SESION08EQUILIBRIO DE UN CUERPO RGIDOLasfuerzasexternasactuandosobreunslidorgidopuedenreducirseaunsistema fuerza par en un punto arbitrario. Cuando la fuerza y el par son ambos igualesa cero, las fuerzas externas forman un sistema equivalente nulo y se dice que el slidorgido esta en equilibrio.Porconsiguiente,lascondicionesnecesariasysuficientesparaelequilibriodeunslidorgidopuedenobtenersehaciendo R y MORigualesacero enlassiguientesecuaciones:Descomponiendocadafuerzaycadamomentoensuscomponentesrectangulares,podemosexpresarlascondicionesnecesariasysuficientesparaqueelequilibrio de un slido rgido por medio de sus seis ecuaciones escalares siguientes: Ecuac (1) Ecuac(2)Las ecuaciones obtenidas pueden usarse para determinar fuerzas desconocidasaplicadasenunslidorgidooalasreaccionesdesconocidasqueejercensobreste,susapoyos.Notamosquelasecuaciones(1)expresanelhechodequelascomponentes de las fuerzas externas en las direcciones X, Y y Z; se compensan entre s;lasecuaciones(2)indicanqueloscomponentesdelosmomentosdelasfuerzasexternas con respecto a ese sistema se compensan. Por consiguiente, el sistema de las= = 0 F Rr r( ) 0 = = F r MOrrr= 0xF= 0yF= 0zF= 00xM= 00yM= 00zMfuerzasexternasnoimprimirniunmovimientodetraslacinniderotacinalslidorgido considerado.Paraescribirlasecuacionesdeequilibriodeunslidorgido,esesencialidentificarprimerocorrectamentetodas lasfuerzasqueactansobreelytrazareldiagrama de slido libre correspondiente. Enelpresentetrabajoexaminaremosprimeroelequilibriode estructurasbidimensionalessometidasafuerzascontenidasensusplanosyaprenderemosatrazarsusdiagramasdeslidoslibres.Ademsdelasfuerzasaplicadasalasestructuras,consideremoslas reaccionesejercidasporlosapoyossobrelaestructura. Aprenderemosaasociaruntipodereaccinacadatipodeapoyoyadeterminarcuandolaestructuraestaapoyadaadecuadamente,demaneraquepodamos saber de ante mano si las ecuaciones de equilibrio pueden resolverse y, porlo tanto, se pueden obtener las fuerzas y reacciones desconocidas.Masadelanteconsideramoselequilibriodeestructurastridimensionalesylassometeremos a la misma clase de anlisis contabilizando los efectos de sus apoyos.Diagrama de slido librePararesolverunproblemarelativoalequilibriodeunslidorgido,habrquetenerencuentatodaslasfuerzasqueactansobreelslido,tambinesimportanteexcluircualquierfuerzaquenoseapliquedirectamentesobreelslido.Laomisindeunafuerzaolaconsideracindeunafuerzaextraaalaestructuraafectaran las condiciones de equilibrio.Porconsiguiente,elprimerpasoenlasolucindelproblemaconsistirendibujareldiagramadeslidolibredelslidorgidoenconsideracin.DIAGRAMA DE CUERPO LIBRERecomendaciones:1. Sedebetomarunadecisinclaraenrelacinconlaseleccindelcuerpolibrequeserutilizado.Despussedebesepararalcuerpodelsueloydetodoslosdems cuerpos. As, se realiza un esquema del contorno del cuerpo ya aislado.2. Todas las fuerzas externas deben indicarse en el diagrama de cuerpo libre. Estasfuerzasrepresentanlasaccionesejercidassobreelcuerpolibreporelsueloypor los cuerpos que han sido separados del mismo; estas fuerzas debe aplicarseen los diversos puntos sobre los que el cuerpo libre estaba apoyado en el suelooestabaconectadoaotroscuerpos.Tambinsedebeincluirentrelasfuerzasexternaselpesodelcuerpolibre,puestoquerepresentalaatraccinejercidaporlaTierrasobrelasdistintaspartculasqueloconstituyen.Elpesodebeaplicarseenelcentrodegravedaddelcuerpo.Cuandoelcuerpolibreestconstituido por varias partes, las fuerzas que aquellas ejercen entre s no debenincluirseentrelasfuerzasexternas;sonfuerzasinternassiemprequeseconsidere completo al cuerpo libre.3. Lasmagnitudesylasdireccionesdelasfuerzasexternasquesonconocidasdebensealarseclaramenteeneldiagramadecuerpolibre.Cuandoseindiquenlasdireccionesdedichasfuerzas,sedeberecordarquestassonlasejercidassobre,ynopor,elcuerpolibre.Porlogeneral,lasfuerzasexternasconocidasincluyenelpesodelcuerpolibreylasfuerzasaplicadasconunpropsito en particular.4. Usualmente,lasfuerzasexternasdesconocidasconsistenenlasreaccionesatravsdelascualeselsueloyotroscuerposseoponenaunposiblemovimientodelcuerpolibre.Lasreaccionesloobliganapermanecerenlamisma