleo(ϕ) ⊂ p#(π(X, x0))
ii). p#(π(X, x0)) ⊂ nucleo(ϕ)
Veamos entonces:
(i) nucleo(ϕ) ⊂ p#(π(X, x0))
Si [α] ∈ nucleo(ϕ), entonces [α] ∈ p#(π(X, x0)).
Definamos primero el nucleo de ϕ:
nucleo(ϕ) = {[α] ∈ π(X/G, y0) / ϕ([α]) = gα = e , e elemento identidad de G}
Sea α : [0, 1] → X/G un camino cerrado en X/G, con punto basico y0,
entonces existe una unica elevacion α de α con punto basico x0, tal que:
p ◦ α = α y p(α(0)) = α(0) = y0
103
observese que el camino α es cerrado, debido a que:
α(1) = gα.x0
= e.x0
α(1) = x0
luego [α] ∈ π(X/G, y0).
Ademas, se tiene:
α = p ◦ α
con α en X, tal que α(0) = α(1) = x0.
Entonces:
[α] = [p ◦ α] = p#([α]) ∈ p#(π(X, x0))
por tanto [α] ∈ p#(π(X, x0)).
(ii) p#(π(X, x0)) ⊂ nucleo(ϕ).
Es decir, si [β] ∈ p#(π(X, x0)), entonces [β] ∈ nucleo(ϕ).
Sea β ∈ [β], entonces existe una unica elevacion β en X tal que p ◦ β = β
y p(β(0)) = β(0) = y0.
Entonces, se tiene [β] = [p ◦ β], donde β es un camino cerrado en X, con
punto basico x0, esto significa que:
β(1) = x0
= e.x0
= gβ.x0
entonces se tiene que:
e = gβ = ϕ([α])
es decir: e = gβ ∈ nucleo(ϕ).
Por tanto: [β] ∈ nucleo(ϕ).
Luego de (i), (ii) se tiene que nucleo(ϕ) = p#(π(X, x0)).
OBSERVACION 1.16.1.
Como nucleo(ϕ) = p#(π(X, x0)), entonces p#(π(X, x0)) es un subgrupo normal
de π(X/G, y0) y por tanto esta definido el grupo cociente
π(X/G, y0)
p#(X, x0)
104
veamos que nucleo(ϕ) = p#(π(X, x0)) es un subgrupo normal de π(X/G, y0), es
decir:
∀ [α] ∈ π(X/G, y0) , ∀ [k] ∈ p#(X, x0)
se cumple que:
[α] ∗ [k] ∗ [α−1] ∈ nucleo(ϕ) = p#(π(X, x0))
En efecto:
ϕ([α] ∗ [k] ∗ [α−1]) = ϕ([α]).ϕ([k]).ϕ([α−1]), ϕ es homomorfismo
= gα.gk.gα−1 , por definicion de ϕ
= gα.e.gα−1 , gk = e ∈nucleo(ϕ)
= gα.gα−1
= ϕ([α]).ϕ([α−1])
= ϕ([α] ∗ [α−1])
= ϕ([α ∧ α−1])
= ϕ([ey0 ])
= gey0
ϕ([α] ∗ [k] ∗ [α−1]) = e , e elemento identidad de G
por tanto [α] ∗ [k] ∗ [α−1] ∈ nucleo(ϕ) = p#(π(X, x0)), entonces p#(π(X, x0)) es
un subgrupo normal de π(X/G, y0).
Observese ademas que: como
nucleo(ϕ) = {[α] ∈ π(X/G, y0) / ϕ([α]) = gα = e e elemento identidad de G}
es decir que ϕ es inyectivo.
Lema 1.16.2.
Sean X un espacio arco-conexo, G un grupo, p : X → X/G una aplicacion
recubridora, x0 ∈ X, y0 ∈ X/G, con p(x0) = y0, ϕ : π(X/G, y0) → G un
homomorfismo de grupos.
Entonces ϕ es sobreyectivo.
Demostracion.
Probaremos que ∀ g ∈ G ,∃ [α] ∈ π(X/G, y0) tal que ϕ([α]) = g.
En efecto:
Consideremos el camino αg : [0, 1] → X tal que αg(0) = x0 y αg(1) = g.x0.
El cual nos va a determinar el camino p ◦ αg en X/G, con punto basico y0.
105
Observese que el camino αg es la elevacion del camino p ◦ αg.Entonces:
[p ◦ αg] ∈ π(X/G, y0)
Luego tenemos:
ϕ([p ◦ αg]).x0 = p ◦ αg(1)
donde p ◦ αg es la unica elevacion de p◦αg, con origen en x0. Pero αg es elevacion
tambien de p ◦ αg, entonces αg = p ◦ αg.Como αg(1) = g.x0
entonces αg(1) = p ◦ αg(1) = g.x0
Luego:
ϕ([p ◦ αg]).x0 = p ◦ αg(1)= g.x0
ϕ([p ◦ αg]).x0 = g.x0
por tanto ϕ([p ◦ αg]) = g, existe [p ◦ αg] = [α] ∈ π(X/G, y0), es decir que ϕ es
sobreyectivo.
TEOREMA 1.16.2.
Los gruposπ(X/G, y0)
p#(π(X, x0))y G son isomorfos;
donde nucleo(ϕ) = p#(π(X, x0)) es un subgrupo normal de π(X/G, y0).
Demostracion.
Se sabe que:
nucleo(ϕ) = p#(π(X, x0)) es un subgrupo normal de π(X/G, y0)
Haciendo p#(π(X, x0)) = H
se tiene:
π(X/G, y0)
p#(X, x0)=π(X/G, y0)
H= {[α] ∗H / [α] ∈ π(X/G, y0)}
donde:
[α] ∗H = {[α] ∗ [h] / [h] ∈ H}
Luego; definamos la aplicacion:
ψ : π(X/G,y0)p#(X,x0)
→ G , por
[α] ∗H 7→ ψ([α] ∗H) = ϕ([α])
106
tenemos que ψ esta bien definida, es un homomorfismo, es inyectiva y sobreyec-
tiva, esto es debido a ϕ.
Por tanto se tiene que ψ es un isomorfismo de grupos. Es decir:
π(X/G, y0)
p#(X, x0)∼= G
Capıtulo 2
Teoremas de Elevacion en el
Grupo Fundamental de Espacios
Recubridores
2.1. Condiciones necesarias y suficientes de la
utilizacion de una elevacion para relacionar
grupos fundamentales de los espacios recu-
bridores
TEOREMA 2.1.1.
Sean: p : X → X una aplicacion recubridora. Y un espacio conexo y localmente
arco-conexo. y0 ∈ Y , x0 ∈ X, p(x0) = x0 ∈ X.
Dada una aplicacion continua f : Y → X con f(y0) = x0, existe una elevacion
f : Y → X con f(y0) = x0, si y solamente si:
f#(π(Y, y0)) ⊆ p#(π(X, x0))
Demostracion.
(i) Condicion necesaria:
Si existe la elevacion f : Y → X con f(y0) = x0, entonces f#(π(Y, y0)) ⊆p#(π(X, x0)).
En efecto:
Consideremos los homomorfismos inducidos por f , p y f , es decir: f#, p#
y f#.
Veamos esto graficamente:
107
108
Figura 2.1:
y0
π(Y,y0)Y
f
f#
f
f#
p(x0)=x0
π(X,x0)
p# p
X
f(y0)=x0
π(X,x0)X
se tiene que p : X → X es una aplicacion recubridora con x0 ∈ X, x0 ∈ X
tal que p(x0) = x0.
Por el teorema 1.15.1, se tiene que el homomorfismo inducido p# : π(X, x0) →π(X, x0) es un monomorfismo.
Ademas se tiene que:
p# ◦ f# = f#
Entonces:
f#(π(Y, y0)) = p# ◦ f#(π(Y, y0)) ⊆ p#(π(X, x0))
por tanto: f#(π(Y, y0)) ⊆ p#(π(X, x0)).
(ii). Condicion suficiente:
Supongamos que f#(π(Y, y0)) ⊆ p#(π(X, x0)), entonces, por demostrar que
existe una elevacion f de f .
En efecto:
Definamos la aplicacion f : Y → X de la siguiente manera: Para cada punto
y ∈ Y elegimos un camino ϕ : [0, 1] → Y con origen en y0 y extremo y, es
decir ϕ(0) = y0 y ϕ(1) = y.
Entonces, f ◦ ϕ : [0, 1] → X es un camino en X, de (f ◦ ϕ)(0) = x0 a
(f ◦ϕ)(1) = f(y). Por el teorema de elevacion (1.14.1.1-(i)) existe un unico
camino:
f ◦ ϕ : [0, 1] → X
109
tal que f ◦ ϕ(0) = x0 ∈ X y p ◦ f ◦ ϕ(0) = f ◦ ϕ.
