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I T C A

INSTITUTO TECNOLOGICO DE

CERRO AZUL

CARRERA ING ELECTROMECANICA

CATEDRATICO ING JOSE CONSEPCION

MATERIA DINAMICA

TRABAJO UNIDAD 2

PRESETACION

WILEBALDO BARRALES HERNANDEZ

FEBRERO 2011

UNIDAD II

CINEMATICA DE CUERPO RIGIDO

21INTRODUCCION

En este trabajo observaremos el comportamiento de diferentes cuerpos riacutegidos al rodar sin deslizar por un plano inclinado y analizaremos de queacute variables dependen las velocidades con las que llegan a la base del mismoPara ello realizaremos un planteamiento dinaacutemico y otro energeacutetico respecto a un eje instantaacuteneo de rotacioacuten

Fig 1 Esquema del dispositivo utilizadoAnalizaremos el movimiento del cuerpo riacutegido como un movimiento de roto traslacioacuten Asiacute el movimiento de este puede representarse como una combinacioacuten de un movimiento trasnacional del centro de masa y una rotacioacuten alrededor de un eje que pasa por el centro de masaUn caso importante de traslacioacuten y rotacioacuten combinadas es el de rodar sin deslizar como por ejemplo el movimiento de un disco Si el disco es simeacutetrico y homogeacuteneo entonces su centro de masa coincide con el centro de gravedad en las proximidades de la superficie terrestre Observamos que el punto del disco que toca la superficie en un punto P debe estar instantaacuteneamente en reposo para que no deslice

Fig 2 En la figura se muestra la suma de las velocidades de traslacioacuten y de rotacioacuten de un cuerpo extenso dando como resultado la velocidad de roto traslacioacuten

UNIDAD II

CINEMATICA DE CUERPO RIGIDO

21INTRODUCCION

En este trabajo observaremos el comportamiento de diferentes cuerpos riacutegidos al rodar sin deslizar por un plano inclinado y analizaremos de queacute variables dependen las velocidades con las que llegan a la base del mismoPara ello realizaremos un planteamiento dinaacutemico y otro energeacutetico respecto a un eje instantaacuteneo de rotacioacuten

Fig 1 Esquema del dispositivo utilizadoAnalizaremos el movimiento del cuerpo riacutegido como un movimiento de roto traslacioacuten Asiacute el movimiento de este puede representarse como una combinacioacuten de un movimiento trasnacional del centro de masa y una rotacioacuten alrededor de un eje que pasa por el centro de masaUn caso importante de traslacioacuten y rotacioacuten combinadas es el de rodar sin deslizar como por ejemplo el movimiento de un disco Si el disco es simeacutetrico y homogeacuteneo entonces su centro de masa coincide con el centro de gravedad en las proximidades de la superficie terrestre Observamos que el punto del disco que toca la superficie en un punto P debe estar instantaacuteneamente en reposo para que no deslice

Fig 2 En la figura se muestra la suma de las velocidades de traslacioacuten y de rotacioacuten de un cuerpo extenso dando como resultado la velocidad de roto traslacioacuten

Como la fuerza de rozamiento es estaacutetica el cuerpo estaacute en reposo instantaacuteneo por lo tanto la fuerza de rozamiento no realiza trabajoSi nuestro sistema de referencia es

nos queda

Este planteamiento lo utilizaremos para calcular la velocidad final del centro de masa de forma teoacuterica y ver su dependencia de las masas y los momentos de inercia de cada cuerpoAhora realizaremos un planteamiento dinaacutemico de un movimiento traslacional y rotacional combinado de un cuerpo riacutegido Sabemos que para un cuerpo de masa total M la aceleracioacuten del centro de masa () es igual a la de una masa puntual M sobre la que actuacutean todas las fuerzas externas a las que estaacute sujeto el cuerpo

El movimiento rotacional alrededor del centro de masa se describe mediante el anaacutelogo rotacional de la segunda ley de Newton seguacuten la ecuacioacuten

donde

Si

Tenemos

Podemos observar que la ecuacioacuten (27) es igual como se esperaba a la ecuacioacuten (10)

22 TRASLACION

1deg Se llama movimiento de traslacioacuten de un soacutelido aquel durante el cual cualquier recta asociada riacutegidamente a dicho soacutelido (por ejemplo la recta AB de la fig 115) se traslada permaneciendo paralela a su direccioacuten inicial (A0B0) Tienen movimiento de traslacioacuten con respecto a la Tierra por ejemplo la cabina de un ascensor la cuchilla de un torno la aguja de una bruacutejula cuando su caja se desplaza en un plano horizontal etc

Cuando un soacutelido se traslada todos sus puntos se desplazan exactamente lo mismo en un tiempo pequentildeo dt los radios vectores de estos puntos variacutean en una misma magnitud dr Respectivamente en cada instante todos los puntos del soacutelido tienen la misma velocidad igual a drdt y por consiguiente tambieacuten son iguales sus aceleraciones Por esto el estudio cinemaacutetico del movimiento de traslacioacuten de un soacutelido se reduce al estudio del movimiento de cualquiera de sus puntos En la dinaacutemica se estudia el movimiento del centro de inercia del soacutelido (1233deg) Todo cuerpo soacutelido que se mueve libremente en el espacio tiene tres

grados de libertad de traslacioacuten (1127deg) que corresponden a sus traslaciones a lo largo de los tres ejes de coordenadas

2deg El movimiento de un soacutelido durante el cual dos de sus puntos A y B permanecen fijos se llama rotacioacuten (o movimiento de rotacioacuten) del soacutelido alrededor de un eje fijo La recta en reposo AB recibe el nombre de eje de rotacioacuten del soacutelido Al girar alrededor del eje fijo todos los puntos del soacutelido describen circunferencias cuyos centros se encuentran en el eje de rotacioacuten y cuyos planos son perpendiculares a eacutel Este tipo de movimiento con respecto a la Tierra lo efectuacutean por ejemplo los rotores de las turbinas de los motores eleacutectricos y de los generadores sujetos a ellaEl soacutelido que gira alrededor de un eje fijo soacutelo tiene un grado de libertad (1127deg) Su posicioacuten en el espacio se determina totalmente por el valor ϕ del aacutengulo de rotacioacuten a partir de una posicioacuten determinada (inicial)

3deg Para caracterizar la rapidez y el sentido de la rotacioacuten del soacutelido alrededor del eje sirve la velocidad angular Se llama velocidad angular el vector o igual numeacutericamente a la primera derivada del aacutengulo de rotacioacuten ϕ respecto del tiempo t y dirigido a lo largo del eje de rotacioacuten fijo de tal modo que desde su extremo se vea que el soacutelido gira en sentido contrario al de las agujas del reloj (fig116) )

I14 Aceleracioacuten1deg Para caracterizar la rapidez con que variacutea el vector velocidad de un punto se introduce en mecaacutenica el concepto de aceleracioacuten Se llama aceleracioacuten media de un punto en un intervalo de tiempo de t a el vector amed igual a la razoacuten del incremento del vector velocidad del punto en este lapso a la duracioacuten de dicho intervalo

23 ROTACIOacuteN CON RESPECTO A UN EJE FIJO

Consideremos un cuerpo riacutegido que gira con respecto a un eje fijo AA Sea P un punto del cuerpo y r su vector de posicioacuten con respecto a un sistema de referencia fijo Por conveniencia supondremos que el sistema esta centrado en el punto O sobre AA y que el eje z coincide con AA Sea B la proyeccioacuten de P sobre AA como P debe permanecer a una distancia constante de B describiraacute un circulo de centro B y de radio r sen donde representa el aacutengulo formado por r y AALa posicioacuten de P y de todo cuerpo esta definida completamente por el aacutengulo se conoce como la coordenada angular del cuerpo La coordenada angular se define como positiva cuando se recorre en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj visto desde A se expresara en radianes y ocasionalmente en grados o revolucionesRecordamos que la velocidad de una partiacutecula P y de magnitud Observando que la longitud s del arco descrito por P cuando el cuerpo gira hasta longitud es

y dividiendo ambos miembros entre t obtenemos en el limite cuando t tiende a cerodonde representa la derivada de respecto al tiempo Concluimos que la velocidad V de P es un vector perpendicular al plano que contiene a AA y r de magnitud V definida por Pero es precisamente el resultado que obtendriacuteamos si trazamos a lo largo de AA un vector y formaacutesemos el producto vectorial x r Entonces escribimosEl vectorse le llama velocidad angular del cuerpo Estaacute dirigida a lo largo del eje de rotacioacuten y es igual en magnitud a la rapidez de cambio de la coordenada angular y su sentido puede obtenerse por la regla de la mano derecha del sentido de rotacioacuten del cuerpoDeterminaremos la aceleracioacuten a de la partiacutecula P Derivando a y recordando la regla de la derivacioacuten de un producto vectorial tenemosEl vector se representa por y se llama aceleracioacuten angular del cuerpo Sustituyendo tambieacuten v de tenemosDerivando a y recordando que k es de magnitud y direccioacuten constante tenemosEntonces la angular de un cuerpo riacutegido que gira con respecto a un eje fijo es un vector dirigido a lo largo del eje de rotacioacuten e igual en magnitud a la rapidez de cambio de de la velocidad angular Regresando notamos que la aceleracioacuten P es la suma de dos vectores El primer vector es igual al producto vectorial x r es tangente al circulo descrito por P y representa por consiguiente a la componente tangencial de la aceleracioacuten El segundo vector es igual al triple producto vectorial obtenido por el producto vectorial de como es tangente al circulo descrito por P el triple producto vectorial se dirige hacia el centro de B del circulo y representa por consiguiente a la normal de la aceleracioacuten

231 ECUACION DEL MOVIMIENTO DE ROTACION

Consideremos un sistema de partiacuteculas Sobre cada partiacutecula actuacutean las fuerzas exteriores al sistema y las fuerzas de interaccioacuten mutua entre las partiacuteculas del sistema Supongamos un sistema formado por dos partiacuteculas Sobre la partiacutecula 1 actuacutea la fuerza exterior F1 y la fuerza que ejerce la partiacutecula 2 F12 Sobre la partiacutecula 2 actuacutea la fuerza exterior F2 y la fuerza que ejerce la partiacutecula 1 F21 Por ejemplo si el sistema de partiacuteculas fuese el formado por la Tierra y la Luna las fuerzas exteriores seriacutean las que ejerce el Sol ( y el resto de los planetas) sobre la Tierra y sobre la Luna Las fuerzas interiores seriacutean la atraccioacuten mutua entre estos dos cuerpos celestes

Para cada unas de las partiacuteculas se cumple que la variacioacuten del momento angular con el tiempo es igual al momento de la resultante de las fuerzas que actuacutean sobre la partiacutecula considerada

Sumando miembro a miembro aplicando la propiedad distributiva del producto vectorial y teniendo en cuanta la tercera Ley de Newton F12=-F21 tenemos que

Como los vectores r1-r2 y F12 son paralelos su producto vectorial es cero Por lo que nos queda

La derivada del momento angular total del sistema de partiacuteculas con respecto del tiempo es igual al momento de las fuerzas exteriores que actuacutean sobre las partiacuteculas del sistemaConsideremos ahora que el sistema de partiacuteculas es un soacutelido riacutegido que estaacute girando alrededor de un eje principal de inercia entonces el momento angular L=Imiddotw la ecuacioacuten anterior la escribimos

Momento angular de un sistema de partiacuteculas Consideremos el sistema de dos partiacuteculas de la figura anterior El momento angular total del sistema respecto del origen es

L=r1acute m1middotv1+r2acute m2middotv2

Calculamos el momento angular respecto del centro de masas

r1cm=r1-rcm

r2cm=r2-rcm

v1cm=v1-vcm

v2cm=v2-vcm

El momento angular respecto del origen es la suma de dos contribuciones

L=(r1cm+rcm) acute m1middot(v1cm+vcm)+ (r2cm+rcm) acute m2middot(v2cm+vcm) = (r1cm acute m1middotv1cm)+ (r2cm acute m2middotv2cm)+ rcmacute (m1middotv1cm+ m2middotv2cm)+ (m1middotr1cm+ m2middotr2cm) acute vcm

De la definicioacuten de posicioacuten y velocidad del centro de masas tenemos que

m1middotv1cm+ m2middotv2cm=0

m1middotr1cm+ m2middotr2cm=(m1+m2)middotrcm

L=Lcm+(m1+m2)middotrcm acute vcm

En general para un sistema de partiacuteculas de masa total m

L=Lcm+mmiddotrcm acute vcm

El primer teacutermino es el momento angular interno relativo al sistema cm y el uacuteltimo teacutermino el momento angular externo relativo al sistema de laboratorio como si toda la masa estuviera concentrada en el centro de masa Relacioacuten entre el momento de las fuerzas exteriores Mext y el momento angular interno LcmEl momento de las fuerzas exteriores respecto del origen es la suma de dos contribuciones

Mext= r1acuteF1+r2acute F2 = (r1cm+rcm) acute F1+(r2cm+rcm) acute F2 = r1cmacute F1+r2cmacute F2+ rcmacute (F1+F2) = Mcm+ rcmacute (F1+F2)

Mext= Mcm+ rcmacute Fext

El primer teacutermino es el momento de las fuerzas exteriores relativo al cm y el segundo es el momento de la fuerza resultante F1+F2 como si estuviera aplicada en el centro de masas Derivando respecto del tiempo el momento angular total L tenemos

Teniendo en cuenta que el segundo teacutermino es el producto vectorial de dos vectores paralelos y que la ecuacioacuten del movimiento del cm es

Resulta

Como hemos demostrado en el apartado anterior que

Se obtiene la relacioacuten

Estas dos relaciones son ideacutenticas pero existen diferencias en su interpretacioacuten En la primera se evaluacutea el momento angular L y el momento de las fuerzas exteriores Mext respecto de un punto fijo O (origen del sistema de coordenadas) en un sistema de referencia inercial La segunda se evaluacutea el momento angular Lcm y el momento de las fuerzas Mcm respecto al sistema de referencias del centro de masas incluso si no estaacute en reposo con relacioacuten al sistema inercial de referencia OEsta uacuteltima relacioacuten es la que emplearemos para describir el movimiento del cm de un soacutelido riacutegidoVamos a estudiar con maacutes detalle la validez de la relacioacuten

Siendo A un punto arbitrario LA el momento angular del sistema de partiacuteculas respecto de A y MA el momento total de las fuerzas externas respecto del mismo punto

La posicioacuten de la partiacutecula i respecto al origen del sistema de referencia inercial es ri la posicioacuten de dicha partiacutecula respecto de A es riA En la figura se muestra la relacioacuten entre estos dos vectoresri=rA+riA

La velocidad de la partiacutecula i respecto del sistema de referencia inercial es vi y del punto A es vA

El momento angular del sistema de partiacuteculas respecto de A LA es

Sea Fi la fuerza exterior que actuacutea sobre la partiacutecula i La segunda ley de Newton afirma que

El momento de las fuerzas exteriores respecto de A es

Como la posicioacuten del centro de masas rcm se define

Siendo M la masa total del sistema de partiacuteculas llegamos a la relacioacuten

Podemos obtener la misma relacioacuten derivando el momento angular LA respecto del tiempo

Cuando el teacutermino M(rcm-rA)timesaA desaparece la relacioacuten MA=dLAdt se cumple Esto ocurre en los siguientes casosCuando el punto A coincide con el centro de masas rcm=rA Cuando la aceleracioacuten de A es cero aA =0 es decir A se mueve con velocidad constante Cuando la aceleracioacuten de A aA es paralela al vector (rcm-rA) En los ejemplos de la seccioacuten Movimiento general de un soacutelido riacutegido emplearemos uacutenicamente la relacioacuten

El momento angular Lcm del soacutelido riacutegido y el momento de las fuerzas exteriores Mcm se calculan con respecto del centro de masas

24 MOVIMIENTO GENERAL DEL PLANO

Caso en que cada partiacutecula del cuerpo se mueve en forma paralela a un plano fijo Noacutetese que este caso incluye tanto el caso de cuerpos planos propiamente tales tales como laacuteminas discos etc movieacutendose en su propio plano como el caso de cuerpos espaciales que se mueven en la forma antes descrita

ConfiguracioacutenSupoacutengase un cuerpo riacutegido en movimiento plano Dos rectas AB y CD fijas al cuerpo forman aacutengulos q1 y q2 respectivamente con una referencia fija Pero q1 = q2 + b donde b es constante Esto quiere decir que si se conoce la posicioacuten angular de cualquier recta fija al cuerpo se conoce la posicioacuten angular del cuerpo Ademaacutes Dq1 = Dq2 por lo tanto la velocidad angular W y la aceleracioacuten angular a son las mismas para cualquier recta fija al cuerpoPara especificar la configuracioacuten de un cuerpo riacutegido en movimiento planoes conveniente utilizar un sistema de referencia Srsquo fijo al cuerpo con origen en Orsquo La configuracioacuten del cuerpo riacutegido queda completamente determinada mediante las coordenadas x(Orsquo) e y(Orsquo) y el aacutengulo q que forma xrsquo con x

241 ECUACION QUE RIGEN EN EL MOVIMIENTO GENERAL EN EL PLANO

El movimiento de un cuerpo riacutegido que teoacutericamente se puede considerar como la

composicioacuten de dos movimientos simultaacuteneos uno de traslacioacuten y el otro de

rotacioacuten a una velocidad angular w alrededor de un eje movible perpendicular al

plano de movimiento y que puede representarse en el plano recibe el nombre de

movimiento general en el plano Un ejemplo tiacutepico es el movimiento de un

neumaacutetico rodando sobre una carretera en cada instante rota y tambieacuten se

traslada el eje de giro alrededor del cual rota el neumaacutetico ocupa una posicioacuten

diferente en cada instante (es moacutevil)

Consideacuterese que un bloque de largo L ancho E y altura H se encuentra en el

primer octante de un sistema de referencia cartesiano uno de sus veacutertices

coincide con el origen y la arista de la base del bloque estaacute adyacente al eje X Se

requiere mover el bloque a una posicioacuten en la que el veacutertice que coincidiacutea con el

origen debe estar en el plano X ndash Y en la posicioacuten (8 3 0) y el largo del bloque

debe estar paralelo al eje Y

Teoacutericamente el movimiento se puede realizar girando primeramente el bloque

alrededor del veacutertice que es origen un aacutengulo de 90deg y con un movimiento de

traslacioacuten en trayectoria rectiliacutenea horizontal sobre el plano Z- X se traslada el

bloque hasta que el veacutertice que era origen este en la posicioacuten (8 0 0) y finalmente

con otro movimiento de traslacioacuten en trayectoria rectiliacutenea vertical hacia arriba se

traslada el bloque hasta que el veacutertice que era origen llegue al punto (830) En la

realidad el ingeniero mecaacutenico puede disentildear un mecanismo para mover al

bloque de su posicioacuten inicial y lo lleve a su posicioacuten final pudiendo conceptualizar

en cada instante durante la trayectoria del bloque dos movimientos simultaacuteneos

uno de rotacioacuten alrededor de un eje movible perpendicular al plano de movimiento

y el otro de traslacioacuten tal proceso cinemaacutetico sujetaraacute al bloque a un movimiento

general en el plano Para dictaminar si este movimiento se puede representar en

un plano se elige uno de los planos del bloque por ejemplo el plano ABCD y se

realiza con eacutel hipoteacuteticamente todo el proceso que se realizo con el bloque si lo

satisface 100 se concluye que el movimiento del bloque se puede representar

en un plano

Al observar el movimiento general en el plano de un cuerpo riacutegido y trazar la

trayectoria de cualquier punto sobre el plano de movimiento generalmente eacutesta

resulta ser un trayectoria curviliacutenea entonces el anaacutelisis cinemaacutetico del

movimiento general en el plano se realiza estudiando el movimiento de dos puntos

del plano de movimiento considerando que se conoce la velocidad (aceleracioacuten)

para uno de esos puntos y la velocidad angular w del plano de movimiento pero

se desconoce la del otro punto Resumiendo si los puntos a los que se les

estudiaraacute el movimiento son los puntos A y B entonces suponiendo conocida la

velocidad (aceleracioacuten) del punto A y w la velocidad (aceleracioacuten) del punto B se

calcula con las ecuaciones (19) o (20) esto es

vB = vA + vBA = vA + wX rAB

aB = aA + aBA = aA + (aBA)n + (aBA)t = aA + w X (w X rAB) + a X rAB

242 SOLUCION EN EL PROBLEMA EN FORMA

En este problema usaremos conceptos del movimiento al utilizar la segunda Ley de Newton F = m a que se enuncia como sigue

Una partiacutecula sujeta a la accioacuten de una fuerza desequilibradota F experimenta una aceleracioacuten a que tiene la misma accioacuten que la fuerza y una magnitud que es directamente proporcional a la fuerza

Equilibrio dinaacutemico La ecuacioacuten del movimiento se puede expresar de la forma

F - m a = 0

Marco inercial de referencia Siempre que se aplique la ecuacioacuten del movimiento se requiere que las medida de la aceleracioacuten se hagan a partir de un marco de referencia newtoniano o inercial Tal sistema coordenado no gira y estaacute ya sea fijo o se traslada en una direccioacuten dada con velocidad constante ( aceleracioacuten cero ) Esta definicioacuten asegura que la aceleracioacuten de la partiacutecula medida en dos marcos de referencia inerciales siempre seraacute la misma

Ecuaciones de movimiento Si las fuerzas y m a pueden descomponerse directamente a partir de los diagramas de cuerpo libre y cineacutetico aplique las ecuaciones de movimiento en su forma de componentes escalares

Fraccioacuten Si l partiacutecula tiene contacto con una superficie rugosa puede ser necesario usar la ecuacioacuten de friccioacuten que relaciona el coeficiente de friccioacuten cineacutetica k con las magnitudes de las fuerzas de friccioacuten y normal Ff y N que actuacutean en las superficies de contacto es decir Ff = k N

Cinemaacutetica Se usan estas ecuaciones si no se puede obtener una solucioacuten completa a partir de la ecuacioacuten de movimiento En este aspecto si se va a hallar

la posicioacuten o la velocidad de la partiacutecula seraacute necesario aplicar las ecuaciones cinemaacuteticas adecuadas una vez que se determina la aceleracioacuten de la partiacutecula a partir de F = m a

DEFINICIOacuteN DEL PROBLEMA

DATOS

P = 50 N

m = 200 gr = 0200 Kg

k = 0025

W = mg = 1962 Kg

DIAGRAMA

TAREAS

Como la F = m a y del diagrama anterior tenemos

F = m ax sustituyendo nos resulta

P - WX - Fr = m ax helliphelliphellip ec 1

Pero como fr = k N y W = mg por lo tanto

F = m ay

Wy - N = m ay = 0 ec 2

Wy - N = 0 (se considera como cero ya que con respecto al eje Y no hay fuerzas)

Wy = N y como

Wy = W cos

Wx = W sen

Sustituyendo lo anterior en la ecuacioacuten 1

P - W sen - k W cos = m a

SOLUCIOacuteN COMPLETA

Sustituyendo los datos en la ecuacioacuten

P - W sen - k W cos = m a

50N - 1962 kg sen 25 - (0025) (196 kg cos 25) = 02 kg a

50 N - 196 kg (0442) - (0025) (1962 kg) (0906) = 02 kg a

50 N - 0829 - 0044 = 02 a

(49127 N) (02 kg) = a

a = 2456 m s2

243 MOVIMIENTO INSTANTANEO

En el movimiento plano de un cuerpo riacutegido se tiene el siguiente teoremaEn el movimiento plano de un cuerpo riacutegido siempre existe un punto de eacutel (o de una extensioacuten riacutegida de eacutel) que tiene velocidad instantaacutenea nula y en consecuencia el movimiento equivale a una pura rotacioacuten instantaacutenea del cuerpo en torno de ese punto Tal punto se conoce como centro instantaacuteneo de rotacioacuten

Demostracioacuten 1 Como

1048705vP = 1048705vA + 1048705ω times AminusrarrP

entonces si existe un punto A = I con velocidad nula debe ser

1048705vP = 1048705ω times IminusrarrP (94)

entonces 1048705vP es perpendicular a IminusrarrP o bien IminusrarrP estaacute sobre una recta en elplano de movimiento que es perpendicular a 1048705vP En consecuencia si se conocen las velocidades (no paralelas) de dos puntos de un cuerpo 1048705vA y 1048705vB el centro instantaacuteneo estaraacute donde se intersecten las perpendiculares a esas dos velocidades La excepcioacuten la constituyen los cuerpos que tienen traslaciones puras es decir cuando el cuerpo se traslada paralelamente y entonces 1048705ω =10487050

En estos casos se podriacutea decir que el centro instantaacuteneo estaacute en el infinitoLa posicioacuten del centro instantaacuteneo tambieacuten puede determinarse si se conoce una velocidad y la velocidad angular del cuerpo En efecto de (94) se puede despejar PminusrarrI para ello multiplique timesω1048705 y desarrolle