posicin y, por esta razn, algunas veces reciben el nombrede fuerzasderestriccin.Lasreaccionesseejercenenlospuntosdondeelcuerpolibreest apoyado o conectado a otros cuerpos y deben indicarse con claridad.5. El diagrama de cuerpolibre tambin debe incluir dimensiones puesto que stassepuedennecesitarparaelclculodemomentosdefuerzas. Sinembargo,cualquier otro detalle debe omitirse.Reacciones en los apoyos y uniones de una estructurabidimensionalEnlaprimerapartedeestasesinconsideraremoselequilibriodeunaestructurabidimensional,esdecir,supondremosquelaestructuraconsideradaylasfuerzasaplicadasestncontenidasenelplanodelafigura.Naturalmentelasreaccionesnecesariasparamantenerlaestructuraenequilibriotambinestarnincluidas en el plano de la figura.Lasreaccionesejercidassobreunaestructurabidimensionalpuedendividirseen tres grupos, correspondientes a tres tipos de apoyo o de uniones:1.-Reaccionesequivalentesaunafuerzadedireccinconocida.Algunosapoyosyuniones que causan reacciones de este grupo son:Rodillos, balancines, superficieslisas, cablesybielas, deslizaderasypasadores.Cada uno de estosapoyosy conexionespueden impedirelmovimiento de una soladireccin.Juntoconlasreaccionesqueseproducen.Enlasreaccionesdeestepuntohayunasolaincgnita,asaber,elmodulodelareaccin;estamagnituddeberepresentarseconunaletraapropiada.Lalneadeaccindelareaccinseconoceydebe indicarse en forma clara en el diagrama del slido libre. El sentido de la reaccindebe ser como se seala en la figura correspondiente en el caso de una superficie lisa(Alejndosedelasuperficie)odeuncable(tensinenladireccindelcable).Lareaccin puede tener cualquiera de los dos sentidos en el caso de rodillos, deslizaderasypasadores.Sesuponequelosrodillosylosbalancinessonreversiblesy,porconsiguiente, las reacciones se pueden en uno u otro sentido.Fuerza con recta soporte conocida.BalancinesSuperficieLisaRodillosFuerza con recta soporte conocida.Fuerza con recta soporte conocida.CableBielaDeslizaderaPasador en ranura lisa2.-Reaccionesequivalentesa unafuerza dedireccindesconocida. Entre los apoyos yconexiones que producen reacciones de este grupo se encuentran:Articulacionesysuperficiesrugosas.Estaspuedenimpedirelmovimientodetraslacindelslidoencualquierdireccinperonopuedenimpedirelgiroalrededordelaunin.Enlasreaccionesdeestegrupointervienendosincgnitasqueserepresentan por las componentes x e y de la reaccin. En el caso de una superficierugosa,lacomponentenormalalasuperficiedebedirigirsesiemprehaciafueradeella.Fuerza de direccin desconocida.3.- Reaccionesequivalentesaunafuerzayaunpar.Estasreaccionessonproducidaspor empotramientos que impiden cualquier movimiento del slido inmovilizndolo porcompleto.Enrealidad,losempotramientosproducenfuerzasalolargosetodalasuperficiede contacto, pero estas fuerzasforman un sistemaque se pueden reducir aunafuerzayaunpar.Enlareaccionesdeestegrupointervienentresincgnitasqueson las dos componentes de las fuerzasy el momento del par.Cuandonoestaclaroelsentidodeunafuerzaodeunpardesconocidonosedebeintentarsudeterminacin.Elsentidodelafuerzaodelparsepuedesuponerarbitrariamente; el signo en la solucin indicara si la suposicin fue correcta o no.Fuerza y parArticulacinSuperficie rugosaEmpotramiento CUADRORESUMENEquilibrio de un slido rgido en dos dimensionesLas condiciones establecidas para el equilibrio de un slido rgido se simplificanconsiderablemente en el caso de una estructura bidimensional. Escogiendo los ejes xe y en el plano de la estructura tenemos:Paracadaunadelasfuerzasaplicadasalaestructura.Entonces,lasseisecuaciones de equilibrio derivadas se reducen a las siguientes ecuacionesEcuac(3)Yatresidentidadestriviales0=0.Puestoquelaterceradelasecuaciones(3)debesatisfacerseindependientementedelaeleccindelpuntoO,podemosescribirlas ecuaciones de equilibrio para una estructura bidimensional enforma mas general:Ecuac (4)Donde A es cualquier punto en el plano dela estructura.Lastresecuacionesobtenidasnopuedencontenermsdetresincgnitasparaqueelsistemasearesoluble.Vimosanteriormentequelasfuerzasdesconocidasusualmenteconsistenenreaccionesyqueelnmerodeincgnitascorrespondientesaunareaccindadadepende