Capítulo 4

Unidades didácticas. OrganizadoresIsidoro Segovia

Luis Rico

4.1. Introducción4.1.1. El currículo de matemáticasEn el capítulo primero establecimos que el currículo es un plan de formación para los

estudiantes El currículo de matemáticas para Educación Obligatoria es un plan de formación,que se propone ofrecer propuestas concretas sobre modos de:

* entender el conocimiento matemático,* interpretar el aprendizaje de las matemáticas,* poner en práctica la enseñanza de las matemáticas,* valorar la utilidad y dominio de los aprendizajes realizados en matemáticas,Un currículo se establece cuando se determinan las siguientes componentes: Objetivos,

Contenidos, Metodología y Evaluación. Estas cuatro componentes no pueden considerarse demanera independiente y aislada sino de modo conjunto, como un sistema, ya que existe unarelación muy estrecha entre todas las componentes. Una representación gráfica de esta idea esla que muestra al currículo como un tetraedro:

Objetivos

Contenidos

Metodología

Evaluación

Figura 4.1: Currículo como plan de formación

Los vértices representan las componentes mencionadas, las aristas expresan las relacionesentre cada dos componentes y las caras muestran las relaciones que se establecen entre cadatres componentes.

4.1.2. Currículo convencionalEn la planificación del currículo podemos encontrar distintos niveles de concreción. En

primer término, los decretos del Ministerio de Educación o de las Comunidades Autónomascon competencias en Educación muestran unas especificaciones sobre los objetivos,contenidos, metodología y evaluación, con carácter normativo, como ya vimos en el capítuloprimero. Esta normativa constituye una primera orientación de cómo debe desarrollarse laenseñanza de las matemáticas en las aulas de Primaria. No obstante su importancia, muestra unnivel muy general de consideración sobre la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas y noresulta suficiente para el diseño y planificación del trabajo que el profesor y los alumnos debenllevar a cabo en el aula.

Por otra parte, una de las mayores dificultades en el trabajo con las matemáticas escolaresestá en el peso de la tradición, es decir, en las rutinas fuertemente establecidas sobre el

currículo de matemáticas. A estas rutinas contribuyen muchas veces los textos y manualesescolares, menos preocupados por la creatividad y la invención.

Parece, por ejemplo, indiscutible el dominio del sistema decimal de numeración en laenseñanza primaria con una insistencia en la lectura, escritura, composición y descomposiciónde números cada vez más grandes. También hay una insistencia por el dominio de laspropiedades formales y el mantenimiento de rutinas convencionales para operar en losdiferentes sistemas numéricos, pero dedicando escasa consideración a las relaciones y alanálisis de diferentes estructuras numéricas con números pequeños. Igualmente ocurre con laenseñanza de la geometría, las magnitudes y el azar. El predominio de los aspectos formaleshace que para planificar el trabajo escolar en el aula se priorice el significado formal delconocimiento matemático.

De este modo, los aspectos formales y rutinarios se convierte en el sustento principal delcurrículo convencional, sin atender o considerar apenas ningún otro significado para losconceptos y estructuras matemáticas. Por currículo convencional entendemos aquel en quepredomina el significado formal del conocimiento matemático por encima de cualquier otrotipo de significación.

Se trata de una caracterización unidimensional del currículo, que asigna unaconsideración secundaria a otros modos de significación del conocimiento matemático,cuando no trata de eludirlos.

Actividad 4.1. Trabaja con un libro de texto de matemáticas de primaria. Selecciona unconcepto o estructura presentado en el libro. Muestra mediante un esquema o mapaconceptual el tratamiento formal con el que se trabaja ese tema.

4.1.3. Significados del conocimiento matemático.Además del significado formal, centrado en la lógica y la deducción, el conocimiento

matemático escolar necesita que se considere desde una pluralidad de significados, a losefectos de ser enseñado y aprendido. A diferencia de la matemática formal, las matemáticasescolares necesitan mostrar y considerar una mayor riqueza de significados, de manera queniños y jóvenes puedan integrar con sentido los nuevos conocimientos.

Son varios los significados del conocimiento matemático que se consideran importantespara la enseñanza.

En primer lugar el significado fenomenológico, que tiene en cuenta los conceptosmatemáticos en relación con los fenómenos de los que surgen; también consideran loscontextos y situaciones en los que se presentan y utilizan. Una breve presentación de lasignificación fenomenológica de las matemáticas la hacemos en el apartado 4.2.1

En segundo término contemplamos la diversidad de representaciones, o sistemassemióticos, que se utilizan para expresar las nociones, conceptos y propiedades de cadaestructura matemática. La consideración de los diversos sistemas de representación para unmismo concepto matemático aporta una mayor profundidad para su comprensión.Realizamos una breve reflexión sobre los sistemas de representación en el apartado 4.2.2.

