Unidad N 9 t de Student

UNIDAD N9DISTRIBUCION t de STUDENTESTADISTICAAPLICADAFEB2015

La distribucin t o de Student es una funcin de probabilidad con forma tipo campana simtrica.Suponer que se toma una muestra aleatoria de tamao de una poblacion con distribucin normal con media y varianza desconocida. En este caso ya no se puede usar la variable aleatoria Z. En su lugar debe usarse otro estadstico denominado T o de Student.La distribucin de t de Student no tiene esta limitacin, porque an, para muestras de n < 30 casos tomada de una poblacin normal, se asume que = s. As sustituyendo el valor de por s la funcin de t de Estudiante nos da: (9.1) Tiene distribucin t con grados de libertad Donde: = media muestral = media poblacional que se quiere probar = grados de libertads = desviacin estndar de una muestran = tamao de la muestra = error estndar del promedio

9.1 Propiedades de la distribucin de t de Student

La distribucin de t de Student es una familia de distribuciones, cada una caracterizada por el nmero de grados de libertad . Es similar a la distribucin de z normal, con promedio igual a cero y es simtrica en forma de campana. Su forma depende en el tamao de la muestra. Con tamaos de muestras pequeas, la forma de esta curva es menos picuda que la normal, pero a medida que n llega a 30 casos o se va a infinito, s se aproxima a y la t de Estudiante se aproxima a la distribucin normal (Fig.1) Suponiendo que se toma una muestra aleatoria de tamao n de una poblacin con distribucin normal con media y varianza desconocida. En este caso ya no se puede usar la variable aleatoria z. En su lugar debe usarse otro estadstico denominado t de Student.Este estadstico es til cuando por consideraciones prcticos no se puede tomar una muestra aleatoria grande y se desconoce la varianza poblacional. Pero es necesario que la poblacin tenga distribucin normal.

En probabilidad y estadstica, la distribucin t (de Student) es una distribucin de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una poblacin normalmente distribuida cuando el tamao de la muestra es pequeo.Grados de libertad, expresin introducida por Fisher: De un conjunto de observaciones, los GL estn dados por el nmero de valores que pueden ser asignados arbitrariamente, antes de que el resto de las variables tomen un valor automticamente, producto de establecerse las que son libres, esto, con el fin de compensar e igualar un resultado el cual se ha conocido previamente.

UNCPFACULTAD DE INGENIERIA CIVILIng. LUIS CLEMENTEPAG 1/12


9.2 GRAFICO DE LA DISTRIBUCION t

La forma especfica de la distribucin t depende del valor de , el cual es el parmetro para este modelo con la definicin: y se denomina grados de libertad.

Fig. 1 Distribucin t para =2, 5 e grados de libertad

Se observa cmo, a medida que , la distribucin t se aproxima a la distribucin normal.Para calcular la probabilidad con la distribucin t, si no se dispone de una calculadora o un programa estadsticos, se pueden usar tablas que contienen algunos valores de esta distribucin para diferentes grados de libertad con la siguiente definicin:

Definicin es el valor de t, tal que el rea a la derecha es igual a P( t =

Uso de la distribucin t

La distribucin de Student fue descrita en 1908 por William Sealy Gosset. El trabajaba en una fbrica de cerveza, Guinness, que prohiba a sus empleados la publicacin de artculos cientficos debido a una difusin previa de secretos industriales. De ah que Gosset publicase sus resultados bajo el seudnimo de Student.



9.3 Diferencias entre la distribucin de t de Estudiante y la distribucin normalLa distribucin de t se usa en lugar de la distribucin normal, cuando el tamao de la muestra es menor que 30 casos.

Cuando hablamos de la distribucin normal, ste requiere que la muestra sea de n 30 observaciones o que, la poblacional muestreada sea normal.

Este tamao de muestra se considera como una muestra grande. Pero cuando la muestra de casos es n < 30 observaciones, no se puede usar la curva normal y tenemos que usar lo que se llama "teora de muestreo pequeo."