Luego definamos:
f : Y → X
y → f(y) = extremo de f ◦ ϕ = f ◦ ϕ(1)
Observese que f ◦ ϕ es una elevacion del camino f ◦ϕ y f(y) = f ◦ ϕ(1) es
el extremo del camino f ◦ ϕ.
Probaremos que f esta bien definida y que es continua. Es decir:
(1) Veamos que f esta bien definida.
En efecto:
Sea ψ : [0, 1] → Y otro camino en Y tal que ψ(0) = y0, ψ(1) = y.
Entonces, se tiene que la yuxtaposicion de los caminos ϕ y ψ es un
camino cerrado en Y , con punto basico y0.
Es decir:
ϕ ∧ ψ : [0, 1] → Y ,
s 7→ ϕ ∧ ψ(s) =
ϕ(2s) , si 0 ≤ s ≤ 1/2
ψ(2s− 1) , si 1/2 ≤ s ≤ 1
tal que (ϕ ∧ ψ)(0) = (ϕ ∧ ψ)(1) = y0.
Entonces [ϕ ∧ ψ] ∈ π(Y, y0).
Consideremos el homomorfismo inducido:
f# : π(Y, y0) → π(X, x0) ,
[ϕ ∧ ψ] 7→ f#([ϕ ∧ ψ]) = [f ◦ (ϕ ∧ ψ)]
pero:
f ◦ (ϕ ∧ ψ) = (f ◦ ϕ) ∧ (f ◦ ψ)
luego:
f#([ϕ ∧ ψ]) = [(f ◦ ϕ) ∧ (f ◦ ψ)] ∈ f#(π(Y, y0)) ⊆ p#(π(X, x0))
de aquı se tiene que:
[(f ◦ ϕ) ∧ (f ◦ ψ)] ∈ p#(π(X, x0))
por tanto, existe un camino cerrado α en X con punto basico x0, tal
que:
[(f ◦ ϕ) ∧ (f ◦ ψ)] = [p ◦ α]
entonces:
(f ◦ ϕ) ∧ (f ◦ ψ) ≈ p ◦ α
110
por otro lado, tenemos:
f ◦ ϕ ≈ (f ◦ ϕ) ∧ ex0
≈ (f ◦ ϕ) ∧ ((f ◦ ψ) ∧ (f ◦ ψ))
≈ ((f ◦ ϕ) ∧ (f ◦ ψ)) ∧ (f ◦ ψ)
≈ (p ◦ α) ∧ (f ◦ ψ)
entonces f ◦ ϕ ≈ (p ◦ α) ∧ (f ◦ ψ)
Graficamente tenemos:
10
Figura 2.2:
ϕ
ψ ϕ(0)=y0 ϕ(1)=y
ϕ(s)
ψ(s)
f◦ϕ
f◦ψ
p◦α
f
f#
π(Y,y0)
Yf
α=p0◦α
f◦ϕ
f◦ψ
x0 f(y)
f◦ϕ(s)
f◦ψ
p#p
x0f(y)
f◦ϕ(s)
f◦ψ(s)
Xπ(X,x0)
X
del grafico se tiene lo siguiente:
- p ◦ ( ˜(p ◦ α) ∧ (f ◦ ψ)) = (p ◦ α) ∧ (f ◦ ψ)
- p ◦ (p ◦ α ∧ f ◦ ψ) = (p ◦ α) ∧ (f ◦ ψ)
- p ◦ α = α
Tenemos que tanto ˜(p ◦ α) ∧ (f ◦ ψ) y p ◦ α∧ f ◦ ψ son elevaciones del
camino (p ◦ α) ∧ (f ◦ ψ), pero como la elevacion es unica se concluye
que:
˜(p ◦ α) ∧ (f ◦ ψ) = p ◦ α ∧ f ◦ ψ= α ∧ f ◦ ψ
Luego por el teorema de monodromıa (teorema 1.14.1.2) se tiene que:
f ◦ ϕ(1) = ˜(p ◦ α) ∧ (f ◦ ψ)(1)
= (α ∧ f ◦ ψ)(1)
= f ◦ ψ(1)
111
por tanto f ◦ ϕ(1) = f ◦ ψ(1).
Lo que demuestra que f esta bien definida.
(2) Veamos que f es continua.
En efecto:
Tenemos que Y es localmente arco-conexo.
Supongamos que U es un entorno abierto con centro f(y) que esta con-
tenido en X.
Sea U ′ un entorno abierto de p ◦ f(y) = f(y) propiamente recubierto
por p tal que U ′ ⊆ p(U).
Luego, como p es una aplicacion recubridora, entonces:
p−1(U ′) =⋃
j∈J⊆Z
Vj
donde los Vja⊂ X los cuales son homeomorfos a U ′.
Como {Vj}j∈J∈Z es una familia de abiertos en X, los cuales son dis-
juntos, entonces existe un k ∈ J ⊆ Z tal que f(y) ∈ Vk. Puesto que Vk
y U son entornos abiertos de f(y), tambien lo es:
W = Vk ∩ U (1)
De (1) se tiene que W ⊂ Vk ∧ W ⊂ U .
Si W ⊂ U , entonces p(W ) ⊂ p(U).
Pero: U ′ ⊆ p(U).
De donde se tiene que p(W ) ⊆ U ′ ⊆ p(U).
Entonces p(W ) es propiamente recubierto por p, puesto que U ′ lo es.
Ademas se tiene que W ⊂ Vk, f(y) ∈ Vk, entonces:
f(y) ∈ W ⊂ Vk
entonces:
y ∈ f−1(W )
como la aplicacion f es continua, entonces f−1 = f−1 ◦ p.Luego:
f−1(W ) = f−1 ◦ p(W )
= f−1(p(W ))
pero: y ∈ f−1(W ).
Entonces:
y ∈ f−1(p(W )) ⊂ Y
112
por tanto f−1(p(W )) es un entorno abierto de Y .
Figura 2.3:
V
f−1(p(W ))
f−1(U)
f
f−1
U
Vk
f(y)
X
y
p
p−1
p(U)
p(W )
f(y)
X
f=p◦f
Y
W=Vk∩U
Como Y es localmente arcoconexo, existe un entorno abierto arco-
conexo V de y con V ⊆ f−1(p(W )).
Como V ⊆ f−1(p(W ))
Entonces f(V ) ⊂ p(W ), luego p−1(f(V )) ⊂ W ⊂ U
pero: p−1 ◦ f = f
Entonces p−1(f(V )) = f(V ) ⊆ U
si existe y′ ∈ V , existe entonces un camino ϕ en V que une y con y′.
De la definicion de f , se tiene que f(y′) = f ◦ ϕ(1).
Observese que f ◦ ϕ(0) = f(y) donde f(y) es el origen de f ◦ ϕ la cual
es la unica elevacion de f ◦ ϕ.
Luego la imagen del camino f ◦ ϕ esta en f(V ) ⊆ p(W ).
Por tanto la imagen del camino f ◦ ϕ esta en p−1(p(W )).
pero:
p−1 (p (W )) =⋃
j∈J⊆Z
Wj
como los {Wj}j∈J⊆Zes una familia de subconjuntos abiertos de X,
entonces existe algun k ∈ J ⊆ Z tal que Wk = W .
Ademas se tiene que :
f (V ) ⊆ p (W )
⇒ p−1 (f (V )) ⊆ p−1 (p (W ))
113
tambien, sabemos que:
(f ◦ ϕ) (0) = f (y) ∈ W
f ◦ ϕ(1) = f (y ′) ∈ W
por otro lado, se tiene:
f(V ) ⊆ W ⊆ U
Entonces:
V ⊆ f−1(U)
Ası, todo punto de f−1(U) tiene un entorno abierto en f−1(U), enton-
ces f−1(U) contiene a todos los puntos interiores, entonces f−1(U) es
un entorno abierto, por tanto f(f−1(U)) ⊆ Ua⊂ X, esto implica que f
lleva abiertos en abiertos, por tanto f es continua.
Ejemplo 2.1.1.
Sean p : R → S1 definida por p(t) = (cos 2πt, sen 2πt) una aplicacion recubridora.
Y = A ∪B ∪ C ⊂ R2.
La aplicacion:
f : Y ⊂ R2 → S1 , definida por:
(x, y) 7→ f(x, y) =
(x, y) , si (x, y) ∈ A ⊆ Y
(x,−√
1 − x2) , si (x, y) ∈ B ∪ C ⊆ Y
Demostraremos que si Y es arco-conexo, pero no localmente arcoconexo, entonces
f no es continua.