En tercer lugar consideramos la diversidad de modelos correspondientes a cada concepto.La modelización de fenómenos se considera como el proceso de abstraer determinadascaracterísticas estructurales de una familia de fenómenos para resumirlas y esquematizarlasmediante una o varias estructuras matemáticas, de manera que se mantenga ciertoisomorfismo entre el fenómeno y la estructura, que permita que la manipulación operatoriaen la estructura exprese transformaciones en los fenómenos y situaciones consideradas, y

recíprocamente. En el apartado 4.2.3 presentamos algunas nociones básicas sobre modelos ymodelización

Los materiales manipulables y los recursos que se pueden emplear en la enseñanza decada tópico proporcionan otro modo de dar sentido al conocimiento matemático. Lamanipulación proporciona significación empírica que, aunque no es esencial en lamatemática formal, sí es determinante en el proceso de aprendizaje, como hemos puesto demanifiesto en el capítulo anterior.

En quinto término, destacamos la significación cognitiva de los conocimientos matemáticosque considera los errores y dificultades que se presentan en el aprendizaje de las matemáticas yque muestran los problemas que se detectan en la construcción de cada concepto por elaprendiz. En el apartado 4.2.5 hacemos una breve reflexión sobre este tipo de significación.

También resaltamos la significación histórica del conocimiento matemático, que tiene encuenta la evolución de cada campo e, incluso, de cada concepto, considera su caráctercontingente, ligado a una época y momento histórico y muestra estos conocimiento comoresultado del trabajo de unos hombres y mujeres en unas circunstancias determinadas. En elapartado 4.2.6 se presenta una reflexión sobre el sentido que aporta la historia a las matemáticasescolares.

Finalmente, en el apartado 4.2.7 revisamos la resolución de problemas como actividadcentral de las matemáticas, que dota a éstas de unas peculiaridades y proporciona un sentidopropio al proceso de enseñanza.

Estos significados proporcionan un segundo nivel de planificación. Ante una estructuramatemática es imprescindible dominar sus aspectos formales pero también hemos de conocer yestudiar sistemáticamente los fenómenos que sostienen ese conocimiento matemático, ladiversidad de representaciones que se cruzan en cada concepto, los modelos que aportan para lagestión de fenómenos, los materiales y recursos, los errores y las dificultades de aprendizaje, suevolución histórica y los problemas que se abordan y resuelven mediante la familia deconceptos matemáticos en cuestión. La consideración de esta pluralidad de significados, ademásdel dominio de la propia estructura, proporcionan una enorme riqueza para el análisis de laestructura conceptual que se considera en cada caso y para su transmisión y aprendizaje. Suestudio sistemático lo realizamos mediante los denominados organizadores del currículo,apartado 4.2.

Actividad 4.2. Continúa con el libro de texto de matemáticas. Selecciona un tema de loscontenidos tratados en el libro. Localiza diversos fenómenos, contextos y situaciones que semuestren con alguno de los conceptos elegidos. Describe distintos sistemas de representaciónque se utilicen para alguno de los conceptos considerados. Busca referencias de otrossignificados de ese concepto que aparezcan en el texto.

4.1.4. Unidades didácticas.Una vez que se ha completado el segundo nivel de planificación y se dispone de información

sobre la diversidad de significados del bloque de conocimientos que se quiere trabajar, elprofesor está en condiciones de abordar una planificación más concreta.

La enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en el aula se desarrolla a través de unidadesde información y de trabajo cuyos elementos integrantes tienen una estrecha relación. Si bienen un primer nivel la consideración se centra en los bloques de contenidos, dentro de cadabloque hay que considerar unidades de trabajo más reducidas, que tengan en cuenta el curso de

Primaria en el que se quiere trabajar, los conceptos que se quieren desarrollar y las destrezasmatemáticas relacionadas. Estas unidades de trabajo tienen una ubicación temporal y escolarmuy concreta. Se trata de los temas que, bajo una perspectiva práctica, se denominan unidadesdidácticas.

Una unidad didáctica es una unidad de programación y actuación docente constituida por unconjunto de actividades que se desarrollan en un tiempo determinado para la consecución deunos objetivos específicos. Las unidades didácticas constituyen "la línea de choque de laplanificación educativa con la práctica docente. Por ello debe contener los instrumentos deplanificación en su grado más concreto y los indicadores para detectar cómo se vaproduciendo el proceso de enseñanza-aprendizaje para facilitar la retroalimentación alprofesor y al alumno y el previsible cambio en el diseño de tareas o el uso de recursos" (Marín,1997).

Durante el proceso de planificación en este tercer nivel se selecciona la informaciónrecogida sobre el tópico o tópicos en el nivel anterior, es decir, junto con la estructuraconceptual en estudio se contemplan con carácter explícito, al menos, los fenómenos,representaciones, modelos, materiales, recursos, dificultades, errores, evolución histórica yresolución de problemas conectados con dicha estructura. Todas estas dimensiones permitenhacer una planificación detallada que se concreta en unos objetivos, contenidos, metodología yevaluación para un curso, unos alumnos y un momento escolar determinados. La unidaddidáctica es, finalmente, una planificación de unas sesiones de trabajo sobre un tema dematemáticas concreto y con unas prioridades determinadas en los signifi cados considerados.

Actividad 4.3. Continúa con el texto de matemáticas. Analiza cuántas unidades didácticasaparecen y cómo están secuenciadas. Haz un esquema de cómo están organizadas cada una deellas. Establece si en esa unidad se reconocen los distintos significados mencionados.