1048705vP times 1048705ω = (1048705ω times IminusrarrP) times ω1048705 = ω2IminusrarrP minus (IminusrarrP middot ω1048705) 1048705ω

pero (IminusrarrP middot ω1048705 ) = 0 porque son vectores perpendiculares Entonces si ω2 6= 0se deduce que

PminusrarrI = 1048705ω times1048705vP

ω2 (95

244 ACELERACION DE CORIOLIS

El efecto Coriolis hace que un objeto que se mueve sobre el radio de un disco en rotacioacuten tienda a acelerarse con respecto a ese disco seguacuten si el movimiento es hacia el eje de giro o alejaacutendose de eacuteste Por el mismo principio en el caso de una esfera en rotacioacuten el movimiento de un objeto sobre los meridianos tambieacuten presenta este efecto ya que dicho movimiento reduce o incrementa la distancia respecto al eje de giro de la esfera

Debido a que el objeto sufre una aceleracioacuten desde el punto de vista del observador en rotacioacuten es como si para eacuteste existiera una fuerza sobre el objeto que lo acelera A esta fuerza se la llama fuerza de Coriolis y no es una fuerza real en el sentido de que no hay nada que la produzca Se trata pues de una fuerza inercial o ficticia que se introduce para explicar desde el punto de vista del sistema en rotacioacuten la aceleracioacuten del cuerpo cuyo origen estaacute en realidad en el hecho de que el sistema de observacioacuten estaacute rotando

Un ejemplo canoacutenico de efecto Coriolis es el experimento imaginario en el que disparamos un proyectil desde el Ecuador en direccioacuten norte El cantildeoacuten estaacute girando con la tierra hacia el este y por tanto imprime al proyectil esa velocidad (ademaacutes de la velocidad hacia adelante al momento de la impulsioacuten) Al viajar el proyectil hacia el norte sobrevuela puntos de la tierra cuya velocidad liacuteneal hacia el este va disminuyendo con la latitud creciente La inercia del proyectil hacia el este hace que su velocidad angular aumente y que por tanto adelante a los puntos que sobrevuela Si el vuelo es suficientemente largo (ver caacutelculos al final del artiacuteculo) el proyectil caeraacute en un meridiano situado al este de aqueacutel desde el cual se disparoacute a pesar de que la direccioacuten del disparo fue exactamente hacia el norte Anaacutelogamente una masa de aire que se desplace hacia el este sobre el ecuador aumentaraacute su velocidad de giro con respecto al suelo en caso de que su latitud disminuya Finalmente el efecto Coriolis al actuar sobre masas de aire (o agua) en latitudes intermedias induce un giro al desviar hacia el este o hacia el oeste las partes de esa masa que ganen o pierdan latitud de forma parecida a como gira la bolita del ejemplo

Tenemos

Podemos observar que la ecuacioacuten (27) es igual como se esperaba a la ecuacioacuten (10)

22 TRASLACION

1deg Se llama movimiento de traslacioacuten de un soacutelido aquel durante el cual cualquier recta asociada riacutegidamente a dicho soacutelido (por ejemplo la recta AB de la fig 115) se traslada permaneciendo paralela a su direccioacuten inicial (A0B0) Tienen movimiento de traslacioacuten con respecto a la Tierra por ejemplo la cabina de un ascensor la cuchilla de un torno la aguja de una bruacutejula cuando su caja se desplaza en un plano horizontal etc

Cuando un soacutelido se traslada todos sus puntos se desplazan exactamente lo mismo en un tiempo pequentildeo dt los radios vectores de estos puntos variacutean en una misma magnitud dr Respectivamente en cada instante todos los puntos del soacutelido tienen la misma velocidad igual a drdt y por consiguiente tambieacuten son iguales sus aceleraciones Por esto el estudio cinemaacutetico del movimiento de traslacioacuten de un soacutelido se reduce al estudio del movimiento de cualquiera de sus puntos En la dinaacutemica se estudia el movimiento del centro de inercia del soacutelido (1233deg) Todo cuerpo soacutelido que se mueve libremente en el espacio tiene tres

grados de libertad de traslacioacuten (1127deg) que corresponden a sus traslaciones a lo largo de los tres ejes de coordenadas

2deg El movimiento de un soacutelido durante el cual dos de sus puntos A y B permanecen fijos se llama rotacioacuten (o movimiento de rotacioacuten) del soacutelido alrededor de un eje fijo La recta en reposo AB recibe el nombre de eje de rotacioacuten del soacutelido Al girar alrededor del eje fijo todos los puntos del soacutelido describen circunferencias cuyos centros se encuentran en el eje de rotacioacuten y cuyos planos son perpendiculares a eacutel Este tipo de movimiento con respecto a la Tierra lo efectuacutean por ejemplo los rotores de las turbinas de los motores eleacutectricos y de los generadores sujetos a ellaEl soacutelido que gira alrededor de un eje fijo soacutelo tiene un grado de libertad (1127deg) Su posicioacuten en el espacio se determina totalmente por el valor ϕ del aacutengulo de rotacioacuten a partir de una posicioacuten determinada (inicial)

3deg Para caracterizar la rapidez y el sentido de la rotacioacuten del soacutelido alrededor del eje sirve la velocidad angular Se llama velocidad angular el vector o igual numeacutericamente a la primera derivada del aacutengulo de rotacioacuten ϕ respecto del tiempo t y dirigido a lo largo del eje de rotacioacuten fijo de tal modo que desde su extremo se vea que el soacutelido gira en sentido contrario al de las agujas del reloj (fig116) )

I14 Aceleracioacuten1deg Para caracterizar la rapidez con que variacutea el vector velocidad de un punto se introduce en mecaacutenica el concepto de aceleracioacuten Se llama aceleracioacuten media de un punto en un intervalo de tiempo de t a el vector amed igual a la razoacuten del incremento del vector velocidad del punto en este lapso a la duracioacuten de dicho intervalo

23 ROTACIOacuteN CON RESPECTO A UN EJE FIJO

Consideremos un cuerpo riacutegido que gira con respecto a un eje fijo AA Sea P un punto del cuerpo y r su vector de posicioacuten con respecto a un sistema de referencia fijo Por conveniencia supondremos que el sistema esta centrado en el punto O sobre AA y que el eje z coincide con AA Sea B la proyeccioacuten de P sobre AA como P debe permanecer a una distancia constante de B describiraacute un circulo de centro B y de radio r sen donde representa el aacutengulo formado por r y AALa posicioacuten de P y de todo cuerpo esta definida completamente por el aacutengulo se conoce como la coordenada angular del cuerpo La coordenada angular se define como positiva cuando se recorre en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj visto desde A se expresara en radianes y ocasionalmente en grados o revolucionesRecordamos que la velocidad de una partiacutecula P y de magnitud Observando que la longitud s del arco descrito por P cuando el cuerpo gira hasta longitud es

y dividiendo ambos miembros entre t obtenemos en el limite cuando t tiende a cerodonde representa la derivada de respecto al tiempo Concluimos que la velocidad V de P es un vector perpendicular al plano que contiene a AA y r de magnitud V definida por Pero es precisamente el resultado que obtendriacuteamos si trazamos a lo largo de AA un vector y formaacutesemos el producto vectorial x r Entonces escribimosEl vectorse le llama velocidad angular del cuerpo Estaacute dirigida a lo largo del eje de rotacioacuten y es igual en magnitud a la rapidez de cambio de la coordenada angular y su sentido puede obtenerse por la regla de la mano derecha del sentido de rotacioacuten del cuerpoDeterminaremos la aceleracioacuten a de la partiacutecula P Derivando a y recordando la regla de la derivacioacuten de un producto vectorial tenemosEl vector se representa por y se llama aceleracioacuten angular del cuerpo Sustituyendo tambieacuten v de tenemosDerivando a y recordando que k es de magnitud y direccioacuten constante tenemosEntonces la angular de un cuerpo riacutegido que gira con respecto a un eje fijo es un vector dirigido a lo largo del eje de rotacioacuten e igual en magnitud a la rapidez de cambio de de la velocidad angular Regresando notamos que la aceleracioacuten P es la suma de dos vectores El primer vector es igual al producto vectorial x r es tangente al circulo descrito por P y representa por consiguiente a la componente tangencial de la aceleracioacuten El segundo vector es igual al triple producto vectorial obtenido por el producto vectorial de como es tangente al circulo descrito por P el triple producto vectorial se dirige hacia el centro de B del circulo y representa por consiguiente a la normal de la aceleracioacuten

231 ECUACION DEL MOVIMIENTO DE ROTACION

Consideremos un sistema de partiacuteculas Sobre cada partiacutecula actuacutean las fuerzas exteriores al sistema y las fuerzas de interaccioacuten mutua entre las partiacuteculas del sistema Supongamos un sistema formado por dos partiacuteculas Sobre la partiacutecula 1 actuacutea la fuerza exterior F1 y la fuerza que ejerce la partiacutecula 2 F12 Sobre la partiacutecula 2 actuacutea la fuerza exterior F2 y la fuerza que ejerce la partiacutecula 1 F21 Por ejemplo si el sistema de partiacuteculas fuese el formado por la Tierra y la Luna las fuerzas exteriores seriacutean las que ejerce el Sol ( y el resto de los planetas) sobre la Tierra y sobre la Luna Las fuerzas interiores seriacutean la atraccioacuten mutua entre estos dos cuerpos celestes

Para cada unas de las partiacuteculas se cumple que la variacioacuten del momento angular con el tiempo es igual al momento de la resultante de las fuerzas que actuacutean sobre la partiacutecula considerada

Sumando miembro a miembro aplicando la propiedad distributiva del producto vectorial y teniendo en cuanta la tercera Ley de Newton F12=-F21 tenemos que

Como los vectores r1-r2 y F12 son paralelos su producto vectorial es cero Por lo que nos queda

La derivada del momento angular total del sistema de partiacuteculas con respecto del tiempo es igual al momento de las fuerzas exteriores que actuacutean sobre las partiacuteculas del sistemaConsideremos ahora que el sistema de partiacuteculas es un soacutelido riacutegido que estaacute girando alrededor de un eje principal de inercia entonces el momento angular L=Imiddotw la ecuacioacuten anterior la escribimos

Momento angular de un sistema de partiacuteculas Consideremos el sistema de dos partiacuteculas de la figura anterior El momento angular total del sistema respecto del origen es

L=r1acute m1middotv1+r2acute m2middotv2

Calculamos el momento angular respecto del centro de masas

r1cm=r1-rcm

r2cm=r2-rcm

v1cm=v1-vcm

v2cm=v2-vcm

El momento angular respecto del origen es la suma de dos contribuciones

L=(r1cm+rcm) acute m1middot(v1cm+vcm)+ (r2cm+rcm) acute m2middot(v2cm+vcm) = (r1cm acute m1middotv1cm)+ (r2cm acute m2middotv2cm)+ rcmacute (m1middotv1cm+ m2middotv2cm)+ (m1middotr1cm+ m2middotr2cm) acute vcm

De la definicioacuten de posicioacuten y velocidad del centro de masas tenemos que

m1middotv1cm+ m2middotv2cm=0

m1middotr1cm+ m2middotr2cm=(m1+m2)middotrcm

L=Lcm+(m1+m2)middotrcm acute vcm

En general para un sistema de partiacuteculas de masa total m

L=Lcm+mmiddotrcm acute vcm

El primer teacutermino es el momento angular interno relativo al sistema cm y el uacuteltimo teacutermino el momento angular externo relativo al sistema de laboratorio como si toda la masa estuviera concentrada en el centro de masa Relacioacuten entre el momento de las fuerzas exteriores Mext y el momento angular interno LcmEl momento de las fuerzas exteriores respecto del origen es la suma de dos contribuciones

Mext= r1acuteF1+r2acute F2 = (r1cm+rcm) acute F1+(r2cm+rcm) acute F2 = r1cmacute F1+r2cmacute F2+ rcmacute (F1+F2) = Mcm+ rcmacute (F1+F2)

Mext= Mcm+ rcmacute Fext

El primer teacutermino es el momento de las fuerzas exteriores relativo al cm y el segundo es el momento de la fuerza resultante F1+F2 como si estuviera aplicada en el centro de masas Derivando respecto del tiempo el momento angular total L tenemos

Teniendo en cuenta que el segundo teacutermino es el producto vectorial de dos vectores paralelos y que la ecuacioacuten del movimiento del cm es

Resulta

Como hemos demostrado en el apartado anterior que

Se obtiene la relacioacuten

Estas dos relaciones son ideacutenticas pero existen diferencias en su interpretacioacuten En la primera se evaluacutea el momento angular L y el momento de las fuerzas exteriores Mext respecto de un punto fijo O (origen del sistema de coordenadas) en un sistema de referencia inercial La segunda se evaluacutea el momento angular Lcm y el momento de las fuerzas Mcm respecto al sistema de referencias del centro de masas incluso si no estaacute en reposo con relacioacuten al sistema inercial de referencia OEsta uacuteltima relacioacuten es la que emplearemos para describir el movimiento del cm de un soacutelido riacutegidoVamos a estudiar con maacutes detalle la validez de la relacioacuten

Siendo A un punto arbitrario LA el momento angular del sistema de partiacuteculas respecto de A y MA el momento total de las fuerzas externas respecto del mismo punto

La posicioacuten de la partiacutecula i respecto al origen del sistema de referencia inercial es ri la posicioacuten de dicha partiacutecula respecto de A es riA En la figura se muestra la relacioacuten entre estos dos vectoresri=rA+riA

La velocidad de la partiacutecula i respecto del sistema de referencia inercial es vi y del punto A es vA

El momento angular del sistema de partiacuteculas respecto de A LA es

Sea Fi la fuerza exterior que actuacutea sobre la partiacutecula i La segunda ley de Newton afirma que

El momento de las fuerzas exteriores respecto de A es

Como la posicioacuten del centro de masas rcm se define

Siendo M la masa total del sistema de partiacuteculas llegamos a la relacioacuten

Podemos obtener la misma relacioacuten derivando el momento angular LA respecto del tiempo

Cuando el teacutermino M(rcm-rA)timesaA desaparece la relacioacuten MA=dLAdt se cumple Esto ocurre en los siguientes casosCuando el punto A coincide con el centro de masas rcm=rA Cuando la aceleracioacuten de A es cero aA =0 es decir A se mueve con velocidad constante Cuando la aceleracioacuten de A aA es paralela al vector (rcm-rA) En los ejemplos de la seccioacuten Movimiento general de un soacutelido riacutegido emplearemos uacutenicamente la relacioacuten

El momento angular Lcm del soacutelido riacutegido y el momento de las fuerzas exteriores Mcm se calculan con respecto del centro de masas

24 MOVIMIENTO GENERAL DEL PLANO

Caso en que cada partiacutecula del cuerpo se mueve en forma paralela a un plano fijo Noacutetese que este caso incluye tanto el caso de cuerpos planos propiamente tales tales como laacuteminas discos etc movieacutendose en su propio plano como el caso de cuerpos espaciales que se mueven en la forma antes descrita

ConfiguracioacutenSupoacutengase un cuerpo riacutegido en movimiento plano Dos rectas AB y CD fijas al cuerpo forman aacutengulos q1 y q2 respectivamente con una referencia fija Pero q1 = q2 + b donde b es constante Esto quiere decir que si se conoce la posicioacuten angular de cualquier recta fija al cuerpo se conoce la posicioacuten angular del cuerpo Ademaacutes Dq1 = Dq2 por lo tanto la velocidad angular W y la aceleracioacuten angular a son las mismas para cualquier recta fija al cuerpoPara especificar la configuracioacuten de un cuerpo riacutegido en movimiento planoes conveniente utilizar un sistema de referencia Srsquo fijo al cuerpo con origen en Orsquo La configuracioacuten del cuerpo riacutegido queda completamente determinada mediante las coordenadas x(Orsquo) e y(Orsquo) y el aacutengulo q que forma xrsquo con x

241 ECUACION QUE RIGEN EN EL MOVIMIENTO GENERAL EN EL PLANO

El movimiento de un cuerpo riacutegido que teoacutericamente se puede considerar como la

composicioacuten de dos movimientos simultaacuteneos uno de traslacioacuten y el otro de

rotacioacuten a una velocidad angular w alrededor de un eje movible perpendicular al

plano de movimiento y que puede representarse en el plano recibe el nombre de

movimiento general en el plano Un ejemplo tiacutepico es el movimiento de un

neumaacutetico rodando sobre una carretera en cada instante rota y tambieacuten se

traslada el eje de giro alrededor del cual rota el neumaacutetico ocupa una posicioacuten

diferente en cada instante (es moacutevil)

Consideacuterese que un bloque de largo L ancho E y altura H se encuentra en el

primer octante de un sistema de referencia cartesiano uno de sus veacutertices

coincide con el origen y la arista de la base del bloque estaacute adyacente al eje X Se

requiere mover el bloque a una posicioacuten en la que el veacutertice que coincidiacutea con el

origen debe estar en el plano X ndash Y en la posicioacuten (8 3 0) y el largo del bloque

debe estar paralelo al eje Y

Teoacutericamente el movimiento se puede realizar girando primeramente el bloque

alrededor del veacutertice que es origen un aacutengulo de 90deg y con un movimiento de

traslacioacuten en trayectoria rectiliacutenea horizontal sobre el plano Z- X se traslada el

bloque hasta que el veacutertice que era origen este en la posicioacuten (8 0 0) y finalmente

con otro movimiento de traslacioacuten en trayectoria rectiliacutenea vertical hacia arriba se

traslada el bloque hasta que el veacutertice que era origen llegue al punto (830) En la

realidad el ingeniero mecaacutenico puede disentildear un mecanismo para mover al

bloque de su posicioacuten inicial y lo lleve a su posicioacuten final pudiendo conceptualizar

en cada instante durante la trayectoria del bloque dos movimientos simultaacuteneos

uno de rotacioacuten alrededor de un eje movible perpendicular al plano de movimiento

y el otro de traslacioacuten tal proceso cinemaacutetico sujetaraacute al bloque a un movimiento

general en el plano Para dictaminar si este movimiento se puede representar en

un plano se elige uno de los planos del bloque por ejemplo el plano ABCD y se

realiza con eacutel hipoteacuteticamente todo el proceso que se realizo con el bloque si lo

satisface 100 se concluye que el movimiento del bloque se puede representar

en un plano

Al observar el movimiento general en el plano de un cuerpo riacutegido y trazar la

trayectoria de cualquier punto sobre el plano de movimiento generalmente eacutesta

resulta ser un trayectoria curviliacutenea entonces el anaacutelisis cinemaacutetico del

movimiento general en el plano se realiza estudiando el movimiento de dos puntos

del plano de movimiento considerando que se conoce la velocidad (aceleracioacuten)

para uno de esos puntos y la velocidad angular w del plano de movimiento pero

se desconoce la del otro punto Resumiendo si los puntos a los que se les

estudiaraacute el movimiento son los puntos A y B entonces suponiendo conocida la

velocidad (aceleracioacuten) del punto A y w la velocidad (aceleracioacuten) del punto B se

calcula con las ecuaciones (19) o (20) esto es

vB = vA + vBA = vA + wX rAB

aB = aA + aBA = aA + (aBA)n + (aBA)t = aA + w X (w X rAB) + a X rAB

242 SOLUCION EN EL PROBLEMA EN FORMA

En este problema usaremos conceptos del movimiento al utilizar la segunda Ley de Newton F = m a que se enuncia como sigue

Una partiacutecula sujeta a la accioacuten de una fuerza desequilibradota F experimenta una aceleracioacuten a que tiene la misma accioacuten que la fuerza y una magnitud que es directamente proporcional a la fuerza

Equilibrio dinaacutemico La ecuacioacuten del movimiento se puede expresar de la forma

F - m a = 0

Marco inercial de referencia Siempre que se aplique la ecuacioacuten del movimiento se requiere que las medida de la aceleracioacuten se hagan a partir de un marco de referencia newtoniano o inercial Tal sistema coordenado no gira y estaacute ya sea fijo o se traslada en una direccioacuten dada con velocidad constante ( aceleracioacuten cero ) Esta definicioacuten asegura que la aceleracioacuten de la partiacutecula medida en dos marcos de referencia inerciales siempre seraacute la misma

Ecuaciones de movimiento Si las fuerzas y m a pueden descomponerse directamente a partir de los diagramas de cuerpo libre y cineacutetico aplique las ecuaciones de movimiento en su forma de componentes escalares

Fraccioacuten Si l partiacutecula tiene contacto con una superficie rugosa puede ser necesario usar la ecuacioacuten de friccioacuten que relaciona el coeficiente de friccioacuten cineacutetica k con las magnitudes de las fuerzas de friccioacuten y normal Ff y N que actuacutean en las superficies de contacto es decir Ff = k N

Cinemaacutetica Se usan estas ecuaciones si no se puede obtener una solucioacuten completa a partir de la ecuacioacuten de movimiento En este aspecto si se va a hallar

la posicioacuten o la velocidad de la partiacutecula seraacute necesario aplicar las ecuaciones cinemaacuteticas adecuadas una vez que se determina la aceleracioacuten de la partiacutecula a partir de F = m a

DEFINICIOacuteN DEL PROBLEMA

DATOS

P = 50 N

m = 200 gr = 0200 Kg

k = 0025

W = mg = 1962 Kg

DIAGRAMA

TAREAS

Como la F = m a y del diagrama anterior tenemos

F = m ax sustituyendo nos resulta

P - WX - Fr = m ax helliphelliphellip ec 1

Pero como fr = k N y W = mg por lo tanto

F = m ay

Wy - N = m ay = 0 ec 2

Wy - N = 0 (se considera como cero ya que con respecto al eje Y no hay fuerzas)

Wy = N y como

Wy = W cos

Wx = W sen

Sustituyendo lo anterior en la ecuacioacuten 1

P - W sen - k W cos = m a

SOLUCIOacuteN COMPLETA

Sustituyendo los datos en la ecuacioacuten

P - W sen - k W cos = m a

50N - 1962 kg sen 25 - (0025) (196 kg cos 25) = 02 kg a

50 N - 196 kg (0442) - (0025) (1962 kg) (0906) = 02 kg a

50 N - 0829 - 0044 = 02 a

(49127 N) (02 kg) = a

a = 2456 m s2

243 MOVIMIENTO INSTANTANEO

En el movimiento plano de un cuerpo riacutegido se tiene el siguiente teoremaEn el movimiento plano de un cuerpo riacutegido siempre existe un punto de eacutel (o de una extensioacuten riacutegida de eacutel) que tiene velocidad instantaacutenea nula y en consecuencia el movimiento equivale a una pura rotacioacuten instantaacutenea del cuerpo en torno de ese punto Tal punto se conoce como centro instantaacuteneo de rotacioacuten

Demostracioacuten 1 Como

1048705vP = 1048705vA + 1048705ω times AminusrarrP

entonces si existe un punto A = I con velocidad nula debe ser

1048705vP = 1048705ω times IminusrarrP (94)

entonces 1048705vP es perpendicular a IminusrarrP o bien IminusrarrP estaacute sobre una recta en elplano de movimiento que es perpendicular a 1048705vP En consecuencia si se conocen las velocidades (no paralelas) de dos puntos de un cuerpo 1048705vA y 1048705vB el centro instantaacuteneo estaraacute donde se intersecten las perpendiculares a esas dos velocidades La excepcioacuten la constituyen los cuerpos que tienen traslaciones puras es decir cuando el cuerpo se traslada paralelamente y entonces 1048705ω =10487050

En estos casos se podriacutea decir que el centro instantaacuteneo estaacute en el infinitoLa posicioacuten del centro instantaacuteneo tambieacuten puede determinarse si se conoce una velocidad y la velocidad angular del cuerpo En efecto de (94) se puede despejar PminusrarrI para ello multiplique timesω1048705 y desarrolle

1048705vP times 1048705ω = (1048705ω times IminusrarrP) times ω1048705 = ω2IminusrarrP minus (IminusrarrP middot ω1048705) 1048705ω

pero (IminusrarrP middot ω1048705 ) = 0 porque son vectores perpendiculares Entonces si ω2 6= 0se deduce que

PminusrarrI = 1048705ω times1048705vP

ω2 (95

244 ACELERACION DE CORIOLIS

El efecto Coriolis hace que un objeto que se mueve sobre el radio de un disco en rotacioacuten tienda a acelerarse con respecto a ese disco seguacuten si el movimiento es hacia el eje de giro o alejaacutendose de eacuteste Por el mismo principio en el caso de una esfera en rotacioacuten el movimiento de un objeto sobre los meridianos tambieacuten presenta este efecto ya que dicho movimiento reduce o incrementa la distancia respecto al eje de giro de la esfera