Donde:
A = {(x, y) ∈ R2 / x2 + y2 = 1 , y ≥ 0}B = {(x, y) ∈ R2 / − 1 ≤ x ≤ 0 , y = 0}C = {(x, y) ∈ R2 / 0 < x ≤ 1 , y =
1
2sen(πx
)}
Demostracion.
Tenemos que el espacio Y = A ∪B ∪ C es llamado la circunferencia polaca.
Por el ejemplo 1.6.2.2, se tiene que Y es arco-conexo. Ademas B ∪ C no es arco-
conexo.
Y es simplemente conexo pero no localmente arcoconexo. Ademas tenemos:
La aplicacion recubridora:
114
p : R → S1 , definida por:
t 7→ p(t) = (cos 2πt, sen 2πt)
La aplicacion:
f : Y ⊂ R2 → S1 , definida por
(x, y) 7→ f(x, y) =
(x, y) , si (x, y) ∈ A ⊆ Y
(x,−√
1 − x2) , si (x, y) ∈ B ∪ C ⊆ Y
Si y0 = (1, 0) ∈ Y , x0 = 0 ∈ R = X, p(x0) = (1, 0) = x0 ∈ S1 = X, entonces:
f(y0) = x0. Probaremos que existe una elevacion f : Y → R, con f(y0) = x0 si y
solo si f#(π(Y, y0)) ⊆ p#(π(X, x0)).
En efecto:
Observese que f ası definida es continua, pues tenemos que:
Si (x, y) = (1, 0) ∈ Y ⇒ f(1, 0) =
{(1, 0), (1, 0) ∈ A ⊆ Y
(1, 0), (1, 0) ∈ B ∪ C ⊆ Y
Si (x, y) = (−1, 0) ∈ Y ⇒ f(−1, 0) =
{(−1, 0), (−1, 0) ∈ A ⊆ Y
(−1, 0), (−1, 0) ∈ B ∪ C ⊆ Ypor tanto f es continua.
(10
): Veamos que f#(π(Y, y0)) ⊆ p#(π(X, x0))
Tenemos que:
si y0 = (1, 0) ∈ Y , entonces f(y0) = f(1, 0) = (1, 0) = x0 ∈ X
y sea x0 = 0 ∈ X, entonces p(x0) = p(0) = (1, 0) = x0 ∈ X
Luego existe la elevacion f : Y → X con f(y0) = x0; es decir:
f(1, 0) = 0
Como:
f(1, 0) = p(f(1, 0))
f(1, 0) = p ◦ f(1, 0)
entonces:
f = p ◦ f
y como existen los homeomorfismos f#, p# y f# inducidos por f , p, f respecti-
vamente tal que f# = p# ◦ f#
por tanto, se tiene que :
f#(π(Y, y0)) = p# ◦ f#(π(Y, y0))
= p#(f#(π(Y, y0))) p# es un monomorfismo (teorema 1.15.1)
⊂ p#(π(X, x0))
115
por tanto:
f#(π(Y, y0)) ⊆ p#(π(X, x0))
(20
): Definamos f como en la demostracion del teorema 2.1.1. Es decir, defi-
namos la aplicacion f : Y → X de la siguiente manera:
Para cada punto y ′ ∈ Y elegimos un camino ϕ : [0, 1] → Y con origen en y0 y
extremo y ′, es decir ϕ(0) = y0 = (1, 0) y ϕ(1) = y ′ = (x, y).
Entonces: f ◦ ϕ : [0, 1] → X es un camino en X de (f ◦ ϕ)(0) = x0 = (1, 0) a
(f ◦ ϕ)(1) = f(y ′).
Por el teorema de elevacion de homotopıas de caminos (teorema 1.14.1.1-(i)),
existe un unico camino:
f ◦ ϕ : [0, 1] → X
tal que:
f ◦ ϕ(0) = 0 = x0 ∈ R y p ◦ f ◦ ϕ = f ◦ ϕ
Luego, definamos:
f : Y → X por
y ′ 7→ f(y ′) = extremo de f ◦ ϕ = f ◦ ϕ(1)
observese que f ◦ ϕ es una elevacion del camino f ◦ ϕ y f(y ′) = f ◦ ϕ(1) es el
extremo del camino f ◦ ϕ.
Veamos esto graficamente en la figura 2.4:
10
Y f
p
X=S 1
Figura 2.4:
f
f◦ϕ=f◦ϕ x0=0
R = X
ϕ
f ◦ ϕ
y0=(1,0)
x0=(1,0)
Observese que:
116
(i) p ◦ f = f , entonces f = p−1 ◦ f
(ii) p ◦ f ◦ ϕ = f ◦ ϕ, entonces f ◦ ϕ = p−1 ◦ (f ◦ ϕ)
sabemos, ademas que:
p−1 : S1 → R ,
(x, y) 7→ p−1(x, y) = 12π
arctan(yx
)
Por otro lado se tiene:
- f(A) =
+
((0,−1), (1, 0)) ⊆ S1
- f(B ∪ C) =
−((0,−1), (1, 0)) ⊆ S1
Luego :
De (i) obtenemos:
f(x, y) = p−1◦f(x, y) = p−1(f(x, y)) =
{p−1(x, y), si (x, y) ∈ A ⊆ Y
p−1(x,−√
1 − x2), si (x, y) ∈ B ∪ C ⊆ Y
f(x, y) =
p−1(x, y) = 12π
arctan(yx
), p−1(f(A)), si (x, y) ∈ A ⊆ Y ;
p−1(x,−√
1 − x2) = 12π
arctan(−
√1−x2
x
),
p−1(f(B ∪ C)), si (x, y) ∈ B ∪ C ⊆ Y ;
por otro lado definamos:
f ◦ ϕ : [0, 1] → S1 ,
s 7→ f ◦ ϕ(s) = f(ϕ(s))
= f(ϕ1(s), ϕ2(s))
f ◦ ϕ(s) =
{ϕ(s), si ϕ(s) ∈ A ⊆ Y ;
(ϕ1(s),−√
1 − (ϕ1(s))2), si ϕ(s) ∈ B ∪ C ⊆ Y .
117
Luego de (ii) obtenemos:
f ◦ ϕ(s) = p−1 ◦ (f ◦ ϕ) (s)
= p−1 ◦ (f ◦ ϕ)(s))
= p−1 (f (ϕ(s)))
=
p−1 (ϕ1(s), ϕ2(s)) , si ϕ(s) ∈ A ⊆ Y
p−1
(ϕ1(s),−
√1 − (ϕ1(s))
2
), si ϕ(s) ∈ B ∪ C ⊆ Y
=
p−1 (ϕ1(s), ϕ2(s)) =1
2πarctan
(ϕ2(s)
ϕ1(s)
), p−1(f(A)), si ϕ(s) ∈ A ⊆ Y
p−1
(ϕ1(s),−
√1 − (ϕ1(s))
2
)=
1
2πarctan
−
√1 − (ϕ1(s))
2
ϕ1(s)
,
p−1 (f (B ∪ C)) : si ϕ(s) ∈ B ∪ C ⊆ Y
de la definicion de f , se tiene:
f(y ′) = f(x, y) = f ◦ ϕ(1)
ademas se sabe que:
p ◦ f = f
entonces:
p ◦ f(1, 0) = f(1, 0)
p(f(1, 0)) = (1, 0)
p(0) = (1, 0)
f (1, 0) =
p−1 (1, 0) =1
2πarctan
(0
1
)=
1
2π
(00)
= 0 , (1, 0) ∈ A ⊆ Y
p−1 (1, 0) =1
2πarctan
(0
1
)=
1
2π
(00)
= 0 , (1, 0) ∈ B ∪ C ⊆ Y
Como:
f (y ′) = f (x, y) = f ◦ ϕ (1)
si y ′ = (x, y) = (0, 0) ∈ Y
Entonces veamos que f es continua en y ′ = (x, y) = (0, 0) ∈ Y
Tenemos que:
.) f (0, 0) = p−1 (0,−1) = 12π
arctan(−1
0
)= 1
2πarctan (−∞) = 1
2π
(−π2
)= −1
4
118
..) Cuando y ′ = (0, 0) ∈ B ∪ C ⊆ Y . Es decir:
veamos si:
∃ lım(x,y)→(0,0)
f (x, y)
tenemos: lım(x,y)→(0,0)
f (x, y) = (0, 0), cuando (0, 0) ∈ B
@ lım(x,y)→(0,0)
f (x, y), cuando (0, 0) /∈ C
por tanto:
lım(x,y)→(0,0)
f (x, y) no existe en (0, 0) ∈ Y .
Por tanto, se tiene que f no es continua en (0, 0) ∈ Y , pues Y es arco-conexo,
pero no localmente arco-conexo.
