Cinemtica Cuerpo Rigido

7/28/2019 Cinemtica Cuerpo Rigido

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CINEMTICA III /MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL

FSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931 Pgina 1

CINEMTICA IIIMOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL

CONCEPTO: Es aquel tipo de movimiento donde la partcula o punto material describe unatrayectoria curva llamada circunferencia.

ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL

1. DESPLAZAMIENTO LINEAL (S)Es la longitud de arco de la circunferencia que recorre el mvil entre dos puntos considerados dela trayectoria. Se mide enmetros, kilmetros ycentmetros.

2. DESPLAZAMIENTOANGULAR ().Es el ngulo centralcorrespondiente al arcodescrito por el cuerpo, semide en radianes.

El ngulo medido enradianes es igual al cocientede la longitud de arco entreel radio de curvatura.

SS .r

r ==== ==== (1)

Forma diferencial: ====d S r .d

S

A

B

Figura 01

rC

D

A

B

Figura 02

0

V

V

V

V

A B

r

Figura 03


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3. VELOCIDAD LINEAL O TANGENCIAL (V)Es aquella magnitud fsica vectorial, se define como la longitud de arco recorrido por el mvilpor cada unidad de tiempo. Se representa por un vector tangente a la trayectoria.

t

S m kmV unidad : ;

t s h==== (2)

Forma diferencial: ====tdS

Vdt

4. VELOCIDAD ANGULAR ()Es aquella magnitud fsica vectorial,se define como el desplazamiento angular que experimentael mvil por cada unidad de tiempo. Se representa por un vector perpendicular al plano derotacin, el sentido se determina mediante la regla de la mano derecha, los dedos menoresindican el sentido de rotacin y el dedo pulgar seala la direccin de la velocidad angular.

Rapidez angular:

t

= unidad:rad

so

1

s

Forma diferencial:d

dt

= entonces .d dt =

5. POSICIN DEL PUNTO MATERIAL.

Integrando tenemos:

0 0 0

. .= = t t

t t

d dt dt

Desarrollando la integral obtenemos que: ( )0 0. t t = +

Usualmente hacemos: 0 00 0y t = = que reemplazado en la ecuacin anterior te obtiene eldesplazamiento angular: . t =

6. RELACIN ENTRE LAS VELOCIDADES

Sabemos que:

= = = == = = == = = == = = =

t

S .rV R .r

t t t

Relacin escalar: ====tV .r (4)

Relacin vectorial entre la velocidad tangencia y angular: =

v r


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MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIALUNIFORME (M.C.U.)

1.CONCEPTO. Es aquel tipo de movimiento donde la partcula o cuerpo describe una trayectoriacurva llamada circunferencia, donde la rapidez se mantiene constante y la velocidad solamentecambia la direccin, es decir el cuerpo se mueve con aceleracin centrpeta cuyo valor semantiene constante.

2.PERIODO (T). Es el intervalo de tiempo constante que demora un cuerpo en recorrer la mismatrayectoria. Su valor indica el intervalo de tiempo por cada vuelta o revolucin. Se mide ensegundos, minutos, hora y aos.

====Tiempo empleado

Tnumero de vueltas

3.FRECUENCIA (f). Se define como la inversa del periodo. Su valor indica el nmero de vueltasque describe el cuerpo por cada unidad de tiempo. Se mide en revolucin por segundo: R.P.S.,revolucin por minuto: R.P.M. y revolucin por hora: R.P.H.

1 Numero de vueltasf

T tiempo empleado= == == == =

4.RELACIN ENTRE LA VELOCIDAD ANGULAR Y LA FRECUENCIASi el cuerpo describe una vuelta, genera un ngulo

2(radianes) y el tiempo empleado se

denomina periodo.

Sabemos que:2 1

2 2 ft T T

= = = == = = == = = == = = =

En funcin del periodo:2

T

====

En funcin de la frecuencia: 2 f ====

5.ACELERACIN CENTRPETA (ac)

La aceleracin centrpeta mide la rapidez decambio que experimenta la velocidad tangencialen direccin. Se representa por vector que indicaal centro de curvatura. Su valor es directamenteproporcional al cuadrado de la velocidadtangencial e inversamente proporcional a l radiode curvatura. Se mide en m/s2.

(((( ))))22

2c

.rVa .r

r r

= = == = == = == = =

En funcin de la velocidad tangencial:

2

c

Va r====

ac

Fig. 01. ACELERACIN CENTRPETA

A

B

0

r V

V

V

C

ac

ac

ac

V

D


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En funcin de la velocidad angular: 2ca .r====

En el M.C.U, la velocidad angular es constante, por consiguiente la aceleracin normal ocentrpeta de pude definir como sigue:

Relacin vectorial entre la velocidad tangencial y la velocidad angular: = = = =

V r

(((( ))))= == == == =

c

d rd Va

d t d t

Se obtiene = = = = = = = =

c

d ra V

d t

Finalmente: (((( ))))ca r

= = = =

6. LEY DE KEPLER PARA EL M.C.U. Todo cuerpo o partcula que tiene movimientocircunferencial uniforme, describe ngulos iguales en intervalos de tiempos iguales, respecto de unsistema de referencia ubicado en el centro de la circunferencia. Ley de reas: La partcula describereas iguales en intervalos de tiempo iguales.La circunferencia en un caso particular de la elipse.

7. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO:La velocidad angular se define como la derivada de la posicin angular respecto del tiempo:

dt

d=

El diferencial del desplazamiento angular es: dtd .=

Integrando en un intervalo de tiempo tenemos: =2

1

2

1

.t

t

dtd

Desplazamiento angular: ( )1212 . tt = Ecuacin prctica del M.C.U: t.= Ley del movimiento: si 0 0t ==== , entonces: 0 . t= +

8. POLEAS Y DISCOS TANGENTES.La figura 02 muestra tres discos tangentes entre s, de radiosdiferentes. Si los discos son tangentes el nmero de vueltas eninversamente proporcional al radio de curvatura, es decir el disco demayor radio da menos vuelta y el disco de menor radio da mayornmero de vueltas. Es decir la velocidad tangencial de los puntosperifricos tiene el mismo valor.