Debido a que el objeto sufre una aceleracioacuten desde el punto de vista del observador en rotacioacuten es como si para eacuteste existiera una fuerza sobre el objeto que lo acelera A esta fuerza se la llama fuerza de Coriolis y no es una fuerza real en el sentido de que no hay nada que la produzca Se trata pues de una fuerza inercial o ficticia que se introduce para explicar desde el punto de vista del sistema en rotacioacuten la aceleracioacuten del cuerpo cuyo origen estaacute en realidad en el hecho de que el sistema de observacioacuten estaacute rotando

Un ejemplo canoacutenico de efecto Coriolis es el experimento imaginario en el que disparamos un proyectil desde el Ecuador en direccioacuten norte El cantildeoacuten estaacute girando con la tierra hacia el este y por tanto imprime al proyectil esa velocidad (ademaacutes de la velocidad hacia adelante al momento de la impulsioacuten) Al viajar el proyectil hacia el norte sobrevuela puntos de la tierra cuya velocidad liacuteneal hacia el este va disminuyendo con la latitud creciente La inercia del proyectil hacia el este hace que su velocidad angular aumente y que por tanto adelante a los puntos que sobrevuela Si el vuelo es suficientemente largo (ver caacutelculos al final del artiacuteculo) el proyectil caeraacute en un meridiano situado al este de aqueacutel desde el cual se disparoacute a pesar de que la direccioacuten del disparo fue exactamente hacia el norte Anaacutelogamente una masa de aire que se desplace hacia el este sobre el ecuador aumentaraacute su velocidad de giro con respecto al suelo en caso de que su latitud disminuya Finalmente el efecto Coriolis al actuar sobre masas de aire (o agua) en latitudes intermedias induce un giro al desviar hacia el este o hacia el oeste las partes de esa masa que ganen o pierdan latitud de forma parecida a como gira la bolita del ejemplo

grados de libertad de traslacioacuten (1127deg) que corresponden a sus traslaciones a lo largo de los tres ejes de coordenadas

2deg El movimiento de un soacutelido durante el cual dos de sus puntos A y B permanecen fijos se llama rotacioacuten (o movimiento de rotacioacuten) del soacutelido alrededor de un eje fijo La recta en reposo AB recibe el nombre de eje de rotacioacuten del soacutelido Al girar alrededor del eje fijo todos los puntos del soacutelido describen circunferencias cuyos centros se encuentran en el eje de rotacioacuten y cuyos planos son perpendiculares a eacutel Este tipo de movimiento con respecto a la Tierra lo efectuacutean por ejemplo los rotores de las turbinas de los motores eleacutectricos y de los generadores sujetos a ellaEl soacutelido que gira alrededor de un eje fijo soacutelo tiene un grado de libertad (1127deg) Su posicioacuten en el espacio se determina totalmente por el valor ϕ del aacutengulo de rotacioacuten a partir de una posicioacuten determinada (inicial)

3deg Para caracterizar la rapidez y el sentido de la rotacioacuten del soacutelido alrededor del eje sirve la velocidad angular Se llama velocidad angular el vector o igual numeacutericamente a la primera derivada del aacutengulo de rotacioacuten ϕ respecto del tiempo t y dirigido a lo largo del eje de rotacioacuten fijo de tal modo que desde su extremo se vea que el soacutelido gira en sentido contrario al de las agujas del reloj (fig116) )

I14 Aceleracioacuten1deg Para caracterizar la rapidez con que variacutea el vector velocidad de un punto se introduce en mecaacutenica el concepto de aceleracioacuten Se llama aceleracioacuten media de un punto en un intervalo de tiempo de t a el vector amed igual a la razoacuten del incremento del vector velocidad del punto en este lapso a la duracioacuten de dicho intervalo

23 ROTACIOacuteN CON RESPECTO A UN EJE FIJO

Consideremos un cuerpo riacutegido que gira con respecto a un eje fijo AA Sea P un punto del cuerpo y r su vector de posicioacuten con respecto a un sistema de referencia fijo Por conveniencia supondremos que el sistema esta centrado en el punto O sobre AA y que el eje z coincide con AA Sea B la proyeccioacuten de P sobre AA como P debe permanecer a una distancia constante de B describiraacute un circulo de centro B y de radio r sen donde representa el aacutengulo formado por r y AALa posicioacuten de P y de todo cuerpo esta definida completamente por el aacutengulo se conoce como la coordenada angular del cuerpo La coordenada angular se define como positiva cuando se recorre en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj visto desde A se expresara en radianes y ocasionalmente en grados o revolucionesRecordamos que la velocidad de una partiacutecula P y de magnitud Observando que la longitud s del arco descrito por P cuando el cuerpo gira hasta longitud es

y dividiendo ambos miembros entre t obtenemos en el limite cuando t tiende a cerodonde representa la derivada de respecto al tiempo Concluimos que la velocidad V de P es un vector perpendicular al plano que contiene a AA y r de magnitud V definida por Pero es precisamente el resultado que obtendriacuteamos si trazamos a lo largo de AA un vector y formaacutesemos el producto vectorial x r Entonces escribimosEl vectorse le llama velocidad angular del cuerpo Estaacute dirigida a lo largo del eje de rotacioacuten y es igual en magnitud a la rapidez de cambio de la coordenada angular y su sentido puede obtenerse por la regla de la mano derecha del sentido de rotacioacuten del cuerpoDeterminaremos la aceleracioacuten a de la partiacutecula P Derivando a y recordando la regla de la derivacioacuten de un producto vectorial tenemosEl vector se representa por y se llama aceleracioacuten angular del cuerpo Sustituyendo tambieacuten v de tenemosDerivando a y recordando que k es de magnitud y direccioacuten constante tenemosEntonces la angular de un cuerpo riacutegido que gira con respecto a un eje fijo es un vector dirigido a lo largo del eje de rotacioacuten e igual en magnitud a la rapidez de cambio de de la velocidad angular Regresando notamos que la aceleracioacuten P es la suma de dos vectores El primer vector es igual al producto vectorial x r es tangente al circulo descrito por P y representa por consiguiente a la componente tangencial de la aceleracioacuten El segundo vector es igual al triple producto vectorial obtenido por el producto vectorial de como es tangente al circulo descrito por P el triple producto vectorial se dirige hacia el centro de B del circulo y representa por consiguiente a la normal de la aceleracioacuten

231 ECUACION DEL MOVIMIENTO DE ROTACION

Consideremos un sistema de partiacuteculas Sobre cada partiacutecula actuacutean las fuerzas exteriores al sistema y las fuerzas de interaccioacuten mutua entre las partiacuteculas del sistema Supongamos un sistema formado por dos partiacuteculas Sobre la partiacutecula 1 actuacutea la fuerza exterior F1 y la fuerza que ejerce la partiacutecula 2 F12 Sobre la partiacutecula 2 actuacutea la fuerza exterior F2 y la fuerza que ejerce la partiacutecula 1 F21 Por ejemplo si el sistema de partiacuteculas fuese el formado por la Tierra y la Luna las fuerzas exteriores seriacutean las que ejerce el Sol ( y el resto de los planetas) sobre la Tierra y sobre la Luna Las fuerzas interiores seriacutean la atraccioacuten mutua entre estos dos cuerpos celestes

Para cada unas de las partiacuteculas se cumple que la variacioacuten del momento angular con el tiempo es igual al momento de la resultante de las fuerzas que actuacutean sobre la partiacutecula considerada

Sumando miembro a miembro aplicando la propiedad distributiva del producto vectorial y teniendo en cuanta la tercera Ley de Newton F12=-F21 tenemos que

Como los vectores r1-r2 y F12 son paralelos su producto vectorial es cero Por lo que nos queda

La derivada del momento angular total del sistema de partiacuteculas con respecto del tiempo es igual al momento de las fuerzas exteriores que actuacutean sobre las partiacuteculas del sistemaConsideremos ahora que el sistema de partiacuteculas es un soacutelido riacutegido que estaacute girando alrededor de un eje principal de inercia entonces el momento angular L=Imiddotw la ecuacioacuten anterior la escribimos

Momento angular de un sistema de partiacuteculas Consideremos el sistema de dos partiacuteculas de la figura anterior El momento angular total del sistema respecto del origen es

L=r1acute m1middotv1+r2acute m2middotv2

Calculamos el momento angular respecto del centro de masas

r1cm=r1-rcm

r2cm=r2-rcm

v1cm=v1-vcm

v2cm=v2-vcm

El momento angular respecto del origen es la suma de dos contribuciones

L=(r1cm+rcm) acute m1middot(v1cm+vcm)+ (r2cm+rcm) acute m2middot(v2cm+vcm) = (r1cm acute m1middotv1cm)+ (r2cm acute m2middotv2cm)+ rcmacute (m1middotv1cm+ m2middotv2cm)+ (m1middotr1cm+ m2middotr2cm) acute vcm

De la definicioacuten de posicioacuten y velocidad del centro de masas tenemos que

m1middotv1cm+ m2middotv2cm=0

m1middotr1cm+ m2middotr2cm=(m1+m2)middotrcm

L=Lcm+(m1+m2)middotrcm acute vcm

En general para un sistema de partiacuteculas de masa total m

L=Lcm+mmiddotrcm acute vcm

El primer teacutermino es el momento angular interno relativo al sistema cm y el uacuteltimo teacutermino el momento angular externo relativo al sistema de laboratorio como si toda la masa estuviera concentrada en el centro de masa Relacioacuten entre el momento de las fuerzas exteriores Mext y el momento angular interno LcmEl momento de las fuerzas exteriores respecto del origen es la suma de dos contribuciones

Mext= r1acuteF1+r2acute F2 = (r1cm+rcm) acute F1+(r2cm+rcm) acute F2 = r1cmacute F1+r2cmacute F2+ rcmacute (F1+F2) = Mcm+ rcmacute (F1+F2)

Mext= Mcm+ rcmacute Fext

El primer teacutermino es el momento de las fuerzas exteriores relativo al cm y el segundo es el momento de la fuerza resultante F1+F2 como si estuviera aplicada en el centro de masas Derivando respecto del tiempo el momento angular total L tenemos

Teniendo en cuenta que el segundo teacutermino es el producto vectorial de dos vectores paralelos y que la ecuacioacuten del movimiento del cm es

Resulta

Como hemos demostrado en el apartado anterior que

Se obtiene la relacioacuten

Estas dos relaciones son ideacutenticas pero existen diferencias en su interpretacioacuten En la primera se evaluacutea el momento angular L y el momento de las fuerzas exteriores Mext respecto de un punto fijo O (origen del sistema de coordenadas) en un sistema de referencia inercial La segunda se evaluacutea el momento angular Lcm y el momento de las fuerzas Mcm respecto al sistema de referencias del centro de masas incluso si no estaacute en reposo con relacioacuten al sistema inercial de referencia OEsta uacuteltima relacioacuten es la que emplearemos para describir el movimiento del cm de un soacutelido riacutegidoVamos a estudiar con maacutes detalle la validez de la relacioacuten

Siendo A un punto arbitrario LA el momento angular del sistema de partiacuteculas respecto de A y MA el momento total de las fuerzas externas respecto del mismo punto

La posicioacuten de la partiacutecula i respecto al origen del sistema de referencia inercial es ri la posicioacuten de dicha partiacutecula respecto de A es riA En la figura se muestra la relacioacuten entre estos dos vectoresri=rA+riA

La velocidad de la partiacutecula i respecto del sistema de referencia inercial es vi y del punto A es vA

El momento angular del sistema de partiacuteculas respecto de A LA es

Sea Fi la fuerza exterior que actuacutea sobre la partiacutecula i La segunda ley de Newton afirma que

El momento de las fuerzas exteriores respecto de A es

Como la posicioacuten del centro de masas rcm se define

Siendo M la masa total del sistema de partiacuteculas llegamos a la relacioacuten

Podemos obtener la misma relacioacuten derivando el momento angular LA respecto del tiempo

Cuando el teacutermino M(rcm-rA)timesaA desaparece la relacioacuten MA=dLAdt se cumple Esto ocurre en los siguientes casosCuando el punto A coincide con el centro de masas rcm=rA Cuando la aceleracioacuten de A es cero aA =0 es decir A se mueve con velocidad constante Cuando la aceleracioacuten de A aA es paralela al vector (rcm-rA) En los ejemplos de la seccioacuten Movimiento general de un soacutelido riacutegido emplearemos uacutenicamente la relacioacuten

El momento angular Lcm del soacutelido riacutegido y el momento de las fuerzas exteriores Mcm se calculan con respecto del centro de masas

24 MOVIMIENTO GENERAL DEL PLANO

Caso en que cada partiacutecula del cuerpo se mueve en forma paralela a un plano fijo Noacutetese que este caso incluye tanto el caso de cuerpos planos propiamente tales tales como laacuteminas discos etc movieacutendose en su propio plano como el caso de cuerpos espaciales que se mueven en la forma antes descrita

ConfiguracioacutenSupoacutengase un cuerpo riacutegido en movimiento plano Dos rectas AB y CD fijas al cuerpo forman aacutengulos q1 y q2 respectivamente con una referencia fija Pero q1 = q2 + b donde b es constante Esto quiere decir que si se conoce la posicioacuten angular de cualquier recta fija al cuerpo se conoce la posicioacuten angular del cuerpo Ademaacutes Dq1 = Dq2 por lo tanto la velocidad angular W y la aceleracioacuten angular a son las mismas para cualquier recta fija al cuerpoPara especificar la configuracioacuten de un cuerpo riacutegido en movimiento planoes conveniente utilizar un sistema de referencia Srsquo fijo al cuerpo con origen en Orsquo La configuracioacuten del cuerpo riacutegido queda completamente determinada mediante las coordenadas x(Orsquo) e y(Orsquo) y el aacutengulo q que forma xrsquo con x

241 ECUACION QUE RIGEN EN EL MOVIMIENTO GENERAL EN EL PLANO

El movimiento de un cuerpo riacutegido que teoacutericamente se puede considerar como la

composicioacuten de dos movimientos simultaacuteneos uno de traslacioacuten y el otro de

rotacioacuten a una velocidad angular w alrededor de un eje movible perpendicular al

plano de movimiento y que puede representarse en el plano recibe el nombre de

movimiento general en el plano Un ejemplo tiacutepico es el movimiento de un

neumaacutetico rodando sobre una carretera en cada instante rota y tambieacuten se

traslada el eje de giro alrededor del cual rota el neumaacutetico ocupa una posicioacuten

diferente en cada instante (es moacutevil)

Consideacuterese que un bloque de largo L ancho E y altura H se encuentra en el

primer octante de un sistema de referencia cartesiano uno de sus veacutertices

coincide con el origen y la arista de la base del bloque estaacute adyacente al eje X Se

requiere mover el bloque a una posicioacuten en la que el veacutertice que coincidiacutea con el

origen debe estar en el plano X ndash Y en la posicioacuten (8 3 0) y el largo del bloque

debe estar paralelo al eje Y

Teoacutericamente el movimiento se puede realizar girando primeramente el bloque

alrededor del veacutertice que es origen un aacutengulo de 90deg y con un movimiento de

traslacioacuten en trayectoria rectiliacutenea horizontal sobre el plano Z- X se traslada el

bloque hasta que el veacutertice que era origen este en la posicioacuten (8 0 0) y finalmente

con otro movimiento de traslacioacuten en trayectoria rectiliacutenea vertical hacia arriba se

traslada el bloque hasta que el veacutertice que era origen llegue al punto (830) En la

realidad el ingeniero mecaacutenico puede disentildear un mecanismo para mover al

bloque de su posicioacuten inicial y lo lleve a su posicioacuten final pudiendo conceptualizar

en cada instante durante la trayectoria del bloque dos movimientos simultaacuteneos

uno de rotacioacuten alrededor de un eje movible perpendicular al plano de movimiento

y el otro de traslacioacuten tal proceso cinemaacutetico sujetaraacute al bloque a un movimiento

general en el plano Para dictaminar si este movimiento se puede representar en

un plano se elige uno de los planos del bloque por ejemplo el plano ABCD y se

realiza con eacutel hipoteacuteticamente todo el proceso que se realizo con el bloque si lo

satisface 100 se concluye que el movimiento del bloque se puede representar

en un plano

Al observar el movimiento general en el plano de un cuerpo riacutegido y trazar la

trayectoria de cualquier punto sobre el plano de movimiento generalmente eacutesta

resulta ser un trayectoria curviliacutenea entonces el anaacutelisis cinemaacutetico del

movimiento general en el plano se realiza estudiando el movimiento de dos puntos

del plano de movimiento considerando que se conoce la velocidad (aceleracioacuten)

para uno de esos puntos y la velocidad angular w del plano de movimiento pero

se desconoce la del otro punto Resumiendo si los puntos a los que se les

estudiaraacute el movimiento son los puntos A y B entonces suponiendo conocida la

velocidad (aceleracioacuten) del punto A y w la velocidad (aceleracioacuten) del punto B se

calcula con las ecuaciones (19) o (20) esto es

vB = vA + vBA = vA + wX rAB

aB = aA + aBA = aA + (aBA)n + (aBA)t = aA + w X (w X rAB) + a X rAB

242 SOLUCION EN EL PROBLEMA EN FORMA

En este problema usaremos conceptos del movimiento al utilizar la segunda Ley de Newton F = m a que se enuncia como sigue

Una partiacutecula sujeta a la accioacuten de una fuerza desequilibradota F experimenta una aceleracioacuten a que tiene la misma accioacuten que la fuerza y una magnitud que es directamente proporcional a la fuerza

Equilibrio dinaacutemico La ecuacioacuten del movimiento se puede expresar de la forma

F - m a = 0

Marco inercial de referencia Siempre que se aplique la ecuacioacuten del movimiento se requiere que las medida de la aceleracioacuten se hagan a partir de un marco de referencia newtoniano o inercial Tal sistema coordenado no gira y estaacute ya sea fijo o se traslada en una direccioacuten dada con velocidad constante ( aceleracioacuten cero ) Esta definicioacuten asegura que la aceleracioacuten de la partiacutecula medida en dos marcos de referencia inerciales siempre seraacute la misma

Ecuaciones de movimiento Si las fuerzas y m a pueden descomponerse directamente a partir de los diagramas de cuerpo libre y cineacutetico aplique las ecuaciones de movimiento en su forma de componentes escalares

Fraccioacuten Si l partiacutecula tiene contacto con una superficie rugosa puede ser necesario usar la ecuacioacuten de friccioacuten que relaciona el coeficiente de friccioacuten cineacutetica k con las magnitudes de las fuerzas de friccioacuten y normal Ff y N que actuacutean en las superficies de contacto es decir Ff = k N

Cinemaacutetica Se usan estas ecuaciones si no se puede obtener una solucioacuten completa a partir de la ecuacioacuten de movimiento En este aspecto si se va a hallar

la posicioacuten o la velocidad de la partiacutecula seraacute necesario aplicar las ecuaciones cinemaacuteticas adecuadas una vez que se determina la aceleracioacuten de la partiacutecula a partir de F = m a

DEFINICIOacuteN DEL PROBLEMA

DATOS

P = 50 N

m = 200 gr = 0200 Kg

k = 0025

W = mg = 1962 Kg

DIAGRAMA

TAREAS

Como la F = m a y del diagrama anterior tenemos

F = m ax sustituyendo nos resulta

P - WX - Fr = m ax helliphelliphellip ec 1

Pero como fr = k N y W = mg por lo tanto

F = m ay

Wy - N = m ay = 0 ec 2

Wy - N = 0 (se considera como cero ya que con respecto al eje Y no hay fuerzas)

Wy = N y como

Wy = W cos

Wx = W sen

Sustituyendo lo anterior en la ecuacioacuten 1

P - W sen - k W cos = m a

SOLUCIOacuteN COMPLETA

Sustituyendo los datos en la ecuacioacuten

P - W sen - k W cos = m a

50N - 1962 kg sen 25 - (0025) (196 kg cos 25) = 02 kg a

50 N - 196 kg (0442) - (0025) (1962 kg) (0906) = 02 kg a

50 N - 0829 - 0044 = 02 a

(49127 N) (02 kg) = a

a = 2456 m s2

243 MOVIMIENTO INSTANTANEO

En el movimiento plano de un cuerpo riacutegido se tiene el siguiente teoremaEn el movimiento plano de un cuerpo riacutegido siempre existe un punto de eacutel (o de una extensioacuten riacutegida de eacutel) que tiene velocidad instantaacutenea nula y en consecuencia el movimiento equivale a una pura rotacioacuten instantaacutenea del cuerpo en torno de ese punto Tal punto se conoce como centro instantaacuteneo de rotacioacuten

Demostracioacuten 1 Como

1048705vP = 1048705vA + 1048705ω times AminusrarrP

entonces si existe un punto A = I con velocidad nula debe ser

1048705vP = 1048705ω times IminusrarrP (94)

entonces 1048705vP es perpendicular a IminusrarrP o bien IminusrarrP estaacute sobre una recta en elplano de movimiento que es perpendicular a 1048705vP En consecuencia si se conocen las velocidades (no paralelas) de dos puntos de un cuerpo 1048705vA y 1048705vB el centro instantaacuteneo estaraacute donde se intersecten las perpendiculares a esas dos velocidades La excepcioacuten la constituyen los cuerpos que tienen traslaciones puras es decir cuando el cuerpo se traslada paralelamente y entonces 1048705ω =10487050

En estos casos se podriacutea decir que el centro instantaacuteneo estaacute en el infinitoLa posicioacuten del centro instantaacuteneo tambieacuten puede determinarse si se conoce una velocidad y la velocidad angular del cuerpo En efecto de (94) se puede despejar PminusrarrI para ello multiplique timesω1048705 y desarrolle

1048705vP times 1048705ω = (1048705ω times IminusrarrP) times ω1048705 = ω2IminusrarrP minus (IminusrarrP middot ω1048705) 1048705ω

pero (IminusrarrP middot ω1048705 ) = 0 porque son vectores perpendiculares Entonces si ω2 6= 0se deduce que

PminusrarrI = 1048705ω times1048705vP

ω2 (95

244 ACELERACION DE CORIOLIS

El efecto Coriolis hace que un objeto que se mueve sobre el radio de un disco en rotacioacuten tienda a acelerarse con respecto a ese disco seguacuten si el movimiento es hacia el eje de giro o alejaacutendose de eacuteste Por el mismo principio en el caso de una esfera en rotacioacuten el movimiento de un objeto sobre los meridianos tambieacuten presenta este efecto ya que dicho movimiento reduce o incrementa la distancia respecto al eje de giro de la esfera

Debido a que el objeto sufre una aceleracioacuten desde el punto de vista del observador en rotacioacuten es como si para eacuteste existiera una fuerza sobre el objeto que lo acelera A esta fuerza se la llama fuerza de Coriolis y no es una fuerza real en el sentido de que no hay nada que la produzca Se trata pues de una fuerza inercial o ficticia que se introduce para explicar desde el punto de vista del sistema en rotacioacuten la aceleracioacuten del cuerpo cuyo origen estaacute en realidad en el hecho de que el sistema de observacioacuten estaacute rotando

Un ejemplo canoacutenico de efecto Coriolis es el experimento imaginario en el que disparamos un proyectil desde el Ecuador en direccioacuten norte El cantildeoacuten estaacute girando con la tierra hacia el este y por tanto imprime al proyectil esa velocidad (ademaacutes de la velocidad hacia adelante al momento de la impulsioacuten) Al viajar el proyectil hacia el norte sobrevuela puntos de la tierra cuya velocidad liacuteneal hacia el este va disminuyendo con la latitud creciente La inercia del proyectil hacia el este hace que su velocidad angular aumente y que por tanto adelante a los puntos que sobrevuela Si el vuelo es suficientemente largo (ver caacutelculos al final del artiacuteculo) el proyectil caeraacute en un meridiano situado al este de aqueacutel desde el cual se disparoacute a pesar de que la direccioacuten del disparo fue exactamente hacia el norte Anaacutelogamente una masa de aire que se desplace hacia el este sobre el ecuador aumentaraacute su velocidad de giro con respecto al suelo en caso de que su latitud disminuya Finalmente el efecto Coriolis al actuar sobre masas de aire (o agua) en latitudes intermedias induce un giro al desviar hacia el este o hacia el oeste las partes de esa masa que ganen o pierdan latitud de forma parecida a como gira la bolita del ejemplo

y dividiendo ambos miembros entre t obtenemos en el limite cuando t tiende a cerodonde representa la derivada de respecto al tiempo Concluimos que la velocidad V de P es un vector perpendicular al plano que contiene a AA y r de magnitud V definida por Pero es precisamente el resultado que obtendriacuteamos si trazamos a lo largo de AA un vector y formaacutesemos el producto vectorial x r Entonces escribimosEl vectorse le llama velocidad angular del cuerpo Estaacute dirigida a lo largo del eje de rotacioacuten y es igual en magnitud a la rapidez de cambio de la coordenada angular y su sentido puede obtenerse por la regla de la mano derecha del sentido de rotacioacuten del cuerpoDeterminaremos la aceleracioacuten a de la partiacutecula P Derivando a y recordando la regla de la derivacioacuten de un producto vectorial tenemosEl vector se representa por y se llama aceleracioacuten angular del cuerpo Sustituyendo tambieacuten v de tenemosDerivando a y recordando que k es de magnitud y direccioacuten constante tenemosEntonces la angular de un cuerpo riacutegido que gira con respecto a un eje fijo es un vector dirigido a lo largo del eje de rotacioacuten e igual en magnitud a la rapidez de cambio de de la velocidad angular Regresando notamos que la aceleracioacuten P es la suma de dos vectores El primer vector es igual al producto vectorial x r es tangente al circulo descrito por P y representa por consiguiente a la componente tangencial de la aceleracioacuten El segundo vector es igual al triple producto vectorial obtenido por el producto vectorial de como es tangente al circulo descrito por P el triple producto vectorial se dirige hacia el centro de B del circulo y representa por consiguiente a la normal de la aceleracioacuten