del tipo de apoyo o unin que causa esa reaccin.Consideremos,porejemplolaestructuraarticuladaenlasiguientefigura, sometidas a las fuerzas P, Q y S.Laestructuraarticuladasesostienepor medio de una articulacin en A yunrodilloenB.LaarticulacinimpidequeelpuntoAsemuevaejerciendosobrelaestructuraunafuerzaquesepuededescomponerenlas componentes Axy Ay;elrodilloevita que la estructura gireejerciendo una fuerza verticalB.0 =zF 0 = =y xM MO ZM M=0 =xF 0 =yF= 0OM0 =xF 0 =yF= 0AMEnlafigurasemuestraeldiagramadelslidolibredelaestructura,queincluyelasreacciones Ax, Ay y B, as como la fuerzas aplicadas P, Q, S y el peso W de la estructura.Paraexpresarquelasumadelosmomentosdetodaslasfuerzasmostradasenlafigura con respecto a A es cero, escribimos la ecuacin:De la cual puede obtenerse el modulo B, ya que la ecuacinplantada no contiene ni aAx ni Ay. Como la suma de las componentes x y de las componentes y de las fuerzasson cero, escribimos las ecuacionesyY de ellas podemos obtener Ax y Ayrespectivamente.PodramosestablecerecuacionesadicionalesexpresandoquelassumasdelosmomentosdelasfuerzasexternasconrespectoapuntosdiferentesdeAescero.Escribiramos por ejemplo,Sinembargoestaexpresinnocontieneningunainformacinadicionaldebidoaqueyasehaestablecidoqueelsistemadefuerzasdelafigura(b)esequivalenteaunsistemanulo.Demaneraquelaecuacinadicionalnoesindependienteynopuedeusarseparadeterminarunacuartaincgnita,peroserdeutilidadparacomprobarlasolucinobtenidadelastresecuacionesdeequilibrio originales.Aunquenosepuedaaumentarelnmerodeecuacionesdeequilibrio,cualquieradeellaspuedeserreemplazadaporotra;porconsiguiente,unsistemaequivalentedeecuaciones de equilibrio es: Ecuac (5)DondelalneaABsetomaendireccindiferentealadireccindey.Estasecuacionessoncondicionessuficientesparaelequilibriodelaestructura.LasdosprimerasecuacionesindicanquelasfuerzasexternasdebenreducirseaunasolaverticalenA.Comolaterceraecuacinrequierequeelmomentodeestafuerzasea0 =xF 0 =yF= 0BM0 =xF= 0AM= 0BM= 0AMceroconrespectoaunpuntoBquenoesteensulneadeaccin,lafuerzadebesercero y el slido rgido estar en equilibrio.Un tercer grupo de ecuaciones de equilibrio son: Ecuac (6)Donde los puntos A, B y C no estn alineados la primera ecuacin requiere quelasfuerzasexternassereduzcanaunasolafuerzaenA;lasegundaecuacinimponeque esta fuerzapase por B;la tercera exige quepase por C; como lospuntosA, B y Cno estn alineados, la fuerza debe ser cero y el slido rgido esta en equilibrio.La ecuacin de , que expresa que la suma de los momentos de lasfuerzasconrespectoalpuntoAescero,poseeunsignificadofsicomasdefinidoquecualquieradelasotrasdosEcuac(6).Estasdosltimasexpresanunaideasemejantede equilibrio,pero con respecto a puntos alrededorde los cuales elslido rgido noestarealmentearticulado.Sinembargo,sontantilescomolaprimeraecuacinylaeleccindeecuacionesdeequilibrionodebenestarinfluenciadasindebidamenteporel significado fsico de las ecuaciones.Esciertoqueenlaprcticaesaconsejableseleccionarecuacionesdeequilibrioquetengan una sola incgnita, ya que as se elimina la necesidadde resolver un sistema deecuaciones. Ecuaciones que contengan una sola incgnita se pueden obtener sumandolosmomentoscon respecto alpunto deinterseccin delarectasdeaccin dedosfuerzasdesconocidas,osisonparalelas,sumandolascomponentesenunadireccinperpendicular a su direccin comn.Por ejemplo, en el caso de la armadura de la figuraque es sostenida por rodillos en A y en B y uneslabncorto en D, las reacciones en Ay en Bpueden eliminarse sumando los componentes x.Lasreacciones enAy en D se eliminarn al sumar losmomentos con respecto a C y las reacciones en B y Dal sumar momentos con respecto a D.Lasecuaciones obtenidas sonSFx=0 SMC =0 SMD=0Cada una de estas ecuaciones tiene una solaincgnita.= 0AM= 0BM= 0CM= 0AMREACCIONESESTTICAMENTEINDETERMINADAS.