4.2. Los organizadores del currículoEn los libros de texto y en la propia práctica docente puede apreciarse que la organización

de una unidad didáctica no se reduce a una secuenciación de conceptos y procedimientos sinoque incorpora otras informaciones, que aportan diferentes sentidos al conocimiento matemáticoy lo enriquecen. Hemos mencionado una serie de significados que, aunque no aparezcanexplicitados, son parte imprescindible del diseño y desarrollo de cada unidad.

Denominamos Organizadores del Currículo, o simplemente Organizadores, a aquellosconocimientos que adoptamos como componentes fundamentales para articular el diseño,desarrollo y evaluación de unidades didácticas. Los organizadores son aquellos conocimientosque sostienen los significados contemplados para las matemáticas escolares.

Entre los organizadores relevantes se encuentra la fenomenología didáctica, cuyo objeto deestudio son los fenómenos de los que han surgido los conceptos como formas de organización,así como las aplicaciones prácticas de los conocimientos; los sistemas de representación de losconceptos y procedimientos, establecidos mediante convenios o por propia decantación decarácter práctico a lo largo de la historia de la matemática; los modelos matemáticos y losprocesos de modelización usuales, mediante los cuales se asigna una estructura matemática auna familia de fenómenos que quedan representados mediante un sistema; los materiales yrecursos que puedan emplearse en la enseñanza para manipular y experimentar; los errores,dificultades y obstáculos asociados a conceptos y procedimientos de cada unidad, que se handetectado en el aprendizaje y que se han puesto de manifiesto en estudios e investigaciones depsicología matemática; la historia de las matemáticas que nos muestra los momentos de interésrelacionados con cada uno de los tópicos del currículo de las matemáticas escolares. Tambiénlos estudios sobre resolución de problemas constituyen un conocimiento organizador relevantedel currículo de matemáticas.

Todos estos conocimientos proporcionan una información que permite dar una nuevaperspectiva a las componentes del currículo: Objetivos, Contenidos, Metodología y Evaluacióny a las relaciones entre ellos. No cabe duda que, dependiendo de los casos, se hará másconveniente una mayor insistencia en unos organizadores que en otros, e incluso seráconveniente la incorporación de algunos nuevos, lo cual constituye un elemento diferenciador.

Las lecciones de este manual dedicadas a los distintos tópicos de las matemáticas deprimaria están estructuradas atendiendo a los organizadores del currículo, es decir, estudianuna estructura conceptual y para ello contemplan su fenomenología, sistemas derepresentación, modelos, materiales y recursos, errores y dificultades, desarrollo histórico, yresolución de problemas. Esta reflexión se hace, con distintos matices, en cada una de laslecciones a partir de la sexta. En este apartado se describen y ejemplifican cada uno de losorganizadores a los que se ha aludido, y se muestra el interés que presentan desde un puntode vista didáctico.

4.2.1. FenomenologíaLa fenomenología de un concepto matemático la constituyen los fenómenos para los

cuales dicho concepto constituye un medio de representación y organización; por ejemplo, elconcepto de número está relacionado con una gran cantidad de fenómenos, la mayor parte deellos referidos a cantidad, medida y orden; las figuras geométricas como objetosmatemáticos organizan un conjunto de fenómenos que se puede calificar globalmente comoel mundo de los contornos.

Un análisis fenomenológico consiste en describir fenómenos asociados a los conceptosmatemáticos así como la relación que existe entre ellos. Tiene como finalidad constituir unaayuda para la organización de la enseñanza de las matemáticas; constituye, además, unafuente de información para, la organización de actividades motivadoras y el planteamientode problemas. Así, la fenomenología asociada al concepto de longitud la constituyen:

las propiedades expresadas mediante los términos, corto, largo, cerca, lejos, etc.las relaciones que permiten establecer estos términos: más corto, más largo, etc.la relación de la longitud con la rigidez, su invarianza ante ciertas transformaciones de

congruencia planas o espaciales o de descomposición y posterior recomposición.los diferentes fenómenos en las que puede presentarse la longitud: dimensiones, distancias y

trayectorias:Figura 4.2: Diferentes fenómenos del concepto de longitud

Todas estas ideas deben tenerse en cuenta para la organización y desarrollo de la unidaddidáctica correspondiente.

La fenomenología de cada uno de los conceptos debiera estar en la base de los diferentesejercicios y actividades que se proponen o de las actividades de motivación y ampliación; noes usual que los libros de texto hagan un barrido explícito de las principales opcionesfenomenológicas para un determinado concepto pero está claro que, si se quiere presentar untópico matemático en toda su riqueza y pluralidad de significados, debe considerarse enconexión con diferentes fenómenos y deben contemplarse otros campos del conocimiento.

En Rico y otros (1994), encontramos:

Hay situaciones cotidianas en las que escogemos o seleccionamos grupos de objetos.La elección de un almuerzo de un menú de un restaurante es un ejemplo de selección.