231 ECUACION DEL MOVIMIENTO DE ROTACION

Consideremos un sistema de partiacuteculas Sobre cada partiacutecula actuacutean las fuerzas exteriores al sistema y las fuerzas de interaccioacuten mutua entre las partiacuteculas del sistema Supongamos un sistema formado por dos partiacuteculas Sobre la partiacutecula 1 actuacutea la fuerza exterior F1 y la fuerza que ejerce la partiacutecula 2 F12 Sobre la partiacutecula 2 actuacutea la fuerza exterior F2 y la fuerza que ejerce la partiacutecula 1 F21 Por ejemplo si el sistema de partiacuteculas fuese el formado por la Tierra y la Luna las fuerzas exteriores seriacutean las que ejerce el Sol ( y el resto de los planetas) sobre la Tierra y sobre la Luna Las fuerzas interiores seriacutean la atraccioacuten mutua entre estos dos cuerpos celestes

Para cada unas de las partiacuteculas se cumple que la variacioacuten del momento angular con el tiempo es igual al momento de la resultante de las fuerzas que actuacutean sobre la partiacutecula considerada

Sumando miembro a miembro aplicando la propiedad distributiva del producto vectorial y teniendo en cuanta la tercera Ley de Newton F12=-F21 tenemos que

Como los vectores r1-r2 y F12 son paralelos su producto vectorial es cero Por lo que nos queda

La derivada del momento angular total del sistema de partiacuteculas con respecto del tiempo es igual al momento de las fuerzas exteriores que actuacutean sobre las partiacuteculas del sistemaConsideremos ahora que el sistema de partiacuteculas es un soacutelido riacutegido que estaacute girando alrededor de un eje principal de inercia entonces el momento angular L=Imiddotw la ecuacioacuten anterior la escribimos

Momento angular de un sistema de partiacuteculas Consideremos el sistema de dos partiacuteculas de la figura anterior El momento angular total del sistema respecto del origen es

L=r1acute m1middotv1+r2acute m2middotv2

Calculamos el momento angular respecto del centro de masas

r1cm=r1-rcm

r2cm=r2-rcm

v1cm=v1-vcm

v2cm=v2-vcm

El momento angular respecto del origen es la suma de dos contribuciones

L=(r1cm+rcm) acute m1middot(v1cm+vcm)+ (r2cm+rcm) acute m2middot(v2cm+vcm) = (r1cm acute m1middotv1cm)+ (r2cm acute m2middotv2cm)+ rcmacute (m1middotv1cm+ m2middotv2cm)+ (m1middotr1cm+ m2middotr2cm) acute vcm

De la definicioacuten de posicioacuten y velocidad del centro de masas tenemos que

m1middotv1cm+ m2middotv2cm=0

m1middotr1cm+ m2middotr2cm=(m1+m2)middotrcm

L=Lcm+(m1+m2)middotrcm acute vcm

En general para un sistema de partiacuteculas de masa total m

L=Lcm+mmiddotrcm acute vcm

El primer teacutermino es el momento angular interno relativo al sistema cm y el uacuteltimo teacutermino el momento angular externo relativo al sistema de laboratorio como si toda la masa estuviera concentrada en el centro de masa Relacioacuten entre el momento de las fuerzas exteriores Mext y el momento angular interno LcmEl momento de las fuerzas exteriores respecto del origen es la suma de dos contribuciones

Mext= r1acuteF1+r2acute F2 = (r1cm+rcm) acute F1+(r2cm+rcm) acute F2 = r1cmacute F1+r2cmacute F2+ rcmacute (F1+F2) = Mcm+ rcmacute (F1+F2)

Mext= Mcm+ rcmacute Fext

El primer teacutermino es el momento de las fuerzas exteriores relativo al cm y el segundo es el momento de la fuerza resultante F1+F2 como si estuviera aplicada en el centro de masas Derivando respecto del tiempo el momento angular total L tenemos

Teniendo en cuenta que el segundo teacutermino es el producto vectorial de dos vectores paralelos y que la ecuacioacuten del movimiento del cm es

Resulta

Como hemos demostrado en el apartado anterior que

Se obtiene la relacioacuten

Estas dos relaciones son ideacutenticas pero existen diferencias en su interpretacioacuten En la primera se evaluacutea el momento angular L y el momento de las fuerzas exteriores Mext respecto de un punto fijo O (origen del sistema de coordenadas) en un sistema de referencia inercial La segunda se evaluacutea el momento angular Lcm y el momento de las fuerzas Mcm respecto al sistema de referencias del centro de masas incluso si no estaacute en reposo con relacioacuten al sistema inercial de referencia OEsta uacuteltima relacioacuten es la que emplearemos para describir el movimiento del cm de un soacutelido riacutegidoVamos a estudiar con maacutes detalle la validez de la relacioacuten

Siendo A un punto arbitrario LA el momento angular del sistema de partiacuteculas respecto de A y MA el momento total de las fuerzas externas respecto del mismo punto

La posicioacuten de la partiacutecula i respecto al origen del sistema de referencia inercial es ri la posicioacuten de dicha partiacutecula respecto de A es riA En la figura se muestra la relacioacuten entre estos dos vectoresri=rA+riA

La velocidad de la partiacutecula i respecto del sistema de referencia inercial es vi y del punto A es vA

El momento angular del sistema de partiacuteculas respecto de A LA es

Sea Fi la fuerza exterior que actuacutea sobre la partiacutecula i La segunda ley de Newton afirma que

El momento de las fuerzas exteriores respecto de A es

Como la posicioacuten del centro de masas rcm se define

Siendo M la masa total del sistema de partiacuteculas llegamos a la relacioacuten

Podemos obtener la misma relacioacuten derivando el momento angular LA respecto del tiempo

Cuando el teacutermino M(rcm-rA)timesaA desaparece la relacioacuten MA=dLAdt se cumple Esto ocurre en los siguientes casosCuando el punto A coincide con el centro de masas rcm=rA Cuando la aceleracioacuten de A es cero aA =0 es decir A se mueve con velocidad constante Cuando la aceleracioacuten de A aA es paralela al vector (rcm-rA) En los ejemplos de la seccioacuten Movimiento general de un soacutelido riacutegido emplearemos uacutenicamente la relacioacuten

El momento angular Lcm del soacutelido riacutegido y el momento de las fuerzas exteriores Mcm se calculan con respecto del centro de masas

24 MOVIMIENTO GENERAL DEL PLANO

Caso en que cada partiacutecula del cuerpo se mueve en forma paralela a un plano fijo Noacutetese que este caso incluye tanto el caso de cuerpos planos propiamente tales tales como laacuteminas discos etc movieacutendose en su propio plano como el caso de cuerpos espaciales que se mueven en la forma antes descrita

ConfiguracioacutenSupoacutengase un cuerpo riacutegido en movimiento plano Dos rectas AB y CD fijas al cuerpo forman aacutengulos q1 y q2 respectivamente con una referencia fija Pero q1 = q2 + b donde b es constante Esto quiere decir que si se conoce la posicioacuten angular de cualquier recta fija al cuerpo se conoce la posicioacuten angular del cuerpo Ademaacutes Dq1 = Dq2 por lo tanto la velocidad angular W y la aceleracioacuten angular a son las mismas para cualquier recta fija al cuerpoPara especificar la configuracioacuten de un cuerpo riacutegido en movimiento planoes conveniente utilizar un sistema de referencia Srsquo fijo al cuerpo con origen en Orsquo La configuracioacuten del cuerpo riacutegido queda completamente determinada mediante las coordenadas x(Orsquo) e y(Orsquo) y el aacutengulo q que forma xrsquo con x

241 ECUACION QUE RIGEN EN EL MOVIMIENTO GENERAL EN EL PLANO

El movimiento de un cuerpo riacutegido que teoacutericamente se puede considerar como la

composicioacuten de dos movimientos simultaacuteneos uno de traslacioacuten y el otro de

rotacioacuten a una velocidad angular w alrededor de un eje movible perpendicular al

plano de movimiento y que puede representarse en el plano recibe el nombre de

movimiento general en el plano Un ejemplo tiacutepico es el movimiento de un

neumaacutetico rodando sobre una carretera en cada instante rota y tambieacuten se

traslada el eje de giro alrededor del cual rota el neumaacutetico ocupa una posicioacuten

diferente en cada instante (es moacutevil)

Consideacuterese que un bloque de largo L ancho E y altura H se encuentra en el

primer octante de un sistema de referencia cartesiano uno de sus veacutertices

coincide con el origen y la arista de la base del bloque estaacute adyacente al eje X Se

requiere mover el bloque a una posicioacuten en la que el veacutertice que coincidiacutea con el

origen debe estar en el plano X ndash Y en la posicioacuten (8 3 0) y el largo del bloque

debe estar paralelo al eje Y

Teoacutericamente el movimiento se puede realizar girando primeramente el bloque

alrededor del veacutertice que es origen un aacutengulo de 90deg y con un movimiento de

traslacioacuten en trayectoria rectiliacutenea horizontal sobre el plano Z- X se traslada el

bloque hasta que el veacutertice que era origen este en la posicioacuten (8 0 0) y finalmente

con otro movimiento de traslacioacuten en trayectoria rectiliacutenea vertical hacia arriba se

traslada el bloque hasta que el veacutertice que era origen llegue al punto (830) En la

realidad el ingeniero mecaacutenico puede disentildear un mecanismo para mover al

bloque de su posicioacuten inicial y lo lleve a su posicioacuten final pudiendo conceptualizar

en cada instante durante la trayectoria del bloque dos movimientos simultaacuteneos

uno de rotacioacuten alrededor de un eje movible perpendicular al plano de movimiento

y el otro de traslacioacuten tal proceso cinemaacutetico sujetaraacute al bloque a un movimiento

general en el plano Para dictaminar si este movimiento se puede representar en

un plano se elige uno de los planos del bloque por ejemplo el plano ABCD y se

realiza con eacutel hipoteacuteticamente todo el proceso que se realizo con el bloque si lo

satisface 100 se concluye que el movimiento del bloque se puede representar

en un plano

Al observar el movimiento general en el plano de un cuerpo riacutegido y trazar la

trayectoria de cualquier punto sobre el plano de movimiento generalmente eacutesta

resulta ser un trayectoria curviliacutenea entonces el anaacutelisis cinemaacutetico del

movimiento general en el plano se realiza estudiando el movimiento de dos puntos

del plano de movimiento considerando que se conoce la velocidad (aceleracioacuten)

para uno de esos puntos y la velocidad angular w del plano de movimiento pero

se desconoce la del otro punto Resumiendo si los puntos a los que se les

estudiaraacute el movimiento son los puntos A y B entonces suponiendo conocida la

velocidad (aceleracioacuten) del punto A y w la velocidad (aceleracioacuten) del punto B se

calcula con las ecuaciones (19) o (20) esto es

vB = vA + vBA = vA + wX rAB

aB = aA + aBA = aA + (aBA)n + (aBA)t = aA + w X (w X rAB) + a X rAB

242 SOLUCION EN EL PROBLEMA EN FORMA

En este problema usaremos conceptos del movimiento al utilizar la segunda Ley de Newton F = m a que se enuncia como sigue

Una partiacutecula sujeta a la accioacuten de una fuerza desequilibradota F experimenta una aceleracioacuten a que tiene la misma accioacuten que la fuerza y una magnitud que es directamente proporcional a la fuerza

Equilibrio dinaacutemico La ecuacioacuten del movimiento se puede expresar de la forma

F - m a = 0

Marco inercial de referencia Siempre que se aplique la ecuacioacuten del movimiento se requiere que las medida de la aceleracioacuten se hagan a partir de un marco de referencia newtoniano o inercial Tal sistema coordenado no gira y estaacute ya sea fijo o se traslada en una direccioacuten dada con velocidad constante ( aceleracioacuten cero ) Esta definicioacuten asegura que la aceleracioacuten de la partiacutecula medida en dos marcos de referencia inerciales siempre seraacute la misma

Ecuaciones de movimiento Si las fuerzas y m a pueden descomponerse directamente a partir de los diagramas de cuerpo libre y cineacutetico aplique las ecuaciones de movimiento en su forma de componentes escalares

Fraccioacuten Si l partiacutecula tiene contacto con una superficie rugosa puede ser necesario usar la ecuacioacuten de friccioacuten que relaciona el coeficiente de friccioacuten cineacutetica k con las magnitudes de las fuerzas de friccioacuten y normal Ff y N que actuacutean en las superficies de contacto es decir Ff = k N

Cinemaacutetica Se usan estas ecuaciones si no se puede obtener una solucioacuten completa a partir de la ecuacioacuten de movimiento En este aspecto si se va a hallar

la posicioacuten o la velocidad de la partiacutecula seraacute necesario aplicar las ecuaciones cinemaacuteticas adecuadas una vez que se determina la aceleracioacuten de la partiacutecula a partir de F = m a

DEFINICIOacuteN DEL PROBLEMA

DATOS

P = 50 N

m = 200 gr = 0200 Kg

k = 0025

W = mg = 1962 Kg

DIAGRAMA

TAREAS

Como la F = m a y del diagrama anterior tenemos

F = m ax sustituyendo nos resulta

P - WX - Fr = m ax helliphelliphellip ec 1

Pero como fr = k N y W = mg por lo tanto

F = m ay

Wy - N = m ay = 0 ec 2

Wy - N = 0 (se considera como cero ya que con respecto al eje Y no hay fuerzas)

Wy = N y como

Wy = W cos

Wx = W sen

Sustituyendo lo anterior en la ecuacioacuten 1

P - W sen - k W cos = m a

SOLUCIOacuteN COMPLETA

Sustituyendo los datos en la ecuacioacuten

P - W sen - k W cos = m a

50N - 1962 kg sen 25 - (0025) (196 kg cos 25) = 02 kg a

50 N - 196 kg (0442) - (0025) (1962 kg) (0906) = 02 kg a

50 N - 0829 - 0044 = 02 a

(49127 N) (02 kg) = a

a = 2456 m s2

243 MOVIMIENTO INSTANTANEO

En el movimiento plano de un cuerpo riacutegido se tiene el siguiente teoremaEn el movimiento plano de un cuerpo riacutegido siempre existe un punto de eacutel (o de una extensioacuten riacutegida de eacutel) que tiene velocidad instantaacutenea nula y en consecuencia el movimiento equivale a una pura rotacioacuten instantaacutenea del cuerpo en torno de ese punto Tal punto se conoce como centro instantaacuteneo de rotacioacuten

Demostracioacuten 1 Como

1048705vP = 1048705vA + 1048705ω times AminusrarrP

entonces si existe un punto A = I con velocidad nula debe ser

1048705vP = 1048705ω times IminusrarrP (94)

entonces 1048705vP es perpendicular a IminusrarrP o bien IminusrarrP estaacute sobre una recta en elplano de movimiento que es perpendicular a 1048705vP En consecuencia si se conocen las velocidades (no paralelas) de dos puntos de un cuerpo 1048705vA y 1048705vB el centro instantaacuteneo estaraacute donde se intersecten las perpendiculares a esas dos velocidades La excepcioacuten la constituyen los cuerpos que tienen traslaciones puras es decir cuando el cuerpo se traslada paralelamente y entonces 1048705ω =10487050

En estos casos se podriacutea decir que el centro instantaacuteneo estaacute en el infinitoLa posicioacuten del centro instantaacuteneo tambieacuten puede determinarse si se conoce una velocidad y la velocidad angular del cuerpo En efecto de (94) se puede despejar PminusrarrI para ello multiplique timesω1048705 y desarrolle

1048705vP times 1048705ω = (1048705ω times IminusrarrP) times ω1048705 = ω2IminusrarrP minus (IminusrarrP middot ω1048705) 1048705ω

pero (IminusrarrP middot ω1048705 ) = 0 porque son vectores perpendiculares Entonces si ω2 6= 0se deduce que

PminusrarrI = 1048705ω times1048705vP

ω2 (95

244 ACELERACION DE CORIOLIS

El efecto Coriolis hace que un objeto que se mueve sobre el radio de un disco en rotacioacuten tienda a acelerarse con respecto a ese disco seguacuten si el movimiento es hacia el eje de giro o alejaacutendose de eacuteste Por el mismo principio en el caso de una esfera en rotacioacuten el movimiento de un objeto sobre los meridianos tambieacuten presenta este efecto ya que dicho movimiento reduce o incrementa la distancia respecto al eje de giro de la esfera

Debido a que el objeto sufre una aceleracioacuten desde el punto de vista del observador en rotacioacuten es como si para eacuteste existiera una fuerza sobre el objeto que lo acelera A esta fuerza se la llama fuerza de Coriolis y no es una fuerza real en el sentido de que no hay nada que la produzca Se trata pues de una fuerza inercial o ficticia que se introduce para explicar desde el punto de vista del sistema en rotacioacuten la aceleracioacuten del cuerpo cuyo origen estaacute en realidad en el hecho de que el sistema de observacioacuten estaacute rotando

Un ejemplo canoacutenico de efecto Coriolis es el experimento imaginario en el que disparamos un proyectil desde el Ecuador en direccioacuten norte El cantildeoacuten estaacute girando con la tierra hacia el este y por tanto imprime al proyectil esa velocidad (ademaacutes de la velocidad hacia adelante al momento de la impulsioacuten) Al viajar el proyectil hacia el norte sobrevuela puntos de la tierra cuya velocidad liacuteneal hacia el este va disminuyendo con la latitud creciente La inercia del proyectil hacia el este hace que su velocidad angular aumente y que por tanto adelante a los puntos que sobrevuela Si el vuelo es suficientemente largo (ver caacutelculos al final del artiacuteculo) el proyectil caeraacute en un meridiano situado al este de aqueacutel desde el cual se disparoacute a pesar de que la direccioacuten del disparo fue exactamente hacia el norte Anaacutelogamente una masa de aire que se desplace hacia el este sobre el ecuador aumentaraacute su velocidad de giro con respecto al suelo en caso de que su latitud disminuya Finalmente el efecto Coriolis al actuar sobre masas de aire (o agua) en latitudes intermedias induce un giro al desviar hacia el este o hacia el oeste las partes de esa masa que ganen o pierdan latitud de forma parecida a como gira la bolita del ejemplo

Para cada unas de las partiacuteculas se cumple que la variacioacuten del momento angular con el tiempo es igual al momento de la resultante de las fuerzas que actuacutean sobre la partiacutecula considerada

Sumando miembro a miembro aplicando la propiedad distributiva del producto vectorial y teniendo en cuanta la tercera Ley de Newton F12=-F21 tenemos que

Como los vectores r1-r2 y F12 son paralelos su producto vectorial es cero Por lo que nos queda

La derivada del momento angular total del sistema de partiacuteculas con respecto del tiempo es igual al momento de las fuerzas exteriores que actuacutean sobre las partiacuteculas del sistemaConsideremos ahora que el sistema de partiacuteculas es un soacutelido riacutegido que estaacute girando alrededor de un eje principal de inercia entonces el momento angular L=Imiddotw la ecuacioacuten anterior la escribimos

Momento angular de un sistema de partiacuteculas Consideremos el sistema de dos partiacuteculas de la figura anterior El momento angular total del sistema respecto del origen es

L=r1acute m1middotv1+r2acute m2middotv2

Calculamos el momento angular respecto del centro de masas

r1cm=r1-rcm

r2cm=r2-rcm

v1cm=v1-vcm

v2cm=v2-vcm

El momento angular respecto del origen es la suma de dos contribuciones

L=(r1cm+rcm) acute m1middot(v1cm+vcm)+ (r2cm+rcm) acute m2middot(v2cm+vcm) = (r1cm acute m1middotv1cm)+ (r2cm acute m2middotv2cm)+ rcmacute (m1middotv1cm+ m2middotv2cm)+ (m1middotr1cm+ m2middotr2cm) acute vcm

De la definicioacuten de posicioacuten y velocidad del centro de masas tenemos que

m1middotv1cm+ m2middotv2cm=0

m1middotr1cm+ m2middotr2cm=(m1+m2)middotrcm

L=Lcm+(m1+m2)middotrcm acute vcm

En general para un sistema de partiacuteculas de masa total m

L=Lcm+mmiddotrcm acute vcm

El primer teacutermino es el momento angular interno relativo al sistema cm y el uacuteltimo teacutermino el momento angular externo relativo al sistema de laboratorio como si toda la masa estuviera concentrada en el centro de masa Relacioacuten entre el momento de las fuerzas exteriores Mext y el momento angular interno LcmEl momento de las fuerzas exteriores respecto del origen es la suma de dos contribuciones

Mext= r1acuteF1+r2acute F2 = (r1cm+rcm) acute F1+(r2cm+rcm) acute F2 = r1cmacute F1+r2cmacute F2+ rcmacute (F1+F2) = Mcm+ rcmacute (F1+F2)

Mext= Mcm+ rcmacute Fext

El primer teacutermino es el momento de las fuerzas exteriores relativo al cm y el segundo es el momento de la fuerza resultante F1+F2 como si estuviera aplicada en el centro de masas Derivando respecto del tiempo el momento angular total L tenemos

Teniendo en cuenta que el segundo teacutermino es el producto vectorial de dos vectores paralelos y que la ecuacioacuten del movimiento del cm es

Resulta

Como hemos demostrado en el apartado anterior que

Se obtiene la relacioacuten

Estas dos relaciones son ideacutenticas pero existen diferencias en su interpretacioacuten En la primera se evaluacutea el momento angular L y el momento de las fuerzas exteriores Mext respecto de un punto fijo O (origen del sistema de coordenadas) en un sistema de referencia inercial La segunda se evaluacutea el momento angular Lcm y el momento de las fuerzas Mcm respecto al sistema de referencias del centro de masas incluso si no estaacute en reposo con relacioacuten al sistema inercial de referencia OEsta uacuteltima relacioacuten es la que emplearemos para describir el movimiento del cm de un soacutelido riacutegidoVamos a estudiar con maacutes detalle la validez de la relacioacuten

Siendo A un punto arbitrario LA el momento angular del sistema de partiacuteculas respecto de A y MA el momento total de las fuerzas externas respecto del mismo punto

La posicioacuten de la partiacutecula i respecto al origen del sistema de referencia inercial es ri la posicioacuten de dicha partiacutecula respecto de A es riA En la figura se muestra la relacioacuten entre estos dos vectoresri=rA+riA

La velocidad de la partiacutecula i respecto del sistema de referencia inercial es vi y del punto A es vA

El momento angular del sistema de partiacuteculas respecto de A LA es

Sea Fi la fuerza exterior que actuacutea sobre la partiacutecula i La segunda ley de Newton afirma que

El momento de las fuerzas exteriores respecto de A es

Como la posicioacuten del centro de masas rcm se define

Siendo M la masa total del sistema de partiacuteculas llegamos a la relacioacuten

Podemos obtener la misma relacioacuten derivando el momento angular LA respecto del tiempo

Cuando el teacutermino M(rcm-rA)timesaA desaparece la relacioacuten MA=dLAdt se cumple Esto ocurre en los siguientes casosCuando el punto A coincide con el centro de masas rcm=rA Cuando la aceleracioacuten de A es cero aA =0 es decir A se mueve con velocidad constante Cuando la aceleracioacuten de A aA es paralela al vector (rcm-rA) En los ejemplos de la seccioacuten Movimiento general de un soacutelido riacutegido emplearemos uacutenicamente la relacioacuten

El momento angular Lcm del soacutelido riacutegido y el momento de las fuerzas exteriores Mcm se calculan con respecto del centro de masas

24 MOVIMIENTO GENERAL DEL PLANO

Caso en que cada partiacutecula del cuerpo se mueve en forma paralela a un plano fijo Noacutetese que este caso incluye tanto el caso de cuerpos planos propiamente tales tales como laacuteminas discos etc movieacutendose en su propio plano como el caso de cuerpos espaciales que se mueven en la forma antes descrita