= = == = == = == = =A A B B C CV .R .R .R

(((( )))) (((( ))))====A CN. vueltas de A .R N. vueltas de C .R

A B

a b

Fig. 03. POLEASCONCNTRICAS

RA RB

RC

A B C

Fig. 02. DISCOS TANGENTES


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9. POLEAS Y DISCOS CONCNTRICOS.Se muestra dos poleas concntricas de radios a y b en la figura 03. Si los discos son concntricostienen la misma velocidad angular, por consiguiente la velocidad tangencial de sus puntosperifricos son directamente proporcional al radio.

A B

A B

V V V

R R R==== ====


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MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL UNIFORME (M.C.U.)

1. Dos mviles que desarrollan M.C.U. parten de A y B encontrndose en C. Si la rapidez angular de A es

4 rad/ s, calcular la rapidez angular de B en rad/s.

2. Dos mviles que desarrollan M.C.U. parten de A y B encontrndose en C. Si la rapidez angular de A es4 rad/ s y de B es 5 rad/s, despus de cuntos segundos se encuentran por primera vez?

3. Dos personas recorren la misma pistacircunferencial (radio 80 m) partiendo delmismo punto en el mismo sentido, cuya rapidezangular estn en relacin de 1 a 5. Calcular lalongitud de arco de circunferencia que recorreel ms lento cuando es alcanzado por el msrpido.

4. Una partcula con M.C.U. tiene frecuencia de1200 R.P.M. Si el radio de giro es 50 cm,calcular su aceleracin centrpeta en m/s2.

5. Un proyectil es disparado desde el piso conrapidez de V = 50 m/s y un ngulo de elevacin = 53. Determinar el radio de curvatura de su tray ectoria en el instante que pasa por el punto ms alto.

6. Un proyectil es disparado desde la superficie terrestre con unarapidez de V = 100 m/s y un ngulo de elevacin de 53Cuntossegundos habr desde el instante de lanzamiento hasta que elmdulo de su aceleracin tangencial es 6 m/s2 por segunda vez?(g = 10 m/s2)

7. Se lanza un cuerpo con una rapidez de V = 40 m/s y un ngulo deelevacin de 53. Determine la aceleracin normal ( en m/s2) en elinstante en que la rapidez del cuerpo es de 30 m/s (g = 10 m/s2)

8. Se muestra dos poleas concntricas de radios a = 10 cm y b = 20cm. Si las poleas giran en sentido horario con rapidez angularconstante de 4 rad/s, determinar la rapidez de alejamiento (en cm/s)entre los bloques A y B.

9. La figura muestra tres discos tangentes entre s, de radios decurvatura R, 2R y 3R respectivamente. Cuando el disco mayor gira 4

A

B

C

Para el problema 02

OA

B

C

60

Para el problema 01

O

A B

a b

Para el problema08

V

g = 10 m/s

DA B

Para el problema 5, 6 y 7


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vueltas, Cuntas vueltas girara el disco de menor radio?

10. Una partcula realiza un movimiento circunferencial uniforme con rapidez angular ( / )12

rad s

y

radio 2,5 m. En qu intervalo de tiempo (en s) la partcula realiza 7 vueltas completas?

11. Con respecto al movimiento circunferencial, cul ocules de las siguientes proposiciones son verdaderas:I. Un partcula que tiene M.C.U. tiene la aceleracincentrpeta constante en mdulo.II. La aceleracin centrpeta en un movimientocircunferencial tiene direccin variable.III. Si la aceleracin centrpeta es constante en mdulo,entonces la trayectoria en una circunferencia.

12. Una partcula se desplaza en una trayectoriacircunferencial de 2 m de radio en donde su posicin angular varia con el tiempo de acuerdo a la ecuacin

= 2 +2t. Si se mide en radianes y t en segundos,determine:a) su recorrido (en m) entre t = 1 s y t = 3 s.b) su rapidez angular en el mismo intervalo detiempo.

13. Se muestra el movimiento curvilneo de unapartcula. Explique la medicin de la aceleracincentrpeta y la aceleracin tangencial.

14. De las siguientes afirmaciones indicar verdadero ofalso, respecto del M.C.U.I. El mvil no tiene aceleracin.II. La velocidad del mvil es constante.

III. La velocidad angular es constante

15. Un punto A del borde de un disco, que gira con M.C.U.en un plano horizontal, tiene una rapidez que es el triple dela que tiene otro punto B 4 cm ms cerca del centro deldisco. Determine el radio del disco.

16. Una esfera de 10 cm de radio gira uniformemente (coneje de giro vertical y que pasa por el centro de la esfera) con un periodo de 0,2 s. Determine el mdulode la velocidad de un punto de la superficie de la esfera que se encuentra a 6 cm de un plano horizontalque pasa por el centro de la esfera.

17. Dos partculas realizan un M.C.U. en sentidos opuestos tal como se muestra; si sus periodos son:

TA = 20 min y TB = 30 min luego de cuntos minutos, desde la posicin mostrada se cruzaran porsegunda vez?

3R 2R

R

A B C

Para el problema 09

A B

Para el problema 17

O

B

p

h

Para el problema 18

g


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18. Desde una altura de h = 20 m y sobre un punto P del borde de un disco horizontal se deja caer una

piedra. Si el radio del disco es 15 2 cm gira con frecuencia de 45 R.P.M., a qu distancia (en cm) delpunto P logra chocar la piedra en el disco? (g = 10 m/s2)

19. Se sueltan simultneamente dos pelotitas A y B tal como se muestra. Si la plataforma girauniformemente con 5/3 rad/s y la primera pelotita marca el punto P en la plataforma y la segunda marcael punto Q, calcular la medida del ngulo POQ (g = 10 m/s2)

20. Dos mviles A y B parten de dos puntos diametralmente opuestos de una pista circunferencial conrapideces angulares de /2 rad/s y /3 rad/s en el mismo sentido. Despus de que intervalo de tiempo seencuentran juntos por primera vez?