2.2. Axiomas de Elevacion (corolarios) en el Gru-
po Fundamental de Espacios Recubridores
Corolario 2.2.1.
Sean: X un espacio arco-conexo. Y un espacio simplemente conexo y localmente
arco-conexo, entonces toda aplicacion continua f : Y → X admite una elevacion
f : Y → X
Demostracion.
Es evidente pues por ser Y simplemente conexo y localmente arco-conexo, enton-
ces es conexo, para obtener su resultado se aplica el teorema 2.1.1.
Corolario 2.2.2.
Sean: p1 : X1 → X y p2 : X2 → X dos aplicaciones recubridoras de X. X1, X2
espacios conexos y localmente arco-conexos, x1 ∈ X1, x2 ∈ X2, x ∈ X, los puntos
basicos de π(X1, x1), π(X2, x2) y π(X, x) respectivamente, con p1(x1) = p2(x2) =
x.
Si se tiene que:
p1#
(π(X1, x1
))= p2#
(π(X2, x2
))
entonces, existe un homeomorfismo h : X1 → X2 que conserva los puntos basicos
tal que p2 ◦ h = p1
Demostracion.
De p1#
(π(X1, x1
))= p2#
(π(X2, x2
))se tiene que:
119
i) p1#
(π(X1, x1
))⊂ p2#
(π(X2, x2
))y
ii) p2#
(π(X2, x2
))⊂ p1#
(π(X1, x1
))
Luego por el teorema 2.1.1 y de (i) y (ii) tenemos que, tanto, p1 y p2 se elevan
ambas a aplicaciones:
p1 : X1 → X2 y
p2 : X2 → X1
respectivamente tal que:
p2 ◦ p1 = p1
p1 ◦ p2 = p2
veamos esto graficamente en la figura 2.5:
Figura 2.5:
X1
p1 p2
X2 X1
ϕ = p2 ◦ p1
p2 ◦ p1 = p1
p1◦p2=p2 p1
X
Donde:
ϕ = p2 ◦ p1 : X1 → X1
Entonces:
p1 ◦ ϕ = p1 ◦ (p2 ◦ p1) = (p1 ◦ p2) ◦ p1 = p2 ◦ p1 = p1
y como:
ϕ(x1) = (p2 ◦ p1)(x1)
= p2(p1(x1))
= p2(x2)
ϕ(x1) = x1
120
por el corolario 1.14.1 se tiene que ϕ = Id, es decir: p2 ◦ p1 = ϕ = Id, entonces
p1 es inyectiva y p2 es sobreyectiva.
Analogamente, se tiene para φ = p1 ◦ p2 : X2 → X2. Es decir p1 ◦ p2 = φ = Id,
entonces p2 es inyectiva y p1 es sobreyectiva.
Ademas, como p1 y p2 son aplicaciones recubridoras, entonces p1 y p2 son conti-
nuas. Por tanto, se tiene que p1 y p2 son homeomorfismos.
Con lo cual se tiene que si p1 = h, entonces existe un homeomorfismo h entre X1
y X2 tal que p2 ◦ h = p1.
Corolario 2.2.3.
Sean p1 : X1 → X y p2 : X2 → X dos aplicaciones recubridoras de X. Si X1,
X2, espacios simplemente conexos y localmente arco-conexos, entonces existe un
homeomorfismo h : X1 → X2 tal que p2 ◦ h = p1.
Demostracion.
Resulta evidente pues es un caso especial del corolario 2.2.2, pues como X1 y X2
son simplemente conexos, entonces X1 y X2 son conexos, y por ser localmente
arco-conexos lo cual reunen las condiciones suficientes del teorema 2.1.1 y por el
corolario 2.2.1, se tiene que existen elevaciones p1 y p2 de p1 y p2 respectivamente,
es decir:p1 : X1 → X2 y
p2 : X2 → X1
entonces:p1#
(π(X1, x1
))⊂ p2#
(π(X2, x2
))y
p2#
(π(X2, x2
))⊂ p1#
(π(X1, x1
))
Por tanto p1#
(π(X1, x1
))= p2#
(π(X2, x2
)).
Luego, por el corolario 2.2.2 se tiene que:
existe un homeomorfismo h : X1 → X2 tal que p2 ◦ h = p1.
Corolario 2.2.4.
Sean p1 : X1 → X, y p2 : X2 → X, dos aplicaciones recubridoras de X.
X1, X2 espacios conexos y localmente arco-conexos.
x1 ∈ X1, x2 ∈ X2, x ∈ X los puntos basicos de π(X1, x1), π(X2, x2) y π(X, x)
respectivamente con p1(x1) = p2(x2) = x.
Si existe un homeomorfismo h : X1 → X2 tal que p2 ◦ h = p1 y h(x1) = x2,
entonces:
p1#
(π(X1, x1
))= p2#
(π(X2, x2
))
121
Demostracion.
Tenemos las aplicaciones recubridoras:
p1 : X1 → X y p2 : X2 → X
x1 ∈ X1, x2 ∈ X2 y x ∈ X con p1(x1) = p2(x2) = x.
Consideremos H(x1) y H(x2) respectivamente los subgrupos de π(X, x) que son
imagenes de los homomorfismos inducidos:
p1# : π(X1, x1
)→ π (X, x) y
p2# : π(X2, x2
)→ π (X, x)
Es decir:H(x1) = p1#
(π(X1, x1
))y
H(x2) = p2#
(π(X2, x2
))
y como p2 ◦h = p1, entonces existen los homeomorfismos p1#, p2# y h# inducidos
por p1, p2 y h respectivamente tal que p1# = p2# ◦ h#.
Graficamente lo podemos representar:
Figura 2.6:
x1
x
x2
X1 X2
X
π(X1,x1) π(X2,x2)
π(X,x)p1
p1#
p2
p2#
h#
h
Tenemos que
H(x1) = p1#(π(X1, x1))
= p2# ◦ h#(π(X1, x1) , h es un homeomorfismo, entonces h# es sobreyectivo
= p2#(π(X2, x2) , p2# es inyectivo
= H(x2)
122
por tanto H(x1) = H(x2), es decir:
p1#
(π(X1, x1
))= p2#
(π(X2, x2
))
Ejemplo 2.2.1.
Sean p1 : X1 → X; p2 : X2 → X dos recubrimientos con la misma base.
Si X2 es conexo y localmente arco-conexo, X1 simplemente conexo, entonces todo
homeomorfismo f : X1 → X2 es un recubrimiento; en particular si f es sobreyec-
tiva.
Demostracion.
Sean x1 ∈ X1 y x2 =∈ f(x2).
x0 = p1(x1) = p2(x2); es decir x2 ∈ p−12 (x0), x1 ∈ p−1(x0).
Si dado un camino α : I → X2 tal que α(0) = x2 y α(1) = y2; pues X2 es arco-
conexo, se tiene que α0 = p2 ◦ α tal que α0(0) = x0 y α0(1) = y0 y consideremos
α : I → X1; la elevacion de α0 relativamente al recubrimiento p1:
Es decir:
p1 ◦ α = α0; tal que α(0) = x1 y α(1) = y1
Entonces:
p1(α(0)) = α0(0)
p1(x1) = x0
Entonces: f ◦ α : I → X2 es una elevacion de α0 relativamente a p2.
Es decir: p2 ◦ (f ◦ α) = α0; tal que f ◦ α(0) = x2
Luego tenemos f ◦ α = α; en particular:
f(α(1)) = α(1)
Demostraremos que f es sobreyectiva.
Es decir:
∀ x2 ∈ X2; ∃ x1 ∈ X1 / f(x1) = x2,
lo que resulta evidente pues X2 es arcoconexo, ası se tiene que cualquier punto en
X2 es de la forma α(1); donde α(0) = x2, con lo cual se tiene que f es sobreyectiva.
Este mismo argumento muestra que f posee la propiedad de elevacion unica
de caminos.
Como f es un homeomorfismo entre estos recubrimientos. Es decir: p2◦f = p1;
entonces la aplicacion continua f es un homeomorfismo local en vista que: p2◦f =
p1, pues p1, p2 son homeomorfismos locales. entonces f es un homeomorfismo
local.
Por tanto f es un recubrimiento.
123
OBSERVACION 2.2.4.1.
Diremos que dos aplicaciones recubridoras p1 : X1 → X y p2 : X2 → X son
equivalentes si existe un homeomorfismo h : X1 → X2 tal que p2 ◦ h = p1.
Observese ademas que el homeomorfismo h no preserva necesariamente los
puntos basicos x1 ∈ X1 y x2 ∈ X2 de π(X1, x1) y π(X2, x2).