Con frecuencia establecemos ordenaciones; las posiciones de los muebles en unahabitación o las formas de alojarse cuatro personas en un vehículo implican posiblesordenaciones. Nuestro lenguaje o el sistema de numeración decimal se componen deagrupaciones ordenadas -palabras o números- tomadas del alfabeto o de los 10 dígitos.

Las situaciones comentadas y muchas otras similares se denominan situacionescombinatorias. Se reconocen porque existe un conjunto sobre cuyos objetos aplicamosalgún criterio de colocación, selección u ordenación, generándose varias solucionesacordes con el criterio

Se debe añadir que, en un primer nivel los fenómenos los constituyen los objetos del mundoreal y las acciones sobre los objetos que dan lugar a conceptos y estructuras; en un segundonivel, estos conceptos pasan a constituirse a su vez en fenómenos que generan nuevosconceptos de una mayor nivel de abstracción. Por ejemplo, el concepto de número natural, quese deriva de fenómenos de cantidad y orden, interviene en los fenómenos que dan lugar alconcepto de número racional.

Actividad 4.4Busca en un diccionario la descripción del término fenómeno desde el punto de vista de la

filosofía y relaciona tales términos con la descripción anterior.Elige un concepto matemático y haz un listado de los fenómenos que están relacionados con

dicho concepto según el siguiente esquema:

Concepto matemático

Terminología asociada

Acciones relacionadas

Situaciones

4.2.2. Sistemas de representaciónCuando recordamos, razonamos o comunicamos nuestras reflexiones usualmente no lo

hacemos presentando los objetos o conceptos sobre los que tratamos sino que nos servimosde expresiones, dibujos o símbolos que, de algún modo, las representan. Para pensar yrazonar sobre ideas matemáticas es necesario hacerse una representación interna de lasmismas de forma que la mente tenga posibilidad de operar con tales representaciones. Paracomunicar las ideas es preciso representarlas para que sea posible la comunicación.

Representaciones: son las notaciones simbólicas o gráficas, específicas para cada noción,mediante las que se expresan los conceptos y procedimientos matemáticos así como suscaracterísticas y propiedades más relevantes Por ejemplo: lanotación decimalpara la

escritura de los números reales; el diagrama cartesiano, que asigna un punto del plano acada pareja de números; las figuras del plano, con las que representamos las nociones depolígono o figura poligonal, etc.

El conjunto de símbolos, gráficos y reglas que permite representar una estructuramatemática han de responder a su carácter sistémico, por lo que hablamos en general desistemas de representación en vez de representación simplemente

Un sistema de representación lo constituyen los símbolos y gráficos mediante los que seexpresan los diferentes conceptos y procedimientos matemáticos; por ejemplo, el sistema denumeración decimal o indoarábigo es una forma de expresar los números; también lo es elantiguo sistema de numeración romano. Los sistemas de representación constituyen un aspectofundamental de la enseñanza en cuanto que el conocimiento se produce mediante elprocesamiento de la información visual y su integración con procedimientos analíticos. Parapensar y razonar matemáticamente es necesario tener una representación en la mente, la cualconstituye una interiorización de las representaciones externas; de igual manera, lasrepresentaciones externas constituyen un medio por el que se exteriorizan las imágenes yrepresentaciones mentales; para que estos procesos se realicen de la mejor forma, se hacepreciso que las representaciones externas sean lo más variadas posible.

Por ejemplo el número dieciséis puede simbolizarse de diferentes maneras:a) En el Sistema Decimal de Numeración: 16b) Como un punto de la recta numérica:

Figura 4.3: Recta numérica

c) Como resultado de una operación u operaciones:8+8; 9+7; 10+6, 15+1; ...2x8; 4x4; 2x2x4; 1x16, ... .8+2x4; 3x3+7; 2x5+2x3, .... .

d) Como número figurado

Cuando la representación de un concepto se realiza siempre de la misma forma provocaerrores en el aprendizaje. Por ejemplo, la representación habitual del cuadrado sobre uno de loslados da lugar a que en otra posición (Fig. 4.4) un alumno piense que es un rombo.

Figura 4.4: Cuadrado

Las diferentes representaciones para los conceptos y procedimientos matemáticos sepresentan explícitamente así como las conexiones entre ellas pero raras veces se insiste en

que expresan diversas facetas y propiedades de un mismo concepto. Hay que destacar que latarea de enseñar y aprender las representaciones convencionales no es sencilla, por el hecho deque la relación entre el sistema de representación y la estructura matemática correspondiente esbastante más compleja de lo que parece; piénsese por ejemplo, en el significado de una fraccióncomo partes de un todo y su forma de representarlo: el denominador representa las partesiguales en las que se divide la unidad y el numerador representa el número que, de esas partes,se consideran. Tampoco son sencillas las traducciones entre diferentes sistemas derepresentación; sirva como ejemplo el paso de número decimal a fracción y viceversa.

Actividad 4.5. Localiza en un libro de texto de primaria diferentes representaciones paralos números racionales. Haz un listado de todas las representaciones que conozcas delnúmero 3/4

4.2.3. ModelosLos modelos matemáticos muestran la relación entre los fenómenos y los conceptos. Un

modelo es una maqueta o esquema de la realidad, que se elabora para facilitar lacomprensión y estudio de su complejidad.