-CONSTRICCIONES PARCIALES.En los dos ejemplos considerados en la seccin anterior,intervienen tres incgnitas enlasreaccionesquedebandeterminarse;lasincgnitassecalcularonresolviendolastresecuacionesdeequilibrio.Ademslostiposdeapoyofuerontalesqueelcuerporgidonopodamoversebajolaaccindelascargasdadasobajocualquieraotrascondicionesdecarga.Entalescasossedicequelasreaccionessonestticamentedeterminadasyqueelcuerporgidoestcompletamenteinmovilizado,oquehayconstriccin total.Consideremos ahora la armadura mostrada en la figura(a)sostenida por pasadores lisos en A y en B. Notamosen el diagrama de cuerpo libre dela figura (b), que lasreacciones implican cuatro incgnitas.Como se seal en el apartado anteriorslo disponemosdetresecuacionesindependientesdeequilibrio,entonceshaymsincgnitasqueecuacionesynosepuedendeterminarlasincgnitas.AunquelasecuacionesSMA = 0 y SMB=0 danlas componentes verticalesByyAy,respectivamente,laecuacin SFx=0dasolamentelasumaAx+Bxdelascomponenteshorizontales de las reacciones en A y en B. Se dice quelascomponentesAxyBxson estticamenteindeterminadas. AxyBxpodrandeterminarseconsiderandolasdeformacionesproducidas en lasarmadura por la carga, pero estemtodoest fuera del alcance de la estticay perteneceal estudio de la resistenciademateriales.Losapoyosusadosparasostenerlaarmaduradelafigura(a)sonrodillosenAyenB.Lasreaccionescorrespondientesmostradasenlafigura(b)encierrandosincgnitas.Comodebensatisfacersetrescondicionesdeequilibrio,hayunnmeromenordeincgnitasquedeecuaciones;portantonosecumplirunadelasecuacionesdeequilibrio.Aunqueconunaseleccinapropiada de las reaccionesen A y B cumplirla ecuacinse puede satisfacer las ecuaciones SMA =0y SMB = 0 , no se puede cumplirla ecuacin SFx =0, ano ser que la sumade las componentes horizontalesdelas fuerzas aplicadas sea cero.Elsignificado fsico deesteresultadoesclaro:nosepuedemantenerelequilibriobajocondicionesgeneralesdecarga;aunquese impidecualquier movimiento vertical, la armadurasepuedemoverhorizontalmente.Sedicequelaarmaduraestparcialmenteinmovilizadaoquepresenta una constriccin parcial.De lo anterior se concluyeque si un cuerpo rgido est completamente inmovilizado constriccin total -y si las reacciones en los apoyosson estticamenteDeterminadas, entonces debe hacer tantas incgnitas como ecuacionesde equilibrio. Sinembargo,debemosnotarqueaunquenecesaria,esta condicinno es suficiente.Sin embargo debemosnotarqueaunquenecesaria,estacondicinnoessuficiente.Consideremosporejemplolaarmaduramostradaen la figura(a)apoyadasobre rodillos en A,By E. Aunque hay tres reacciones desconocidas, A, By E(figurab),encontramosquenosesatisfacelaecuacin SFx=0anoserquelasumadelascomponenteshorizontalesseacero,Hayunnmerosuficientedeconstricciones,peronosonlasapropiadas;decimosentoncesquelaarmadurapresenteconstriccinimpropia.Comosloquedandosecuacionesdeequilibrioparacalcularlastresincgnitas, las reaccionessernestticamenteindeterminadas.Entonces,lasconstriccionesimpropiasimplican indeterminacinesttica.Otroejemplodeconstriccionesimpropiasydelaconsiguienteindeterminacinesttica-eselmostradoenlafigura.UnpasadorlisoenAyrodillosenByCsoportanlaarmadura,queenconjuntopresentacuatroincgnitas.Escogiendolasecuaciones deequilibrio SMA=0, SFx =0 y SFy =0, encontramosque la primeraecuacin no se puede satisfacerbajo condicionesgenerales de carga, en tanto que lasotrasdosdanslolassumasAx+ByAy+C.Losejemplosde las figuras nos permiten concluir que en uncuerporgidohayconstriccinimpropiasiemprequelosapoyos,aunqueellospuedanproporcionarsuficientenmerodereacciones,estndistribuidosentalformaque las reacciones sean concurrentes o paralelas.Enel diseodeestructurassedebernutilizar,concuidado,apoyosenlosqueintervenganreaccionesestticamenteindeterminadasyemplearsesolamentecuandosetengaconocimientocompletodetodoslosproblemasquepuedancausar.Porotraparte,elanlisisdeestructurasquepresenten reaccionesestticamenteindeterminadassepuedehacerparcialmenteporlosmtodos de la esttica.Porrazonesobvias,eneldiseodeestructurasestacionariassedebenevitarlosapoyosque produzcan constricciones parcialeso impropias.No necesariamenteunaestructura con constriccionesparciales o impropiasdebe fallar, el equilibriose puedemantenerbajo condicionesparticulares de carga.Equilibrio de un slido sometido a dos fuerzas:Uncasoparticulardelequilibrioqueesinteresante es el de un slido rgido sometido a la accindedos fuerzas. Demostraremos que si un slido sujeto adosfuerzassehallaenequilibrio,lasdosfuerzasdebentenerelmismomodulo,lamismalneadeaccinysentidos opuestos.Consideremosunaplacaenngulosometidaados fuerzas F1 y F2 que actan en Ay B respectivamente(ver fig a.