2.3. Conjugacion de Subgrupos en el Grupo Fun-
damental de Espacios Recubridores
TEOREMA 2.3.1.
Sean p1 : X1 → X, y p2 : X2 → X, dos aplicaciones recubridoras de X.
X1, X2 espacios conexos y localmente arco-conexos.
x1 ∈ X1, x2 ∈ X2 y x ∈ X los puntos basicos de π(X1, x1), π(X2, x2) y π(X, x)
respectivamente con p1(x1) = p2(x2) = x.
Las dos aplicaciones recubridoras de X son equivalentes si y solamente si los
subgrupos p1#(π(X1, x1)) y p2#(π(X2, x2)) de π(X, x) son conjugados.
Demostracion.
Como p1 y p2 son equivalentes, entonces existe un homeomorfismo h : X1 → X2
tal que p2 ◦ h = p1, ademas como se tiene los puntos basicos x1 ∈ X1, x2 ∈ X2 y
x ∈ X de π(X1, x1), π(X2, x2) y π(X, x) respectivamente con:
p1(x1) = p1(x2) = x y h(x1) = x2, entonces por corolario 2.2.4 obtenemos
p1#(π(X1, x1)) = p2#(π(X2, x2))
si denotamos aH(x1) = p1#
(π(X1, x1
))y
H(x2) = p2#
(π(X2, x2
))
se tiene que H(x1), H(x2) pertenecen a la coleccion
{p1#
(π(X1, x1
)); x1 ∈ p−1(x)
}
esto se sabe por teorema 1.15.2, que es una clase de conjugacion en π(X, x).
Por tanto H(x1) y H(x2) son subgrupos conjugados de π(X, x).
OBSERVACION 2.1.
Del ejemplo 1.14.1 se obtuvo que G(X, p,X), con la operacion composicion “◦”esun grupo; es decir que G(X, p,X) es el grupo de transformaciones recubridoras
del espacio recubridor (X, p) de X.
Entonces se obtiene que X es un G(X, p,X)-espacio.
124
En efecto:
tenemos X un espacio conexo y localmente arco-conexo, G(X, p,X) un grupo;
decimos que X es un G(X, p,X)-espacio si G(X, p,X) actua sobre X y si las
aplicaciones
Ah : X → X , definidas por:
x 7→ Ah(x) = h(x)
son homeomorfismos, ∀ h ∈ G(X, p,X).
Es decir; veremos que se cumpla:
(i): Para todo x ∈ X, existe h = id ∈ G(X, p,X) tal que Ah(x) = AId(x) =
Id(x) = x
(ii): ∀ g, h ∈ G(X, p,X), ∀ x ∈ X: Ag◦h(x) = Ag ◦ Ah(x)
(iii): Ah : X → X son homeomorfismos
observese que, como G(X, p,X) actua sobre X, entonces existe la aplicacion
A : G(X, p,X) × X → X definida por:
(h, x) 7→ A(h, x) = h(x) = Ah(x)
Veamos, entonces:
(i): Si h = Id ∈ G(X, p,X), entonces:
AId : X → X tal que:
x 7→ AId(x) = Id(x) = x
(ii): ∀ g, h ∈ G(X, p,X), ∀ x ∈ X, entonces:
Ag◦h(x) = g ◦ h(x) , por definicion de Ah
= g(h(x))
= Ag(h(x))
= Ag(Ah(x))
Ag◦h(x) = Ag ◦ Ah(x)
(iii): ∀h ∈ G(X, p,X), entonces Ah : X → X es un homeomorfismo.
Sean: h ∈ G(X, p,X), h−1 ∈ G(X, p,X)
Luego se tiene que:
Ah−1 : X → X tal que
x 7→ Ah−1(x) = h−1(x)
125
es la inversa de Ah, pues:
Ah ◦ Ah−1(x) = Ah(Ah−1(x))
= Ah(h−1(x))
= h(h−1(x))
= h ◦ h−1(x)
= Id(x)
Ah ◦ Ah−1(x) = x
Ah−1 ◦ Ah(x) = Ah−1(Ah(x))
= Ah−1(h(x))
= h−1(h(x))
= h−1 ◦ h(x)= Id(x)
Ah−1 ◦ Ah(x) = x
por tanto Ah es biyectiva y como Ah−1 es continua, entonces Ah es un
homeomorfismo, ∀ h ∈ G(X, p,X).
Por tanto X es un G(X, p,X)−espacio.
2.4. Accion del Grupo de Trasformaciones Re-
cubridoras sobre un Espacio Arco-Conexo
TEOREMA 2.4.1.
Si X es conexo y localmente arco-conexo, la accion de G(X, p,X) sobre X es
propiamente discontinua.
Demostracion.
Tenemos que G(X, p,X) es el grupo de transformaciones recubridoras del espacio
recubridor (X, p) de X. X es un espacio conexo y localmente arco-conexo.
La accion de G(X, p,X) en X es la aplicacion:
A : G(X, p,X) × X → X definida por:
(h, x) 7→ A(h, x) = h(x) = Ah(x)
por demostrar que A es propiamente discontinua. Es decir:
∀ x ∈ X, ∃ Vxa⊂ X tal que V ∩ h(V ) = φ, ∀ h ∈ G(X, p,X), h 6= e, e es la
126
identidad de G(X, p,X).
En efecto:
Sean x ∈ X, U una vecindad distinguida de x = p(x) y Vk una vecindad de x tal
que p|Vk: Vk → U es un homeomorfismo sobre U ⊂ X.
Como p es una aplicacion recubridora, tenemos:
p−1 (U) =⋃
j∈J⊆Z
Vj , con Vja⊂ X y
⋂
i∈J⊆Z
Vj = ∅
y x ∈ Vk para algun k ∈ J ⊆ Z.
Sea h ∈ G(X, p,X); entonces: p ◦ h = p.
Si h(x) = x, por el corolario 1.14.1, la aplicacion h es la identidad. Es decir, si
h 6= Id, entonces h(x) 6= x.
Pero, como:
p ◦ h = p
⇒ p ◦ h(x) = p(x)
⇒ p(h(x)) = p(x)
se tiene que h(x) ∈ Vl para algun l ∈ J ⊆ Z, ademas Vl = Vk, entonces h(x) = x.
Por tanto, se tiene que si h 6= Id, entonces x ∈ Vk y h(x) ∈ Vl, con Vk∩Vl = ∅.Graficamente tenemos: se tiene la figura 2.7:
Figura 2.7:
x h(x)
p(x)=x
p
p◦h=p
h
U
X
X
X
Vk Vl
x.Vk.
Luego, podemos considerar que U es arco-conexo, puesto que X es localmente
arco-conexo y, por tanto, se tiene que X tambien lo es. Ası pues, tenemos que
cada uno de los conjuntos Vja⊂ X, j ∈ J ⊆ Z, son arco-conexos.
127
Como: p ◦ h = p,
entonces:
p ◦ h(Vk) = p(Vk)
p(h(Vk)) = U p|Vkes un homeomorfismo sobre U ⊂ X
p−1 ◦ (p(h(Vk))) = p−1(U)
h(Vk) =⋃
j∈J⊆Z
Vj
por tanto:
h (Vk) ⊆⋃
j∈J⊆Z
Vj
Pero, los Vja⊂ X , j ∈ J ⊆ Z son arco-conexos y h(x) ∈ Vl, para algun x ∈ Vk, es
decir h (Vk) ⊆ Vl , y por tanto, Vk ∩ h (Vk) = ∅.Por tanto, esto demuestra que la accion de G(X, p,X) sobre X es propiamente
discontinua.
2.5. El Grupo Cociente del Grupo de Transfor-
maciones Recubridoras
TEOREMA 2.5.1.
Sean X un espacio conexo y localmente arco-conexo.
p : X → X, una aplicacion recubridora.
G(X, p,X) es el grupo de transformaciones recubridoras del espacio recubridor
(X, p) de X.
Si p#(π(X, x0)) es un subgrupo normal de π(X, x0), entonces X es homeomorfo
a X/G(X, p,X)
Demostracion.
En efecto:
tenemos que p#(π(X, x0)) es un subgrupo normal de π(X, x0), esto quiere decir
que si dado: {p#
(π(X, x0
)); x0 ∈ p−1(x0)
}
una clase de conjugacion en π(X, x0). Es decir:
{p#
(π(X, x0
)), p#
(π(X, x1
)), ...}
Entonces por ser normal tenemos:
p#
(π(X, x0
))= p#
(π(X, x1
))= ...
128
Como:
p#
(π(X, x0
))= p#
(π(X, x1
))∀ x1 ∈ p−1(x0)
por corolario 2.2.2 existe un homeomorfismo:
h : X → X
que conserva los puntos bases, es decir h(x0) = x1; tal que p ◦ h = p, esto es que
h ∈ G(X, p,X).