Para tales efectos se usa la distribucin de t de Estudiante, la JI cuadrada o la distribucin, F. La estadstica t se usa para comparar los promedios de dos distribuciones, mientras que la prueba de F se usa para comparar las varianzas de dos distribuciones.

De hecho, las diferencias entre la distribucin de t y la distribucin normal son que la distribucin t no necesita el parmetro de poblacin, , mientras que la normal si lo requiere. Adems, la funcin t no requiere de muestras grandes.

La varianza, > 1 y, solamente, cuando n entonces, ambas distribuciones son iguales (prcticamente, cuando n 30 casos).

9.4 Funciones usadas con la distribucin de t de Estudiante

a. Se usa para hacer intervalos de confianza para (media poblacional).b. Se usa para probar la hiptesis de que tiene un valor determinado, como por ejemplo, : = . (c. Se usa para probar diferencias entre dos tratamientos deliberadamente emparejados, esto es, : - = 0. Aqu, los tamaos de distribuciones deben ser iguales.d. Se aplica para probar diferencias entre dos promedios usando el mtodo de seleccin completamente al azar (aleatorio), y con varianzas iguales. Aqu los tamaos de las distribuciones pueden ser iguales o desiguales.e. Se aplica para selecciones completamente aleatorias (al azar) con varianzas desiguales. El tamao del las distribuciones puede ser igual o desigual.

Tiene una nicamoda, que coincide con su media y su mediana. La curva normal es asinttica al eje de abscisas. El rea total bajo la curva es, por tanto, igual a 1. Es simtrica con respecto a su media . Segn esto, para este tipo de variables existe unaprobabilidadde un 50% de observar un dato mayor que la media, y un 50% de observar un dato menor.

Hiptesis nulaes unahiptesisconstruida para anular o refutar, con el objetivo de apoyar una hiptesis alternativa. Cuando se utiliza, la hiptesis nula se presume verdadera hasta que unapruebaestadstica en la forma de una prueba emprica de la hiptesis indique lo contrario. Si la hiptesis nula no es rechazada, esto no quiere decir que sea verdadera.



9.5 Aplicaciones de la distribucin de t de Estudiante

Las aplicaciones de la t de Estudiante son varias. Por ejemplo, puede usarse para el control de la calidad en obra. Tambin es muy til para el control de las vibraciones estructurales de edificaciones, control del tiempo de maquinarias durante operaciones de construccin, etc.

Por otra parte, otra aplicacin muy importante de la t de Estudiante, es la distribucin pareada. Esto es, para comparar el promedio de dos distribuciones o tratamientos, como, por ejemplo, para probar la hiptesis nula de : = , es decir, que no hay diferencias entre los dos promedios.

Aqu, pudiramos estimar dos tipos de anlisis usando dos mtodos y tratamientos, como la comparacin de dos mtodos en el diseo de mezclas como el mtodo Walker y el de finura y ver si hay diferencias entre los dos mtodos usando la prueba de t apareadas.

Tambin se puede usar para comparar dos distribuciones seleccionadas, aleatoriamente, y, con varianzas iguales o desiguales. Aqu, cabe notar que, si se trata de comparar los promedios de ms de 2 distribuciones, entonces se usa el anlisis de varianza simple o mltiple. 9.6 Mecanismos que se siguen para calcular el valor de la probabilidad p usando las tablas de las distribuciones de t de Estudiante, la CHI cuadrada o la distribucin FPara calcular el valor de la probabilidad p se puede hacer usando la funcin t es decir, haciendo interpolaciones aplicando la frmula emprica siguiente:

(9.2) Donde: = el nivel de confianza ms alto de la tabla de la t de Estudiante = el nivel de confianza ms bajo de la tabla de la distribucin de t = la probabilidad correspondiente a = la probabilidad correspondiente a X = valor desconocido de = valor de la estadstica de la distribucin de t, con el nivel significante deseado, Ejem: = 0.05 o =0.01

Dr. Hctor Quevedo Uras, Dra. Socorro Arteaga.UACJ-Mexico

Se define como la probabilidad de tomar la decisin de rechazar lahiptesis nulacuando sta es verdadera (decisin conocida comoerror de tipo I, o "falso positivo").



