Unidad II Transformada de Laplace

7/25/2019 Unidad II Transformada de Laplace

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1

0

)()()( dttyetyLsY st

La transformada de Laplace


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2

Pierre-Simon Laplace

(1749 - 1827)

"Podemos mirar el estado presente del

universo como el efecto del pasado y

la causa de su futuro.

Se podra definir a un ente o sistemaque en cualquier momento dado

sabra todas las fuerzas que animan la

naturaleza y las posiciones de los

seres que la componen, si este entefuera lo suficientemente amplio para

someter los datos al anlisis, podra

transformar en una simple frmula el

movimiento de los grandes cuerpos

del universo y del tomo ms ligero;para tal ente nada podra ser incierto y

el futuro as como el pasado estaran

frente sus ojos."


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3

Seaf(t) una funcin definida para t 0, sutransformada de Laplace se define como:

donde s es una variable compleja

Se dice que la transformada de Laplace def(t) existe

si la integral impropia converge.

dtetfsFtfL st

0 )()()}({

.iws

La transformada de Laplace


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4

Se puede observar que la transformada de Laplace

es una integral impropia, ya que uno de sus lmites

es infinito:

0 0

( ) lim ( )

h

s t s t

h

e f t dt e f t dt

( ) ( ),f t F sL

( ) ( ),

( ) ( ), etc.

y t Y s

x t X s

L

L

Notacin:


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Condiciones suficientes de existencia de la TL

Si f(t) es continua en porciones de [0,) y

),0[,|)(| tMetf at

Es decir, f(t) es de orden exponencial en el infinito:

0|)(|lim

bt

t etftqb

Entonces:

L{f(t)} = F(s) existes > a .

dtetfsFtfL

st

0 )()()}({


6/366

00

1111

0

0

sRe,aeeee

se

sdte)s(FL

ibtatt)iba(st

stst

Calcula la transformada de f(t) = 1:

.sRe,

s)s(F)t(f 0

11

Nota: Obviamente L{a} = a/s y L{0} = 0.


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10

1

0

1

0

0

)(

nstn

stn

stnstnn

tLs

ndtet

s

n

dt

s

ent

s

etdtetsFtL

Calcula la transformada de f(t) = tn:

1

!)()(

n

n

s

nsFttf

10

1

!

1

n

n

nn

s

ntL

stL

tLs

ntL

0sRe


8/36

8

1

111

)(

0

1

0

1

0

se

s

dtedteesFeL

ts

tssttt

Calcula la transformada de f(t) = e-t:

1

1)()(

ssFetf

t 1sRe


9/36

9

asas

Aeas

A

dtAedteAesFAeL

tas

tasstatat

,)(

)(

0

0

0

Calcula la transformada de f(t) = Aeat:

a}sRe{,as

A)s(FAe)t(f

at


10/36

10

dteatsens

a

s

adt

s

eatsena

s

eat

s

a

dts

eata

s

eatsendteatsensFatsenL

ststst

ststst

022

0

0

0

0

0

)()()cos(

)cos()()()()(

Calcula la transformada de f(t) = sen(at):

22)()()( as

asFatsentf

222

2

2

2

;1as

aI

s

aI

s

a

0sRe


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11

Funciones peridicas

Supongamos quef(t) es una funcin peridica de periodo T.

Entonces: )(1

1)()( 1 sF

etfLsF

sT

donde F1(s) es la transformada de Laplace de la funcinf(t)

sobre el primer periodo y cero fuera.

T

stdttfesF

0

1 )()(

t t

T


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12

Tabla de transformadas de Laplace

2 2

2 2

2 2

2 2

1

sen

cos

sen

cos

!

at

at

n at

n

ts

st

s

e ts a

s ae t

s a

nt es a

ase

s

nt

t

s

t

at

n

n

1

!

s

1

11

1

1

2

d


13/36

13


14/36

14


15/36

15


16/36

16


17/36

17

T f d i d L l


18/36

18

Al proceso inverso de encontrarf(t) a partir de F(s) se le

conoce como transformada inversa de Laplace y se

obtiene mediante:

conocida tambin como integral de Bromwich o integral

de Fourier-Mellin.

i

i

st tdsesFi

tfsFL

0,)(

21)()}({1

Transformada inversa de Laplace

1


19/36

19

Re(s)

Im(s)

i

i

sttdsesF

itfsFL

0,)(

2

1)()}({1

determina un contorno vertical

en el plano complejo, tomado de

tal manera que todas las

singularidades de F(s) queden

a su izquierda.