Como h es un homeomorfismo tal que h(x0) = x1, entonces se tiene que:
p(x0) = p(x1)
Observese que el grupo G(X, p,X) identifica los mismos puntos de X que p.
Ademas, tenemos que el recubrimiento dado por:
π : X → X
G(X, p,X)
es decir que la aplicacion proyeccion es tambien un homeomorfismo, con lo cual
podemos establecer el homeomorfismo ξ entre X y X
G(X,p,X), definido por
ξ : X
G(X,p,X)→ X
h M x 7→ ξ(h M x) = p ◦ π−1(h M x)
es decir:
ξ = p ◦ π−1
pues p y π−1 son homeomorfismos.
por tanto es un homeomorfismo.
Veamos esto graficamente en la figura 2.8:
Figura 2.8:
X
X
G(X,p,X)
π
π−1
p ξ
X
x0h M x
x0
129
Corolario 2.5.1.
Sean: X un espacio conexo y localmente arco-conexo.
p : X → X una aplicacion recubridora. G(X, p,X) el grupo de transformaciones
recubridoras del espacio recubridor (X, p) de X.
Si p#(π(X, x0)) es un subgrupo normal de π(X, x0), entonces:
π (X, x0)
p#
(π(X, x0
)) ≈ G(X, p,X
)
Demostracion.
En efecto:
por teorema 2.5.1 se tiene
X ≈ X
G(X, p,X
)
por otro lado, se tiene que la accion de G(X, p,X
)sobre X es propiamente
discontinua (teorema 2.4.1), entonces obtenemos:
π (X, x0) ≈ π
X
G(X, p,X
) , y0
(α)
y como se sabe que p#
(π(X, x0
))es un subgrupo normal de π(X, x0); entonces
p#
(π(X, x0
))tambien es un subgrupo normal de π
(X
G(X,p,X), y0
)por (α).
Luego, esto nos induce a los grupos cocientes
π
(X
G(X,p,X), y0
)
p#
(π(X, x0
)) ,π (X, x0)
p#
(π(X, x0
)) de π
X
G(X, p,X
) , y0
y π(X, x0) respectivamente los cuales son isomorfos. Ahora por el teorema 1.16.2
tenemos:
π
(X
G(X,p,X), y0
)
p#
(π(X, x0
)) ≈ G(X, p,X)
por tanto:π (X, x0)
p#
(π(X, x0
)) ≈ G(X, p,X)
130
2.6. Ejemplos Aplicativos
Ejemplo 2.6.1. El siguiente ejemplo muestra todos los teoremas de elevacion.
Sean:
X1 = R, X2 = S1, X = S1 espacios conexos y localmente arco-conexos.
p1 : R → S1
t 7→ p1(t) = (cos 2πt, sen 2πt)
p2 : S1 → S1
(cos t, sen t) 7→ p2(cos t, sen t) = (cos kt, sen kt) , t ∈ R , k ∈ Z+
dos aplicaciones recubridoras de X = S1.
x1 = 0 ∈ R, x2 = (1, 0) ∈ S1, x = (1, 0) ∈ S1 los puntos basicos de π(X1, x1) =
π(R, 0), π(X2, x2) = π(S1, (1, 0)) y π(X, x) = π(S1, (1, 0) respectivamente, con
p1(x1) = p2(x2) = x, es decir p1(0) = p2(1, 0) = (1, 0).
Si:
p1#(π(X1, x1)) = p2#
(π(X2, x2))
entonces, existe un homeomorfismo h : X1 → X2 tal que p2 ◦ h = p1.
Ademas determinaremos el grupo de transformaciones recubridoras (automorfis-
mos) del espacio recubridor (p1, X1) de X = S1.
Solucion:
Tenemos lo siguiente:
I.- En el capıtulo 1-seccion 1.13, se obtuvo la estructura del grupo fundamental
de S1.
(1): Para p1 : R → S1 veamos el grafico 2.9.
Sea α ∈ [α] ∈ π(S1, (1, 0)) y α ∈ [α] ∈ π(R, 0), entonces:
α : [0, 1] → S1, es un camino cerrado en S1 tal que α(0) = α(1) =
(1, 0) = x ∈ S1.
α : [0, 1] → R, es la elevacion de α, tal que x1 = 0 ∈ R, α(0) = x1 =
0 ∈ R y p1 ◦ α = α.
Observese que:
- p1(x1) = p1(0) = (1, 0) = x ∈ S1, entonces el homomorfismo induci-
do:
p1#: π(R, 0) → π(S1, (1, 0)) , definido por
[α] 7→ p1#([α]) = [p1 ◦ α] = [α]
es un monomorfismo (teorema 1.15.1).
Ademas se cumple que:
131
Figura 2.9:
(0,0) (1,0)
(1,1)(1,0)
I×I
[α]
[α]
S1
x=(1,0)
p1
p1#
x1=0
R
π(R,0)
π(S1,(1,0))
- Si x = (1, 0) ∈ S1, entonces p−11 (x) = p−1
1 (1, 0) ∈ Z.
- p1#(π(R, 0)) = π(S1, (1, 0)), entonces p1 es un homeomorfismo.
(2) Para p2 : S1 → S1
Figura 2.10:
(0,0) (1,0)
(1,1)(0,1)
I×I
[β]
[β]
S1
x=(1,0)
p2 p2#
x2=(1,0)
S1
π(S1,(1,0))
π(S1,(1,0))
Sea β ∈ [β] ∈ π(S1, x) y β ∈ [β] ∈ π(S1, x2), entonces:
β : [0, 1] → S1 = X es un camino cerrado en S1 tal que: β(0) = β(1) =
(1, 0) = x ∈ S1.
β : [0, 1] → S1 = X2, es la elevacion de β tal que x2 = (1, 0) ∈ S1,
132
β(0) = (1, 0) = x2 ∈ S1 y p2 ◦ β = β.
observese que:
-) p2(x2) = p2((1, 0)) = (1, 0) = x ∈ S1, entonces el homomorfismo
inducido por p2 esta dado por:
p2#: π(S1, x2) → π(S1, x)
[β] 7→ p2#([β]) = [p2 ◦ β] = [β]
es un monomorfismo (teorema 1.15.1).
Ademas se cumple que:
- Para x = (1, 0) ∈ S1, entonces p−12 (x) = p−1
2 ((1, 0)) contiene k puntos.
- p2#(π(S1, x2)) = π(S1, x), entonces p2 es un homeomorfismo.
II.- Por otro lado se tiene que:
π(X1, x1) = π(R, 0) ≈ {0}π(X2, x2) = π(S1, (1, 0)) ≈ Z
π(X, x) = π(S1, (1, 0)) ≈ Z
Luego:
como π(S1, (1, 0)) ≈ Z, entonces sus subgrupos son de la forma:
nZ; n = 0, 1, 2, ...
Entonces, la aplicacion recubridora p2 : S1 → S1, determina los subgrupos
kZ, k ∈ Z+;
y la aplicacion recubridora p1 : R → S1, determina el subgrupo {0}.
III.- Consideremos el siguiente grafico:
Figura 2.11:
R
π(R,x1)
x1=0
p2◦p1=p1
p2#◦p1#=p1#S1
x=(1,0)
π(S1,x)
p2#
p2
x2=(1,0)
π(S1,x2)
S1
p1#
p1
133
Recordemos que:
X1 = R, X2 = S1, X = S1 espacios conexos y localmente arco-conexos.
x1 = 0 ∈ R, x2 = (1, 0) ∈ S1, x = (1, 0) ∈ S1 los puntos basicos de
π(X1, x1), π(X2, x2) y π(X, x) respectivamente, con p1(x1) = p2(x2) = x, es
decir p1(0) = p2(1, 0) = (1, 0).
Como:
p1#(π(X1, x1)) = p1#
(π(R, 0)) = π(S1, (1, 0)) ; y
p2#(π(X2, x2)) = p2#
(π(S1, (1, 0))) = π(S1, (1, 0))
entonces se tiene que:
p1#(π(X1, x1)) = p2#
(π(X2, x2))
Luego por el corolario 2.2.2, existe un homeomorfismo:
h : X1 → X2
tal que p2 ◦ h = p1. Es decir:
h = p1 : X1 → X2 , tal que p2 ◦ p1 = p1
Observese, ademas: Por el teorema 2.1.1 que, tanto p1 y p2 se elevan ambas
a aplicaciones:
p1 : X1 → X2 y p2 : X2 → X1
respectivamente, tal que: p2 ◦ p1 = p1 y p1 ◦ p2 = p2.
Veamos esto graficamente (ver figura 2.12):
Tenemos, entonces que:
p2 : X2 → X1 es la elevacion de p2, tal que p1 ◦ p2 = p2.