-adjunta). Si la placa esta en equilibrio, la sumadelosmomentosde F1y F2conrespectoacualquierpuntodebesercero.Primerosumamoslosmomentoscon respecto aA:Como elmomento de F1escero,elmomentode F2debetambinserceroylalneadeaccindebepasarporA(figb.-).SumandolosmomentosconrespectoaBdemostraremos,enformasimilar, que la lnea de accin de F1 debe pasar por B (figc.-).Ambasfuerzastienen lamismalneadeaccin (lalnea AB). De la ecuacin SFx = 0 o SFy =0, se deducequedebentenerelmismomoduloperodesentidoopuesto.SivariasfuerzasactanendospuntosAyB,lasfuerzasqueseejercenenApueden reemplazarse por su resultante F1 y las actan en B por su resultante F2. As, unslido sometido a dos fuerzas puede definirse de manera ms general como un slidorgidosometidoafuerzasqueactanendospuntos.Lasresultantes F1y F2deben tener la misma lnea de accin, el mismo modulo y sentido opuesto.Ennuestroestudiodeestructurasentramadosymquinasveremosquelaidentificacin de un slido sujeto a dosfuerzas nos permitir simplificar la solucin deciertos problemas.0 =xFEquilibrio de un slido sometido a tres fuerzas:Otrocasoimportantedeequilibrioesdeunslidosometidoatresfuerzas,esdecir, un slido rgido sometido a la accin de tres fuerzas o, en forma ms general, unslido rgido sometido a fuerzas que actan entre tres puntos. Consideremos un slidorgido a un sistema de fuerzas que pueden reducirse a tres fuerzas F1, F2 y F3 actuandoen los puntos A, B y C respectivamente (fig a.-). Demostraremos que si el slido esta enequilibrio, la lnea de accin de las tres fuerzas deben ser concurrentes y paralelas.Como el slido rgido se halla en equilibrio, la suma de los momentos F1, F2 y F3con respecto a cualquier punto debeser cero. Suponiendo quelas lneas deaccin deF1y F2secortanyrepresentandosupuntodeinterseccinporD,sumamoslosmomentos con respecto a D (fig b.-); ya que los momentos de F1 y F2 con respecto a Dsoncero,elmomentode F3conrespectoaD debesertambinceroylalneadeaccinde F3debe pasarporD(fig c.-).Las tres lneas de accin son concurrentes.Laexcepcin ocurrecuando ningunadelaslneassecorta;en estecaso laslneasdeaccin son paralelas.EJEMPLO 01Traceeldiagramadecuerpolibredelavigauniformemostradaenlafigura(a).Lavigatiene una masa de 100 kg.SolucinEl diagrama de cuerpo libre de la viga semuestraenlafigura(b).Comoelsoporte en A es una pared fija, hay tresreaccionesactuandosobrelavigaenA,identificadascomoAx,Ayy MA,trazadasendireccinarbitraria.Lasmagnitudesdeesosvectoressondesconocidasy sussentido han sidosupuestos.Elpeso de la viga,W = 100(9.81)=981N,actaatravsdelcentro de gravedad G de la viga,queesta3 mde A, ya que la viga es uniforme.EJEMPLO 02Traceeldiagramadecuerpolibredelaplataformadescargadaqueestsuspendidadelbordedelatorrepetroleramostradaenlafigura(a).Laplataforma tiene una masa de 200 kg.SolucinElmodelo idealizado de la plataforma ser considerado endosdimensionesyaque,porobservacin,lacargaylasdimensionessontodassimtricasconrespectoaunplanoverticalque pasa por su centro, figura(b).Aqu se suponequelaconexinenAesunpasadoryqueelcablesoportalaplataformaenB.Ladireccindelcableylasdimensiones promedio de la plataformaestn indicadas, yel centro de gravedad Gha sido determinado.Es apartirdeestemodeloquedebemosprocederadibujareldiagramadecuerpolibre,elcualsemuestra en la figura (c).El peso de la plataforma esde200(9.81)=1962N.Lascomponentesdefuerza AxyAyjuntoconlafuerzadelcable Trepresentanlas reacciones que ambos pasadoresyamboscablesejercensobrelaplataforma,figura(a).Enconsecuencia,lamitaddelamagnituddeesasreaccionesesdesarrolladaen A ylamitad esdesarrollada en B.EJEMPLO 03Determinelascomponenteshorizontalyvertical de reaccin en la viga cargada como semuestra en la figura(a).En los clculos ignoreel peso de la viga.Solucin :Diagramadecuerpolibre:Puedeusted identificar cada unade lasfuerzasmostradaseneldiagramadecuerpolibrede la viga, figura (b)? Por sencillez,lafuerzade600Nestrepresentadamediantesuscomponentesxyycomosemuestra.Tambin,observeque una fuerza de200 N acta sobrelavigaenByesindependientedelascomponentesdefuerza Bxy By,lascuales representan el efecto del pasador sobre la viga.Ecuaciones de equilibrio:Sumando fuerzas en la direccinx obtenemos:SFx =0; 600 cos 45 N Bx = 0Bx =424 N Resp.UnasolucindirectaparaAysepuedeobteneraplicandolaecuacindemomentosSMB=0conrespectoalpuntoB.Paraelclculo,debeserevidentequetodaslasfuerzas de 200 N, Bxy BygeneranunmomentoceroconrespectoaB.Suponiendoque la rotacinen sentido contrario al de las manecillas del relojcon respecto a B espositiva(en la direccin +k), figura(b)tenemos :SMB = 0; 100 N(2 m) + (600 sen 45 N) (5 m)- (600 cos 45 N) (0.2 m) Ay (7 m) = 0Ay =319 N Resp.Sumando fuerzas en la direccin y,y usando este resultado, obtenemos:SFy = 0; 319 N 600 sen 45 N 100 N 200 N + By = 0By =405 N Resp.Podemos verificar este resultadosumando momentos con respecto al punto A.SMA = 0; - (600 sen 45 N) (2m) (600 cos 45 N) (0.2 m)- (100 N) (5m) (200 N) (7 m) + By (7 m) = 0By =405 N Resp.EJEMPLO 04Elvaciadodelconcretodesdeelcaminselograusandoelductomostradoenlasfotografas,figura(a).Determinelafuerzaqueelcilindrohidrulicoyelbastidordelcaminejercesobreelductoparamantenerloenlaposicinmostrada.Elductoyelconcretohmedocontenidoalolargodesulongitudtienenunpeso uniforme de35 lb/pie.Solucin :El modelo idealizado del ducto se muestra en la figura (b).Aqu las dimensiones estndadas,ysesuponequeelductoestconectadoalbastidormedianteunpasadorubicado en Ay que el cilindro hidrulicoBC actacomo un eslabncorto.Diagramadecuerpolibre:Comoelductotienelongitudde16pies,elpesototalsoportado es de (35 lb/pie) (16 pies) = 560 lb,lo cual se suponeest actuando en supunto medio, G.El cilindro hidrulicoejerce una fuerzahorizontal FBCsobre el ducto,figura (c). Ecuacionesdeequilibrio: Esposibleencontrarunasolucindirectapara FBCsumandomomentosconrespectoalpasadorubicadoenA.Parahacerestousaremoselprincipio demomentosyresolveremoselpesoencomponentesparalelay perpendicular al ducto.Tenemos:SMA = 0;- FBC (2 pies) + 560 cos 30 lb (8 pies) + 560 sen 30 lb (0.25 pies) = 0FBC=1975 lb Resp.Al sumar fuerzas para obtenerAxy Ay resulta:SFx = 0; - Ax + 1975 lb = 0 Ax = 1975 lb Resp.SFy = 0; Ay 560 lb =0Ay =560 lb Resp.Para verificar esta solucin podemos sumar momentos con respecto al punto B.SFx = 0; -Ax + 1975 lb = 0Ax = 1975 lb Resp.SFy = 0; Ay 560 lb = 0Ay = 560 lb Resp.Para verificar est solucin podemos sumar momentos con respecto punto B.SMB = 0; - 1975 lb(2 pies) +560 lb (4 cos30o pies)+560 cos 30 lb (4pies) + 560 sen 30 lb (0.25 pies) = 0EJEMPLO 05La palanca ABCest articulada en Ay conectada a uneslabncorto BD,como se muestraen la figura (a).Si el peso delmiembroes insignificante, determine lafuerzadelpasadordelaarticulacinsobrelapalancaen A.SolucinDiagrama de cuerpo libre: Como se ve en el diagramade cuerpo libre, figura (b), eleslabn corto BD es unmiembrodedosfuerzasporloquelasfuerzasresultantesen los pasadoresD y B deben ser iguales,opuestasycolineales.Aunquelamagnituddelafuerza es una incgnita, la lnea de accin es conocidaya que pasa por B y D.PalancaABCesunmiembrodetresfuerzas,portanto,parasatisfacerelequilibriopormomentos,lastresfuerzasnoparalelasqueactansobrelapalancadeben ser concurrentes en O, figura (c).En particular,observe que la fuerzaF sobre la palancasituada en Bes igualpero opuesta a la fuerza F que acta en Bsobre el eslabn. Por qu? La distancia CO debe serde0.5 mya que las lneas de accin de Fy la fuerzade 400 Nson conocidas.Ecuacionesdeequilibrio:Requiriendoqueel sistemadefuerzasseaconcurrentesenO,yaque SMO=0,elnguloqquedefinelalneadeaccindeFApuedeserdeterminado por trigonometra,q =tan-14 . 0 7 . 