ConfiguracioacutenSupoacutengase un cuerpo riacutegido en movimiento plano Dos rectas AB y CD fijas al cuerpo forman aacutengulos q1 y q2 respectivamente con una referencia fija Pero q1 = q2 + b donde b es constante Esto quiere decir que si se conoce la posicioacuten angular de cualquier recta fija al cuerpo se conoce la posicioacuten angular del cuerpo Ademaacutes Dq1 = Dq2 por lo tanto la velocidad angular W y la aceleracioacuten angular a son las mismas para cualquier recta fija al cuerpoPara especificar la configuracioacuten de un cuerpo riacutegido en movimiento planoes conveniente utilizar un sistema de referencia Srsquo fijo al cuerpo con origen en Orsquo La configuracioacuten del cuerpo riacutegido queda completamente determinada mediante las coordenadas x(Orsquo) e y(Orsquo) y el aacutengulo q que forma xrsquo con x

241 ECUACION QUE RIGEN EN EL MOVIMIENTO GENERAL EN EL PLANO

El movimiento de un cuerpo riacutegido que teoacutericamente se puede considerar como la

composicioacuten de dos movimientos simultaacuteneos uno de traslacioacuten y el otro de

rotacioacuten a una velocidad angular w alrededor de un eje movible perpendicular al

plano de movimiento y que puede representarse en el plano recibe el nombre de

movimiento general en el plano Un ejemplo tiacutepico es el movimiento de un

neumaacutetico rodando sobre una carretera en cada instante rota y tambieacuten se

traslada el eje de giro alrededor del cual rota el neumaacutetico ocupa una posicioacuten

diferente en cada instante (es moacutevil)

Consideacuterese que un bloque de largo L ancho E y altura H se encuentra en el

primer octante de un sistema de referencia cartesiano uno de sus veacutertices

coincide con el origen y la arista de la base del bloque estaacute adyacente al eje X Se

requiere mover el bloque a una posicioacuten en la que el veacutertice que coincidiacutea con el

origen debe estar en el plano X ndash Y en la posicioacuten (8 3 0) y el largo del bloque

debe estar paralelo al eje Y

Teoacutericamente el movimiento se puede realizar girando primeramente el bloque

alrededor del veacutertice que es origen un aacutengulo de 90deg y con un movimiento de

traslacioacuten en trayectoria rectiliacutenea horizontal sobre el plano Z- X se traslada el

bloque hasta que el veacutertice que era origen este en la posicioacuten (8 0 0) y finalmente

con otro movimiento de traslacioacuten en trayectoria rectiliacutenea vertical hacia arriba se

traslada el bloque hasta que el veacutertice que era origen llegue al punto (830) En la

realidad el ingeniero mecaacutenico puede disentildear un mecanismo para mover al

bloque de su posicioacuten inicial y lo lleve a su posicioacuten final pudiendo conceptualizar

en cada instante durante la trayectoria del bloque dos movimientos simultaacuteneos

uno de rotacioacuten alrededor de un eje movible perpendicular al plano de movimiento

y el otro de traslacioacuten tal proceso cinemaacutetico sujetaraacute al bloque a un movimiento

general en el plano Para dictaminar si este movimiento se puede representar en

un plano se elige uno de los planos del bloque por ejemplo el plano ABCD y se

realiza con eacutel hipoteacuteticamente todo el proceso que se realizo con el bloque si lo

satisface 100 se concluye que el movimiento del bloque se puede representar

en un plano

Al observar el movimiento general en el plano de un cuerpo riacutegido y trazar la

trayectoria de cualquier punto sobre el plano de movimiento generalmente eacutesta

resulta ser un trayectoria curviliacutenea entonces el anaacutelisis cinemaacutetico del

movimiento general en el plano se realiza estudiando el movimiento de dos puntos

del plano de movimiento considerando que se conoce la velocidad (aceleracioacuten)

para uno de esos puntos y la velocidad angular w del plano de movimiento pero

se desconoce la del otro punto Resumiendo si los puntos a los que se les

estudiaraacute el movimiento son los puntos A y B entonces suponiendo conocida la

velocidad (aceleracioacuten) del punto A y w la velocidad (aceleracioacuten) del punto B se

calcula con las ecuaciones (19) o (20) esto es

vB = vA + vBA = vA + wX rAB

aB = aA + aBA = aA + (aBA)n + (aBA)t = aA + w X (w X rAB) + a X rAB

242 SOLUCION EN EL PROBLEMA EN FORMA

En este problema usaremos conceptos del movimiento al utilizar la segunda Ley de Newton F = m a que se enuncia como sigue

Una partiacutecula sujeta a la accioacuten de una fuerza desequilibradota F experimenta una aceleracioacuten a que tiene la misma accioacuten que la fuerza y una magnitud que es directamente proporcional a la fuerza

Equilibrio dinaacutemico La ecuacioacuten del movimiento se puede expresar de la forma

F - m a = 0

Marco inercial de referencia Siempre que se aplique la ecuacioacuten del movimiento se requiere que las medida de la aceleracioacuten se hagan a partir de un marco de referencia newtoniano o inercial Tal sistema coordenado no gira y estaacute ya sea fijo o se traslada en una direccioacuten dada con velocidad constante ( aceleracioacuten cero ) Esta definicioacuten asegura que la aceleracioacuten de la partiacutecula medida en dos marcos de referencia inerciales siempre seraacute la misma

Ecuaciones de movimiento Si las fuerzas y m a pueden descomponerse directamente a partir de los diagramas de cuerpo libre y cineacutetico aplique las ecuaciones de movimiento en su forma de componentes escalares

Fraccioacuten Si l partiacutecula tiene contacto con una superficie rugosa puede ser necesario usar la ecuacioacuten de friccioacuten que relaciona el coeficiente de friccioacuten cineacutetica k con las magnitudes de las fuerzas de friccioacuten y normal Ff y N que actuacutean en las superficies de contacto es decir Ff = k N

Cinemaacutetica Se usan estas ecuaciones si no se puede obtener una solucioacuten completa a partir de la ecuacioacuten de movimiento En este aspecto si se va a hallar

la posicioacuten o la velocidad de la partiacutecula seraacute necesario aplicar las ecuaciones cinemaacuteticas adecuadas una vez que se determina la aceleracioacuten de la partiacutecula a partir de F = m a

DEFINICIOacuteN DEL PROBLEMA

DATOS

P = 50 N

m = 200 gr = 0200 Kg

k = 0025

W = mg = 1962 Kg

DIAGRAMA

TAREAS

Como la F = m a y del diagrama anterior tenemos

F = m ax sustituyendo nos resulta

P - WX - Fr = m ax helliphelliphellip ec 1

Pero como fr = k N y W = mg por lo tanto

F = m ay

Wy - N = m ay = 0 ec 2

Wy - N = 0 (se considera como cero ya que con respecto al eje Y no hay fuerzas)

Wy = N y como

Wy = W cos

Wx = W sen

Sustituyendo lo anterior en la ecuacioacuten 1

P - W sen - k W cos = m a

SOLUCIOacuteN COMPLETA

Sustituyendo los datos en la ecuacioacuten

P - W sen - k W cos = m a

50N - 1962 kg sen 25 - (0025) (196 kg cos 25) = 02 kg a

50 N - 196 kg (0442) - (0025) (1962 kg) (0906) = 02 kg a

50 N - 0829 - 0044 = 02 a

(49127 N) (02 kg) = a

a = 2456 m s2

243 MOVIMIENTO INSTANTANEO

En el movimiento plano de un cuerpo riacutegido se tiene el siguiente teoremaEn el movimiento plano de un cuerpo riacutegido siempre existe un punto de eacutel (o de una extensioacuten riacutegida de eacutel) que tiene velocidad instantaacutenea nula y en consecuencia el movimiento equivale a una pura rotacioacuten instantaacutenea del cuerpo en torno de ese punto Tal punto se conoce como centro instantaacuteneo de rotacioacuten

Demostracioacuten 1 Como

1048705vP = 1048705vA + 1048705ω times AminusrarrP

entonces si existe un punto A = I con velocidad nula debe ser

1048705vP = 1048705ω times IminusrarrP (94)

entonces 1048705vP es perpendicular a IminusrarrP o bien IminusrarrP estaacute sobre una recta en elplano de movimiento que es perpendicular a 1048705vP En consecuencia si se conocen las velocidades (no paralelas) de dos puntos de un cuerpo 1048705vA y 1048705vB el centro instantaacuteneo estaraacute donde se intersecten las perpendiculares a esas dos velocidades La excepcioacuten la constituyen los cuerpos que tienen traslaciones puras es decir cuando el cuerpo se traslada paralelamente y entonces 1048705ω =10487050

En estos casos se podriacutea decir que el centro instantaacuteneo estaacute en el infinitoLa posicioacuten del centro instantaacuteneo tambieacuten puede determinarse si se conoce una velocidad y la velocidad angular del cuerpo En efecto de (94) se puede despejar PminusrarrI para ello multiplique timesω1048705 y desarrolle

1048705vP times 1048705ω = (1048705ω times IminusrarrP) times ω1048705 = ω2IminusrarrP minus (IminusrarrP middot ω1048705) 1048705ω

pero (IminusrarrP middot ω1048705 ) = 0 porque son vectores perpendiculares Entonces si ω2 6= 0se deduce que

PminusrarrI = 1048705ω times1048705vP

ω2 (95

244 ACELERACION DE CORIOLIS

El efecto Coriolis hace que un objeto que se mueve sobre el radio de un disco en rotacioacuten tienda a acelerarse con respecto a ese disco seguacuten si el movimiento es hacia el eje de giro o alejaacutendose de eacuteste Por el mismo principio en el caso de una esfera en rotacioacuten el movimiento de un objeto sobre los meridianos tambieacuten presenta este efecto ya que dicho movimiento reduce o incrementa la distancia respecto al eje de giro de la esfera

Debido a que el objeto sufre una aceleracioacuten desde el punto de vista del observador en rotacioacuten es como si para eacuteste existiera una fuerza sobre el objeto que lo acelera A esta fuerza se la llama fuerza de Coriolis y no es una fuerza real en el sentido de que no hay nada que la produzca Se trata pues de una fuerza inercial o ficticia que se introduce para explicar desde el punto de vista del sistema en rotacioacuten la aceleracioacuten del cuerpo cuyo origen estaacute en realidad en el hecho de que el sistema de observacioacuten estaacute rotando

Un ejemplo canoacutenico de efecto Coriolis es el experimento imaginario en el que disparamos un proyectil desde el Ecuador en direccioacuten norte El cantildeoacuten estaacute girando con la tierra hacia el este y por tanto imprime al proyectil esa velocidad (ademaacutes de la velocidad hacia adelante al momento de la impulsioacuten) Al viajar el proyectil hacia el norte sobrevuela puntos de la tierra cuya velocidad liacuteneal hacia el este va disminuyendo con la latitud creciente La inercia del proyectil hacia el este hace que su velocidad angular aumente y que por tanto adelante a los puntos que sobrevuela Si el vuelo es suficientemente largo (ver caacutelculos al final del artiacuteculo) el proyectil caeraacute en un meridiano situado al este de aqueacutel desde el cual se disparoacute a pesar de que la direccioacuten del disparo fue exactamente hacia el norte Anaacutelogamente una masa de aire que se desplace hacia el este sobre el ecuador aumentaraacute su velocidad de giro con respecto al suelo en caso de que su latitud disminuya Finalmente el efecto Coriolis al actuar sobre masas de aire (o agua) en latitudes intermedias induce un giro al desviar hacia el este o hacia el oeste las partes de esa masa que ganen o pierdan latitud de forma parecida a como gira la bolita del ejemplo

r2cm=r2-rcm

v1cm=v1-vcm

v2cm=v2-vcm

El momento angular respecto del origen es la suma de dos contribuciones

L=(r1cm+rcm) acute m1middot(v1cm+vcm)+ (r2cm+rcm) acute m2middot(v2cm+vcm) = (r1cm acute m1middotv1cm)+ (r2cm acute m2middotv2cm)+ rcmacute (m1middotv1cm+ m2middotv2cm)+ (m1middotr1cm+ m2middotr2cm) acute vcm

De la definicioacuten de posicioacuten y velocidad del centro de masas tenemos que

m1middotv1cm+ m2middotv2cm=0

m1middotr1cm+ m2middotr2cm=(m1+m2)middotrcm

L=Lcm+(m1+m2)middotrcm acute vcm

En general para un sistema de partiacuteculas de masa total m

L=Lcm+mmiddotrcm acute vcm

El primer teacutermino es el momento angular interno relativo al sistema cm y el uacuteltimo teacutermino el momento angular externo relativo al sistema de laboratorio como si toda la masa estuviera concentrada en el centro de masa Relacioacuten entre el momento de las fuerzas exteriores Mext y el momento angular interno LcmEl momento de las fuerzas exteriores respecto del origen es la suma de dos contribuciones

Mext= r1acuteF1+r2acute F2 = (r1cm+rcm) acute F1+(r2cm+rcm) acute F2 = r1cmacute F1+r2cmacute F2+ rcmacute (F1+F2) = Mcm+ rcmacute (F1+F2)

Mext= Mcm+ rcmacute Fext

El primer teacutermino es el momento de las fuerzas exteriores relativo al cm y el segundo es el momento de la fuerza resultante F1+F2 como si estuviera aplicada en el centro de masas Derivando respecto del tiempo el momento angular total L tenemos

Teniendo en cuenta que el segundo teacutermino es el producto vectorial de dos vectores paralelos y que la ecuacioacuten del movimiento del cm es

Resulta

Como hemos demostrado en el apartado anterior que

Se obtiene la relacioacuten

Estas dos relaciones son ideacutenticas pero existen diferencias en su interpretacioacuten En la primera se evaluacutea el momento angular L y el momento de las fuerzas exteriores Mext respecto de un punto fijo O (origen del sistema de coordenadas) en un sistema de referencia inercial La segunda se evaluacutea el momento angular Lcm y el momento de las fuerzas Mcm respecto al sistema de referencias del centro de masas incluso si no estaacute en reposo con relacioacuten al sistema inercial de referencia OEsta uacuteltima relacioacuten es la que emplearemos para describir el movimiento del cm de un soacutelido riacutegidoVamos a estudiar con maacutes detalle la validez de la relacioacuten

Siendo A un punto arbitrario LA el momento angular del sistema de partiacuteculas respecto de A y MA el momento total de las fuerzas externas respecto del mismo punto

La posicioacuten de la partiacutecula i respecto al origen del sistema de referencia inercial es ri la posicioacuten de dicha partiacutecula respecto de A es riA En la figura se muestra la relacioacuten entre estos dos vectoresri=rA+riA

La velocidad de la partiacutecula i respecto del sistema de referencia inercial es vi y del punto A es vA

El momento angular del sistema de partiacuteculas respecto de A LA es

Sea Fi la fuerza exterior que actuacutea sobre la partiacutecula i La segunda ley de Newton afirma que

El momento de las fuerzas exteriores respecto de A es

Como la posicioacuten del centro de masas rcm se define

Siendo M la masa total del sistema de partiacuteculas llegamos a la relacioacuten

Podemos obtener la misma relacioacuten derivando el momento angular LA respecto del tiempo

Cuando el teacutermino M(rcm-rA)timesaA desaparece la relacioacuten MA=dLAdt se cumple Esto ocurre en los siguientes casosCuando el punto A coincide con el centro de masas rcm=rA Cuando la aceleracioacuten de A es cero aA =0 es decir A se mueve con velocidad constante Cuando la aceleracioacuten de A aA es paralela al vector (rcm-rA) En los ejemplos de la seccioacuten Movimiento general de un soacutelido riacutegido emplearemos uacutenicamente la relacioacuten

El momento angular Lcm del soacutelido riacutegido y el momento de las fuerzas exteriores Mcm se calculan con respecto del centro de masas

24 MOVIMIENTO GENERAL DEL PLANO

Caso en que cada partiacutecula del cuerpo se mueve en forma paralela a un plano fijo Noacutetese que este caso incluye tanto el caso de cuerpos planos propiamente tales tales como laacuteminas discos etc movieacutendose en su propio plano como el caso de cuerpos espaciales que se mueven en la forma antes descrita

ConfiguracioacutenSupoacutengase un cuerpo riacutegido en movimiento plano Dos rectas AB y CD fijas al cuerpo forman aacutengulos q1 y q2 respectivamente con una referencia fija Pero q1 = q2 + b donde b es constante Esto quiere decir que si se conoce la posicioacuten angular de cualquier recta fija al cuerpo se conoce la posicioacuten angular del cuerpo Ademaacutes Dq1 = Dq2 por lo tanto la velocidad angular W y la aceleracioacuten angular a son las mismas para cualquier recta fija al cuerpoPara especificar la configuracioacuten de un cuerpo riacutegido en movimiento planoes conveniente utilizar un sistema de referencia Srsquo fijo al cuerpo con origen en Orsquo La configuracioacuten del cuerpo riacutegido queda completamente determinada mediante las coordenadas x(Orsquo) e y(Orsquo) y el aacutengulo q que forma xrsquo con x

241 ECUACION QUE RIGEN EN EL MOVIMIENTO GENERAL EN EL PLANO

El movimiento de un cuerpo riacutegido que teoacutericamente se puede considerar como la

composicioacuten de dos movimientos simultaacuteneos uno de traslacioacuten y el otro de

rotacioacuten a una velocidad angular w alrededor de un eje movible perpendicular al

plano de movimiento y que puede representarse en el plano recibe el nombre de

movimiento general en el plano Un ejemplo tiacutepico es el movimiento de un

neumaacutetico rodando sobre una carretera en cada instante rota y tambieacuten se

traslada el eje de giro alrededor del cual rota el neumaacutetico ocupa una posicioacuten

diferente en cada instante (es moacutevil)

Consideacuterese que un bloque de largo L ancho E y altura H se encuentra en el

primer octante de un sistema de referencia cartesiano uno de sus veacutertices

coincide con el origen y la arista de la base del bloque estaacute adyacente al eje X Se

requiere mover el bloque a una posicioacuten en la que el veacutertice que coincidiacutea con el

origen debe estar en el plano X ndash Y en la posicioacuten (8 3 0) y el largo del bloque

debe estar paralelo al eje Y

Teoacutericamente el movimiento se puede realizar girando primeramente el bloque

alrededor del veacutertice que es origen un aacutengulo de 90deg y con un movimiento de

traslacioacuten en trayectoria rectiliacutenea horizontal sobre el plano Z- X se traslada el

bloque hasta que el veacutertice que era origen este en la posicioacuten (8 0 0) y finalmente

con otro movimiento de traslacioacuten en trayectoria rectiliacutenea vertical hacia arriba se

traslada el bloque hasta que el veacutertice que era origen llegue al punto (830) En la

realidad el ingeniero mecaacutenico puede disentildear un mecanismo para mover al

bloque de su posicioacuten inicial y lo lleve a su posicioacuten final pudiendo conceptualizar

en cada instante durante la trayectoria del bloque dos movimientos simultaacuteneos

uno de rotacioacuten alrededor de un eje movible perpendicular al plano de movimiento

y el otro de traslacioacuten tal proceso cinemaacutetico sujetaraacute al bloque a un movimiento

general en el plano Para dictaminar si este movimiento se puede representar en

un plano se elige uno de los planos del bloque por ejemplo el plano ABCD y se

realiza con eacutel hipoteacuteticamente todo el proceso que se realizo con el bloque si lo

satisface 100 se concluye que el movimiento del bloque se puede representar

en un plano

Al observar el movimiento general en el plano de un cuerpo riacutegido y trazar la

trayectoria de cualquier punto sobre el plano de movimiento generalmente eacutesta

resulta ser un trayectoria curviliacutenea entonces el anaacutelisis cinemaacutetico del

movimiento general en el plano se realiza estudiando el movimiento de dos puntos

del plano de movimiento considerando que se conoce la velocidad (aceleracioacuten)

para uno de esos puntos y la velocidad angular w del plano de movimiento pero

se desconoce la del otro punto Resumiendo si los puntos a los que se les

estudiaraacute el movimiento son los puntos A y B entonces suponiendo conocida la

velocidad (aceleracioacuten) del punto A y w la velocidad (aceleracioacuten) del punto B se

calcula con las ecuaciones (19) o (20) esto es

vB = vA + vBA = vA + wX rAB

aB = aA + aBA = aA + (aBA)n + (aBA)t = aA + w X (w X rAB) + a X rAB

242 SOLUCION EN EL PROBLEMA EN FORMA

En este problema usaremos conceptos del movimiento al utilizar la segunda Ley de Newton F = m a que se enuncia como sigue

Una partiacutecula sujeta a la accioacuten de una fuerza desequilibradota F experimenta una aceleracioacuten a que tiene la misma accioacuten que la fuerza y una magnitud que es directamente proporcional a la fuerza

Equilibrio dinaacutemico La ecuacioacuten del movimiento se puede expresar de la forma

F - m a = 0

Marco inercial de referencia Siempre que se aplique la ecuacioacuten del movimiento se requiere que las medida de la aceleracioacuten se hagan a partir de un marco de referencia newtoniano o inercial Tal sistema coordenado no gira y estaacute ya sea fijo o se traslada en una direccioacuten dada con velocidad constante ( aceleracioacuten cero ) Esta definicioacuten asegura que la aceleracioacuten de la partiacutecula medida en dos marcos de referencia inerciales siempre seraacute la misma

Ecuaciones de movimiento Si las fuerzas y m a pueden descomponerse directamente a partir de los diagramas de cuerpo libre y cineacutetico aplique las ecuaciones de movimiento en su forma de componentes escalares

Fraccioacuten Si l partiacutecula tiene contacto con una superficie rugosa puede ser necesario usar la ecuacioacuten de friccioacuten que relaciona el coeficiente de friccioacuten cineacutetica k con las magnitudes de las fuerzas de friccioacuten y normal Ff y N que actuacutean en las superficies de contacto es decir Ff = k N

Cinemaacutetica Se usan estas ecuaciones si no se puede obtener una solucioacuten completa a partir de la ecuacioacuten de movimiento En este aspecto si se va a hallar

la posicioacuten o la velocidad de la partiacutecula seraacute necesario aplicar las ecuaciones cinemaacuteticas adecuadas una vez que se determina la aceleracioacuten de la partiacutecula a partir de F = m a

DEFINICIOacuteN DEL PROBLEMA

DATOS

P = 50 N

m = 200 gr = 0200 Kg

k = 0025

W = mg = 1962 Kg

DIAGRAMA

TAREAS

Como la F = m a y del diagrama anterior tenemos

F = m ax sustituyendo nos resulta

P - WX - Fr = m ax helliphelliphellip ec 1

Pero como fr = k N y W = mg por lo tanto

F = m ay

Wy - N = m ay = 0 ec 2

Wy - N = 0 (se considera como cero ya que con respecto al eje Y no hay fuerzas)

Wy = N y como

Wy = W cos

Wx = W sen

Sustituyendo lo anterior en la ecuacioacuten 1

P - W sen - k W cos = m a

SOLUCIOacuteN COMPLETA

Sustituyendo los datos en la ecuacioacuten

P - W sen - k W cos = m a

50N - 1962 kg sen 25 - (0025) (196 kg cos 25) = 02 kg a

50 N - 196 kg (0442) - (0025) (1962 kg) (0906) = 02 kg a

50 N - 0829 - 0044 = 02 a

(49127 N) (02 kg) = a

a = 2456 m s2

243 MOVIMIENTO INSTANTANEO

En el movimiento plano de un cuerpo riacutegido se tiene el siguiente teoremaEn el movimiento plano de un cuerpo riacutegido siempre existe un punto de eacutel (o de una extensioacuten riacutegida de eacutel) que tiene velocidad instantaacutenea nula y en consecuencia el movimiento equivale a una pura rotacioacuten instantaacutenea del cuerpo en torno de ese punto Tal punto se conoce como centro instantaacuteneo de rotacioacuten

Demostracioacuten 1 Como

1048705vP = 1048705vA + 1048705ω times AminusrarrP

entonces si existe un punto A = I con velocidad nula debe ser

1048705vP = 1048705ω times IminusrarrP (94)

entonces 1048705vP es perpendicular a IminusrarrP o bien IminusrarrP estaacute sobre una recta en elplano de movimiento que es perpendicular a 1048705vP En consecuencia si se conocen las velocidades (no paralelas) de dos puntos de un cuerpo 1048705vA y 1048705vB el centro instantaacuteneo estaraacute donde se intersecten las perpendiculares a esas dos velocidades La excepcioacuten la constituyen los cuerpos que tienen traslaciones puras es decir cuando el cuerpo se traslada paralelamente y entonces 1048705ω =10487050