EJERCICIO 1.

Una poblacin de volmenes de corte (en m) a cada 20 metros en la construccin de la carretera Pampas-Ayacucho, con distribucin aproximadamente normal tiene una media especificada de 5.5 siendo su varianza desconocida.Calcular la probabilidad de que una muestra aleatoria de tamao 6 tenga una media mayor o igual a 6.5 con una desviacin estndar de 0.5

Los datos especificados corresponden a la distribucin t. (n=6)

Con grados de libertad.

=

En la tabla t, se observa en la fila

Aqu se ubica t =4.9

= 4.473 = 0.0025

= 5.893 = 0.001

Por lo tanto: 0.001 0.0025 Se puede concluir que: 0.001 0.0025

Mediante una interpolacin lineal se puede calcular una aproximacin ms precisa.



EJERCICIO 2. Se desea hacer la prueba de hiptesis no tradicional con la funcin t, es decir, usando el valor de la probabilidad p. Entonces, si el valor de la = 2.83 con 4 grados de libertad, con = 0.05 para : = buscamos el valor de 2.83 en la tabla, pero no lo encontramos. Sin embargo, vemos que est entre 2.776 y 3.747, con sus respectivos valores de de 0.99 y 0.975. Entonces para encontrar X, procedemos usando la frmula (9.2), donde los valores correspondientes son:

= 0.99 = 0.975 = 3.747 = 2.776 = 2.83.Ahora, sustituyendo estos valores en la frmula de interpolacin y sustituyendo:

Despejando X, resulta X = 0.976. Por lo tanto, p = 1 0.976 = 0.024, pero como sondos colas, entonces, multiplicamos ese valor por 2 y da p =0.048.

Aqu se ubica t = 2.83



EJERCICIO 3.Se saca una muestra aleatoria de 8 observaciones del tiempo (min) de carguo de desmonte a los volquetes por un cargador frontal en la construccin del Puente Comuneros, cuyos valores son: 5, 4, 6, 5, 4, 6, 5, 5. Probar la hiptesis nula de que el valor esperado del tiempo de carguo es de cuando menos 6.5 usando = 0.05. Calcular el valor de la probabilidad p.

SOLUCION:1. La hiptesis nula es : 6.5; y la hiptesis alternativa es : < 6.5. Esto dice que la prueba es unilateral izquierda.2. Usamos la estadstica: t = ( ) / = (5.0 6.5) / = - 5.63. La regin crtica izquierda es = = - 1.8954. Debido a que .= - 5.6 < . = - 1.895, se rechaza la hiptesis y nos inclinamos por la hiptesis alternativa.5. El valor de la probabilidad p se calcula buscando |-5.6| con = 7 en la tabla de la distribucin t y se sustituyen los valores de = 0.99975, = 7.885, = 0.9995 = 5.408 y . = -5.61 en la frmula de interpolacin y resolviendo por la variable X da: (0.99975 - 0.9995)/(7.885 5.408) = (0.99975 X)/(7.8885 5.6)El valor de la probabilidad es p = 0.00048, el cual es mucho mas significante.

EJERCICIO 4.Un fabricante de cemento afirma qu, el promedio de almina de sus productos es de cuando mucho 6% en peso por tonelada de mezcla. Para comprobar esta aseveracin, se sac una muestra aleatoria de 25 conteiner y se encontr un promedio estadstico de = 5.5 % de almina por tonelada elaborada, con una desviacin estndar de s = 0.5. Probar la aseveracin del fabricante que el verdadero promedio es de a lo ms 5 % por tonelada elaborada. Asumir un valor significante de = 0.05.