21. Un disco de 20 cm de radio gira con M.C.U. en un plano horizontal. Si una hormiga se aleja delcentro del disco, a lo largo de un radio, con una rapidez constante de 12 cm/s respecto del disco, calcularel mdulo de la velocidad de la hormiga cuando se encuentra a 4 cm del centro del disco. La aceleracinde un punto del borde del disco tiene un mdulo de 3,2 m/s2.

22. Con qu rapidez (en km/h) deber volar el avin en el Ecuador de Este a Oeste para que a suspasajeros les parezca que el Sol est fijo en el firmamento?Considerar: Radio de la Tierra = 6 396 km y = 3,14

A

B

h

Para el problema 23

ab

P

Para el problema 24

A

45 cm

Para el problema 19

B

80 cm

g

VA

VB

R

Para el problema 20


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23. Desde una altura de h = 5 m y sobre un punto B del borde de un disco horizontal se deja caer una

piedra desde A. Si el radio del disco es 5 2 cm y gira a razn de 45 R.P.M. a qu distancia (en cm)del punto B choca la piedra en el disco?. (g = 10 m/s2)

24. Se muestra dos poleas concntricas de radios a = 3 cm y b = 5 cm, que giran en sentido antihorario

a razn de 45 R.P.M. Determine la rapidez (en m/s) con que sube el bloque P.

25. Se muestra un conjunto de poleas concntricas, entre las poleas tangentes no hay deslizamiento. Siel bloque P baja con rapidez de 5 cm/s, determinar la rapidez del bloque Q (en cm/s). Los radios son lossiguientes: a = 60 cm b = 30 cm x = 40 cm y = 20 cm

26. Se muestra tres poleas concntricas de radios a = 10 cm; c = 30 cm. Si el sistema de poleas giracon rapidez angular constante igual a 4 rad/s, en sentido horario, determinar la rapidez en m/s con que semueve el bloque Q.

Q

a

c

Para el problema 26

a

b

x

y

P Q

Para el problema 25

ba

Q

Para el problema 28

ba

Q

Para el problema27


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27. Se muestra dos poleas concntricas de radios a = 20 cm y b = 10 cm. Si las poleas giran en sentidoantihorario con rapidez angular constante de 6 rad/s, determinar la rapidez (en m/s) del bloque Q.

28. Se muestra dos poleas concntricas de radios a = 15 cm y b = 10 cm. Si las poleas giran en sentidohorario con rapidez angular constante de 4 rad/s, determinar la rapidez (en m/s) del bloque Q.

29. Se muestra una barra AB en posicin horizontal y en reposo, cuya longitud es 1,0 m, sostenida pordos cuerdas iguales enrolladas a dos poleas de radios a = 2,5 cm y b = 7,5 cm. Si las poleas empiezan agirar en sentido horario con rapidez angular constante de 2 rad/s, en qu intervalo de tiempo los cablesque sostienen la barra estarn en posicin vertical?

30. Se muestra una barra AB en reposo, cuya longitud es 0,5 cm, sostenida por dos cuerdas enrolladasa dos poleas concntricas de radios a = 30 cm y b = 10 cm. Si las poleas empiezan a girar en sentidoantihorario con rapidez angular 45 R.P.M., en qu intervalo de tiempo los cables que sostienen la barraestarn otra vez en posicin vertical?

31. Se tiene una barra horizontal AB inicialmente en reposocomo muestra la figura cuya longitud es 100 cm, sostenidapor dos cable enrollados a dos poleas concntricas de radiosa y b, donde (a + b = 80 cm). Si las poleas empiezan a girarcon rapidez angular constante igual a 0,3 rad/min en sentidoantihorario, en qu intervalo de tiempo (en min) los cablesque sostienen la barra estarn en posicin vertical? Observe

que las longitudes de las cuerdas inicialmente son iguales.

ab

A

B

Para el problema 30

A B

a b80 cm

Para el problema 29

LL

A B

L L

a b

Para el problema 31


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MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL UNIFORME (segunda parte)

1. Se muestra dos pares de poleas concentrica, donde un punto del borde de la polea de radio a = 20 cm,tiene una rapidez de 60 cm/s. Si las poleas de radios b = 10 cm y d = 15 cm giran en sentido horario,qu mdulo tendr la velocidad de los puntos del borde de la polea de radio c = 5 cm?

2. Dos mviles que desarrollan M.C.U parten de A y B. Si la rapidez angular de A es 2 rad/s y de B es 3rad/s, despus de cuntos segundos se encuentran por primera vez?

3. Dos mviles que desarrollan M.C.U parten de A y B en el mismo sentido. Si la rapidez angular de A es 2rad/ s y de B es 3 rad/s, despus de cuntos segundos se encuentran por primera vez?

a

b

c

d

Para el problema 01

A B

Para el problema 03

O

A

B

60

Para el problema 02

O

R

O

V

Para el problema 06

R

R

R

V

Para el problema 05


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4. Dos personas recorren la misma pista circunferencial (radio 80 m) partiendo del mismo punto en el mismosentido, cuya rapidez angular estn en relacin de 2 a 3. Calcular la longitud de arco de circunferenciaque recorre el ms lento cuando es alcanzado por el ms rpido.

5. Una esfera hueca de radio 1,0 m gira alrededor de un eje vertical que pasa por su centro. Un proyectil se

desplaza con velocidad de 400 i (m/s) perpendicularmente al eje, perforando a la esfera en un punto cuyoradio forma 30con el eje vertical. Determinar la mnima rapidez angular (en rad/s) que debe tener laesfera par que el proyectil entre y salga por el mismo agujero.