Entonces: p2 = p−11 ◦ p2
sea (x, y) = (cos t, sen t), t ∈ R.
Luego:
p2(x, y) = p−11 ◦ p2(x, y)
= p−11 (p2(x, y))
= p−11 (cos kt, sen kt)
=1
2πarctan
(sen kt
cos kt
)
p2(x, y) =kt
2π, t ∈ R , k ∈ Z+
por tanto, la elevacion p2 esta definida por:
134
Figura 2.12:
X2=S1
x2=(1,0)
p1◦p2=p1
p2
X1=R
x1=0
p1
X=S1
x=(1,0)
X1=R
x1=0
p1
p2◦p1=p1
X2=S1
x2=(1,0)
p2
X=S1
x=(1,0)
p2 : X2 → X1
(cos t, sen t) 7→ p2(cos t, sen t) = k2πt
de igual manera se tiene que la elevacion p1 esta dada por:
p1 : X1 → X2
t 7→ p1(t) = (cos 2πkt, sen 2π
kt), t ∈ R, k ∈ Z+
tal que p2 ◦ p1 = p1.
Consideremos la siguiente grafica:
Luego:
Sea ϕ = p2 ◦ p1 : X1 → X1
entonces:
ϕ(t) = p2 ◦ p1(t)
= p2(p1(t))
= p2
(cos
2π
kt, sen
2π
kt
)
=k
2π
(2π
kt
)
ϕ(t) = t
Por corolario 1.14.1 se tiene que: ϕ = p2 ◦ p1 = Id.
135
Figura 2.13:
X1=R
p1
p2◦p1=p1
p2◦p1
X2=S1
p2
p1◦p2=p2
X1=R
p1
X=S1
Pues:
p1 ◦ ϕ = p1 ◦ (p2 ◦ p1)
= (p1 ◦ p2) ◦ p1
= p2 ◦ p1
p1 ◦ ϕ = p1
y como:
ϕ(x1) = ϕ(0)
= p2 ◦ p1(0)
= p2(p1(0))
= p2((1, 0))
= 0
ϕ(x1) = x1
por tanto, se tiene que ϕ = p2 ◦ p1 = Id.
Analogamente, se tiene para: φ = p1 ◦ p2 : X2 → X2, es decir:
φ = p1 ◦ p2 = Id
por tanto, se tiene que, existe un homeomorfismo:
h = p1 : X1 → X2
136
tal que p2 ◦ h = p2 ◦ p1 = p1; es decir que las aplicaciones recubridoras
p1 : X1 → X y p2 : X2 → X son equivalentes.
Observese, ademas que (X1, p1) es un espacio recubridor de X = S1, tal
que X1 = R es simplemente conexo, y (X2, p2) es otro espacio recubridor de
X = S1 y por el corolario 2.2.1, se tiene que como existe el homeomorfismo
h : X1 → X2, entonces (X1, h) es un espacio recubridor de X2, es decir que,
X1 puede servir como espacio recubridor de cualquier espacio recubridor
de X = S1. Por esta razon, un espacio recubridor simplemente conexo,
tal como (X1, p1), se llama espacio recubridor universal o recubrimiento
universal.
IV.- Determinaremos el grupo de transformaciones recubridoras (automorfis-
mos) del espacio recubridor (R, p1).
En efecto:
Tenemos, la aplicacion recubridora:
p1 : R → S1
t 7→ p1(t) = (cos t, sen t)
Luego por la periodicidad de las funciones cos t, sen t, ∀t ∈ R; tenemos
entonces que la traslacion
Tn : R → R, definida por:
t 7→ Tn(t) = t+ 2nπ
es un automorfismo, ∀n ∈ Z.
Por tanto tenemos que:
G(R, p1, S1) = {Tn : R → R / p1 ◦ Tn = p1 , ∀n ∈ Z}
es el grupo de transformaciones recubridoras del recubrimiento (R, p1).
Graficamente tenemos (ver figura 2.14):
Luego:
Sean x1 un punto cualquiera de S1 y t1, t2 ∈ p−11 (x1), entonces, existe un
entero n tal que Tn(t1) = t2.
En efecto:
Como R es arco-conexo, entonces existe un camino:
α : [0, 1] → R , tal que
α(0) = t2 y α(1) = t, t ∈ R, con α = p1 ◦ α.
Sea:
β : [0, 1] → R otro camino en R tal que :
137
0 1
Figura 2.14:
R
0
β
Tn
α
p1◦Tn=p1
α=p1◦α
R
0
p1
S1
x=(1,0)
β(0) = t1 y β(1) = t, t ∈ R, con α = p1 ◦ β.
Entonces:
Tn ◦ β : [0, 1] → R es otro camino tal que :
Tn ◦ β(0) = Tn(t1) = t2 = α(0), Tn ◦ β(1) = Tn(t) = t = α(1)
Del grafico, tenemos:
p1 ◦ (Tn ◦ β) = α = p1 ◦ α
entonces:
p1 ◦ (Tn ◦ β) = p1 ◦ α
de donde:
Tn ◦ β = α
por tanto:
Tn ◦ β(1) = α(1)
Tn(β(1)) = t
Tn(t) = t
Es decir, que el G(R, p1, S1) opera sin puntos fijos sobre el espacio R. Esto
implica que toda transformacion recubridora del espacio recubridor (R, p1)
es una de estas traslaciones.
138
V.- Observese, ademas que la accion de G(R, p1, S1) sobre R es propiamente
discontinua.
En efecto:
Tenemos, por la observacion 2.1 y el teorema 2.4.1 que la accion deG(R, p1, S1)
sobre R es la aplicacion;
A : G(R, p1, S1) × R → R , definida por:
(Tn, x) 7→ A(Tn, x) = Tn(x) = ATn(x)
son homeomorfismos, ∀Tn ∈ G(R, p1, S1); ∀n ∈ Z.
La accion A cumple lo siguiente:
(i) ∀ x ∈ R y para n = 0 ∈ Z, existe T0 = Id ∈ G(R, p1, S1) tal que:
A(T0, x) = AT0(x)
= T0(x)
= x+ 2(0)π
= x
= Id(x)
= AId(x)
A(T0, x) = A(Id, x)
por tanto, existe T0 = Id ∈ G(R, p1, S1).
(ii): Sean Tn, Tm ∈ G(R, p1, S1), ∀ n 6= m, m,n ∈ Z, ∀x ∈ R:
ATn◦Tm(x) = ATn+m
(x)
= Tn+m(x)
= x+ 2π(n+m)
= x+ 2πn+ 2πm
= (x+ 2πm) + 2πn
= Tm(x) + 2πn
= ATm(x) + 2πn
= Tn(ATm(x))
= ATn(ATm
(x))
ATn◦Tm(x) = ATn
◦ ATm(x)
Por tanto: ATn◦Tm= ATn
◦ ATm.
139
(iii): ∀Tn ∈ G(R, p1, S1), ∀n ∈ Z; entonces ATn
es un homeomorfismo.
Sea:
Tn ∈ G(R, p1, S1) y T−1
n = T−n ∈ G(R, p1, S1)
se tiene que:
AT−1n
= AT(−n): R → R , tal que:
x 7→ AT(−n)(x) = T(−n)(x)
es la inversa de ATn, pues:
ATn◦ AT(−n)(x) = ATn
(AT(−n)(x))
= ATn(T(−n)(x))
= ATn(x+ 2(−n)π)
= ATn(x− 2nπ)
= Tn(x− 2nπ)
= (x− 2nπ) + 2nπ
= x− 2nπ + 2nπ
= x
ATn◦ AT(−n)(x) = Id(x)
por tanto ATn◦ AT(−n) = Id.
Analogamente se tiene que para: AT(−n)◦ ATn
= Id.
Por tanto: ATnes biyectiva y como AT(−n)
es continua, entonces ATn
es un homeomorfismo, ∀ Tn ∈ G(R, p1, S1), ∀ n ∈ Z.
Por tanto R es un G(R, p1, S1)−espacio.
Probaremos que A : G(R, p1, S1)×R → R es propiamente discontinua.
En efecto:
∀ x ∈ R, ∃Vxa⊂R tal que Vx ∩ Tn(Vx) = ∅, ∀Tn ∈ G(R, p1, S
1),
Tn 6= T0 = Id, T0 = Id ∈ G(R, p1, S1).
Tenemos que:
p1 : R → S1 es una aplicacion recubridora.