EJERCICIO 5.

Se dan los siguientes datos de una muestra aleatoria de 15 mediciones de agua contenida por m en un agregado fino en ml: 33.38, 32.15, 33.99, 34.10, 33.97, 34.34, 33.95, 33.85, 34.23, 32.73, 33.46, 34.13, 34.45, 34.19, 34.05. Hacer los siguientes clculos de estadstica descriptiva.

(a) Estimar el tamao de la muestra n(b) Estimar el promedio X , la mediana Md y la moda Mo(c) Estimar la varianza y la desviacin estndar muestrales(d) El valor mximo, mnimo, el rango y el error estndar(e) El sesgo(f) El nmero de grados de libertad, (g) El intervalo de confianza del 95%, es decir, el nivel de significancia de =0.05) para el promedio poblacional .

Tambin, hacer los siguientes clculos de estadstica de inferencia:

(a) Probar la hiptesis nula de : = 34.5 contra la hiptesis alternativa de : 34.5. Calcular el valor de la probabilidad p.(b) Probar la hiptesis de : 34.5 contra la hiptesis alternativa de : < 34.5. Calcular el valor de p.(c) Probar la hiptesis nula de : 33.2 contra : > 33.2.(d) Calcular el valor de la probabilidad p



SOLUCION 4.

1. La prueba de hiptesis nula es: : 5.0. La prueba de hiptesis alternativa es: y : > 5.0.2. La regin crtica es = 1.711.3. Usando la funcin de t y sustituyendo los valores da: t = (5.5 5.0) / 0.5/5 = 5.04. Debido a que 5.0 > 1.711 se rechaza la hiptesis nula.5. No obstante, esta prueba de hiptesis tradicional no da una idea de la fuerza de conviccin de que la decisin tomada es, en verdad, correcta. Sin embargo, usando la prueba de hiptesis no tradicional del valor de p, este valor si determina, qu tan verosmil es muestrear un valor del parmetro que sea igual o menor que X = 5.5, cuando = 5.0.6. El valor calculado de p es de aproximadamente 0.00002.

SOLUCION 5.

Los clculos de la estadstica descriptiva son:(a) El tamao de la muestra es n = 15

(b) El promedio aritmtico, la mediana y la moda son: X = X / n = (33.38 + 32.15 +...+ 34.05)/15 = 33.8. La mediana es: 33.99. La moda no existe.

(c) La varianza = s = [X 2 (X) 2/n]/n-1 = [17,125.76 (506.76)2/15] / 15-1 = 0.38 La desviacin estndar = s = s = 0.38 = 0.62

(d) El valor mximo, mnimo y el rango son: Valor mximo = 34.45. Valor mnimo = 32.15Rango = valor mximo valor mnimo = 2.3. El error estndar del promedio es: Error estndar = / n = 0.62/ 15 = 0.16.

(e) El sesgo denota la simetra de la distribucin y en este caso es de 2.55, el cual comparado con el sesgo de la distribucin normal estandarizada, que es de 0, indica que la distribucin de los datos es oblicua a la derecha o con sesgo positivo.

(f) El nmero de grados de libertad son: = n 1 = 15 1 = 14

(g) El intervalo de confianza del 95% o = .05, corresponde a los valores crticos de 2.145, con = 14 grados de libertad.