6. Una esfera hueca de radio 0,5 m gira alrededor de un eje vertical que pasa por su centro con frecuenciade 100 R.P.S. Un proyectil se dispara de tal modo que pasa por el centro geomtrico. Determinar lamxima rapidez (en m/s) que el proyectil tal que, atraviese haciendo un solo agujero.

7. Un cilindro hueco de radio de curvatura 0,4 m gira con frecuencia de 150 R.P.S respecto del eje vertical.Se dispara un proyectil horizontalmente, de modo que pasa por el eje de rotacin. Calcular la mximarapidez del proyectil (en m/s), tal que atraviese haciendo un dolo agujero.

8. Sobre un eje horizontal que gira con frecuencia de 1 200 R.P.M se tiene montado dos discos separadosuna distancia de 25 cm. Se dispara un proyectil paralelamente al eje, tal que perfora los dos discos,notndose que el segundo agujero se desva 12resp ecto del primero. Determine la rapidez del proyectil(en m/s).

9. Dos satlites A y B describen trayectorias circunferenciales concntricas de radios de curvatura R y 2R.

Si los vectores posicin, respecto del centro de curvatura, describen reas iguales en intervalos de tiempoiguales, determinar la relacin entre sus respectivas rapideces angulares.

V

25 cm

Para el problema 08

V

Para el problema 07

b

a

c

Para el problema 11

ab

c

Para el problema 10


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10.Se muestra tres discos A, B y C de radios a = 6 cm, b = 3 cm y c = 4 cm, donde A y B son concntricos yadems A y C son tangentes. Si el disco de radio b gira a razn de 120 R.P.M, determinar la rapidezangular (en rad/s) del disco de radio c.

11.Se muestra tres discos A, B y C de radios a = 2 cm, b = 4 cm y c = 5 cm, donde A y B son concntricos yadems A y C son tangentes. Si el disco de radio c gira con rapidez angular de 3 rad/s, determinar el

mdulo de la velocidad (en cm/s) de los puntos perifricos del disco B.

12.Una partcula recorre la trayectoria mostrada, formada por dos semicircunferencias, con velocidadtangencial constante en 3 segundos. Sabiendo que R = 1 m, encontrar el modulo de la aceleracincentrpeta en el punto A en m/s2.

13.Un mvil recorre la trayectoria ABC con mdulo de velocidad constante por el tramo AB y para el tramoBC. Se sabe que el modulo de la aceleracin en AB es 6 m/s2 y en BC 5 m/s2. Determinar el intervalo de

x

y

A B

6 m

5 m

Para el problema 13

C

x

y

O

A

R

2R

Para el problema 12

12

39

6

O

Para el problema 17

12

39

6

O

Para el problema 16

V

R

O

dPara el problema 15

37

A

V

R

O

d

Para el problema 14


14/33


15/33


16/33


17/33



La posicin angular en cualquier instante es: (((( )))) (((( ))))21

20 0 0 0. t t t t = + + = + + = + + = + +

3.VELOCIDAD ANGULAR MEDIA (((( ))))m : Si la aceleracin angular es constante, entonces lavelocidad angular vara linealmente. Entonces la velocidad angular media (velocidad angularconstante) se define como la semisuma de la velocidad angular inicial y final.

0

2F

m

++++====

En el M.C.U la velocidad angular permanece constante,entonces el desplazamiento angular es:

0

2F

m .t .t

++++

= == == == =

4.ACELERACIN LINEAL O TANGENCIAL (at):

Es aquella magnitud vectorial que mide la rapidez decambio que experimenta la velocidad tangencial enmdulo. Se representa mediante un vector tangente a lacircunferencia.

0T

V V Va

t t

= == == == = 2 2 2

m cm kmUnidades : , ,

s s h

Ecuacin de la velocidad linalo tangencial:

0 TV V a .t = += += += +

Definicin diferencial de la aceleracin tangencial:

T

dVa

d t====

Se obtiene que: Td V a .d t ==== integrando

0 0 0

= == == == = V t t

T T

V t t

d V a .d t a . d t

(((( ))))0 0TV V a . t t = = = = entonces la velocidad varia con la ley: (((( ))))0 0TV V a . t t = + = + = + = +

5.ACELERACIN NORMAL O CENTRPETA (ac): La aceleracin centrpeta mide la rapidezde cambio que experimenta la velocidad tangencial en direccin. Se representa por vector que

indica al centro de curvatura. Su valor es directamente proporcional al cuadrado de la velocidadtangencial e inversamente proporcional al radio de curvatura en cada instante de tiempo. Se mideen m/s2.

(((( ))))22

2c

.rVa .r

r r

= = == = == = == = =

6.ACELERACIN RESULTANTE (a): es la aceleracin que resulta de adicin vectorial laaceleracin tangencial y la aceleracin centrpeta. El mdulo se determina aplicando el teoremade Pitgoras.

Forma vectorial:t c

a a a= += += += +

at

aca

r

Figura 02


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Forma escalar: (((( )))) (((( ))))2 2

t ca a a= += += += +

7.RELACIN ENTRE LA ACELERACIN ANGULAR Y TANGENCIAL:

Sabemos que:tV .r====

0 0 = == == == =

f f

t

V V .r .r a

t t

0fta .r .r

t

= == == == =

====ta .r

Debe observarse que la aceleracin angular y la aceleracin tangencial son mutuamenteperpendiculares: = = = =

ta rConsiderando que la trayectoria es una circunferencia, entonces el radio tiene longitud constante,

la aceleracin tangencial se define como:(((( ))))

t

d .rdV da r. r.

d t d t d t

= = = == = = == = = == = = =

8. PROPIEDAD DE LA POLEA MVIL.La velocidad de la polea (punto A) es igual a la semisuma de las velocidades de los puntos B y Cque son los extremos de la cuerda:

2B C

A

V VV

+=

DEMOSTRACINSi elegimos un sistema de referencia donde el punto O seencuentra en reposo, se cumplir que:

= = = =

B / O C / OV V

es decir, para nuestro observador el bloque B sube y el bloque Cbaja con la misma rapidez o viceversa.