Nuestra noción de modelo se sostiene sobre la idea de isomorfismo:Un sistema B representa un modelo de un sistema A si, en base a un cierto isomorfismo,

una descripción o una solución producida en términos de A se puede reflejarconsistentemente en términos de B, y viceversa.

La noción de modelo es relacional:* puede consistir en un material que esquematiza y ejemplifica un concepto abstracto;* puede consistir en una relación formal que proporciona estructura a unos fenómenos

por medio de unos conceptos matemáticos.

Mundo real

Fenómenos

Matemáticas

Conceptosmodelos

Así, un esquema o material estructurado es un modelo cuando está sometido a unas reglasque muestran un concepto, estructura conceptual o, incluso, un fenómeno. Por ejemplo, elábaco es un modelo del Sistema de Numeración Decimal.

Figura 4.5: Ábaco.

Una clasificación de los modelos distingue tres tipos: Modelos concretos. Representan unaidea matemática mediante un objeto o material físico; por ejemplo, el geoplano:

Figura 4.6: Geoplano

es un modelo discreto del plano geométrico; los bloques multibase son modelos que simulanlos diferentes sistemas de numeración posicionales.

Modelos pictóricos. Representan ideas matemáticas mediante diagramas o ilustraciones; porejemplo, los diagramas de Ven para la representación de conjuntos de elementos o lasrelaciones entre conjuntos establecidas por una función; la línea numérica sobre la que se puederepresentar la suma de dos números (Fig. 4.7).

Figura 4.7: Recta numérica

Modelos simbólicos. Representan determinados fenómenos mediante relaciones oestructuras matemáticas, que utilizan sistemas de representación simbólicos y gráficos. Así hayfenómenos de relaciones entre cantidades que admiten ser modelizados mediante relacioneslineales.

Por ejemplo, la expresión y=3x+5 es un modelo matemático para una relación entre dosfamilias de cantidades, que varían una en función de otra, de manera que cualquier cantidad dela segunda es el triple de la correspondiente cantidad de la primera mas cinco.

La línea recta de la figura 4.8 es otro modelo para la relación anterior entre cantidades:

y=3x+5

Figura. 4.8: Relación lineal

Los modelos permiten conectar los conceptos con los fenómenos que organizan esosconceptos; su uso en la enseñanza tiene como objetivo mejorar la adquisición de conceptos por

parte de los estudiantes. En el caso del ábaco, se usa en la enseñanza y aprendizaje del sistemade numeración y de las operaciones aritméticas en una fase manipulativa; las actividades con elábaco permiten visualizar el valor posicional de las cifras, mejorar la comprensión del cero,evitar errores en la posición de las cifras para la realización de los algoritmos de suma y resta,entre otros.

Actividad 4.6. Localiza en un libro de texto de primaria diferentes modelos matemáticos.Explica cual es el fenómeno o concepto que se modela en cada caso.

Localiza un material que permita modelar la suma de números naturales.

4.2.4. Materiales, medios y recursosLos materiales y recursos han sido tratados en el capítulo anterior, lo cual pone de

manifiesto su importancia. Los materiales, medios y recursos son parte imprescindible de unaconcepción del aprendizaje a la que se ha aludido y en la que la intervención del alumno, suacción, es fundamental para la construcción de su propio conocimiento.

Desde esta perspectiva el aula tradicional debe dar paso a un aula en la que el alumno tengala posibilidad de:

a) Trabajar en grupo, b) Construir materiales, c) Investigar actuando sobre materiales

Estas ideas suponen una modificación radical del aula de matemáticas, que se transforma enun Laboratorio de Matemáticas o un Taller de Matemáticas.

En el aula Taller el alumno debe realizar construcciones y elaborar materiales propios, endonde se pongan de manifiesto o desarrollen determinados conceptos o propiedades. En el aulaLaboratorio el alumno actúa sobre materiales ya existentes. En ambas se trata de utilizar unametodología experimental para la enseñanza de las matemáticas, que conduzca al alumno desdela intuición a la descripción, a la definición y al dominio de un concepto. El papel del profesoren estas situaciones es el de promotor de la investigación, ha de presentar, organizar y guiar eltrabajo pero nunca ser el protagonista del saber.

4.2.5. Dificultades y errores en el aprendizajeEn el aprendizaje de las matemáticas en todos los niveles educativos existen diversas

dificultades de procedencia y naturaleza variada y que dan lugar a errores en la comprensión yen las producciones de los alumnos. Este tema ya ha sido tratado en el capítulo segundo.

Destacamos aquí el papel de los errores como un elemento importante en la organización delcurrículo que debe dirigirse al diseño de enseñanzas que los eviten; por ejemplo, un errorfrecuente es la confusión que presentan algunos alumnos entre el concepto de área y el deperímetro; por ello, en la planificación de la enseñanza de ambos conceptos debemos establecerestrategias de actuación que eviten esta confusión.