Con condiciones de existencia:

)(lim)2(

0)(lim)1(

ssF

sF

s

s

P i d d


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20

1. Linealidad: Si c1

y c2

son constantes,f1(x) y

f2(x) son funciones cuyas transformadas de

Laplace son F1(x) y F2(x), respectivamente;

entonces:

).()()}()({ 22112211 sFcsFctfctfcL

La transformada de Laplace es un operador lineal.

Propiedades


21/36

21

)()(

)()(

)()(

)()(

2211

022

011

0 2211

2211

tfLctfLc

dtetfcdtetfc

dtetfctfc

tfctfcL

stst

st

Demostracin:

2 D l i l


22/36

22

2. Desplazamiento temporal

)(

)(

)(

)()()(

)()(

0

0

0

0

0

0

0

00

0

sFe

tt

dfee

dtttfe

dtttuttfesX

dttfesF

st

sst

t

st

st

st

l

lll

0

00

0,0

),()()()(

tt

ttttfttutftg

)()}()({

)()}({

0

0 sFettutfL

sFtfL

st

3 Desplazamiento en frecuencias


23/36

23

)(

)()()(

)()(

0

)(

0

0

asF

dttfedttfeesX

dttfesF

tasatst

st

3. Desplazamiento en frecuencias

)()}({

)()}({

asFtfeL

sFtfL

at


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24

4. Cambio de escala en tiempo

)/()/1(

)(1

)()(

)()(

0

)/(

0

0

asFa

atdfe

a

dtatfesX

dttfesF

as

st

st

llll

a

sF

aatfL

sFtfL1

)}({

)()}({


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25

5. Derivada de la transformada de Laplace

)(

)(

)()(

)()(

0

0

0

ttfL

dtttfe

dttfeds

d

sFds

d

dttfesF

st

st

st

)()(

)}({)(

ttfLsF

tfLsF

6 Transformada de Laplace de las derivadas de


26/36

26

6. Transformada de Laplace de las derivadas de

una funcin

La transformada de Laplace de la derivada de unafuncin est dada por:

dondef(0) es el valor def(t) en t = 0.

La transformada de Laplace de la segunda derivada

de una funcin est dada por:

)0()()}('{ fssFtfL

)0(')0()()}(''{ 2 fsfsFstfL


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27


28/36

28

G i l li lid d d l TL ibl


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Gracias a la linealidad de la TL es posibleconvertir una ec. diferencial como

" 3 ' 4 ( 1)

(0) 1, '(0) 2

y y y t u t

y y

en una ec. algebraica

Resolver para

y(t)

Resolver paraY(s)


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Ec. Diferencial

Transformada deLaplace

Ec. Algebraica


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Si resolvemos la ec. algebraica:

2

2 2

( 1) ( 1)( )

( 3 4)

s ss s e eY s

s s s

y encontramos la transformada inversa de

Laplace de la solucin, Y(s), encontraremosla solucin de la ec. diferencial.


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Ec. Algebraica

Solucin de laEc. Diferencial

Inversa de la

Transformadade Laplace

7 Transformada de Laplace de la integral de una


33/36

33

7. Transformada de Laplace de la integral de una

funcin

s

sFtfL

sduufL

t )()}({

1)(

0

)(1

)(

11

)(

)()(

)()(

000

00

0

sFs

dttfesesdf

dtdfesX

dttfesF

ststt

tst

st

Si existe la TL de f(t) cuando Re(s) > p 0,

entonces:

para Re(s) > p.

8. Transformada de Laplace de f(t)/t


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34

ssF

duufL

t )(

)(0

s duuFt

tf

L )(

)(

)()(con tfLsF

8. Transformada de Laplace de f(t)/t


35/36

35

9. Teorema del valor final

Si existe, entonces:

10. Teorema del valor inicial

El valor inicialf(0) de la funcinf(t) cuya

transformada de Laplace es F(s), es:

)(lim tft

)(lim)(lim 0 ssFtf st

)(lim)(lim)0(0

ssFtff st

11. Integral de convolucin


36/36

36

Recordemos que

la operacin se conoce

como la convolucin de y y se

denota comoLa transformada de Laplace de esta operacin

est dada por:

dtff )()( 21

)(1 tf ),(2 tf

)}({)}({)}(*)({

)()()}(*)({

2121

2121

tfLtfLtftfL

sFsFtftfL

).(*)( 21 tftf

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