(((( )))) = = = =

B O C OV V V V

Respecto de la tierra: ====

A OV V

2

++++

= == == == =

B C

A O

V V

V V

La misma relacin se cumple para la aceleracin:2

B CA

a aa

+=

y el desplazamiento:2

B CA

d dd

+=

A

B C

Fig. 03. POLEAS MVILES

O


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9. ACELERACIN ANGULAR VARIABLE: En toda grafica aceleracin angular versus tiempo,el rea bajo la curva es igual al incremento de la rapidez angular en un intervalo de tiempo.

0 0

.t

t

d dt

=

0

0 .t

t

dt =

En este caso la aceleracin angular varalinealmente:

0

0 .t

t

dt = +

El incremento de la velocidad angular es:

0

0 . t

t

dt =

0

.

2

b h =

En este caso particular la integral representa el rea del tringulo.

( rad/s2)

CAMBIO DE LA VELOCIDAD ANGULAR

0

t(s)


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PROBLEMAS PROPUESTOS de MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL (M. C. U. V.)

1. Si un disco parte del reposo con M.C.U.V y en 9 segundos su rapidez angular es 36 rad/s. Cul ser larapidez angular a los 10 segundos en rad/s?

2. Una partcula gira a 33 R.P.M y al desacelerar con M.C.U.V se detiene en 8 segundos. Determinar el

nmero de vueltas que logr al perder su velocidad.

3. La frecuencia de una rueda cambia de 8000 R.P.M hasta 200 R.P.M en 5 segundos. Si tiene M.C.U.V,determinar su rapidez angular (en rad/s) 2 segundos antes de detenerse.

4. Una partcula que tiene M.C.U.V con aceleracin angular de mdulo 80 rad/s2. Si para girar 1500 radnecesita 6 segundos, determinar la rapidez angular inicial en rad/s.

5. El punto perifrico, de una rueda de dimetro 8 m, en un instante dado tiene aceleracin tangencial demdulo 20 m/s2 y rapidez angular 5 rad/s. Calcular la aceleracin total en m/s2 en ese instante.

6. El movimiento del rotor de un helicptero cambia de 300 R.P.M a 225 R.P.M en un minuto. Suponiendoque la frecuencia de rotacin inicial del motor es de 300 R.P.M y que la aceleracin angular permanece

constante, cunto tiempo tardar el rotor en detenerse?.

7. La trayectoria circunferencial de un automvil esta descrita mediante la ecuacin: 210 5. 2.S t t= + + ,donde S esta en metros y t en segundos. Si la trayectoria tiene un radio de 27 cm, hallar las aceleracionestangencial, centrpeta y total cuando t = 1,0 s. Dar la respuesta en m/s2:

8. Desde el borde de una mesa, cuya superficie se encuentra a 1 m del suelo, se lanza horizontalmente unobjeto con una rapidez de 5 m/s. Determinar las aceleraciones centrpeta y tangencial del objeto 0,5despus del lanzamiento.

9. Una partcula realiza un movimiento circunferencial acelerado con aceleracin tangencial de modulo 2m/s2. Si la magnitud de la aceleracin normal en el instante 0t= fue 1 m/s2, determine la magnitud (en

m/s

2

) de la aceleracin normal cuando el desplazamiento angular sea de 3 radianes.10.Un cuerpo realiza un M.C.U.V. de radio 2 m. Si su posicin angular (en radianes) en funcin del

tiempo t (en segundos) es2

22

tt = + , determine el mdulo de la velocidad tangencial (en m/s) en el

instante 4t s= .

11.Una partcula que realiza una trayectoria circunferencial parte con una rapidez de 3 rad/s y conaceleracin angular de modulo 4 rad/s2. Determine el nmero de vueltas que realiz en el dcimosegundo.

12.Una partcula efecta un M.C.U.V. con aceleracin angular de 0,5 rad/s2 en una pista de radio 2 m. Si en

t = 0 s parte del reposo, determine la longitud de arco (en m) que describe en el dcimo segundo de sumovimiento.

13.Una partcula describe un movimiento circunferencial uniformemente variado, radio 1,0 m y aceleracintangencial 1 m/s2, partiendo del reposo. Determine el desplazamiento angular (en rad) hasta el instanteque el valor de la aceleracin tangencial es igual a la aceleracin centrpeta.

14.Un cuerpo inicialmente en reposo ( = 0, = 0 en t = 0) es acelerado en sentido antihorario, en unatrayectoria circular de 1.3 m de radio de acuerdo a la ecuacin:

.1648120 2 += tt Determinar:a) La velocidad angular y la posicin angular como funciones del tiempo.b) Las componentes tangencial y normal de su aceleracin en t = 2,0 s.

15.Una partcula se mueve en una trayectoria circular con radio R = 2 m con una velocidad angular = 5rad/s. Si en t = 0 s comienza a desacelerar con una aceleracin angular = 2 rad/s2, determinar:


21/33


22/33



C) La aceleracin angular es perpendicular al plano de rotacin.D) La aceleracin normal es constante.E) El vector aceleracin del cuerpo apunta hacia el centro de la circunferencia.

20. Cuntas vueltas habr dado un disco que inicia un M.C.U.V. desde el reposo si al transcurrir elprimer minuto tiene una frecuencia de 300 R.P.M.

21. Un cuerpo inicia un M.C.U.V. desde el reposo con 3 rad/s2, luego de cierto tiempo empieza adesacelerar a razn de 6 rad/s2 hasta que se detiene. Si el tiempo total que demora durante sumovimiento es 30 s. Calcular el mdulo de la velocidad angular mxima que logra el cuerpo.

22. En cierto instante, una partcula que realiza un M.C.U.V. tiene una aceleracin total de mdulo 5m/s2 y que forma 127 con la velocidad. Determine la rapidez del mvil 2 s despus del instantemencionado. El radio de la trayectoria es de 16 m.