Los errores también pueden utilizarse como motivación, como punto de partida para laexploración de unas matemáticas más creativa y como medio de que los alumnos mejoren sucomprensión sobre ellas. Otro aspecto de los errores que tiene un gran interés es su relación conla evaluación. En la evaluación se debe superar el tratamiento penal a las producciones erróneasy orientarla a detectar dificultades y poner medios para superarlas.

Actividad 4.7. Haz un listado de las dificultades más notables que recuerdes en el períodode tu aprendizaje de las matemáticas en la enseñanza obligatoria.

4.2.6. Historia de las matemáticasCada uno de los conceptos matemáticos que hoy día conocemos es resultado de un amplio

d l ió h t id l l d l ñ h i l

ha implicado la intervención de un cúmulo de escuelas y personalidades relevantes dentro deldesarrollo de la matemática. La evolución histórica de los conceptos matemáticos despierta uninterés para la enseñanza que, en la actualidad, parece estar más acentuado que en épocasprecedentes, por diferentes razones.

Para el profesor, la historia dentro de la enseñanza de la matemática le permite conectar conun conjunto de medios que hacen más asequible al alumno el conocimiento matemático;también le ayuda a descubrir las dificultades y errores que se han presentado en el desarrollo delos conceptos ya que, probablemente, estas mismas dificultades se presenten en los alumnos,siguiendo el principio psicológico de que la ontogenia es una recapitulación de la filogenia.

Para el alumno, la historia le permite dejar de considerar a las matemáticas como una cienciaterminada de construir restableciéndose su estatus de actividad cultural y humana; la historia esmotivadora para el alumno y, en algunos casos, le permite comprender mejor los conceptos através de su desarrollo y cambio.

En la enseñanza de las matemáticas en Primaria pueden ser diferentes las formas de uso dela historia. Destacamos algunas:

a) Mencionando anécdotas matemáticas del pasado.b) Presentando una introducción histórica de los conceptos nuevos para los alumnos.c) Fomentando en los alumnos la comprensión de los problemas históricos cuyasolución ha dado lugar a los conceptos.d) Ideando ejercicios utilizando para ello textos matemáticos del pasado.e) Fomentando la creación de carteles, exposiciones u otros proyectos con temashistóricos.f) Realizando proyectos en torno a una actividad matemática local del pasado.g) Usando ejemplos del pasado para ayudar a comprender y resolver lasdificultades del aprendizaje.

Por ejemplo, una actividad de carácter histórico que permite una mejor comprensión delfuncionamiento del algoritmo usual de la multiplicación es pedir a los alumnos queinvestiguen el funcionamiento de algoritmos antiguos como el de "la copa" para lamultiplicación de dos números. En la figura 4.9 se muestra la multiplicación de 674 por 38.

674 / 38 18862 412 253

25612Figura 4.9: Algoritmo de la copa

Actividad 4.8. Trabajo en grupo. Elegid un tópico o concepto matemático sencillo y buscadinformación sobre algunos datos históricos relevantes de ese concepto. Redactad unasorientaciones para alumnos de primaria que ayuden en la elaboración de un cartel en el queaparezcan los datos históricos implicados.

4.2.7. La resolución de problemasLa Resolución de Problemas es uno de los objetivos fundamentales de la enseñanza de las

Matemáticas. La resolución de problemas matemáticos se considera útil por tres razones. Enprimer lugar, porque se resuelven muchos problemas matemáticos en la vida diaria; en segundotérmino, porque la experiencia adquirida en la resolución de problemas matemáticos esaplicable para la resolución de otros problemas no matemáticos; en tercer lugar, porque laresolución de problemas es un proceso de razonamiento que ayuda a pensar mejor.

El trabajo en Resolución de Problemas en el aula se puede abordar desde tres perspectivas.La Resolución de Problemas se puede trabajar fuera del ámbito de los diferentes temas, biencomo un tema diferenciado, o bien dedicando un tiempo en la clase de matemáticas a resolverproblemas pero no asociados al contenido que se trabaja en esos momentos. Una segundaopción considera la Resolución de Problemas como metodología general de trabajo de losdiferentes temas. La tercera opción contempla resolver problemas asociados a cada uno de lostemas con carácter complementario. En cualquier caso la Resolución de Problemas debeconstituir un elemento estable y permanente en la estructuración y organización de laenseñanza de las matemáticas.

La idea de problema que aquí se considera se refiere a situaciones problemáticas en lascuales el resolutor no dispone a priori de ningún procedimiento o técnica apropiada paraencontrar respuesta. Desde esta perspectiva cualquier actividad escolar no puede considerarsecomo un problema, por ejemplo, después de explicar como se suman dos fracciones, pedir a losniños que obtengan el resultado de 3/4 + 5/7, no puede considerarse como un problema, sinocomo un ejercicio. Tampoco constituiría un problema un enunciado en el que estuvieseimplicada la suma de fracciones cuando el estudiante sabe de antemano que es la suma defracciones la operación que lo resuelve.

¿Qué se puede hacer para enseñar a resolver problemas?Polya, en su libro "Cómo plantear y resolver problemas" (1945), puso de manifiesto que es

conveniente dar orientaciones que ayuden en la resolución de los problemas, es decir, ayudaspara saber cómo actuar ante un problema.