0 =60.3 q Resp.Usandolosejesx,yyaplicandolasecuacionesdeequilibriodefuerzas,podemosobtenerFAy F.SFx = 0; FA cos 60.3 - Fcos 45 + 400 N= 0FA sen 60.3 - F sen 45 = 0Despejando, obtenemos :FA =1.07 kN Resp.F=1.32 kNNota:TambinpodemosresolveresteproblemarepresentadolafuerzaenAmediante sus dos componentes AxyAy y aplicando SMA = 0, SFx = 0; a la palanca.Una vezdeterminadasAxyAy, cmo encontrarausted FAy q? EQUILIBRIO DE UN SLIDO RGIDO EN TRES DIMENSIONESReacciones en apoyos y uniones para una estructura tridimensionalLasreaccionessobreunaestructuratridimensionalincluyendesdeunasolafuerzadedireccinconocidaejercidaporunasuperficielisahastaunsistemafuerzaparproducidoporunempotramiento.Enconsecuencia,Elnmerodeincgnitasasociadasconlareaccinenunapoyoouninpuedevariardesdeunohastaseisenlos problemas relacionados con el equilibrio de una estructura tridimensional, como enlassiguientes figurassemuestran varios tipos de apoyosy uniones. Una forma simplede determinar el tipo de reaccin que corresponde a un apoyo o unin y el nmero deincgnitasconsisteenencontrarcualesdelosseismovimientosfundamentales(traslacinenlasdirecciones X,Y y Z,rotacinconrespectoalosejes X,Y y Z)estnpermitidos y cuales no.Losrodillos,lassuperficiesyloscables,porejemplo,impidenlatraslacinenuna sola direccin y, por tanto, aplican una sola fuerza de lnea de accin conocida; enellosintervienenunasolaincgnita,asaber,elmodulodelareaccin.Losrodillossobresuperficiesrugosasyruedassobrecarrilesimpidenlastraslacionesendosdirecciones,lasreaccionescorrespondientesconsistenendoscomponentesdesconocidosdeunafuerza.Lassuperficiesrugosasencontactodirectoylasrotulasimpidenlatraslacinentresdirecciones;estosincluyentrescomponentesdesconocidos de la fuerza.Algunosapoyosyunionespuedenimpedirtantolarotacincomolatraslacin;lasreaccionescorrespondientesincluyentantoparescomofuerzas.Lareaccinenunempotramientoporejemplo,queimpidecualquiermovimiento(tantoderotacincomodetraslacin)consisteentresfuerzasytresparesdesconocidos.Unajuntauniversal,diseadaparapermitirlarotacinconrespectoadosejes,ejercerunareaccin que comprende un par y tres fuerzas, todas desconocidas.BolaSuperficie lisaRodillo sobresuperficie rugosaImpiden la traslaciRueda sobre carril EmpotramientoOtrosapoyosyunionesqueseusanprincipalmenteparaimpedirlatraslacintambin pueden, de acuerdo con su diseo, impedir algunas rotaciones. Las reaccionescorrespondientessonesencialmentefuerzasperotambinaparecenpares.Ungrupodeapoyosdeestetipoincluyebisagraycojinetesdiseadosparasostenercargasradiales nicamente (por ejemplo, los cojinetes lisos y los rodamientos de rodillos). Lasreaccionescorrespondientesconstandedoscomponentesdeunafuerza,perotambinpueden incluir dos pares. Otro grupo incluyeunionesde pasador ybisagrasocojinetesdiseadosparasoportarfuerzasaxialesjuntoconunacargaradial(porejemplo,rodamientodebolas).Lasreaccionescorrespondientesconstandetrescomponentesdeunafuerza,perotambinpuedenincluirdospares.Sinembrago,estosapoyosnoejercernningnparapreciableencondicionesdeusonormal.Porconsiguiente, las componentes defuerzas, debenincluirse, a menos queseencuentreque los pares son necesarios para mantener el equilibrio.Junta UniversalPasadorBisagras y cojinetesBisagras y cojinetes (carga radial)CUADRO RESUMEN CUADRORESUMENPUNTOS IMPORTANTES PARA LA SOLUCIN DE PROBLEMAS Siempre trace primero el diagrama de cuerpo libre. Siunsoporteprevienelatraslacindeuncuerpoenunadireccinespecfica,entonces el soporte ejerce una fuerza sobre el cuerpo en esa direccin. Silarotacinconrespectoaunejeesprevenida,entonceselsoporteejerceunmomento de par sobre el cuerpo con respecto al eje. Siuncuerpoestsometidoamsreaccionesdesconocidasqueecuacionesdisponiblesde equilibrio, entonces el problema es estticamente indeterminado. Para evitar la inestabilidad de un cuerpo se requiere que las lneas de accinde lasfuerzas reactivas no corten un eje comny no sean paralelas entre s.PROCEDIMIENTO DE ANLISISLosproblemastridimensionalesdeequilibrioparauncuerporgidopuedenserresueltos usando el siguiente procedimiento.Diagrama de cuerpo libre Trace el contorno de cuerpo. Muestre todas las fuerzas y los momentos de par que actan sobre el cuerpo. Establezcael origen de los ejes x, y, zen un punto conveniente y oriente los ejesde manera que sean paralelosa tantas de las fuerzasy momentos externos comosea posible. Rotule todas lascargas y especifique sus direcciones relativasa los ejes