23. Un partcula parte del reposo y empieza a describir una trayectoria en forma de espiral cuyo radiovara segn la ley R = k.t ( k = 1 m/s), es decir en cada segundo el radio aumenta en 1 m. El movimientoposee aceleracin angular de mdulo 0,25 rad/s2. Qu mdulo de velocidad tangencial (en m/s) tendr lapartcula a los 12 segundos de su partida?

24. Un disco empieza a girar con aceleracin angular constante. En determinado instante tiene unarapidez angular de 10 rad/s y 5 s ms tarde tiene 20 rad/s Qu medida de ngulo (en rad) ha girado el

( rad/s2)

8

4 8 120

t(s)

Para el problema 26

( rad/s2)

2

2 80

t(s)

Para el problema 25

ab

P

Para el problema 28

Q

a

c

Para el problema 29

b


23/33



disco en los primeros 5 s?

25. Se muestra la variacin de la aceleracin angular en el tiempo de un disco. Si en el instante t = 0 surapidez angular es y para t = 8 s la rapidez angular es 3, determinar su rapidez angular (en rad/s)para t = 2 s.

26. Se muestra la variacin de la aceleracin angular en el tiempo de un disco. Si en el instante t = 0 surapidez angular es y para t = 8 s la rapidez angular es 3, determinar su rapidez angular (en rad/s)para t = 6 s.

27. Un disco que tiene M.C.U.V necesita 3 segundos para girar un ngulo de medida 234 radianes. Sisu rapidez angular a cabo de este tiempo es 108 rad/s. Determinar el mdulo de la aceleracin angular(en rad/s2).

28. Se muestra dos poleas concntricas de radios a = 20 cm y b= 30 cm. Sabiendo que las poleasgiran en sentido horario con aceleracin angular constante de modulo 4 rad/s2, determinar el mdulo de laaceleracin (en m/s2) del bloque P.

29. Se muestra tres poleas concntricas de radios a = 10 cm, b = 20 cm y c = 25 cm. Sabiendo que laspoleas giran en sentido horario con aceleracin angular constante de mdulo 4 rad/s2, determinar elmdulo de la aceleracin (en m/s2) del bloque Q.

30. Se muestra dos poleas concntricas de radios a = 20 cm y b= 30 cm. Sabiendo que las poleas

giran en sentido horario con aceleracin angular constante de modulo 4 rad/s2, determinar el mdulo de laaceleracin (en m/s2) del bloque Q.

31. Se muestra dos poleas concntricas de radios a = 20 cm y b= 30 cm. Sabiendo que las poleasgiran en sentido horario con aceleracin angular constante de modulo 4 rad/s2, determinar el mdulo de laaceleracin (en m/s2) del bloque Q.

32. Se muestra dos poleas concntricas de radios a = 20 cm y b= 30 cm. Sabiendo que las poleasgiran en sentido horario con aceleracin angular constante de mdulo 4 rad/s2, determinar el mdulo de laaceleracin (en m/s2) del bloque Q.

ba

Q

Para el problema 30

ba

Q

Para el problema 31


24/33



33. Se muestra dos poleas concntricas de radios a = 10 cm y b= 20 cm. Sabiendo que el bloque Qsube con aceleracin de mdulo 0,6 m/s2, determinar el mdulo de la aceleracin (en m/s2) del bloque P.

34. Si el bloque B se mueve con velocidad de 8 (m/s) y el bloque C con 10 (m/s) Cul es el mdulode la velocidad (en m/s) con la que se mueve el punto A?

35. Si el bloque B se mueve con velocidad de -8(m/s) y el bloque C con 10 (m/s) Cul es el mdulode la velocidad (en m/s) con la que se mueve el punto A?

36. Si el bloque B se mueve con aceleracin de -6(m/s2) y el bloque C con 8 (m/s2) Cul es elmdulo de la aceleracin (en m/s2) con la que se mueve el punto A?

37. Una partcula realiza un M.C.U.V partiendo del reposo. En qu instante en (en s) el modulo de suaceleracin centrpeta ser el doble de lo que era en el instante t = 2 s?

A

B C

Para el problema34

A

B C

Para el problema35

A

B C

Para el problema36

a b

Q

Para el problema33

P

a b

QPara el problema 32


25/33



38. Una partcula realiza un M.C.U.V partiendo del reposo. En qu instante en (en s) el modulo de suaceleracin centrpeta ser el doble de lo que era en el instante t = 2 s?

39.Una partcula describe un movimiento circunferencialuniformemente variado de 1 m de radio. Si en el instanteen que el vector aceleracin total hace un ngulo de 53

con el vector velocidad de mdulo es 2 m/s, determine elmodulo del vector aceleracin tangencial (en m/s2) en eseinstante.

40. Una partcula se mueve en una circunferencia de 10cm de radio con aceleracin tangencial de mduloconstante. Calcule el mdulo de esta aceleracin (enm/s2) luego de 20 s de haber iniciado su movimiento,sabiendo que al trmino de la quinta vuelta su rapideztangencial es de 10 cm/s.

41. Una partcula realiza M.C.U.V con aceleracintangencial de mdulo 1 m/s2, partiendo del reposo. Si el

radio de la trayectoria es de 1 m, determine eldesplazamiento angular (rad) en el instante en que elmdulo de la aceleracin centrpeta es 1 m/s2.

42. Una partcula parte del reposo en movimientocircunferencial sobre una trayectoria de radio 0,5 m ydespus de 0,1 s alcanza una velocidad angular de modulo4 rad/s. Considerando que la aceleracin angular esconstante, Cul es el ngulo que forma la aceleracin conel radio en dicho instante?

43. Un mvil parte del reposo y comienza a moverse conM.C.U.V con aceleracin angular de mdulo 2 rad/s2. Si se

sabe que despus de un tiempo ha barrido un ngulocentral de rad y 2 segundos despus ha barrido un

ngulo rad tal que:4

5

= . Determinar en rad.