Polya propone cuatro fases de resolución que están orientadas a los problemas típicosescolares:

1) Comprender el problema2) Concebir un plan3) Ejecutar un plan4) Examinar la solución obtenida

En la superación de cada una de las fases, Polya opina que se pueden plantear a los alumnospreguntas y sugerencias que le ayuden a entender el proceso. Por ejemplo, en el caso de lasegunda fase: ¿te has encontrado con un problema semejante?, ¿conoces algún problemarelacionado con este?, ¿conoces algún teorema o propiedad que esté relacionada?, ¿se puedeenunciar el problema de otra forma?, ¿puedes imaginar un problema análogo algo másaccesible?, ¿puedes resolver una parte del problema?, y otras. A este tipo de herramientas quepueden ser útiles para resolver un problema los denomina heurísticos.

Se han obtenido diferentes herramientas heurísticas analizando los procesos de resolución deproblemas que utilizan los expertos. Ese análisis está generalizado en las investigaciones paradescubrir las estrategias que mayor rendimiento producen. Una reflexión en voz alta de lo quehacemos cuando resolvemos un problema puede ser un modo de descubrir heurísticos.

He aquí un listado de herramientas heurísticas:- Heurísticos para representar o comprender el problema: Repite el problema con tus propias

palabras, identifica los datos, lo que se pide y la información necesaria, identifica unsubobjetivo, introduce la notación adecuada, busca un modelo, construye una tabla, relacionatodas las posibilidades, realiza un dibujo o esquema, descubre suposiciones ocultas, etc.

- Heurísticos para idear un plan: Actúa, conjetura y prueba, mira hacia atrás, resuelve unproblema similar más sencillo, cambia tu punto de vista, divide el problema en partes, etc.

Ejemplo1: Tenemos tres jarras de capacidades 8, 5, y 3 litros. La más grande esta llena dezumo de naranja y las otras están vacías. Se trata de verter, sin usar ninguna otra vasija, treslitros en cada una de las jarras vacías.

Solución: Un heurístico que facilita mucho la resolución de este problema es emplear unanotación adecuada. La situación inicial de las jarras la representamos así: 800. El primer dígito,8, representa la jarra grande y su contenido; el segundo dígito representa la jarra mediana y sucontenido, en este caso 0; el tercer dígito representa a la jarra pequeña y su contenido, también0. De esta forma es fácil representar los distintos cambios de líquido que podamos hacer; unasecuencia que nos lleva a la solución es la siguiente:

800 503 530 233

Ejemplo 2: Mover dos palitos de la figura 4.10 de forma que se obtengan cuatro cuadradosiguales.

Figura 4.10: Palillos I

Solución: En este caso, el heurístico más práctico consiste en “mirar atrás”. Cuatrocuadrados, que es la solución, están formados por dieciséis palitos; como en total son dieciséispalitos los que tenemos, en la solución, los cuadrados no deben tener palitos comunes; si esto esasí deberán estar entonces conectados por los vértices como en la figura 4.11.

Figura 4.11: Palillos IIAhora ya no queda más que comparar ambas figuras y determinar qué movimientos hay que

hacer en la primera para obtener la segunda.

Actividad 4.9. Resuelve los problemas siguientes aplicando las ideas propuestas por Polyae indica qué heurísticos has utilizado:

a) ¿Cuál es el dígito de las unidades del número 7 399?b) Un hexágono está formado por seis palitos; añadiendo un palito y moviendo dos se

obtienen dos rombos. Qué palitos hay que mover y cuál será la figura resultante.c) Con las jarras de la actividad 1, mostrar cómo transferir 4 l. de zumo desde la jarra

grande a la mediana, dejando la pequeña vacía.

4.3. Elaboración de unidades didácticasLos organizadores del currículo facilitan el proceso de realización de unidades didácticas, es

decir, el tercer nivel de concreción en el diseño del trabajo escolar. Elaborar una unidaddidá ti i t i l t l bj ti t id t d l í

recursos, materiales, actividades y evaluación para un período de tiempo relativamente corto, 2o 3 semanas, y sobre un tópico concreto. Por ejemplo, desde esta perspectiva, constituyenunidades didácticas, la suma y resta de números naturales, las fracciones, los movimientos delplano, etc.

Los organizadores a los que hemos hecho referencia permiten un análisis didáctico detalladode cada uno de los tópicos del currículo y constituyen, por tanto, un soporte fundamental parala elaboración de las unidades didácticas. La información que proporcionan ofreceorientaciones para organizar los contenidos de los diferentes temas, para establecer objetivos deaprendizaje, planificar la acción en el aula y dar criterios de evaluación.

En relación al establecimiento de los Objetivos de cada unidad, un primer aporte loconstituyen los documentos y normativas oficiales, es decir los decretos del Ministerio deEducación y los de la Comunidad Autónoma correspondiente. En estos documentos losobjetivos tienen un carácter muy general que no permite su concreción en un listado para cadaunidad. En este sentido, dentro del marco de libertad que cada profesor tiene, los Organizadorespueden constituir criterios para su elaboración. Así, y con carácter general, para cada unidadpodrán establecerse objetivos que hagan referencia a:

- Prioridades en el dominio conceptual y procedimental.- Conocimiento de los sistemas de representación y dominio de las tareas de conversión

entre los diferentes sistemas. Niveles convenientes de dominio en cada caso.- Competencias en la ejecución de procedimientos, en especial en la modelización.- Familiaridad con los contextos y situaciones en los que los conceptos y procedimientos

tienen un uso y aplicación convenidos; comprensión de los principales significados de cadacampo conceptual.