En estos casos se podriacutea decir que el centro instantaacuteneo estaacute en el infinitoLa posicioacuten del centro instantaacuteneo tambieacuten puede determinarse si se conoce una velocidad y la velocidad angular del cuerpo En efecto de (94) se puede despejar PminusrarrI para ello multiplique timesω1048705 y desarrolle

1048705vP times 1048705ω = (1048705ω times IminusrarrP) times ω1048705 = ω2IminusrarrP minus (IminusrarrP middot ω1048705) 1048705ω

pero (IminusrarrP middot ω1048705 ) = 0 porque son vectores perpendiculares Entonces si ω2 6= 0se deduce que

PminusrarrI = 1048705ω times1048705vP

ω2 (95

244 ACELERACION DE CORIOLIS

El efecto Coriolis hace que un objeto que se mueve sobre el radio de un disco en rotacioacuten tienda a acelerarse con respecto a ese disco seguacuten si el movimiento es hacia el eje de giro o alejaacutendose de eacuteste Por el mismo principio en el caso de una esfera en rotacioacuten el movimiento de un objeto sobre los meridianos tambieacuten presenta este efecto ya que dicho movimiento reduce o incrementa la distancia respecto al eje de giro de la esfera

Debido a que el objeto sufre una aceleracioacuten desde el punto de vista del observador en rotacioacuten es como si para eacuteste existiera una fuerza sobre el objeto que lo acelera A esta fuerza se la llama fuerza de Coriolis y no es una fuerza real en el sentido de que no hay nada que la produzca Se trata pues de una fuerza inercial o ficticia que se introduce para explicar desde el punto de vista del sistema en rotacioacuten la aceleracioacuten del cuerpo cuyo origen estaacute en realidad en el hecho de que el sistema de observacioacuten estaacute rotando

Un ejemplo canoacutenico de efecto Coriolis es el experimento imaginario en el que disparamos un proyectil desde el Ecuador en direccioacuten norte El cantildeoacuten estaacute girando con la tierra hacia el este y por tanto imprime al proyectil esa velocidad (ademaacutes de la velocidad hacia adelante al momento de la impulsioacuten) Al viajar el proyectil hacia el norte sobrevuela puntos de la tierra cuya velocidad liacuteneal hacia el este va disminuyendo con la latitud creciente La inercia del proyectil hacia el este hace que su velocidad angular aumente y que por tanto adelante a los puntos que sobrevuela Si el vuelo es suficientemente largo (ver caacutelculos al final del artiacuteculo) el proyectil caeraacute en un meridiano situado al este de aqueacutel desde el cual se disparoacute a pesar de que la direccioacuten del disparo fue exactamente hacia el norte Anaacutelogamente una masa de aire que se desplace hacia el este sobre el ecuador aumentaraacute su velocidad de giro con respecto al suelo en caso de que su latitud disminuya Finalmente el efecto Coriolis al actuar sobre masas de aire (o agua) en latitudes intermedias induce un giro al desviar hacia el este o hacia el oeste las partes de esa masa que ganen o pierdan latitud de forma parecida a como gira la bolita del ejemplo

Teniendo en cuenta que el segundo teacutermino es el producto vectorial de dos vectores paralelos y que la ecuacioacuten del movimiento del cm es

Resulta

Como hemos demostrado en el apartado anterior que

Se obtiene la relacioacuten

Estas dos relaciones son ideacutenticas pero existen diferencias en su interpretacioacuten En la primera se evaluacutea el momento angular L y el momento de las fuerzas exteriores Mext respecto de un punto fijo O (origen del sistema de coordenadas) en un sistema de referencia inercial La segunda se evaluacutea el momento angular Lcm y el momento de las fuerzas Mcm respecto al sistema de referencias del centro de masas incluso si no estaacute en reposo con relacioacuten al sistema inercial de referencia OEsta uacuteltima relacioacuten es la que emplearemos para describir el movimiento del cm de un soacutelido riacutegidoVamos a estudiar con maacutes detalle la validez de la relacioacuten

Siendo A un punto arbitrario LA el momento angular del sistema de partiacuteculas respecto de A y MA el momento total de las fuerzas externas respecto del mismo punto

La posicioacuten de la partiacutecula i respecto al origen del sistema de referencia inercial es ri la posicioacuten de dicha partiacutecula respecto de A es riA En la figura se muestra la relacioacuten entre estos dos vectoresri=rA+riA

La velocidad de la partiacutecula i respecto del sistema de referencia inercial es vi y del punto A es vA

El momento angular del sistema de partiacuteculas respecto de A LA es

Sea Fi la fuerza exterior que actuacutea sobre la partiacutecula i La segunda ley de Newton afirma que

El momento de las fuerzas exteriores respecto de A es

Como la posicioacuten del centro de masas rcm se define

Siendo M la masa total del sistema de partiacuteculas llegamos a la relacioacuten

Podemos obtener la misma relacioacuten derivando el momento angular LA respecto del tiempo

Cuando el teacutermino M(rcm-rA)timesaA desaparece la relacioacuten MA=dLAdt se cumple Esto ocurre en los siguientes casosCuando el punto A coincide con el centro de masas rcm=rA Cuando la aceleracioacuten de A es cero aA =0 es decir A se mueve con velocidad constante Cuando la aceleracioacuten de A aA es paralela al vector (rcm-rA) En los ejemplos de la seccioacuten Movimiento general de un soacutelido riacutegido emplearemos uacutenicamente la relacioacuten

El momento angular Lcm del soacutelido riacutegido y el momento de las fuerzas exteriores Mcm se calculan con respecto del centro de masas

24 MOVIMIENTO GENERAL DEL PLANO

Caso en que cada partiacutecula del cuerpo se mueve en forma paralela a un plano fijo Noacutetese que este caso incluye tanto el caso de cuerpos planos propiamente tales tales como laacuteminas discos etc movieacutendose en su propio plano como el caso de cuerpos espaciales que se mueven en la forma antes descrita

ConfiguracioacutenSupoacutengase un cuerpo riacutegido en movimiento plano Dos rectas AB y CD fijas al cuerpo forman aacutengulos q1 y q2 respectivamente con una referencia fija Pero q1 = q2 + b donde b es constante Esto quiere decir que si se conoce la posicioacuten angular de cualquier recta fija al cuerpo se conoce la posicioacuten angular del cuerpo Ademaacutes Dq1 = Dq2 por lo tanto la velocidad angular W y la aceleracioacuten angular a son las mismas para cualquier recta fija al cuerpoPara especificar la configuracioacuten de un cuerpo riacutegido en movimiento planoes conveniente utilizar un sistema de referencia Srsquo fijo al cuerpo con origen en Orsquo La configuracioacuten del cuerpo riacutegido queda completamente determinada mediante las coordenadas x(Orsquo) e y(Orsquo) y el aacutengulo q que forma xrsquo con x

241 ECUACION QUE RIGEN EN EL MOVIMIENTO GENERAL EN EL PLANO

El movimiento de un cuerpo riacutegido que teoacutericamente se puede considerar como la

composicioacuten de dos movimientos simultaacuteneos uno de traslacioacuten y el otro de

rotacioacuten a una velocidad angular w alrededor de un eje movible perpendicular al

plano de movimiento y que puede representarse en el plano recibe el nombre de

movimiento general en el plano Un ejemplo tiacutepico es el movimiento de un

neumaacutetico rodando sobre una carretera en cada instante rota y tambieacuten se

traslada el eje de giro alrededor del cual rota el neumaacutetico ocupa una posicioacuten

diferente en cada instante (es moacutevil)

Consideacuterese que un bloque de largo L ancho E y altura H se encuentra en el

primer octante de un sistema de referencia cartesiano uno de sus veacutertices

coincide con el origen y la arista de la base del bloque estaacute adyacente al eje X Se

requiere mover el bloque a una posicioacuten en la que el veacutertice que coincidiacutea con el

origen debe estar en el plano X ndash Y en la posicioacuten (8 3 0) y el largo del bloque

debe estar paralelo al eje Y

Teoacutericamente el movimiento se puede realizar girando primeramente el bloque

alrededor del veacutertice que es origen un aacutengulo de 90deg y con un movimiento de

traslacioacuten en trayectoria rectiliacutenea horizontal sobre el plano Z- X se traslada el

bloque hasta que el veacutertice que era origen este en la posicioacuten (8 0 0) y finalmente

con otro movimiento de traslacioacuten en trayectoria rectiliacutenea vertical hacia arriba se

traslada el bloque hasta que el veacutertice que era origen llegue al punto (830) En la

realidad el ingeniero mecaacutenico puede disentildear un mecanismo para mover al

bloque de su posicioacuten inicial y lo lleve a su posicioacuten final pudiendo conceptualizar

en cada instante durante la trayectoria del bloque dos movimientos simultaacuteneos

uno de rotacioacuten alrededor de un eje movible perpendicular al plano de movimiento

y el otro de traslacioacuten tal proceso cinemaacutetico sujetaraacute al bloque a un movimiento

general en el plano Para dictaminar si este movimiento se puede representar en

un plano se elige uno de los planos del bloque por ejemplo el plano ABCD y se

realiza con eacutel hipoteacuteticamente todo el proceso que se realizo con el bloque si lo

satisface 100 se concluye que el movimiento del bloque se puede representar

en un plano

Al observar el movimiento general en el plano de un cuerpo riacutegido y trazar la

trayectoria de cualquier punto sobre el plano de movimiento generalmente eacutesta

resulta ser un trayectoria curviliacutenea entonces el anaacutelisis cinemaacutetico del

movimiento general en el plano se realiza estudiando el movimiento de dos puntos

del plano de movimiento considerando que se conoce la velocidad (aceleracioacuten)

para uno de esos puntos y la velocidad angular w del plano de movimiento pero

se desconoce la del otro punto Resumiendo si los puntos a los que se les

estudiaraacute el movimiento son los puntos A y B entonces suponiendo conocida la

velocidad (aceleracioacuten) del punto A y w la velocidad (aceleracioacuten) del punto B se

calcula con las ecuaciones (19) o (20) esto es

vB = vA + vBA = vA + wX rAB

aB = aA + aBA = aA + (aBA)n + (aBA)t = aA + w X (w X rAB) + a X rAB

242 SOLUCION EN EL PROBLEMA EN FORMA

En este problema usaremos conceptos del movimiento al utilizar la segunda Ley de Newton F = m a que se enuncia como sigue

Una partiacutecula sujeta a la accioacuten de una fuerza desequilibradota F experimenta una aceleracioacuten a que tiene la misma accioacuten que la fuerza y una magnitud que es directamente proporcional a la fuerza

Equilibrio dinaacutemico La ecuacioacuten del movimiento se puede expresar de la forma

F - m a = 0

Marco inercial de referencia Siempre que se aplique la ecuacioacuten del movimiento se requiere que las medida de la aceleracioacuten se hagan a partir de un marco de referencia newtoniano o inercial Tal sistema coordenado no gira y estaacute ya sea fijo o se traslada en una direccioacuten dada con velocidad constante ( aceleracioacuten cero ) Esta definicioacuten asegura que la aceleracioacuten de la partiacutecula medida en dos marcos de referencia inerciales siempre seraacute la misma

Ecuaciones de movimiento Si las fuerzas y m a pueden descomponerse directamente a partir de los diagramas de cuerpo libre y cineacutetico aplique las ecuaciones de movimiento en su forma de componentes escalares

Fraccioacuten Si l partiacutecula tiene contacto con una superficie rugosa puede ser necesario usar la ecuacioacuten de friccioacuten que relaciona el coeficiente de friccioacuten cineacutetica k con las magnitudes de las fuerzas de friccioacuten y normal Ff y N que actuacutean en las superficies de contacto es decir Ff = k N

Cinemaacutetica Se usan estas ecuaciones si no se puede obtener una solucioacuten completa a partir de la ecuacioacuten de movimiento En este aspecto si se va a hallar

la posicioacuten o la velocidad de la partiacutecula seraacute necesario aplicar las ecuaciones cinemaacuteticas adecuadas una vez que se determina la aceleracioacuten de la partiacutecula a partir de F = m a

DEFINICIOacuteN DEL PROBLEMA

DATOS

P = 50 N

m = 200 gr = 0200 Kg

k = 0025

W = mg = 1962 Kg

DIAGRAMA

TAREAS

Como la F = m a y del diagrama anterior tenemos

F = m ax sustituyendo nos resulta

P - WX - Fr = m ax helliphelliphellip ec 1

Pero como fr = k N y W = mg por lo tanto

F = m ay

Wy - N = m ay = 0 ec 2

Wy - N = 0 (se considera como cero ya que con respecto al eje Y no hay fuerzas)

Wy = N y como

Wy = W cos

Wx = W sen

Sustituyendo lo anterior en la ecuacioacuten 1

P - W sen - k W cos = m a

SOLUCIOacuteN COMPLETA

Sustituyendo los datos en la ecuacioacuten

P - W sen - k W cos = m a

50N - 1962 kg sen 25 - (0025) (196 kg cos 25) = 02 kg a

50 N - 196 kg (0442) - (0025) (1962 kg) (0906) = 02 kg a

50 N - 0829 - 0044 = 02 a

(49127 N) (02 kg) = a

a = 2456 m s2

243 MOVIMIENTO INSTANTANEO

En el movimiento plano de un cuerpo riacutegido se tiene el siguiente teoremaEn el movimiento plano de un cuerpo riacutegido siempre existe un punto de eacutel (o de una extensioacuten riacutegida de eacutel) que tiene velocidad instantaacutenea nula y en consecuencia el movimiento equivale a una pura rotacioacuten instantaacutenea del cuerpo en torno de ese punto Tal punto se conoce como centro instantaacuteneo de rotacioacuten

Demostracioacuten 1 Como

1048705vP = 1048705vA + 1048705ω times AminusrarrP

entonces si existe un punto A = I con velocidad nula debe ser

1048705vP = 1048705ω times IminusrarrP (94)

entonces 1048705vP es perpendicular a IminusrarrP o bien IminusrarrP estaacute sobre una recta en elplano de movimiento que es perpendicular a 1048705vP En consecuencia si se conocen las velocidades (no paralelas) de dos puntos de un cuerpo 1048705vA y 1048705vB el centro instantaacuteneo estaraacute donde se intersecten las perpendiculares a esas dos velocidades La excepcioacuten la constituyen los cuerpos que tienen traslaciones puras es decir cuando el cuerpo se traslada paralelamente y entonces 1048705ω =10487050

En estos casos se podriacutea decir que el centro instantaacuteneo estaacute en el infinitoLa posicioacuten del centro instantaacuteneo tambieacuten puede determinarse si se conoce una velocidad y la velocidad angular del cuerpo En efecto de (94) se puede despejar PminusrarrI para ello multiplique timesω1048705 y desarrolle

1048705vP times 1048705ω = (1048705ω times IminusrarrP) times ω1048705 = ω2IminusrarrP minus (IminusrarrP middot ω1048705) 1048705ω

pero (IminusrarrP middot ω1048705 ) = 0 porque son vectores perpendiculares Entonces si ω2 6= 0se deduce que

PminusrarrI = 1048705ω times1048705vP

ω2 (95

244 ACELERACION DE CORIOLIS

El efecto Coriolis hace que un objeto que se mueve sobre el radio de un disco en rotacioacuten tienda a acelerarse con respecto a ese disco seguacuten si el movimiento es hacia el eje de giro o alejaacutendose de eacuteste Por el mismo principio en el caso de una esfera en rotacioacuten el movimiento de un objeto sobre los meridianos tambieacuten presenta este efecto ya que dicho movimiento reduce o incrementa la distancia respecto al eje de giro de la esfera

Debido a que el objeto sufre una aceleracioacuten desde el punto de vista del observador en rotacioacuten es como si para eacuteste existiera una fuerza sobre el objeto que lo acelera A esta fuerza se la llama fuerza de Coriolis y no es una fuerza real en el sentido de que no hay nada que la produzca Se trata pues de una fuerza inercial o ficticia que se introduce para explicar desde el punto de vista del sistema en rotacioacuten la aceleracioacuten del cuerpo cuyo origen estaacute en realidad en el hecho de que el sistema de observacioacuten estaacute rotando

Un ejemplo canoacutenico de efecto Coriolis es el experimento imaginario en el que disparamos un proyectil desde el Ecuador en direccioacuten norte El cantildeoacuten estaacute girando con la tierra hacia el este y por tanto imprime al proyectil esa velocidad (ademaacutes de la velocidad hacia adelante al momento de la impulsioacuten) Al viajar el proyectil hacia el norte sobrevuela puntos de la tierra cuya velocidad liacuteneal hacia el este va disminuyendo con la latitud creciente La inercia del proyectil hacia el este hace que su velocidad angular aumente y que por tanto adelante a los puntos que sobrevuela Si el vuelo es suficientemente largo (ver caacutelculos al final del artiacuteculo) el proyectil caeraacute en un meridiano situado al este de aqueacutel desde el cual se disparoacute a pesar de que la direccioacuten del disparo fue exactamente hacia el norte Anaacutelogamente una masa de aire que se desplace hacia el este sobre el ecuador aumentaraacute su velocidad de giro con respecto al suelo en caso de que su latitud disminuya Finalmente el efecto Coriolis al actuar sobre masas de aire (o agua) en latitudes intermedias induce un giro al desviar hacia el este o hacia el oeste las partes de esa masa que ganen o pierdan latitud de forma parecida a como gira la bolita del ejemplo

La posicioacuten de la partiacutecula i respecto al origen del sistema de referencia inercial es ri la posicioacuten de dicha partiacutecula respecto de A es riA En la figura se muestra la relacioacuten entre estos dos vectoresri=rA+riA

La velocidad de la partiacutecula i respecto del sistema de referencia inercial es vi y del punto A es vA

El momento angular del sistema de partiacuteculas respecto de A LA es

Sea Fi la fuerza exterior que actuacutea sobre la partiacutecula i La segunda ley de Newton afirma que

El momento de las fuerzas exteriores respecto de A es

Como la posicioacuten del centro de masas rcm se define

Siendo M la masa total del sistema de partiacuteculas llegamos a la relacioacuten

Podemos obtener la misma relacioacuten derivando el momento angular LA respecto del tiempo

Cuando el teacutermino M(rcm-rA)timesaA desaparece la relacioacuten MA=dLAdt se cumple Esto ocurre en los siguientes casosCuando el punto A coincide con el centro de masas rcm=rA Cuando la aceleracioacuten de A es cero aA =0 es decir A se mueve con velocidad constante Cuando la aceleracioacuten de A aA es paralela al vector (rcm-rA) En los ejemplos de la seccioacuten Movimiento general de un soacutelido riacutegido emplearemos uacutenicamente la relacioacuten

El momento angular Lcm del soacutelido riacutegido y el momento de las fuerzas exteriores Mcm se calculan con respecto del centro de masas

24 MOVIMIENTO GENERAL DEL PLANO

Caso en que cada partiacutecula del cuerpo se mueve en forma paralela a un plano fijo Noacutetese que este caso incluye tanto el caso de cuerpos planos propiamente tales tales como laacuteminas discos etc movieacutendose en su propio plano como el caso de cuerpos espaciales que se mueven en la forma antes descrita

ConfiguracioacutenSupoacutengase un cuerpo riacutegido en movimiento plano Dos rectas AB y CD fijas al cuerpo forman aacutengulos q1 y q2 respectivamente con una referencia fija Pero q1 = q2 + b donde b es constante Esto quiere decir que si se conoce la posicioacuten angular de cualquier recta fija al cuerpo se conoce la posicioacuten angular del cuerpo Ademaacutes Dq1 = Dq2 por lo tanto la velocidad angular W y la aceleracioacuten angular a son las mismas para cualquier recta fija al cuerpoPara especificar la configuracioacuten de un cuerpo riacutegido en movimiento planoes conveniente utilizar un sistema de referencia Srsquo fijo al cuerpo con origen en Orsquo La configuracioacuten del cuerpo riacutegido queda completamente determinada mediante las coordenadas x(Orsquo) e y(Orsquo) y el aacutengulo q que forma xrsquo con x

241 ECUACION QUE RIGEN EN EL MOVIMIENTO GENERAL EN EL PLANO

El movimiento de un cuerpo riacutegido que teoacutericamente se puede considerar como la

composicioacuten de dos movimientos simultaacuteneos uno de traslacioacuten y el otro de

rotacioacuten a una velocidad angular w alrededor de un eje movible perpendicular al

plano de movimiento y que puede representarse en el plano recibe el nombre de

movimiento general en el plano Un ejemplo tiacutepico es el movimiento de un

neumaacutetico rodando sobre una carretera en cada instante rota y tambieacuten se

traslada el eje de giro alrededor del cual rota el neumaacutetico ocupa una posicioacuten

diferente en cada instante (es moacutevil)

Consideacuterese que un bloque de largo L ancho E y altura H se encuentra en el

primer octante de un sistema de referencia cartesiano uno de sus veacutertices

coincide con el origen y la arista de la base del bloque estaacute adyacente al eje X Se

requiere mover el bloque a una posicioacuten en la que el veacutertice que coincidiacutea con el

origen debe estar en el plano X ndash Y en la posicioacuten (8 3 0) y el largo del bloque

debe estar paralelo al eje Y

Teoacutericamente el movimiento se puede realizar girando primeramente el bloque

alrededor del veacutertice que es origen un aacutengulo de 90deg y con un movimiento de

traslacioacuten en trayectoria rectiliacutenea horizontal sobre el plano Z- X se traslada el

bloque hasta que el veacutertice que era origen este en la posicioacuten (8 0 0) y finalmente

con otro movimiento de traslacioacuten en trayectoria rectiliacutenea vertical hacia arriba se

traslada el bloque hasta que el veacutertice que era origen llegue al punto (830) En la

realidad el ingeniero mecaacutenico puede disentildear un mecanismo para mover al

bloque de su posicioacuten inicial y lo lleve a su posicioacuten final pudiendo conceptualizar

en cada instante durante la trayectoria del bloque dos movimientos simultaacuteneos

uno de rotacioacuten alrededor de un eje movible perpendicular al plano de movimiento

y el otro de traslacioacuten tal proceso cinemaacutetico sujetaraacute al bloque a un movimiento

general en el plano Para dictaminar si este movimiento se puede representar en

un plano se elige uno de los planos del bloque por ejemplo el plano ABCD y se

realiza con eacutel hipoteacuteticamente todo el proceso que se realizo con el bloque si lo

satisface 100 se concluye que el movimiento del bloque se puede representar

en un plano

Al observar el movimiento general en el plano de un cuerpo riacutegido y trazar la

trayectoria de cualquier punto sobre el plano de movimiento generalmente eacutesta

resulta ser un trayectoria curviliacutenea entonces el anaacutelisis cinemaacutetico del

movimiento general en el plano se realiza estudiando el movimiento de dos puntos

del plano de movimiento considerando que se conoce la velocidad (aceleracioacuten)

para uno de esos puntos y la velocidad angular w del plano de movimiento pero

se desconoce la del otro punto Resumiendo si los puntos a los que se les

estudiaraacute el movimiento son los puntos A y B entonces suponiendo conocida la

velocidad (aceleracioacuten) del punto A y w la velocidad (aceleracioacuten) del punto B se

calcula con las ecuaciones (19) o (20) esto es

vB = vA + vBA = vA + wX rAB

aB = aA + aBA = aA + (aBA)n + (aBA)t = aA + w X (w X rAB) + a X rAB

242 SOLUCION EN EL PROBLEMA EN FORMA

En este problema usaremos conceptos del movimiento al utilizar la segunda Ley de Newton F = m a que se enuncia como sigue

Una partiacutecula sujeta a la accioacuten de una fuerza desequilibradota F experimenta una aceleracioacuten a que tiene la misma accioacuten que la fuerza y una magnitud que es directamente proporcional a la fuerza

Equilibrio dinaacutemico La ecuacioacuten del movimiento se puede expresar de la forma

F - m a = 0

Marco inercial de referencia Siempre que se aplique la ecuacioacuten del movimiento se requiere que las medida de la aceleracioacuten se hagan a partir de un marco de referencia newtoniano o inercial Tal sistema coordenado no gira y estaacute ya sea fijo o se traslada en una direccioacuten dada con velocidad constante ( aceleracioacuten cero ) Esta definicioacuten asegura que la aceleracioacuten de la partiacutecula medida en dos marcos de referencia inerciales siempre seraacute la misma

Ecuaciones de movimiento Si las fuerzas y m a pueden descomponerse directamente a partir de los diagramas de cuerpo libre y cineacutetico aplique las ecuaciones de movimiento en su forma de componentes escalares

Fraccioacuten Si l partiacutecula tiene contacto con una superficie rugosa puede ser necesario usar la ecuacioacuten de friccioacuten que relaciona el coeficiente de friccioacuten cineacutetica k con las magnitudes de las fuerzas de friccioacuten y normal Ff y N que actuacutean en las superficies de contacto es decir Ff = k N