44. Un disco parte con velocidad angular de modulo 0 yrealiza un M.C.U.V. Determine cuantas vueltas realiza eldisco al cabo de los 10 segundos iniciales de su movimiento, si al cabo de los primeros 2 segundosefectu 5 vueltas adquiriendo una velocidad angular de modulo 6 rad/s.

45. Una partcula inicia su movimiento circunferencial con una aceleracin angular constante de modulo3 rad/s2. Despus de que tiempo (en s) el vector aceleracin forma por primera vez un ngulo de 37conel vector velocidad?

46.Una partcula describe un M.C.U.V en el plano X-Y partiendo de x = 4 m con una velocidad angular

inicial 3 ( / )k rad s= . Si luego de 5 segundos su velocidad angular es 7 ( / )k rad s . Indique si lassiguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F).

I. La aceleracin angular es de 22 ( / )k rad s .II. La rapidez despus de 5 segundos es 28 m/s.III. En 5 segundos la partcula realiza cinco vueltas completas.

47. Un mvil parte del reposo del punto A y comienza a moverse con M.C.U.V en sentido antihorario. Sidespus de un cierto intervalo de tiempo, el mvil barre un ngulo central , determinar el ngulo queforma la aceleracin instantnea con su componente tangencial.

X

Y

0

Para el problema 46

aan

o

Para el problema 47

A

at


26/33


27/33



parte con rapidez constante de 5,0 m/s en sentido antihorario. Qu distancia recorre cada uno hasta elinstante en que chocan?

Pregunta 4Un meteorito cae perpendicularmente a la superficie terrestre y se aproxima para impactar en un punto P.Desde dicho punto, a t = 0 s, se lanza desde el reposo un cohete verticalmente hacia arriba con una

aceleracin constante de 8 m/s2

. En el instante en el que la velocidad del cohete es de 80 m/s su motor seapaga y contina su movimiento afectado slo por la gravedad. Si 10 s despus del lanzamiento del cohete,el meteorito tiene una velocidad de 40 m/s y se encuentra a 1000 m de la superficie de la Tierra, determinar:a) La velocidad del cohete y el meteorito en el instante que estos impacten.b) La altura en la que el cohete colisiona con el meteorito.c) En una misma figura realizar la grfica de v-tdel cohete y el meteorito.

Pregunta 5Una pelota A se lanza verticalmente hacia arriba desde una altura de 20 m con una rapidez desconocida.Un segundo despus del lanzamiento de la pelota A, se lanza una pelota B verticalmente hacia arriba desdeuna altura de 10 m y con la misma rapidez que la pelota A. Las pelotas se cruzan a una altura 13,775 m. Sepide:a) Determinar la rapidez de lanzamiento de las pelotas.

b) En una misma figura realizar un grfico de v-tpara ambas pelotas.c) En una misma figura realizar un grfico de x-tpara ambas pelotas.

Pregunta 6Albert y Max se encuentran parados frente a frente debajo de unventilador de 4 paletas mutuamente perpendiculares como se muestraen la figura. En cierto instante, Albert lanza hacia arriba una masilla convelocidad inicial de 9,0 m/s, y esta impacta en la paleta A cuando va decada. Dos segundos despus, Max lanza otra masilla hacia arriba, convelocidad inicial de 11,0 m/s, y esta impacta en la paleta B, tambincuando va de cada. La altura de la hlice respecto al piso es de 5,0 m ylas alturas desde las que Albert y Max lanzan las masillas son 1,5 m y2,0 m, respectivamente. Considerando t = 0s en el instante en que

Albert lanza la masilla, hallar el perodo del ventilador, si la masilla quelanz Max impacta en la paleta B antes de que el ventilador complete latercera vuelta desde el impacto de la primera masilla.

52.

Albert Ma

A

B C

D


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MOVIMIENTO del CUERPO RGIDO

1. CUERPO RGIDO. Es aquel cuerpo cuyas dimensiones externas no cambian en el tiempo,tienen forma y volumen constante, tal que la distancia entre dos puntos del cuerpo no cambia.

Ejemplo de cuerpo rgido: Viga, columna, tabla, rueda de acero, biela, cilindro metlico, manivela,etc.

2. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO PLANO PARALELO. Por movimiento planoparalelo se entiende el movimiento de un cuerpo slido durante el cual todos sus puntos sedesplazan paralelamente a un plano fijo dereferencia. Analicemos latraslacin pura sin

rotacin de una rueda, en este caso todos los puntosdel cuerpo rgido tienen la misma velocidadrespecto de la tierra. Ahora analicemos larotacin

pura de una rueda, el centro de rotacin C notiene velocidad de traslacin, pero todos los puntosdel cuerpo rgido tiene igual velocidad angular y lospuntos perifricos tienen movimientocircunferencial uniforme.

3. DETERMINACIN DE LAS VELOCIDADES DE LOS PUNTOS DEL CUERPO.Si la rueda tiene movimiento de traslacin y rotacin tal que el punto de contacto con la superficie

no resbala, entonces el punto B tiene velocidad de traslacin nula:

B

V

TRASLACIN PURA

V

V

V

VA

C

BV V

VV

D

A

EC

ROTACIN PURA

B

SUMA DE VELOCIDADES

(VB = 0)

V

VA

C

V

B

PROPORCIN DE VELOCIDADES

2 V

V

A

C

C V

ROTACIN Y TRASLACIN

A


29/33



La velocidad del punto B se consigue de la suma de la velocidad de traslacin de C ms la

velocidad de B respecto de C : / 0B C B CV V V= + =

La velocidad del punto A se consigue de la suma de lavelocidad de traslacin de C ms la velocidad de A

respecto de C: /A C A CV V V= +

La rapidez del punto A es el doble de la rapidez del

centro C de la rueda: 2AV V=

La velocidad del punto D se consigue de la suma de lavelocidad de traslacin de C ms la velocidad de Drespecto de C:

/D C D CV V V= +

aplicado el Teorema de Pitgoras se obtiene que:

2DV V=

La velocidad del punto E se consigue de la suma de lavelocidad de traslacin de C ms la velocidad de Erespecto de C:

/E C E CV V V= +

aplicado el Teorema de Pitgoras se obtiene que:

2EV V=

4. CENTRO INSTANTNEO DE ROTACIN. Si en un instante un punto del cuerpo rgidotiene velocidad nula, entonces este punto seconstituye como el centro de rotacin en ese

instante, entonces el cuerpo rgido experimentaunaRotacin Pura, la velocidad de cualquierpunto es perpendicular a laposicin respecto delcentro instantneo de rotacin. Este es un mtodo,prctico muy til en la resolucin de problemas.Cuando analizamos el movimiento de la rueda quese traslada y rota sin resbalar, el punto B decontacto con la tierra se comporta como el centroinstantneo de rotacin.