X t[1-/2;] (s/ n) < < X + t[1-/2;] (s/ n)33.8 t[.975;14] (0.16) < < 33.8 + t[.975;14] (0.16)33.8 - 2.145 (0.16) < < 33.8 + 2.145 (0.16)33.45 < < 34.15



Los clculos de la estadstica de inferencia son:(a) Esta es una prueba de hiptesis bilateral con regiones crticas de ttab. = t[.975;14] = 2.145 con 14 grados de libertad, con un nivel de significancia de = .05 (de la tabla de la distribucin de t). La estadstica usada es la funcin t de abajo:

tcalc. = ( X - o) / s/ n= (33.8 34.5) / 0.63/ 15= - 4.3

Ahora se compara la t calculada con la t tabulada, es decir, con los valores crticos. El criterio que se sigue es de que si la t calculada se introduce en las regiones crticas, entonces, se rechaza la hiptesis sustentada de que Ho: = 34.5 y se inclina por la hiptesis alternativa. En conclusin vemos que 4.3 < - 2.145, es decir, se introduce en el extremo izquierdo de la curva. El valor de la probabilidad p se calcula usando la frmula de interpolacin (6-10) :

(2 1)/(t2 t1) = (2 X) / (t2 tcalc.)

Donde:2 = .99975, t2 = 4.499, 1 = .9995, t1 = 4.14, tcalc. = -4.3 (aqu en este caso, se toma el valor absoluto), X igual a valor buscado el cual corresponden a la interpolacin de t = -4.3 con = 14 g.l.

Sustituyendo los valores en la frmula de arriba da:

(.99975 .9995)/(4.499 4.14) = (.99999 - X)/(4.499 4.3)

X = 0.99987 y el valor de p es p = 2(1 - .99999) = 0.00002. Este valor es mucho muysignificativo y apoya, muy contundentemente, la contencin de que el promedio no esmayor que 34.5.

(b) Probando la hiptesis nula de Ho: 34.5 contra H1: < 34.5La t calculada es la misma que en la parte (a), es decir, - 4.3. Esta es una prueba unilateral izquierda con = 0.5 con el valor porcentual de t.95;14 = - 1.761 o sea que la regin crtica izquierda es 1.761 (de la tabla de la distribucin de t). Para hacer una decisin de rechazar o de aceptar Ho: se compara el valor de t.95;14 = 1.761 con tcalc. = 4.3 y vemos, nuevamente, que se introduce en el extremo izquierdo de la distribucin, por lo tanto, se rechaza la hiptesis. El valor de la probabilidad p se calcula buscando el valor absoluto de |-4.3| en la tabla con = 0.05 y vemos que est entre 4.499 y 4.14 con sus respectivos valores de igual a .99975 y .9995. Es decir que el valor de p est entre .00025 < p < .0005, con un valor de p .0002.

(c) Para probar la hiptesis de Ho: 33.2 contra la hiptesis alternativa de H1: > 33.2, se usa la estadstica de t de Estudiante, es decir:t = (33.8 33.2)/0.63/3.87 = 3.68La regin crtica derecha es t.95;14 = 1.76 y vemos que 3.68 es mayor que este valor y se rechaza la hiptesis nula. Bajo estas condiciones, el valor de la probabilidad p es 0.001.



GRADOS DE LIBERTAD.

Explicaremos en forma intuitiva porque son n-1 grados de libertad.

Para poder determinar "s" es necesario calcular antes la media muestra "a" con los datos disponibles de la muestra "n". Si al principio es cierto que disponiamos de "n" variables independientes (cada elemento de la muestra se considera una variable aleatoria independiente) en el momento que calculamos la media muestral perdemos un grado de libertad; conocido el valor de la media muestral, slo n-1 de las variables de la muestras permanecen independientes.

Si tenemos una muestra de 4 elementos y la media muestral es 10, slo 3 de las variables de la muestra pueden variar libremente puesto que la cuarta variable queda determinada. 10 = (x1+x2+x3+x4)/4 x4 = 40-x1-x2-x3

O si se tiene 4 valores: X1, X2, X3 y X4. El promedio de estos valores es Xp. Si partimos del punto que la suma de todas las desviaciones (Xn - Xp) debe ser igual a cero, entonces solo tres de estas desviaciones est libremente determinada porque 4 - 1 = 3 (tres grados de libertad).