Entonces; existe una familia de abiertos en R los cuales son de la forma:
Vk = 〈k, k + 3/4〉 a⊂R ∀ k ∈ Z del ejemplo 1.14.1
Si: Vx = Vxa⊂R
Tenemos:
Tn(Vk) = 〈k + 2nπ, k +3
4+ 2nπ〉 , ∀n, k ∈ Z, n 6= 0
140
Luego:
Vk ∩ Tn(Vk) = 〈k, k + 3/4〉 ∩ 〈k + 2nπ, k + 3/4 + 2nπ〉 = ∅,
∀n, k ∈ Z, n 6= 0.
Por tanto, la accion A de G(R, p1, S1) sobre R es propiamente discon-
tinua.
Ejemplo 2.6.2.
El siguiente ejemplo muestra todos los teoremas de elevacion.
Sean
p1 : R2 → T = S1 × S1 definida por
(s, t) 7→ p1(s, t) = (e2πis, e2πit)
p2 : S1 × R → T = S1 × S1 definida por
(z, t) 7→ p2(z, t) = (z, e2πit)
dos aplicaciones recubridoras.
X1 = R2, X2 = S1 × R espacios conexos y localmente arco-conexos.
x1 = (0, 0) ∈ R2, x2 = (1, 0, 0) ∈ S1 × R, x = (1, 0, 1, 0) ∈ T = S1 × S1 los
puntos basicos de π(X1, x1) = π(R2, (0, 0)), π(X2, x2) = π(S1 × R, (1, 0, 0)) y
π(X, x) = π(T, (1, 0, 1, 0)) respectivamente, con p1(x1) = p2(x2) = x, es decir
p1((0, 0)) = p2((1, 0, 0)) = (1, 0, 1, 0). Si existe un homeomorfismo h : X1 → X2
tal que p2 ◦ h = p1 y h(x1) = x2, entonces:
p1#
(π(X1, x1
))= p2#
(π(X2, x2
))
Ademas determinemos el grupo de transformaciones recubridoras (automor-
fismos) del espacio recubridor (p1(X1)) de X = T .
Solucion:
Ver figura 2.15.
Tenemos lo siguiente:
(1) π(R2, (0, 0)) = {0}π(S1 × R, ((1, 0), 0)) ≈ π(S1, (1, 0)) × π(R, 0) ≈ Z × {0} ≈ Z
π(S1 × S1, ((1, 0), (1, 0))) ≈ π(S1, (1, 0)) × π(S1, (1, 0)) ≈ Z × Z
(2) Observese que:
La aplicacion recubridora p1 esta asociado el subgrupoH1 = {0} de π(T, ((1, 0), (1, 0))).
La aplicacion recubridora p2 esta asociado el subgrupo H2 = Z + {0} = Z
de π(T, ((1, 0), (1, 0))).
Tenemos entonces que H1 ⊂ H2; esto hace posible la existencia de un ho-
momorfismo:
141
Figura 2.15:
x1=(0,0)
π(R2, (0, 0)) h#
h
S1 × R
π(S1 × R, ((1, 0), 0))
p1#
p1
x2 = (1, 0, 0)
p2# p2
π(T, (1, 0, 1, 0))
T = S1 × S1
R
R
h : X1 = R2 → X2 = S1 × R , definido por:
(s, t) 7→ h(s, t) = (e2πis, t)
veamos si este homomorfismo es un homeomorfismo tal que p2 ◦ h = p1.
Pues se tiene que p1(x1) = p2(x2) = x.
Esto, se cumple por el corolario 2.2.2.
Ademas se tiene que:
h(x1) = h(0, 0) = (cos 0, sen 0, 0) = (1, 0, 0) = x2
entonces por corolario 2.2.4 tenemos que:
p1#
(π(X1, x1
))= p2#
(π(X2, x2
))
Consideremos:
H(x1) = p1#(π(X1, x1)) y
H(x2) = p2#(π(X2, x2))
y como p2 ◦ h = p1, entonces existen los homomorfismos p1#, p2# y h#
inducidos por p1, p2 y h respectivamente tal que p1# = p2# ◦ h#.
Entonces:
142
H(x1) = p1#(π(X1, x1))
= p2# ◦ h#(π(X1, x1)), h es homeomorfismo, entonces h# es sobreyectivo
= p2#(h#(π(X1, x1))) h# es sobreyectivo
= p2#(π(X2, x2)), p2# es inyectivo
H(x1) = H(x1)
por tanto:
p1#(π(X1, x1)) = p2#(π(X2, x2))
es decir H(x1) y H(x2) son subgrupos conjugados de π(X, x), entonces las
aplicaciones recubridoras de X = T = S1 × S1 son equivalentes.
Observese que X1 = R2 es simplemente conexo y como existe el homomor-
fismo h de (X1, p1) sobre (X2, p2), entonces (X1, h) es un espacio recubridor
de X2, es decir que (X1, p1) es un recubrimiento universal.
(3) Determinemos el grupo de automorfismos (transformaciones recubridoras)
del espacio recubridor (X1, p1).
En efecto:
Tenemos que el grupo de transformaciones recubridoras del espacio recu-
bridor (X1, p1) esta dado por las traslaciones, es decir:
Tm,n : R2 → R2
(s, t) 7→ Tm,n(s, t) = (s+m, t+ n), m,n ∈ Z
Graficamente tenemos (ver figura 2.16):
Luego:
sea x1 un punto cualquiera de T y t1, t2 ∈ p−1(x1)
Entonces existen m,n ∈ Z tal que Tm,n(t1) = t2.
Como R2 es arco-conexo, entonces existe un camino α : [0, 1] → R2 tal que
α(0) = t2 y α(1) = t con α = p1 ◦ α.
Sea β : [0, 1] → R2 otro camino en R2 tal que β(0) = t1 y β(1) = t ′ con
α = p1 ◦ βEntonces:
Tm,n◦β : [0, 1] → R2 es un camino tal que Tm,n◦β(0) = Tm,n(t1) = t2 = α(0),
Tm,n ◦ β(1) = Tm,n(t′) = t = α(1)
tenemos:
p1 ◦ (Tm,n ◦ β) = p1 ◦ αTm,n ◦ β = α
143
0 1T
Tm,n
Figura 2.16:
βα
p1
p1 = p1 ◦ Tm,n
α=p1◦α=p1◦β
x1=(0,0) x1=(0,0)R
R
R
R
por tanto
Tm,n ◦ β(1) = α(1)
Tm,n(t′) = t
Luego, tenemos que el grupo de transformaciones recubridoras del espacio
recubridor (X1, x1) = (R2, p1), el cual lo denotaremos por G(R2, p1, T ), ope-
ra sin puntos fijos sobre el espacio R2, esto implica que toda transformacion
recubridora del espacio recubridor (R2, p1) es una de estas traslaciones.
Capıtulo 3
Conclusiones
1.- El teorema 2.1.1 nos muestra que un problema puramente topologico (la
existencia de una aplicacion continua que verifica ciertas propiedades) se
reduce a un problema puramente algebraico; mediante las elevaciones de
homotopıas de aplicaciones recubridoras.
2.- Decimos que dos aplicaciones recubridoras p1 : X1 → X y p2 : X2 → X son
equivalentes si existe un homeomorfismo h : X1 → X2 tal que p2 ◦ h = p1,
donde X1 es un espacio simplemente conexo y X2 es un espacio conexo y
localmente arco-conexo, entonces (X1, h) es un espacio recubridor de X2.
3.- Si (X1, p1) es un espacio recubridor de X, con X1 simplemente conexo, y sea
(X2, p2) cualquier otro espacio recubridor de X, con X2 conexo y localmente
arco-conexo, entonces por el corolario 2.2.4, existe un homeomorfismo h :
X1 → X2, entonces (X1, h) es un espacio recubridor de X2, es decir que
el espacio X1 cubre tanto al espacio X2 como al espacio X. Por el hecho
de cumplir con esta propiedad el espacio X1 se llama un recubrimiento
universal.
4.- Si dado (X, p) un espacio recubridor de X y la clase de conjugacion de
π(X, x) representado por p#(π(X, x)), entonces (X, p) determina cada clase
de conjugacion p#(π(X, x)), siempre que x ∈ p−1(x).
144
Bibliografıa
[1] KOSNIOWSKI, Czes, Topologıa Algebraica. Editorial Reverte S. A., Espana.
l986.
[2] LIMA ELON, Lages, Grupo Fundamental y Espacos de Recobrimento. IMPA,
Rio de Janeiro. 1977.
[3] MASSEY, Willian S., Algebraic Topology: An Introduction. Harcourt, Brace
and World, INC., New York. 1976
[4] SPANIER, Edwin H., Algebric Topology . McGraw-Hill Book Company, New
York. 1966.
145
![Las Matem [1]](https://static.fdocuments.ec/doc/165x107/55b59b6ebb61eb172d8b464e/las-matem-1.jpg)