Cinemaacutetica Se usan estas ecuaciones si no se puede obtener una solucioacuten completa a partir de la ecuacioacuten de movimiento En este aspecto si se va a hallar

la posicioacuten o la velocidad de la partiacutecula seraacute necesario aplicar las ecuaciones cinemaacuteticas adecuadas una vez que se determina la aceleracioacuten de la partiacutecula a partir de F = m a

DEFINICIOacuteN DEL PROBLEMA

DATOS

P = 50 N

m = 200 gr = 0200 Kg

k = 0025

W = mg = 1962 Kg

DIAGRAMA

TAREAS

Como la F = m a y del diagrama anterior tenemos

F = m ax sustituyendo nos resulta

P - WX - Fr = m ax helliphelliphellip ec 1

Pero como fr = k N y W = mg por lo tanto

F = m ay

Wy - N = m ay = 0 ec 2

Wy - N = 0 (se considera como cero ya que con respecto al eje Y no hay fuerzas)

Wy = N y como

Wy = W cos

Wx = W sen

Sustituyendo lo anterior en la ecuacioacuten 1

P - W sen - k W cos = m a

SOLUCIOacuteN COMPLETA

Sustituyendo los datos en la ecuacioacuten

P - W sen - k W cos = m a

50N - 1962 kg sen 25 - (0025) (196 kg cos 25) = 02 kg a

50 N - 196 kg (0442) - (0025) (1962 kg) (0906) = 02 kg a

50 N - 0829 - 0044 = 02 a

(49127 N) (02 kg) = a

a = 2456 m s2

243 MOVIMIENTO INSTANTANEO

En el movimiento plano de un cuerpo riacutegido se tiene el siguiente teoremaEn el movimiento plano de un cuerpo riacutegido siempre existe un punto de eacutel (o de una extensioacuten riacutegida de eacutel) que tiene velocidad instantaacutenea nula y en consecuencia el movimiento equivale a una pura rotacioacuten instantaacutenea del cuerpo en torno de ese punto Tal punto se conoce como centro instantaacuteneo de rotacioacuten

Demostracioacuten 1 Como

1048705vP = 1048705vA + 1048705ω times AminusrarrP

entonces si existe un punto A = I con velocidad nula debe ser

1048705vP = 1048705ω times IminusrarrP (94)

entonces 1048705vP es perpendicular a IminusrarrP o bien IminusrarrP estaacute sobre una recta en elplano de movimiento que es perpendicular a 1048705vP En consecuencia si se conocen las velocidades (no paralelas) de dos puntos de un cuerpo 1048705vA y 1048705vB el centro instantaacuteneo estaraacute donde se intersecten las perpendiculares a esas dos velocidades La excepcioacuten la constituyen los cuerpos que tienen traslaciones puras es decir cuando el cuerpo se traslada paralelamente y entonces 1048705ω =10487050

En estos casos se podriacutea decir que el centro instantaacuteneo estaacute en el infinitoLa posicioacuten del centro instantaacuteneo tambieacuten puede determinarse si se conoce una velocidad y la velocidad angular del cuerpo En efecto de (94) se puede despejar PminusrarrI para ello multiplique timesω1048705 y desarrolle

1048705vP times 1048705ω = (1048705ω times IminusrarrP) times ω1048705 = ω2IminusrarrP minus (IminusrarrP middot ω1048705) 1048705ω

pero (IminusrarrP middot ω1048705 ) = 0 porque son vectores perpendiculares Entonces si ω2 6= 0se deduce que

PminusrarrI = 1048705ω times1048705vP

ω2 (95

244 ACELERACION DE CORIOLIS

El efecto Coriolis hace que un objeto que se mueve sobre el radio de un disco en rotacioacuten tienda a acelerarse con respecto a ese disco seguacuten si el movimiento es hacia el eje de giro o alejaacutendose de eacuteste Por el mismo principio en el caso de una esfera en rotacioacuten el movimiento de un objeto sobre los meridianos tambieacuten presenta este efecto ya que dicho movimiento reduce o incrementa la distancia respecto al eje de giro de la esfera

Debido a que el objeto sufre una aceleracioacuten desde el punto de vista del observador en rotacioacuten es como si para eacuteste existiera una fuerza sobre el objeto que lo acelera A esta fuerza se la llama fuerza de Coriolis y no es una fuerza real en el sentido de que no hay nada que la produzca Se trata pues de una fuerza inercial o ficticia que se introduce para explicar desde el punto de vista del sistema en rotacioacuten la aceleracioacuten del cuerpo cuyo origen estaacute en realidad en el hecho de que el sistema de observacioacuten estaacute rotando

Un ejemplo canoacutenico de efecto Coriolis es el experimento imaginario en el que disparamos un proyectil desde el Ecuador en direccioacuten norte El cantildeoacuten estaacute girando con la tierra hacia el este y por tanto imprime al proyectil esa velocidad (ademaacutes de la velocidad hacia adelante al momento de la impulsioacuten) Al viajar el proyectil hacia el norte sobrevuela puntos de la tierra cuya velocidad liacuteneal hacia el este va disminuyendo con la latitud creciente La inercia del proyectil hacia el este hace que su velocidad angular aumente y que por tanto adelante a los puntos que sobrevuela Si el vuelo es suficientemente largo (ver caacutelculos al final del artiacuteculo) el proyectil caeraacute en un meridiano situado al este de aqueacutel desde el cual se disparoacute a pesar de que la direccioacuten del disparo fue exactamente hacia el norte Anaacutelogamente una masa de aire que se desplace hacia el este sobre el ecuador aumentaraacute su velocidad de giro con respecto al suelo en caso de que su latitud disminuya Finalmente el efecto Coriolis al actuar sobre masas de aire (o agua) en latitudes intermedias induce un giro al desviar hacia el este o hacia el oeste las partes de esa masa que ganen o pierdan latitud de forma parecida a como gira la bolita del ejemplo

Podemos obtener la misma relacioacuten derivando el momento angular LA respecto del tiempo

Cuando el teacutermino M(rcm-rA)timesaA desaparece la relacioacuten MA=dLAdt se cumple Esto ocurre en los siguientes casosCuando el punto A coincide con el centro de masas rcm=rA Cuando la aceleracioacuten de A es cero aA =0 es decir A se mueve con velocidad constante Cuando la aceleracioacuten de A aA es paralela al vector (rcm-rA) En los ejemplos de la seccioacuten Movimiento general de un soacutelido riacutegido emplearemos uacutenicamente la relacioacuten

El momento angular Lcm del soacutelido riacutegido y el momento de las fuerzas exteriores Mcm se calculan con respecto del centro de masas

24 MOVIMIENTO GENERAL DEL PLANO

Caso en que cada partiacutecula del cuerpo se mueve en forma paralela a un plano fijo Noacutetese que este caso incluye tanto el caso de cuerpos planos propiamente tales tales como laacuteminas discos etc movieacutendose en su propio plano como el caso de cuerpos espaciales que se mueven en la forma antes descrita

ConfiguracioacutenSupoacutengase un cuerpo riacutegido en movimiento plano Dos rectas AB y CD fijas al cuerpo forman aacutengulos q1 y q2 respectivamente con una referencia fija Pero q1 = q2 + b donde b es constante Esto quiere decir que si se conoce la posicioacuten angular de cualquier recta fija al cuerpo se conoce la posicioacuten angular del cuerpo Ademaacutes Dq1 = Dq2 por lo tanto la velocidad angular W y la aceleracioacuten angular a son las mismas para cualquier recta fija al cuerpoPara especificar la configuracioacuten de un cuerpo riacutegido en movimiento planoes conveniente utilizar un sistema de referencia Srsquo fijo al cuerpo con origen en Orsquo La configuracioacuten del cuerpo riacutegido queda completamente determinada mediante las coordenadas x(Orsquo) e y(Orsquo) y el aacutengulo q que forma xrsquo con x

241 ECUACION QUE RIGEN EN EL MOVIMIENTO GENERAL EN EL PLANO

El movimiento de un cuerpo riacutegido que teoacutericamente se puede considerar como la

composicioacuten de dos movimientos simultaacuteneos uno de traslacioacuten y el otro de

rotacioacuten a una velocidad angular w alrededor de un eje movible perpendicular al

plano de movimiento y que puede representarse en el plano recibe el nombre de

movimiento general en el plano Un ejemplo tiacutepico es el movimiento de un

neumaacutetico rodando sobre una carretera en cada instante rota y tambieacuten se

traslada el eje de giro alrededor del cual rota el neumaacutetico ocupa una posicioacuten

diferente en cada instante (es moacutevil)

Consideacuterese que un bloque de largo L ancho E y altura H se encuentra en el

primer octante de un sistema de referencia cartesiano uno de sus veacutertices

coincide con el origen y la arista de la base del bloque estaacute adyacente al eje X Se

requiere mover el bloque a una posicioacuten en la que el veacutertice que coincidiacutea con el

origen debe estar en el plano X ndash Y en la posicioacuten (8 3 0) y el largo del bloque

debe estar paralelo al eje Y

Teoacutericamente el movimiento se puede realizar girando primeramente el bloque

alrededor del veacutertice que es origen un aacutengulo de 90deg y con un movimiento de

traslacioacuten en trayectoria rectiliacutenea horizontal sobre el plano Z- X se traslada el

bloque hasta que el veacutertice que era origen este en la posicioacuten (8 0 0) y finalmente

con otro movimiento de traslacioacuten en trayectoria rectiliacutenea vertical hacia arriba se

traslada el bloque hasta que el veacutertice que era origen llegue al punto (830) En la

realidad el ingeniero mecaacutenico puede disentildear un mecanismo para mover al

bloque de su posicioacuten inicial y lo lleve a su posicioacuten final pudiendo conceptualizar

en cada instante durante la trayectoria del bloque dos movimientos simultaacuteneos

uno de rotacioacuten alrededor de un eje movible perpendicular al plano de movimiento

y el otro de traslacioacuten tal proceso cinemaacutetico sujetaraacute al bloque a un movimiento

general en el plano Para dictaminar si este movimiento se puede representar en

un plano se elige uno de los planos del bloque por ejemplo el plano ABCD y se

realiza con eacutel hipoteacuteticamente todo el proceso que se realizo con el bloque si lo

satisface 100 se concluye que el movimiento del bloque se puede representar

en un plano

Al observar el movimiento general en el plano de un cuerpo riacutegido y trazar la

trayectoria de cualquier punto sobre el plano de movimiento generalmente eacutesta

resulta ser un trayectoria curviliacutenea entonces el anaacutelisis cinemaacutetico del

movimiento general en el plano se realiza estudiando el movimiento de dos puntos

del plano de movimiento considerando que se conoce la velocidad (aceleracioacuten)

para uno de esos puntos y la velocidad angular w del plano de movimiento pero

se desconoce la del otro punto Resumiendo si los puntos a los que se les

estudiaraacute el movimiento son los puntos A y B entonces suponiendo conocida la

velocidad (aceleracioacuten) del punto A y w la velocidad (aceleracioacuten) del punto B se

calcula con las ecuaciones (19) o (20) esto es

vB = vA + vBA = vA + wX rAB

aB = aA + aBA = aA + (aBA)n + (aBA)t = aA + w X (w X rAB) + a X rAB

242 SOLUCION EN EL PROBLEMA EN FORMA

En este problema usaremos conceptos del movimiento al utilizar la segunda Ley de Newton F = m a que se enuncia como sigue

Una partiacutecula sujeta a la accioacuten de una fuerza desequilibradota F experimenta una aceleracioacuten a que tiene la misma accioacuten que la fuerza y una magnitud que es directamente proporcional a la fuerza

Equilibrio dinaacutemico La ecuacioacuten del movimiento se puede expresar de la forma

F - m a = 0

Marco inercial de referencia Siempre que se aplique la ecuacioacuten del movimiento se requiere que las medida de la aceleracioacuten se hagan a partir de un marco de referencia newtoniano o inercial Tal sistema coordenado no gira y estaacute ya sea fijo o se traslada en una direccioacuten dada con velocidad constante ( aceleracioacuten cero ) Esta definicioacuten asegura que la aceleracioacuten de la partiacutecula medida en dos marcos de referencia inerciales siempre seraacute la misma

Ecuaciones de movimiento Si las fuerzas y m a pueden descomponerse directamente a partir de los diagramas de cuerpo libre y cineacutetico aplique las ecuaciones de movimiento en su forma de componentes escalares

Fraccioacuten Si l partiacutecula tiene contacto con una superficie rugosa puede ser necesario usar la ecuacioacuten de friccioacuten que relaciona el coeficiente de friccioacuten cineacutetica k con las magnitudes de las fuerzas de friccioacuten y normal Ff y N que actuacutean en las superficies de contacto es decir Ff = k N

Cinemaacutetica Se usan estas ecuaciones si no se puede obtener una solucioacuten completa a partir de la ecuacioacuten de movimiento En este aspecto si se va a hallar

la posicioacuten o la velocidad de la partiacutecula seraacute necesario aplicar las ecuaciones cinemaacuteticas adecuadas una vez que se determina la aceleracioacuten de la partiacutecula a partir de F = m a

DEFINICIOacuteN DEL PROBLEMA

DATOS

P = 50 N

m = 200 gr = 0200 Kg

k = 0025

W = mg = 1962 Kg

DIAGRAMA

TAREAS

Como la F = m a y del diagrama anterior tenemos

F = m ax sustituyendo nos resulta

P - WX - Fr = m ax helliphelliphellip ec 1

Pero como fr = k N y W = mg por lo tanto

F = m ay

Wy - N = m ay = 0 ec 2

Wy - N = 0 (se considera como cero ya que con respecto al eje Y no hay fuerzas)

Wy = N y como

Wy = W cos

Wx = W sen

Sustituyendo lo anterior en la ecuacioacuten 1

P - W sen - k W cos = m a

SOLUCIOacuteN COMPLETA

Sustituyendo los datos en la ecuacioacuten

P - W sen - k W cos = m a

50N - 1962 kg sen 25 - (0025) (196 kg cos 25) = 02 kg a

50 N - 196 kg (0442) - (0025) (1962 kg) (0906) = 02 kg a

50 N - 0829 - 0044 = 02 a

(49127 N) (02 kg) = a

a = 2456 m s2

243 MOVIMIENTO INSTANTANEO

En el movimiento plano de un cuerpo riacutegido se tiene el siguiente teoremaEn el movimiento plano de un cuerpo riacutegido siempre existe un punto de eacutel (o de una extensioacuten riacutegida de eacutel) que tiene velocidad instantaacutenea nula y en consecuencia el movimiento equivale a una pura rotacioacuten instantaacutenea del cuerpo en torno de ese punto Tal punto se conoce como centro instantaacuteneo de rotacioacuten

Demostracioacuten 1 Como

1048705vP = 1048705vA + 1048705ω times AminusrarrP

entonces si existe un punto A = I con velocidad nula debe ser

1048705vP = 1048705ω times IminusrarrP (94)

entonces 1048705vP es perpendicular a IminusrarrP o bien IminusrarrP estaacute sobre una recta en elplano de movimiento que es perpendicular a 1048705vP En consecuencia si se conocen las velocidades (no paralelas) de dos puntos de un cuerpo 1048705vA y 1048705vB el centro instantaacuteneo estaraacute donde se intersecten las perpendiculares a esas dos velocidades La excepcioacuten la constituyen los cuerpos que tienen traslaciones puras es decir cuando el cuerpo se traslada paralelamente y entonces 1048705ω =10487050

En estos casos se podriacutea decir que el centro instantaacuteneo estaacute en el infinitoLa posicioacuten del centro instantaacuteneo tambieacuten puede determinarse si se conoce una velocidad y la velocidad angular del cuerpo En efecto de (94) se puede despejar PminusrarrI para ello multiplique timesω1048705 y desarrolle

1048705vP times 1048705ω = (1048705ω times IminusrarrP) times ω1048705 = ω2IminusrarrP minus (IminusrarrP middot ω1048705) 1048705ω

pero (IminusrarrP middot ω1048705 ) = 0 porque son vectores perpendiculares Entonces si ω2 6= 0se deduce que

PminusrarrI = 1048705ω times1048705vP

ω2 (95

244 ACELERACION DE CORIOLIS

El efecto Coriolis hace que un objeto que se mueve sobre el radio de un disco en rotacioacuten tienda a acelerarse con respecto a ese disco seguacuten si el movimiento es hacia el eje de giro o alejaacutendose de eacuteste Por el mismo principio en el caso de una esfera en rotacioacuten el movimiento de un objeto sobre los meridianos tambieacuten presenta este efecto ya que dicho movimiento reduce o incrementa la distancia respecto al eje de giro de la esfera

Debido a que el objeto sufre una aceleracioacuten desde el punto de vista del observador en rotacioacuten es como si para eacuteste existiera una fuerza sobre el objeto que lo acelera A esta fuerza se la llama fuerza de Coriolis y no es una fuerza real en el sentido de que no hay nada que la produzca Se trata pues de una fuerza inercial o ficticia que se introduce para explicar desde el punto de vista del sistema en rotacioacuten la aceleracioacuten del cuerpo cuyo origen estaacute en realidad en el hecho de que el sistema de observacioacuten estaacute rotando

Un ejemplo canoacutenico de efecto Coriolis es el experimento imaginario en el que disparamos un proyectil desde el Ecuador en direccioacuten norte El cantildeoacuten estaacute girando con la tierra hacia el este y por tanto imprime al proyectil esa velocidad (ademaacutes de la velocidad hacia adelante al momento de la impulsioacuten) Al viajar el proyectil hacia el norte sobrevuela puntos de la tierra cuya velocidad liacuteneal hacia el este va disminuyendo con la latitud creciente La inercia del proyectil hacia el este hace que su velocidad angular aumente y que por tanto adelante a los puntos que sobrevuela Si el vuelo es suficientemente largo (ver caacutelculos al final del artiacuteculo) el proyectil caeraacute en un meridiano situado al este de aqueacutel desde el cual se disparoacute a pesar de que la direccioacuten del disparo fue exactamente hacia el norte Anaacutelogamente una masa de aire que se desplace hacia el este sobre el ecuador aumentaraacute su velocidad de giro con respecto al suelo en caso de que su latitud disminuya Finalmente el efecto Coriolis al actuar sobre masas de aire (o agua) en latitudes intermedias induce un giro al desviar hacia el este o hacia el oeste las partes de esa masa que ganen o pierdan latitud de forma parecida a como gira la bolita del ejemplo

241 ECUACION QUE RIGEN EN EL MOVIMIENTO GENERAL EN EL PLANO

El movimiento de un cuerpo riacutegido que teoacutericamente se puede considerar como la

composicioacuten de dos movimientos simultaacuteneos uno de traslacioacuten y el otro de

rotacioacuten a una velocidad angular w alrededor de un eje movible perpendicular al

plano de movimiento y que puede representarse en el plano recibe el nombre de

movimiento general en el plano Un ejemplo tiacutepico es el movimiento de un

neumaacutetico rodando sobre una carretera en cada instante rota y tambieacuten se

traslada el eje de giro alrededor del cual rota el neumaacutetico ocupa una posicioacuten

diferente en cada instante (es moacutevil)

Consideacuterese que un bloque de largo L ancho E y altura H se encuentra en el

primer octante de un sistema de referencia cartesiano uno de sus veacutertices

coincide con el origen y la arista de la base del bloque estaacute adyacente al eje X Se

requiere mover el bloque a una posicioacuten en la que el veacutertice que coincidiacutea con el

origen debe estar en el plano X ndash Y en la posicioacuten (8 3 0) y el largo del bloque

debe estar paralelo al eje Y

Teoacutericamente el movimiento se puede realizar girando primeramente el bloque

alrededor del veacutertice que es origen un aacutengulo de 90deg y con un movimiento de

traslacioacuten en trayectoria rectiliacutenea horizontal sobre el plano Z- X se traslada el

bloque hasta que el veacutertice que era origen este en la posicioacuten (8 0 0) y finalmente

con otro movimiento de traslacioacuten en trayectoria rectiliacutenea vertical hacia arriba se

traslada el bloque hasta que el veacutertice que era origen llegue al punto (830) En la

realidad el ingeniero mecaacutenico puede disentildear un mecanismo para mover al

bloque de su posicioacuten inicial y lo lleve a su posicioacuten final pudiendo conceptualizar

en cada instante durante la trayectoria del bloque dos movimientos simultaacuteneos

uno de rotacioacuten alrededor de un eje movible perpendicular al plano de movimiento

y el otro de traslacioacuten tal proceso cinemaacutetico sujetaraacute al bloque a un movimiento

general en el plano Para dictaminar si este movimiento se puede representar en

un plano se elige uno de los planos del bloque por ejemplo el plano ABCD y se

realiza con eacutel hipoteacuteticamente todo el proceso que se realizo con el bloque si lo

satisface 100 se concluye que el movimiento del bloque se puede representar

en un plano

Al observar el movimiento general en el plano de un cuerpo riacutegido y trazar la

trayectoria de cualquier punto sobre el plano de movimiento generalmente eacutesta

resulta ser un trayectoria curviliacutenea entonces el anaacutelisis cinemaacutetico del

movimiento general en el plano se realiza estudiando el movimiento de dos puntos

del plano de movimiento considerando que se conoce la velocidad (aceleracioacuten)

para uno de esos puntos y la velocidad angular w del plano de movimiento pero

se desconoce la del otro punto Resumiendo si los puntos a los que se les

estudiaraacute el movimiento son los puntos A y B entonces suponiendo conocida la

velocidad (aceleracioacuten) del punto A y w la velocidad (aceleracioacuten) del punto B se

calcula con las ecuaciones (19) o (20) esto es

vB = vA + vBA = vA + wX rAB

aB = aA + aBA = aA + (aBA)n + (aBA)t = aA + w X (w X rAB) + a X rAB

242 SOLUCION EN EL PROBLEMA EN FORMA

En este problema usaremos conceptos del movimiento al utilizar la segunda Ley de Newton F = m a que se enuncia como sigue

Una partiacutecula sujeta a la accioacuten de una fuerza desequilibradota F experimenta una aceleracioacuten a que tiene la misma accioacuten que la fuerza y una magnitud que es directamente proporcional a la fuerza

Equilibrio dinaacutemico La ecuacioacuten del movimiento se puede expresar de la forma

F - m a = 0

Marco inercial de referencia Siempre que se aplique la ecuacioacuten del movimiento se requiere que las medida de la aceleracioacuten se hagan a partir de un marco de referencia newtoniano o inercial Tal sistema coordenado no gira y estaacute ya sea fijo o se traslada en una direccioacuten dada con velocidad constante ( aceleracioacuten cero ) Esta definicioacuten asegura que la aceleracioacuten de la partiacutecula medida en dos marcos de referencia inerciales siempre seraacute la misma

Ecuaciones de movimiento Si las fuerzas y m a pueden descomponerse directamente a partir de los diagramas de cuerpo libre y cineacutetico aplique las ecuaciones de movimiento en su forma de componentes escalares

Fraccioacuten Si l partiacutecula tiene contacto con una superficie rugosa puede ser necesario usar la ecuacioacuten de friccioacuten que relaciona el coeficiente de friccioacuten cineacutetica k con las magnitudes de las fuerzas de friccioacuten y normal Ff y N que actuacutean en las superficies de contacto es decir Ff = k N

Cinemaacutetica Se usan estas ecuaciones si no se puede obtener una solucioacuten completa a partir de la ecuacioacuten de movimiento En este aspecto si se va a hallar

la posicioacuten o la velocidad de la partiacutecula seraacute necesario aplicar las ecuaciones cinemaacuteticas adecuadas una vez que se determina la aceleracioacuten de la partiacutecula a partir de F = m a

DEFINICIOacuteN DEL PROBLEMA

DATOS

P = 50 N

m = 200 gr = 0200 Kg

k = 0025

W = mg = 1962 Kg

DIAGRAMA

TAREAS

Como la F = m a y del diagrama anterior tenemos

F = m ax sustituyendo nos resulta

P - WX - Fr = m ax helliphelliphellip ec 1

Pero como fr = k N y W = mg por lo tanto

F = m ay

Wy - N = m ay = 0 ec 2

Wy - N = 0 (se considera como cero ya que con respecto al eje Y no hay fuerzas)

Wy = N y como

Wy = W cos

Wx = W sen

Sustituyendo lo anterior en la ecuacioacuten 1

P - W sen - k W cos = m a

SOLUCIOacuteN COMPLETA

Sustituyendo los datos en la ecuacioacuten

P - W sen - k W cos = m a

50N - 1962 kg sen 25 - (0025) (196 kg cos 25) = 02 kg a

50 N - 196 kg (0442) - (0025) (1962 kg) (0906) = 02 kg a

50 N - 0829 - 0044 = 02 a

(49127 N) (02 kg) = a

a = 2456 m s2

243 MOVIMIENTO INSTANTANEO

En el movimiento plano de un cuerpo riacutegido se tiene el siguiente teoremaEn el movimiento plano de un cuerpo riacutegido siempre existe un punto de eacutel (o de una extensioacuten riacutegida de eacutel) que tiene velocidad instantaacutenea nula y en consecuencia el movimiento equivale a una pura rotacioacuten instantaacutenea del cuerpo en torno de ese punto Tal punto se conoce como centro instantaacuteneo de rotacioacuten