Analicemos el movimiento de una barra de

longitud L que apoya en un pared vertical y enuna superficie horizontal. Sean los A y B los

B

VEV

VELOCIDAD EN E

VE

B

VDV

VELOCIDAD EN D

VD

A

EC

y

VAB

CENTRO INSTANTNEO DE ROTACIN

C.I.

VBx


30/33



extremos de la barra, entonces determinamos el Centro Instantneo de Rotacin, trazandoperpendiculares a las velocidades de A y de B. Si observamos desde el centro instantneo derotacin todos los puntos del cuerpo rgido experimentan un movimiento de Rotacin Pura.

Aplicamos las leyes del Movimiento Circunferencial Uniforme:V

R=

A BV V

x y= = entonces se cumple que: .AV x= y .BV y=

5. TEOREMA DE LAS PROYECCIONES DE LAS VELOCIDADES DE DOS PUNTOS DELCUERPO.

La determinacin de las velocidades de los puntos del cuerpo rgido con ayuda de la composicinde velocidades (movimiento compuesto) es habitualmente muy complicado de resolver. Sinembargo se puede determinar mediante mtodos prcticos y simples, uno de ellos es el teoremasiguiente, que dice: las proyecciones de lasvelocidades de dos puntos del cuerpo slidosobre la recta que une estos puntos, soniguales.

. .A BV Cos V Cos =

PROBLEMA 01. Un sistema mecnico estcompuesto de una pieza que efectu unmovimiento de translacin con una velocidad uy una barra AB de largo L y masa M, unida conesta pieza por medio de un eje que pasa por A. La

barra gira alrededor del eje A en el sentidoindicado con una velocidad angular . Determinar

VAB

VB

MTODO DE LAS PROYECCIONES

VB.Cos

VA.Cos

B

C

Para el problema 01

Au


31/33



la velocidad del centro geomtrico C de la barra para una posicin definida por el ngulo .

RESOLUCIN

La barra efecta un

movimiento compuesto(planoparalelo). La velocidaddel punto C se compone de lavelocidad u y la velocidadrelativa relv cuyo mdulo es

. .2rel

Lv R

= =

La velocidad relativa delpunto C respecto del punto Aes perpendicular a la barraAB.

Los vectores relv y u

forman entre si un ngulo .

Aplicando el mtodo del paralelogramo para adicionar dos vectores que forma entre su un ngulo.

2 2 2. . .c rel relv u v u v Cos= + +

2 22 . .

2. . .4 2cL L

v u u Cos

= + +

2 22 . . . .

4cL

v u u L Cos

= + +

Observacin: La velocidad del punto C depende de la medida del ngulo que forma la barra ABcon la lnea vertical, en cada instante de tiempo.

B

C

Resolucin 01

vrel

A

u

vC


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PROBLEMAS PROPUESTOS de MOVIMIENTO del CUERPO RGIDO

1. Una rueda gira sin resbalar y se traslada con velocidad constante de mdulo V. Determine el mdulo dela velocidad del punto A.

2. Una rueda gira sin resbalar y se traslada con velocidad constante de mdulo V. Determine el mdulo dela velocidad del punto A.

3. Una rueda gira sin resbalar y se traslada con velocidad constante de mdulo V. Si = 45, determine elmdulo de la velocidad del punto A.

4. Una cilindro rueda sin resbalar sobre un plano inclinado tal que su centro de masa se traslada con una

rapidez de V = 10 m/s. Si = 60, determine el mdulo de la velocidad resulta nte en el punto A.5. Luego de abandonar a la barra sobre las superficies lisas; el punto medio C describir como

trayectoria:A) una recta B) una circunferencia C) una elipse D) una parbola E) una hiprbola

6. Respecto del problema anterior; si el extremo A tiene una velocidad de mdulo 20 cm/s, cuando = 37,determine el mdulo de la velocidad (en m/s) del extremo B en ese instante.

7. Si el extremo A de la barra AB se desliza horizontalmente con rapidez V. Determinar la rapidez con quese mueve el punto medio C de la barra.

8. Las ruedas de un ferrocarril, que se mueven horizontalmente hacia la derecha con rapidez V = 50 km/h,

ruedan sin resbalar sobre la lnea frrea en la forma que se muestra. Determinar la rapidez (en km/h) conque se mueve el punto ms bajo (punto P) de las ruedas en cada instante, sabiendo que R = 22 cm y r =20 cm

A

V

g

Para el problema 04

A

V

Para el problema 01

AV

Para el problema 02

V

A

Para el problema 03


33/33


9. Un helicptero se desplaza horizontalmente con rapidez de 75 m/s. Si la frecuencia de rotacin es 40R.P.S., determinar el radio mximo de la hlice, tal que, la mxima rapidez de un punto perifrico de lahlice sea de 350 m/s.

BIBLIOGRAFA VIRTUAL Y FUENTES DE INFORMACIN:

http://grups.es/didactika/yahoo.comwww.didactika.comwalter_perez_terrel@[email protected][email protected]

A

C

B

Para el problema 05, 06 y 07

rR

V

P

Para el problema 08

Cinemtica Cuerpo Rigido

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