EJEMPLO 1:Si x1=9, x2=15, x3=10 (variables independientes), la cuarta variable debe ser necesariamente 6 (x4 = 40-9-15-10 = 6 variable dependiente) para que la media muestral sea 10.

EJEMPLO 2: si X1 - Xp = 3, X2 - Xp = -2 y X4 - Xp = 1, entonces podemos conocer el valor de X3 - Xp: para que la suma de todas las desviaciones sea cero el valor de X3 - Xp debe ser -2, por lo que solo hay tres desviaciones libremente determinadas (es decir que no dependen de nadie) ya que la otra depende de los valores de las tres primeras. Por esa razn, para estos cuatro valores (n=4) debemos considerar 3 grados de libertad (m = n - 1).

EJEMPLO 3:Si tienes una muestra de 20 probetas, cuando se trabaja con una distribucin ji-cuadrado y t-student, podemos cambiar los valores de al menos 19 probetas, pero uno debe quedarse fijo para no alterar por completo tu estimacin. Normalmente la forma para calcular los grados de libertad en una ji cuadrada es n-1, donde n es el tamao de la muestra y en una t se tiene que los grados de libertad son n + m- 2 donde n y m son el tamao de las muestras

Conclusin: Los grados de libertad son el nmero de variables aleatorias independientes de la muestra.



VARIANZA:

Es una medida de variabilidad que toma en cuenta la dispersin que los valores de los datos tienen respecto a su media. Es decir, aquellos conjuntos de datos que tengan valores ms alejados de la media, sea muestral o poblacional, tendrn una mayor varianza. Su resultado se expresa en unidades al cuadrado. La manera de obtener la varianza de un conjunto de datos depende de la forma como se encuentren organizados los datos, ya sea que estn agrupados o no agrupados, as como del tipo de informacin con la que se trabaje, ya sea que provenga de una MUESTRA o de una POBLACION. y se puede calcular para datos no agrupados como para agrupados.

DESVIACION ESTANDAR:

Al igual que la varianza, la desviacin estndar es una medida de variabilidad que tambin toma en cuenta la dispersin de los valores de los datos respecto a su media. Sin embargo, su significado es ms valioso que el de la varianza, pues su resultado se encuentra expresado en las mismas unidades de la variable que se examina y no en valores elevados al cuadrado como lo hace la varianza. La desviacin estndar se representa mediante la letra griega para el caso de una poblacin, o por S en el caso de una muestra. Se obtiene sacando la raz cuadrada al resultado de la varianza, no importa si sta se trata de una varianza para datos no agrupados o para datos agrupados, o provenientes de una muestra o de una poblacin. Al proporcionar sus resultados en unidades no cuadradas, la desviacin estndar es muy fcil de interpretar y su resultado tiene mayor significado en el anlisis de un fenmeno.

COEFICIENTE DE VARIACION: Es una medida de dispersin que seala qu tan grande es la magnitud de la desviacin estndar respecto a la media del conjunto de datos que se examina. A diferencia de otras medidas de variabilidad, el coeficiente de variacin mide la dispersin en trminos de porcentaje y no en unidades de medida. De esta manera, este coeficiente se utiliza para comparar la dispersin entre dos conjuntos de datos expresados en diferentes unidades de medidas.

Las Ventajas y desventajas del coeficiente de variacin son que el coeficiente de variacin es til cuando pretende comparar la variabilidad de dos o ms conjuntos de datos expresados en diferentes unidades de medicin, pues el resultado ser sealado en porcentajes.La nica desventaja que adolece el coeficiente de variacin es cuando se tienen que comparar dos conjuntos de datos donde uno tiene una media con valores negativos y el otro tiene una media positiva. Para el primer conjunto, el coeficiente de variacin ser negativo; mientras que para el segundo, el coeficiente de variacin ser positivo, haciendo difcil la comparacin entre ambos. Esto puede solucionarse tomando los valores absolutos del resultado que se obtenga en ambos coeficientes




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