Demostracioacuten 1 Como

1048705vP = 1048705vA + 1048705ω times AminusrarrP

entonces si existe un punto A = I con velocidad nula debe ser

1048705vP = 1048705ω times IminusrarrP (94)

entonces 1048705vP es perpendicular a IminusrarrP o bien IminusrarrP estaacute sobre una recta en elplano de movimiento que es perpendicular a 1048705vP En consecuencia si se conocen las velocidades (no paralelas) de dos puntos de un cuerpo 1048705vA y 1048705vB el centro instantaacuteneo estaraacute donde se intersecten las perpendiculares a esas dos velocidades La excepcioacuten la constituyen los cuerpos que tienen traslaciones puras es decir cuando el cuerpo se traslada paralelamente y entonces 1048705ω =10487050

En estos casos se podriacutea decir que el centro instantaacuteneo estaacute en el infinitoLa posicioacuten del centro instantaacuteneo tambieacuten puede determinarse si se conoce una velocidad y la velocidad angular del cuerpo En efecto de (94) se puede despejar PminusrarrI para ello multiplique timesω1048705 y desarrolle

1048705vP times 1048705ω = (1048705ω times IminusrarrP) times ω1048705 = ω2IminusrarrP minus (IminusrarrP middot ω1048705) 1048705ω

pero (IminusrarrP middot ω1048705 ) = 0 porque son vectores perpendiculares Entonces si ω2 6= 0se deduce que

PminusrarrI = 1048705ω times1048705vP

ω2 (95

244 ACELERACION DE CORIOLIS

El efecto Coriolis hace que un objeto que se mueve sobre el radio de un disco en rotacioacuten tienda a acelerarse con respecto a ese disco seguacuten si el movimiento es hacia el eje de giro o alejaacutendose de eacuteste Por el mismo principio en el caso de una esfera en rotacioacuten el movimiento de un objeto sobre los meridianos tambieacuten presenta este efecto ya que dicho movimiento reduce o incrementa la distancia respecto al eje de giro de la esfera

Debido a que el objeto sufre una aceleracioacuten desde el punto de vista del observador en rotacioacuten es como si para eacuteste existiera una fuerza sobre el objeto que lo acelera A esta fuerza se la llama fuerza de Coriolis y no es una fuerza real en el sentido de que no hay nada que la produzca Se trata pues de una fuerza inercial o ficticia que se introduce para explicar desde el punto de vista del sistema en rotacioacuten la aceleracioacuten del cuerpo cuyo origen estaacute en realidad en el hecho de que el sistema de observacioacuten estaacute rotando

Un ejemplo canoacutenico de efecto Coriolis es el experimento imaginario en el que disparamos un proyectil desde el Ecuador en direccioacuten norte El cantildeoacuten estaacute girando con la tierra hacia el este y por tanto imprime al proyectil esa velocidad (ademaacutes de la velocidad hacia adelante al momento de la impulsioacuten) Al viajar el proyectil hacia el norte sobrevuela puntos de la tierra cuya velocidad liacuteneal hacia el este va disminuyendo con la latitud creciente La inercia del proyectil hacia el este hace que su velocidad angular aumente y que por tanto adelante a los puntos que sobrevuela Si el vuelo es suficientemente largo (ver caacutelculos al final del artiacuteculo) el proyectil caeraacute en un meridiano situado al este de aqueacutel desde el cual se disparoacute a pesar de que la direccioacuten del disparo fue exactamente hacia el norte Anaacutelogamente una masa de aire que se desplace hacia el este sobre el ecuador aumentaraacute su velocidad de giro con respecto al suelo en caso de que su latitud disminuya Finalmente el efecto Coriolis al actuar sobre masas de aire (o agua) en latitudes intermedias induce un giro al desviar hacia el este o hacia el oeste las partes de esa masa que ganen o pierdan latitud de forma parecida a como gira la bolita del ejemplo

del plano de movimiento considerando que se conoce la velocidad (aceleracioacuten)

para uno de esos puntos y la velocidad angular w del plano de movimiento pero

se desconoce la del otro punto Resumiendo si los puntos a los que se les

estudiaraacute el movimiento son los puntos A y B entonces suponiendo conocida la

velocidad (aceleracioacuten) del punto A y w la velocidad (aceleracioacuten) del punto B se

calcula con las ecuaciones (19) o (20) esto es

vB = vA + vBA = vA + wX rAB

aB = aA + aBA = aA + (aBA)n + (aBA)t = aA + w X (w X rAB) + a X rAB

242 SOLUCION EN EL PROBLEMA EN FORMA

En este problema usaremos conceptos del movimiento al utilizar la segunda Ley de Newton F = m a que se enuncia como sigue

Una partiacutecula sujeta a la accioacuten de una fuerza desequilibradota F experimenta una aceleracioacuten a que tiene la misma accioacuten que la fuerza y una magnitud que es directamente proporcional a la fuerza

Equilibrio dinaacutemico La ecuacioacuten del movimiento se puede expresar de la forma

F - m a = 0

Marco inercial de referencia Siempre que se aplique la ecuacioacuten del movimiento se requiere que las medida de la aceleracioacuten se hagan a partir de un marco de referencia newtoniano o inercial Tal sistema coordenado no gira y estaacute ya sea fijo o se traslada en una direccioacuten dada con velocidad constante ( aceleracioacuten cero ) Esta definicioacuten asegura que la aceleracioacuten de la partiacutecula medida en dos marcos de referencia inerciales siempre seraacute la misma

Ecuaciones de movimiento Si las fuerzas y m a pueden descomponerse directamente a partir de los diagramas de cuerpo libre y cineacutetico aplique las ecuaciones de movimiento en su forma de componentes escalares

Fraccioacuten Si l partiacutecula tiene contacto con una superficie rugosa puede ser necesario usar la ecuacioacuten de friccioacuten que relaciona el coeficiente de friccioacuten cineacutetica k con las magnitudes de las fuerzas de friccioacuten y normal Ff y N que actuacutean en las superficies de contacto es decir Ff = k N

Cinemaacutetica Se usan estas ecuaciones si no se puede obtener una solucioacuten completa a partir de la ecuacioacuten de movimiento En este aspecto si se va a hallar

la posicioacuten o la velocidad de la partiacutecula seraacute necesario aplicar las ecuaciones cinemaacuteticas adecuadas una vez que se determina la aceleracioacuten de la partiacutecula a partir de F = m a

DEFINICIOacuteN DEL PROBLEMA

DATOS

P = 50 N

m = 200 gr = 0200 Kg

k = 0025

W = mg = 1962 Kg

DIAGRAMA

TAREAS

Como la F = m a y del diagrama anterior tenemos

F = m ax sustituyendo nos resulta

P - WX - Fr = m ax helliphelliphellip ec 1

Pero como fr = k N y W = mg por lo tanto

F = m ay

Wy - N = m ay = 0 ec 2

Wy - N = 0 (se considera como cero ya que con respecto al eje Y no hay fuerzas)

Wy = N y como

Wy = W cos

Wx = W sen

Sustituyendo lo anterior en la ecuacioacuten 1

P - W sen - k W cos = m a

SOLUCIOacuteN COMPLETA

Sustituyendo los datos en la ecuacioacuten

P - W sen - k W cos = m a

50N - 1962 kg sen 25 - (0025) (196 kg cos 25) = 02 kg a

50 N - 196 kg (0442) - (0025) (1962 kg) (0906) = 02 kg a

50 N - 0829 - 0044 = 02 a

(49127 N) (02 kg) = a

a = 2456 m s2

243 MOVIMIENTO INSTANTANEO

En el movimiento plano de un cuerpo riacutegido se tiene el siguiente teoremaEn el movimiento plano de un cuerpo riacutegido siempre existe un punto de eacutel (o de una extensioacuten riacutegida de eacutel) que tiene velocidad instantaacutenea nula y en consecuencia el movimiento equivale a una pura rotacioacuten instantaacutenea del cuerpo en torno de ese punto Tal punto se conoce como centro instantaacuteneo de rotacioacuten

Demostracioacuten 1 Como

1048705vP = 1048705vA + 1048705ω times AminusrarrP

entonces si existe un punto A = I con velocidad nula debe ser

1048705vP = 1048705ω times IminusrarrP (94)

entonces 1048705vP es perpendicular a IminusrarrP o bien IminusrarrP estaacute sobre una recta en elplano de movimiento que es perpendicular a 1048705vP En consecuencia si se conocen las velocidades (no paralelas) de dos puntos de un cuerpo 1048705vA y 1048705vB el centro instantaacuteneo estaraacute donde se intersecten las perpendiculares a esas dos velocidades La excepcioacuten la constituyen los cuerpos que tienen traslaciones puras es decir cuando el cuerpo se traslada paralelamente y entonces 1048705ω =10487050

En estos casos se podriacutea decir que el centro instantaacuteneo estaacute en el infinitoLa posicioacuten del centro instantaacuteneo tambieacuten puede determinarse si se conoce una velocidad y la velocidad angular del cuerpo En efecto de (94) se puede despejar PminusrarrI para ello multiplique timesω1048705 y desarrolle

1048705vP times 1048705ω = (1048705ω times IminusrarrP) times ω1048705 = ω2IminusrarrP minus (IminusrarrP middot ω1048705) 1048705ω

pero (IminusrarrP middot ω1048705 ) = 0 porque son vectores perpendiculares Entonces si ω2 6= 0se deduce que

PminusrarrI = 1048705ω times1048705vP

ω2 (95

244 ACELERACION DE CORIOLIS

El efecto Coriolis hace que un objeto que se mueve sobre el radio de un disco en rotacioacuten tienda a acelerarse con respecto a ese disco seguacuten si el movimiento es hacia el eje de giro o alejaacutendose de eacuteste Por el mismo principio en el caso de una esfera en rotacioacuten el movimiento de un objeto sobre los meridianos tambieacuten presenta este efecto ya que dicho movimiento reduce o incrementa la distancia respecto al eje de giro de la esfera

Debido a que el objeto sufre una aceleracioacuten desde el punto de vista del observador en rotacioacuten es como si para eacuteste existiera una fuerza sobre el objeto que lo acelera A esta fuerza se la llama fuerza de Coriolis y no es una fuerza real en el sentido de que no hay nada que la produzca Se trata pues de una fuerza inercial o ficticia que se introduce para explicar desde el punto de vista del sistema en rotacioacuten la aceleracioacuten del cuerpo cuyo origen estaacute en realidad en el hecho de que el sistema de observacioacuten estaacute rotando

Un ejemplo canoacutenico de efecto Coriolis es el experimento imaginario en el que disparamos un proyectil desde el Ecuador en direccioacuten norte El cantildeoacuten estaacute girando con la tierra hacia el este y por tanto imprime al proyectil esa velocidad (ademaacutes de la velocidad hacia adelante al momento de la impulsioacuten) Al viajar el proyectil hacia el norte sobrevuela puntos de la tierra cuya velocidad liacuteneal hacia el este va disminuyendo con la latitud creciente La inercia del proyectil hacia el este hace que su velocidad angular aumente y que por tanto adelante a los puntos que sobrevuela Si el vuelo es suficientemente largo (ver caacutelculos al final del artiacuteculo) el proyectil caeraacute en un meridiano situado al este de aqueacutel desde el cual se disparoacute a pesar de que la direccioacuten del disparo fue exactamente hacia el norte Anaacutelogamente una masa de aire que se desplace hacia el este sobre el ecuador aumentaraacute su velocidad de giro con respecto al suelo en caso de que su latitud disminuya Finalmente el efecto Coriolis al actuar sobre masas de aire (o agua) en latitudes intermedias induce un giro al desviar hacia el este o hacia el oeste las partes de esa masa que ganen o pierdan latitud de forma parecida a como gira la bolita del ejemplo

la posicioacuten o la velocidad de la partiacutecula seraacute necesario aplicar las ecuaciones cinemaacuteticas adecuadas una vez que se determina la aceleracioacuten de la partiacutecula a partir de F = m a

DEFINICIOacuteN DEL PROBLEMA

DATOS

P = 50 N

m = 200 gr = 0200 Kg

k = 0025

W = mg = 1962 Kg

DIAGRAMA

TAREAS

Como la F = m a y del diagrama anterior tenemos

F = m ax sustituyendo nos resulta

P - WX - Fr = m ax helliphelliphellip ec 1

Pero como fr = k N y W = mg por lo tanto

F = m ay

Wy - N = m ay = 0 ec 2

Wy - N = 0 (se considera como cero ya que con respecto al eje Y no hay fuerzas)

Wy = N y como

Wy = W cos

Wx = W sen

Sustituyendo lo anterior en la ecuacioacuten 1

P - W sen - k W cos = m a

SOLUCIOacuteN COMPLETA

Sustituyendo los datos en la ecuacioacuten

P - W sen - k W cos = m a

50N - 1962 kg sen 25 - (0025) (196 kg cos 25) = 02 kg a

50 N - 196 kg (0442) - (0025) (1962 kg) (0906) = 02 kg a

50 N - 0829 - 0044 = 02 a

(49127 N) (02 kg) = a

a = 2456 m s2

243 MOVIMIENTO INSTANTANEO

En el movimiento plano de un cuerpo riacutegido se tiene el siguiente teoremaEn el movimiento plano de un cuerpo riacutegido siempre existe un punto de eacutel (o de una extensioacuten riacutegida de eacutel) que tiene velocidad instantaacutenea nula y en consecuencia el movimiento equivale a una pura rotacioacuten instantaacutenea del cuerpo en torno de ese punto Tal punto se conoce como centro instantaacuteneo de rotacioacuten

Demostracioacuten 1 Como

1048705vP = 1048705vA + 1048705ω times AminusrarrP

entonces si existe un punto A = I con velocidad nula debe ser

1048705vP = 1048705ω times IminusrarrP (94)

entonces 1048705vP es perpendicular a IminusrarrP o bien IminusrarrP estaacute sobre una recta en elplano de movimiento que es perpendicular a 1048705vP En consecuencia si se conocen las velocidades (no paralelas) de dos puntos de un cuerpo 1048705vA y 1048705vB el centro instantaacuteneo estaraacute donde se intersecten las perpendiculares a esas dos velocidades La excepcioacuten la constituyen los cuerpos que tienen traslaciones puras es decir cuando el cuerpo se traslada paralelamente y entonces 1048705ω =10487050

En estos casos se podriacutea decir que el centro instantaacuteneo estaacute en el infinitoLa posicioacuten del centro instantaacuteneo tambieacuten puede determinarse si se conoce una velocidad y la velocidad angular del cuerpo En efecto de (94) se puede despejar PminusrarrI para ello multiplique timesω1048705 y desarrolle

1048705vP times 1048705ω = (1048705ω times IminusrarrP) times ω1048705 = ω2IminusrarrP minus (IminusrarrP middot ω1048705) 1048705ω

pero (IminusrarrP middot ω1048705 ) = 0 porque son vectores perpendiculares Entonces si ω2 6= 0se deduce que

PminusrarrI = 1048705ω times1048705vP

ω2 (95

244 ACELERACION DE CORIOLIS

El efecto Coriolis hace que un objeto que se mueve sobre el radio de un disco en rotacioacuten tienda a acelerarse con respecto a ese disco seguacuten si el movimiento es hacia el eje de giro o alejaacutendose de eacuteste Por el mismo principio en el caso de una esfera en rotacioacuten el movimiento de un objeto sobre los meridianos tambieacuten presenta este efecto ya que dicho movimiento reduce o incrementa la distancia respecto al eje de giro de la esfera

Debido a que el objeto sufre una aceleracioacuten desde el punto de vista del observador en rotacioacuten es como si para eacuteste existiera una fuerza sobre el objeto que lo acelera A esta fuerza se la llama fuerza de Coriolis y no es una fuerza real en el sentido de que no hay nada que la produzca Se trata pues de una fuerza inercial o ficticia que se introduce para explicar desde el punto de vista del sistema en rotacioacuten la aceleracioacuten del cuerpo cuyo origen estaacute en realidad en el hecho de que el sistema de observacioacuten estaacute rotando

Un ejemplo canoacutenico de efecto Coriolis es el experimento imaginario en el que disparamos un proyectil desde el Ecuador en direccioacuten norte El cantildeoacuten estaacute girando con la tierra hacia el este y por tanto imprime al proyectil esa velocidad (ademaacutes de la velocidad hacia adelante al momento de la impulsioacuten) Al viajar el proyectil hacia el norte sobrevuela puntos de la tierra cuya velocidad liacuteneal hacia el este va disminuyendo con la latitud creciente La inercia del proyectil hacia el este hace que su velocidad angular aumente y que por tanto adelante a los puntos que sobrevuela Si el vuelo es suficientemente largo (ver caacutelculos al final del artiacuteculo) el proyectil caeraacute en un meridiano situado al este de aqueacutel desde el cual se disparoacute a pesar de que la direccioacuten del disparo fue exactamente hacia el norte Anaacutelogamente una masa de aire que se desplace hacia el este sobre el ecuador aumentaraacute su velocidad de giro con respecto al suelo en caso de que su latitud disminuya Finalmente el efecto Coriolis al actuar sobre masas de aire (o agua) en latitudes intermedias induce un giro al desviar hacia el este o hacia el oeste las partes de esa masa que ganen o pierdan latitud de forma parecida a como gira la bolita del ejemplo

Sustituyendo los datos en la ecuacioacuten

P - W sen - k W cos = m a

50N - 1962 kg sen 25 - (0025) (196 kg cos 25) = 02 kg a

50 N - 196 kg (0442) - (0025) (1962 kg) (0906) = 02 kg a

50 N - 0829 - 0044 = 02 a

(49127 N) (02 kg) = a

a = 2456 m s2

243 MOVIMIENTO INSTANTANEO

En el movimiento plano de un cuerpo riacutegido se tiene el siguiente teoremaEn el movimiento plano de un cuerpo riacutegido siempre existe un punto de eacutel (o de una extensioacuten riacutegida de eacutel) que tiene velocidad instantaacutenea nula y en consecuencia el movimiento equivale a una pura rotacioacuten instantaacutenea del cuerpo en torno de ese punto Tal punto se conoce como centro instantaacuteneo de rotacioacuten

Demostracioacuten 1 Como

1048705vP = 1048705vA + 1048705ω times AminusrarrP

entonces si existe un punto A = I con velocidad nula debe ser

1048705vP = 1048705ω times IminusrarrP (94)

entonces 1048705vP es perpendicular a IminusrarrP o bien IminusrarrP estaacute sobre una recta en elplano de movimiento que es perpendicular a 1048705vP En consecuencia si se conocen las velocidades (no paralelas) de dos puntos de un cuerpo 1048705vA y 1048705vB el centro instantaacuteneo estaraacute donde se intersecten las perpendiculares a esas dos velocidades La excepcioacuten la constituyen los cuerpos que tienen traslaciones puras es decir cuando el cuerpo se traslada paralelamente y entonces 1048705ω =10487050

En estos casos se podriacutea decir que el centro instantaacuteneo estaacute en el infinitoLa posicioacuten del centro instantaacuteneo tambieacuten puede determinarse si se conoce una velocidad y la velocidad angular del cuerpo En efecto de (94) se puede despejar PminusrarrI para ello multiplique timesω1048705 y desarrolle

1048705vP times 1048705ω = (1048705ω times IminusrarrP) times ω1048705 = ω2IminusrarrP minus (IminusrarrP middot ω1048705) 1048705ω

pero (IminusrarrP middot ω1048705 ) = 0 porque son vectores perpendiculares Entonces si ω2 6= 0se deduce que

PminusrarrI = 1048705ω times1048705vP

ω2 (95

244 ACELERACION DE CORIOLIS

El efecto Coriolis hace que un objeto que se mueve sobre el radio de un disco en rotacioacuten tienda a acelerarse con respecto a ese disco seguacuten si el movimiento es hacia el eje de giro o alejaacutendose de eacuteste Por el mismo principio en el caso de una esfera en rotacioacuten el movimiento de un objeto sobre los meridianos tambieacuten presenta este efecto ya que dicho movimiento reduce o incrementa la distancia respecto al eje de giro de la esfera

Debido a que el objeto sufre una aceleracioacuten desde el punto de vista del observador en rotacioacuten es como si para eacuteste existiera una fuerza sobre el objeto que lo acelera A esta fuerza se la llama fuerza de Coriolis y no es una fuerza real en el sentido de que no hay nada que la produzca Se trata pues de una fuerza inercial o ficticia que se introduce para explicar desde el punto de vista del sistema en rotacioacuten la aceleracioacuten del cuerpo cuyo origen estaacute en realidad en el hecho de que el sistema de observacioacuten estaacute rotando

Un ejemplo canoacutenico de efecto Coriolis es el experimento imaginario en el que disparamos un proyectil desde el Ecuador en direccioacuten norte El cantildeoacuten estaacute girando con la tierra hacia el este y por tanto imprime al proyectil esa velocidad (ademaacutes de la velocidad hacia adelante al momento de la impulsioacuten) Al viajar el proyectil hacia el norte sobrevuela puntos de la tierra cuya velocidad liacuteneal hacia el este va disminuyendo con la latitud creciente La inercia del proyectil hacia el este hace que su velocidad angular aumente y que por tanto adelante a los puntos que sobrevuela Si el vuelo es suficientemente largo (ver caacutelculos al final del artiacuteculo) el proyectil caeraacute en un meridiano situado al este de aqueacutel desde el cual se disparoacute a pesar de que la direccioacuten del disparo fue exactamente hacia el norte Anaacutelogamente una masa de aire que se desplace hacia el este sobre el ecuador aumentaraacute su velocidad de giro con respecto al suelo en caso de que su latitud disminuya Finalmente el efecto Coriolis al actuar sobre masas de aire (o agua) en latitudes intermedias induce un giro al desviar hacia el este o hacia el oeste las partes de esa masa que ganen o pierdan latitud de forma parecida a como gira la bolita del ejemplo

pero (IminusrarrP middot ω1048705 ) = 0 porque son vectores perpendiculares Entonces si ω2 6= 0se deduce que

PminusrarrI = 1048705ω times1048705vP

ω2 (95

244 ACELERACION DE CORIOLIS

El efecto Coriolis hace que un objeto que se mueve sobre el radio de un disco en rotacioacuten tienda a acelerarse con respecto a ese disco seguacuten si el movimiento es hacia el eje de giro o alejaacutendose de eacuteste Por el mismo principio en el caso de una esfera en rotacioacuten el movimiento de un objeto sobre los meridianos tambieacuten presenta este efecto ya que dicho movimiento reduce o incrementa la distancia respecto al eje de giro de la esfera

Debido a que el objeto sufre una aceleracioacuten desde el punto de vista del observador en rotacioacuten es como si para eacuteste existiera una fuerza sobre el objeto que lo acelera A esta fuerza se la llama fuerza de Coriolis y no es una fuerza real en el sentido de que no hay nada que la produzca Se trata pues de una fuerza inercial o ficticia que se introduce para explicar desde el punto de vista del sistema en rotacioacuten la aceleracioacuten del cuerpo cuyo origen estaacute en realidad en el hecho de que el sistema de observacioacuten estaacute rotando

Un ejemplo canoacutenico de efecto Coriolis es el experimento imaginario en el que disparamos un proyectil desde el Ecuador en direccioacuten norte El cantildeoacuten estaacute girando con la tierra hacia el este y por tanto imprime al proyectil esa velocidad (ademaacutes de la velocidad hacia adelante al momento de la impulsioacuten) Al viajar el proyectil hacia el norte sobrevuela puntos de la tierra cuya velocidad liacuteneal hacia el este va disminuyendo con la latitud creciente La inercia del proyectil hacia el este hace que su velocidad angular aumente y que por tanto adelante a los puntos que sobrevuela Si el vuelo es suficientemente largo (ver caacutelculos al final del artiacuteculo) el proyectil caeraacute en un meridiano situado al este de aqueacutel desde el cual se disparoacute a pesar de que la direccioacuten del disparo fue exactamente hacia el norte Anaacutelogamente una masa de aire que se desplace hacia el este sobre el ecuador aumentaraacute su velocidad de giro con respecto al suelo en caso de que su latitud disminuya Finalmente el efecto Coriolis al actuar sobre masas de aire (o agua) en latitudes intermedias induce un giro al desviar hacia el este o hacia el oeste las partes de esa masa que ganen o pierdan latitud de forma parecida a como gira la bolita del ejemplo