x, y, z.Engeneral,muestretodaslascomponentesdesconocidasensentidopositivoalolargo de los ejesx, y, z si el sentido no puede ser determinado. Indiquelasdimensionesdelcuerponecesariasparacalcularlosmomentosdelasfuerzas.Ecuaciones de equilibrio Silas componentes x,y,z de fuerza y momento parecen fciles de determinar,entoncesapliquelasseisecuacionesescalaresdeequilibrio;deotramanera,uselas ecuaciones vectoriales. Noesnecesarioqueelconjuntodeejesseleccionadosparalasumadefuerzacoincidaconelconjuntodeejeselegidosparalasumademomentos.Tambin,cualquier conjunto de ejes no ortogonales puede ser seleccionado para este fin. Elijaladireccindeunejeparalasumademomentosdemaneratalqueintersequelalneadeaccindetantasfuerzasdesconocidascomoseaposible.De esta manera, los momentos de las fuerzas que pasanpor puntos sobre este ejey las fuerzas que son paralelas al eje sern entonces cero. Silasolucindelasecuacionesdeequilibrioresultaenunescalarnegativoparaunamagnituddefuerzaodemomentodepar,elloindicaqueelsentidoescontrario al supuesto en el diagrama de cuerpo libre.EJEMPLO 06DeterminelatensinpresenteenloscablesBCyBD y las reacciones en junta A de rtulaesfricaparaelmstilmostradoenlafigura(a).Solucin (Anlisis vectorial)Diagramadecuerpolibre. Haycincomagnitudesde fuerzas desconocidas mostradas en eldiagramade cuerpo libre figura (b).Ecuacionesdeequilibrio.Alexpresarcadafuerzaen formavectorial cartesiana tenemos:F =( -100j) NFA=Axi + Ayj + AzKTC= 0.707 TCi 0.707 TCKTD =TD(rBD / rBD)= - 3/9 TDi + 6/9 TDj 6/9 TDkAplicando la ecuacin de equilibrio por fuerzas resulta:SF = 0; F + FA + TC + TD = 0(Ax + 0.707 TC 3/9 TD)i + (-1000 + Ay + 6/9 TD)j+ (Az 0.707 TC 6/9 TD)k = 0SFx = 0; Ax + 0707 TC 3/9 TD = 0 (1)SFy = 0; Ay + 6/9 TD 1000 = 0 (2)SFz = 0; Az 0.707 TC 6/9 TD = 0 (3)Sumando momentos con respecto al punto A tenemos :SMA = 0; rB x (F + TC + TD ) = 06k x (- 1000j + 0.707 TCi 0.707 TCk 3/9 TDi + 6/9 TDj 6/9 TDk)=0Evaluando el producto cruz y combinando trminos resulta :( - 4TD + 6000)i + (4.24 TC 2TD)j= 0SMx = 0; -4TD + 6000 = 0 (4)SMy = 0; 4.24 TC 2TD = 0 (5)La ecuacin de momentos con respecto al eje z, SMz = 0,es satisfechaautomticamente. Por qu?Resolviendo las ecuaciones de la1 a la 5 tenemos:TC = 707 N TD =1500 N Resp.Ax = 0 N Ay = 0N Az = 1500 NResp.Como el mstil es un miembro de dos fuerzas, figura (c), observe que elvalor AX =Ay = 0 podra haber sido determinadopor inspeccin.EJEMPLO 07Labarradobladaenlafigura(a)estsoportadaen Apor una chumacera lisa, en D por una juntade rtula esfrica, y en B por medio del cable BC.Usandoslounaecuacindeequilibrio,obtengaunasolucindirectaparalatensinenelcableBC.LachumaceraenAescapazdeejercercomponentes de fuerza slo en las direcciones z ey,yaqueestalineadaapropiadamentesobrelaflecha.Solucin (Anlisis vectorial)Diagrama de cuerpo libre.Como se muestra en la figura (b),hay seis incgnitas:trescomponentesdefuerzacausadasporlajuntadertulaesfrica,doscausadasporlachumacera, y una causada por el cable.Ecuacionesdeequilibrio.La tensin TBen elcable se puedeobtenerdirectamente sumandomomentos con respecto a un eje que pase porlos puntos D y A.Por qu? La direccin del ejeest definidapor el vector unitario u, donde :u = rDA / rDA = -1 / 2 i 1/ 2 j =- 0.707i 0.707jPor tanto, la suma de los momentos conrespecto a este eje sera cero siempre que :SMDA = u . S (r x F) = 0Aqu r representa un vector posicin trazadodesde cualquier punto sobre el eje DAhastacualquier punto sobre la lneade accinde lafuerza F.Con referencia a la figura (b) podemosescribir :u x (rB x TB + rE x W)= 0( - 0.707i 0.707j) . [(-1j) x (7 . 0 2 . 0TBi -7 . 0 3 . 0TBj +7 . 0 6 . 0 TBk)+(-0.5j) x (-981k)] = 0(-0.707i 0.707j) . [(-0.857 TB + 490.5)i + 0.286 TBk] = 0TB=857 . 05 . 490= 572 NDebe observarse la ventaja de usarvectorescartesianospara llegara esta solucin.SeraespecialmentetediosodeterminarladistanciaperpendiculardelejeDAalalnea de accin de TBusandomtodos escalares.Nota :De manera similar, podemos obtener Dz( = 490.5 N)sumando momentos conrespecto a un eje que pase porAB.Tambin Az ( =0) se obtienesumando momentoscon respecto al ejey.ATENTAMENTE ING. EHERRERA F