- Control de los errores usuales y superación de las dificultades conceptuales.- Prioridades en los medios tecnológicos, en la selección de recursos específicos y en el

dominio de tales medios y recursos.- Fomento de actitudes positivas respecto a las matemáticas tales como: satisfacción por

la tarea bien hecha, por la construcción coherente de argumentos, la resolución de problemas,búsqueda de la verdad y apreciación de la belleza en las realizaciones matemáticas.

En relación al establecimiento de los Contenidos de cada unidad que permitan laconsecución de los objetivos anteriores, el marco de referencia debe ser también el de lanormativa oficial que, en epígrafes muy generales, clasifican los contenidos en Conceptuales,Procedimentales y Actitudinales. Los Objetivos establecidos en base a los Organizadoresconstituyen un punto de partida para el establecimiento de un listado de Contenidos para cadaunidad. Así, se establecerán contenidos que permitan:

- El dominio conceptual y procedimental.- El conocimiento de los sistemas de representación y dominio de las tareas de

conversión entre los diferentes sistemas.- Las competencias en la ejecución de procedimientos y tareas de modelización.- La familiaridad con los contextos y situaciones en los que los conceptos y

procedimientos tienen un uso y aplicación convenidos y comprensión de los principalessignificados de cada campo conceptual.

- También los Organizadores deben proporcionar criterios para:- Organizar y estructurar cada uno de los campos conceptuales.- Organizar y secuenciar las dificultades que se prevén en cada caso.- Delimitar los campos de aplicaciones y fenómenos en que se va a trabajar.- Determinar los preconceptos y errores previsibles, así como su conexión con la

estructura del campo conceptual.- Conectar cada campo conceptual con algún momento relevante de su historia.

En cuanto a la Metodología de trabajo en el aula también las orientaciones que proporcionanlos documentos oficiales constituyen una referencia básica que debe tenerse en cuenta. Por otrolado el marco de análisis de los Organizadores permite establecer criterios con referencia a:

- Seleccionar situaciones que permitan ejemplificar los principales conceptos de cada tema.- Diseñar actividades para detectar creencias previas de los alumnos y plantearles

conflictos cognitivos; diseño de estrategias para su superación.- Establecer secuencias de actividades y ejercicios para presentar los diversos sistemas de

representación y las conexiones entre ellos.- Diseñar tareas que favorezcan el aprendizaje cooperativo y la discusión de los signifi-

cados asociados a cada tópico.- Seleccionar materiales y recursos mediante los que trabajar con los diversos conceptos y

procedimientos.- La motivación, presentación, tratamiento del tema y modo de trabajo en el aula.- Establecer propuestas para reforzar el interés de los alumnos por el tema en estudio.

Para la Evaluación el marco de análisis de los Organizadores también permite establecercriterios con referencia a:

- Diseño y selección de tareas sobre las que valorar la comprensión y dominio alcanzadosen conocimientos concretos.

- Diagnóstico y corrección de errores conceptuales y procedimentales.- Cuestiones relevantes que controlar; detección de carencias en el uso de las

representaciones y en las tareas de traducción entre ellas.- Tareas abiertas para valorar la comprensión global y las estrategias de alto nivel.- Sistemas para obtener información sobre el conocimiento logrado por los alumnos,

seleccionarlo y registrarlo.- Métodos adecuados para la valoración del aprendizaje alcanzado y de las actitudes

desarrolladas por los alumnos.

La consideración y concreción de los cuatro elementos básicos del currículo, objetivos,contenidos, metodología y evaluación es una primera e importante fase de aproximación a laelaboración de una unidad didáctica. Queda, por último, establecer el quehacer del día a día delperíodo en el que se supone se va a desarrollar la unidad. En este sentido cada unidad tiene suscaracterísticas propias y no pueden establecerse unos criterios únicos de elaboración. Un marcode desarrollo lo constituye la consideración de una primera fase de presentación, exploración ymotivación de la unidad, una segunda de desarrollo en la que la secuenciación de contenidos esel criterio básico de estructuración y una tercera de consolidación y ajuste de ritmos en que losalumnos cimenten sus conocimientos y en algunos casos avancen en tareas de ampliación.Estas tres fases, dependiendo de la unidad temática podrán estar solapadas en el tiempo eincluso pueden ser el marco de desarrollo de subunidades.

Actividad 4.10. Elige una unidad didáctica de matemáticas de Primaria, analiza sudesarrollo en un libro de texto y haz un resumen de tu análisis en una ficha como la siguiente.

Titulo de la Unidad Didáctica:Tipo de presentación:Secuencia de contenidos:Tipo de actividades de consolidación:Tipo de actividades de ampliación: