CINEMÁTICA+III+M.C Cuerpo+Rigido+

8/6/2019 CINEMÁTICA+III+M.C Cuerpo+Rigido+

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CINEMÁTICA III /MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL

CINEMÁTICA IIIMOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL

CONCEPTO: Es aquel tipo de movimiento donde la partícula o punto material describe unatrayectoria curva llamada circunferencia.

ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL

1. DESPLAZAMIENTO LINEAL (S)Es la longitud de arco de la circunferencia que recorre el móvil entre dos puntos considerados dela trayectoria. Se mide enmetros, kilómetros ycentímetros.

2. DESPLAZAMIENTOANGULAR (θ ).Es el ángulo centralcorrespondiente al arcodescrito por el cuerpo, semide en radianes.

El ángulo medido enradianes es igual al cocientede la longitud de arco entreel radio de curvatura.

S S .r

r θ θ ⇒ = …(1)

FÍSICA I / Profesor: Lic. Walter PEREZ TERREL / www.didactika.com/997089931Página 1

S

θ

A

B

Figura 01

r C

D

A

B

Figura 02

0

V

V

V

V

ω

θA B

r

Figura 03




Forma diferencial: θ d S r .d

3. VELOCIDAD LINEAL O TANGENCIAL (V)Es aquella magnitud física vectorial, se define como la longitud de arco recorrido por el móvil

por cada unidad de tiempo. Se representa por un vector tangente a la trayectoria.

t

S m kmV unidad : ;t s h

= ⇒ …(2)

Forma diferencial: =t

dS V

dt 4. VELOCIDAD ANGULAR (ω )

Es aquella magnitud física vectorial, se define como el desplazamiento angular que experimentael móvil por cada unidad de tiempo. Se representa por un vector perpendicular al plano derotación, el sentido se determina mediante la “regla de la mano derecha”, los dedos menoresindican el sentido de rotación y el dedo pulgar señala la dirección de la velocidad angular.

Rapidez angular: θ ω t = unidad: rad

so 1 s

Forma diferencial:d

dt

θ ω = entonces .d dt θ ω =

5. POSICIÓN DEL PUNTO MATERIAL.

Integrando tenemos:0 0 0

. .= =∫ ∫ ∫ t t

t t

d dt dt θ

θ

θ ω ω

Desarrollando la integral obtenemos que: ( )0 0. t t θ θ ω = + −

Usualmente hacemos: 0 00 0 y t θ = = que reemplazado en la ecuación anterior te obtiene el

desplazamiento angular: . t θ ω =

6. RELACIÓN ENTRE LAS VELOCIDADES

Sabemos que: = = = =

t

S .r V R .r

t t t

θ θ ω

Relación escalar: =t V .r ω …(4)

Relación vectorial entre la velocidad tangencia y angular: = ×v r ω





MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIALUNIFORME (M.C.U.)

1. CONCEPTO. Es aquel tipo de movimiento donde la partícula o cuerpo describe una trayectoriacurva llamada circunferencia, donde la rapidez se mantiene constante y la velocidad solamentecambia la dirección, es decir el cuerpo se mueve con aceleración centrípeta cuyo valor semantiene constante.

2.PERIODO (T)Es el intervalo de tiempo constante que demora un cuerpo en recorrer la misma trayectoria. Suvalor indica el intervalo de tiempo por cada vuelta o revolución. Se mide en segundos, minutos,hora y años.

= Tiempo empleadoT numero de vueltas

3. FRECUENCIA (f)Se define como la inversa del periodo. Su valor indica el número de vueltas que describe elcuerpo por cada unidad de tiempo. Se mide en revolución por segundo: R.P.S., revolución por minuto: R.P.M. y revolución por hora: R.P.H.

1 Numero de vueltas f

T tiempo empleado= =

4. RELACIÓN ENTRE LA VELOCIDAD ANGULAR Y LA FRECUENCIASi el cuerpo describe una vuelta, genera un ángulo 2π (radianes) y el tiempo empleado sedenomina periodo.

Sabemos que: 2 1

2 2 f t T T

θ π ω π π

= = = =

En función del periodo:2

T

π ω =

En función de la frecuencia: 2 f ω π

5. ACELERACIÓN CENTRÍPETA (ac)La aceleración centrípeta mide la rapidez decambio que experimenta la velocidad tangencialen dirección. Se representa por vector que indicaal centro de curvatura. Su valor es directamente

proporcional al cuadrado de la velocidadtangencial e inversamente proporcional a l radiode curvatura. Se mide en m/s2.


ac

Fig. 01. ACELERACIÓN CENTRÍPETA

A

B

0

r V

V

V

C

ac

ac

ac

V

D




( )22

2

c

.r V a .r

r r

ω ω = =

En función de la velocidad tangencial:2

c

V a

r

=

En función de la velocidad angular: 2

ca .r ω

En el M.C.U, la velocidad angular es constante, por consiguiente la aceleración normal ocentrípeta de pude definir como sigue:Relación vectorial entre la velocidad tangencial y la velocidad angular: ω ×V r

( )ω ×= =

rc

d r d V a

d t d t

Se obtiene ω ω × = ×rr rr

c

d r a V d t

Finalmente: ( )ca r ω ω × ×

6. LEY DE KEPLER PARA EL M.C.U.Todo cuerpo o partícula que tiene movimiento circunferencial uniforme, describe ángulosiguales en intervalos de tiempos iguales, respecto de un sistema de referencia ubicado en elcentro de la circunferencia. Ley de áreas: La partícula describe áreas iguales en intervalos

de tiempo iguales. La circunferencia en un caso particular de la elipse.

7. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO:La velocidad angular se define como la derivada de la posición angular respecto del tiempo:

dt

d θ ω =

El diferencial del desplazamiento angular es: dt d .ω θ =

Integrando en un intervalo de tiempo tenemos: ∫ ∫ =2

1

2

1

.

t

t

dt d ω θ

θ

θ

Desplazamiento angular: ( )1212

. t t −=− ω θ θ

Ecuación práctica del M.C.U: t .ω θ =

Ley del movimiento: si 00t = , entonces: 0

.θ θ ω t = +

8. POLEAS Y DISCOS TANGENTES.La figura 02 muestra tres discos tangentes entre sí, de radiosdiferentes. Si los discos son tangentes el número de vueltas eninversamente proporcional al radio de curvatura, es decir eldisco de mayor radio da menos vuelta y el disco de menor radio da mayor número de vueltas. Es decir la velocidadtangencial de los puntos periféricos tiene el mismo valor.

= = = A A B B C C V .R .R .Rω ω ω


A B

a b

Fig. 03. POLEASCONCÉNTRICAS

RA R

B

RC

A B C

Fig. 02. DISCOS TANGENTES




MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL UNIFORME (M.C.U.)

1. Dos móviles que desarrollan M.C.U. parten de A y B encontrándose en C. Si la rapidez angular de A es4π rad/ s, calcular la rapidez angular de B en rad/s.

2. Dos móviles que desarrollan M.C.U. parten de A y B encontrándose en C. Si la rapidez angular de A es4π rad/ s y de B es 5π rad/s, ¿después de cuántos segundos se encuentran por primera vez?

3. Dos personas recorren la misma pistacircunferencial (radio 80 m) partiendo del mismopunto en el mismo sentido, cuya rapidez angular están en relación de 1 a 5. Calcular la longitud

de arco de circunferencia que recorre el máslento cuando es alcanzado por el más rápido.

4. Una partícula con M.C.U. tiene frecuencia de1200 R.P.M. Si el radio de giro es 50 cm,calcular su aceleración centrípeta en m/s2.

5. Un proyectil es disparado desde el piso conrapidez de V = 50 m/s y un ángulo de elevaciónθ = 53°. Determinar el radio de curvatura de su trayectoria en elinstante que pasa por el punto más alto.

6. Un proyectil es disparado desde la superficie terrestre con una rapidez

de V = 100 m/s y un ángulo de elevación de 53° ¿Cuántos segundoshabrá desde el instante de lanzamiento hasta que el módulo de su


A

B

C

Para el problema 02

OA

B

C

60°

Para el problema 01

O

A B

a b

Para el problema 08

V

g = 10 m/s2

θ

DA B

Para el problema 5, 6 y 7




aceleración tangencial es 6 m/s2 por segunda vez?(g = 10 m/s2)

7. Se lanza un cuerpo con una rapidez de V = 40 m/s y un ángulo de elevación de 53°. Determine laaceleración normal (en m/s2) en el instante en que la rapidez del cuerpo es de 30 m/s (g = 10 m/s2)

8. Se muestra dos poleas concéntricas de radios a = 10 cm y b = 20 cm. Si las poleas giran en sentidohorario con rapidez angular constante de 4 rad/s, determinar la rapidez de alejamiento (en cm/s) entre losbloques A y B.

9. La figura muestra tres discos tangentes entre sí, de radios de curvatura R, 2R y 3R respectivamente.Cuando el disco mayor gira 4 vueltas, ¿Cuántas vueltas girara el disco de menor radio?

10. Una partícula realiza un movimiento circunferencial uniforme con rapidez angular ( / )12

rad sπ

y

radio 2,5 m. ¿En qué intervalo de tiempo (en s) la partícula realiza 7 vueltas completas?

11. Con respecto al movimiento circunferencial, cuál o

cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas:I. Un partícula que tiene M.C.U. tiene la aceleracióncentrípeta constante en módulo.II. La aceleración centrípeta en un movimientocircunferencial tiene dirección variable.III. Si la aceleración centrípeta es constante en módulo,entonces la trayectoria en una circunferencia.

12. Una partícula se desplaza en una trayectoriacircunferencial de 2 m de radio en donde su posiciónangular varia con el tiempo de acuerdo a la ecuaciónθ = 2 +2t. Si θ se mide en radianes y t en

segundos, determine:a) su recorrido (en m) entre t = 1 s y t = 3 s.b) su rapidez angular en el mismo intervalo de tiempo.

13. Se muestra el movimiento curvilíneo de unapartícula. Explique la medición de la aceleracióncentrípeta y la aceleración tangencial.

14. De las siguientes afirmaciones indicar verdadero ofalso, respecto del M.C.U.I. El móvil no tiene aceleración.II. La velocidad del móvil es constante.III. La velocidad angular es constante

15. Un punto A del borde de un disco, que gira con M.C.U.en un plano horizontal, tiene una rapidez que es el triple de


3R2R

R

A B C

Para el problema 09

A B

Para el problema 17

O

B

p

h

ω

Para el problema 18

g




la que tiene otro punto B 4 cm más cerca del centro del disco. Determine el radio del disco.

16. Una esfera de 10 cm de radio gira uniformemente (con eje de giro vertical y que pasa por el centrode la esfera) con un periodo de 0,2π s. Determine el módulo de la velocidad de un punto de la superficiede la esfera que se encuentra a 6 cm de un plano horizontal que pasa por el centro de la esfera.

17. Dos partículas realizan un M.C.U. en sentidos opuestos tal como se muestra; si sus periodos son: TA

= 20 min y TB = 30 min ¿luego de cuántos minutos, desde la posición mostrada se cruzaran por segundavez?

18. Desde una altura de h = 20 m y sobre un punto P del borde de un disco horizontal se deja caer una

piedra. Si el radio del disco es 15 2 cm gira con frecuencia de 45 R.P.M., ¿a qué distancia (en cm) del

punto P logra chocar la piedra en el disco? (g = 10 m/s 2)

19. Se sueltan simultáneamente dos pelotitas A y B tal como se muestra. Si la plataforma girauniformemente con 5π /3 rad/s y la primera pelotita marca el punto P en la plataforma y la segunda marcael punto Q, calcular la medida del ángulo POQ (g = 10 m/s2)

20. Dos móviles A y B parten de dos puntos diametralmente opuestos de una pista circunferencial conrapideces angulares de π /2 rad/s y π /3 rad/s en el mismo sentido. ¿Después de que intervalo de tiempose encuentran juntos por primera vez?

21. Un disco de 20 cm de radio gira con M.C.U. en un plano horizontal. Si una hormiga se aleja delcentro del disco, a lo largo de un radio, con una rapidez constante de 12 cm/s respecto del disco, calcular el módulo de la velocidad de la hormiga cuando se encuentra a 4 cm del centro del disco. La aceleraciónde un punto del borde del disco tiene un módulo de 3,2 m/s2.


A

45 cm

ω

Para el problema 19

B

80 cm

g

VA

VB

R

Para el problema 20




22. ¿Con qué rapidez (en km/h) deberá volar el avión en el Ecuador de Este a Oeste para que a suspasajeros les parezca que el Sol está fijo en el firmamento?Considerar: Radio de la Tierra = 6 396 km y π = 3,14

23. Desde una altura de h = 5 m y sobre un punto B del borde de un disco horizontal se deja caer una

piedra desde A. Si el radio del disco es 5 2 cm y gira a razón de 45 R.P.M. ¿a qué distancia (en cm)

del punto B choca la piedra en el disco?. (g = 10 m/s2)

24. Se muestra dos poleas concéntricas de radios a = 3 cm y b = 5 cm, que giran en sentido antihorarioa razón de 45 R.P.M. Determine la rapidez (en m/s) con que sube el bloque P.

25. Se muestra un conjunto de poleas concéntricas, entre las poleas tangentes no hay deslizamiento. Siel bloque P baja con rapidez de 5 cm/s, determinar la rapidez del bloque Q (en cm/s). Los radios son lossiguientes: a = 60 cm b = 30 cm x = 40 cm y = 20 cm

26.

Se


A

B

h

ω




muestra tres poleas concéntricas de radios a = 10 cm; c = 30 cm. Si el sistema de poleas gira con rapidezangular constante igual a 4 rad/s, en sentido horario, determinar la rapidez en m/s con que se mueve elbloque Q.

27. Se muestra dos poleas concéntricas de radios a = 20 cm y b = 10 cm. Si las poleas giran en sentidoantihorario con rapidez angular constante de 6 rad/s, determinar la rapidez (en m/s) del bloque Q.

28. Se muestra dos poleas concéntricas de radios a = 15 cm y b = 10 cm. Si las poleas giran en sentidohorario con rapidez angular constante de 4 rad/s, determinar la rapidez (en m/s) del bloque Q.

29. Se muestra una barra AB en posición horizontal y en reposo, cuya longitud es 1,0 m, sostenida por dos cuerdas iguales enrolladas a dos poleas de radios a = 2,5 cm y b = 7,5 cm. Si las poleas empiezan agirar en sentido horario con rapidez angular constante de 2 rad/s, ¿en qué intervalo de tiempo los cablesque sostienen la barra estarán en posición vertical?

30. Se muestra una barra AB en reposo, cuya longitud es 0,5 cm, sostenida por dos cuerdas enrolladasa dos poleas concéntricas de radios a = 30 cm y b = 10 cm. Si las poleas empiezan a girar en sentidoantihorario con rapidez angular 45 R.P.M., ¿en qué intervalo de tiempo los cables que sostienen la barraestarán otra vez en posición vertical?

31. Se tiene una barra horizontal AB inicialmente en reposocomo muestra la figura cuya longitud es 100 cm, sostenida por dos cable enrollados a dos poleas concéntricas de radios a y

b, donde (a + b = 80 cm). Si las poleas empiezan a girar conrapidez angular constante igual a 0,3 rad/min en sentidoantihorario, ¿en qué intervalo de tiempo (en min) los cablesque sostienen la barra estarán en posición vertical? Observeque las longitudes de las cuerdas inicialmente son iguales.


LL

L

a b

Para el problema 31




MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL UNIFORME (segunda parte)

1. Se muestra dos pares de poleas concentrica, donde un punto del borde de la polea de radio a = 20 cm,tiene una rapidez de 60 cm/s. Si las poleas de radios b = 10 cm y d = 5 cm giran en sentido horario, ¿quémódulo tendrá la velocidad de los puntos del borde de la polea de radio c = 15 cm?

2. Dos móviles que desarrollan M.C.U parten de A y B. Si la rapidez angular de A es 2 rad/s y de B es 3rad/s, ¿después de cuántos segundos se encuentran por primera vez?


a

b

c

d

Para el problema 01

A B

Para el problema 03

O

A

B

60°

Para el problema 02

O




3. Dos móviles que desarrollan M.C.U parten de A y B en el mismo sentido. Si la rapidez angular de A es 2rad/ s y de B es 3 rad/s, ¿después de cuántos segundos se encuentran por primera vez?

4. Dos personas recorren la misma pista circunferencial (radio 80 m) partiendo del mismo punto en el mismosentido, cuya rapidez angular están en relación de 2 a 3. Calcular la longitud de arco de circunferenciaque recorre el más lento cuando es alcanzado por el más rápido.

5. Una esfera hueca de radio 1,0 m gira alrededor de un eje vertical que pasa por su centro. Un proyectil sedesplaza con velocidad de 400 i (m/s) perpendicularmente al eje, perforando a la esfera en un punto cuyoradio forma 30° con el eje vertical. Determinar la mínima rapidez angular (en rad/s) que debe tener laesfera par que el proyectil entre y salga por el mismo agujero.

6. Una esfera hueca de radio 0,5 m gira alrededor de un eje vertical que pasa por su centro con frecuenciade 100 R.P.S. Un proyectil se dispara de tal modo que pasa por el centro geométrico. Determinar lamáxima rapidez (en m/s) que el proyectil tal que, atraviese haciendo un solo agujero.

7. Un cilindro hueco de radio de curvatura 0,4 m gira con frecuencia de 150 R.P.S respecto del eje vertical.Se dispara un proyectil horizontalmente, de modo que pasa por el eje de rotación. Calcular la máximarapidez del proyectil (en m/s), tal que atraviese haciendo un dolo agujero.


R

O

ω

V

Para el problema 06

R

R

R

ω

V

Para el problema 05

V25 cm

ω

V

ω

Para el problema 07




8. Sobre un eje horizontal que gira con frecuencia de 1 200 R.P.M se tiene montado dos discos separadosuna distancia de 25 cm. Se dispara un proyectil paralelamente al eje, tal que perfora los dos discos,notándose que el segundo agujero se desvía 12° respecto del primero. Determine la rapidez del proyectil(en m/s).

9. Dos satélites A y B describen trayectorias circunferenciales concéntricas de radios de curvatura R y 2R.Si los vectores posición, respecto del centro de curvatura, describen áreas iguales en intervalos de tiempoiguales, determinar la relación entre sus respectivas rapideces angulares.

10.Se muestra tres discos A, B y C de radios a = 6 cm, b = 3 cm y c = 4 cm, donde A y B son concéntricos yademás A y C son tangentes. Si el disco de radio “b” gira a razón de 120 R.P.M, determinar la rapidezangular (en rad/s) del disco de radio “c”.

11.Se muestra tres discos A, B y C de radios a = 2 cm, b = 4 cm y c = 5 cm, donde A y B son concéntricos yademás A y C son tangentes. Si el disco de radio “c” gira con rapidez angular de 3 rad/s, determinar elmódulo de la velocidad (en cm/s) de los puntos periféricos del disco B.





12.Una partícula recorre la trayectoria mostrada, formada por dos semicircunferencias, con velocidadtangencial constante en 3 segundos. Sabiendo que R = 1 m, encontrar el modulo de la aceleracióncentrípeta en el punto A en m/s2.

13.Un móvil recorre la trayectoria ABC con módulo de velocidad constante por el tramo AB y para el tramoBC. Se sabe que el modulo de la aceleración en AB es 6 m/s2 y en BC 5 m/s2. Determinar el intervalo de

tiempo (en s) que demora en el recorrido total ABC.

14. Una piedra atada auna cuerda de 2,5 m delongitud gira en un

plano vertical conrapidez angular constante de 2 rad/s.En el instante que pasapor el punto más alto serompe la cuerda,determinar eldesplazamientohorizontal “d” (en m)que experimenta lapiedra hasta llegar alpiso. (g = 10 m/s2)


12

39

6

O

Para el problema 17

12

39

6

O

Para el problema 16

Para el problema 14

ω (rad/s)

2π

2 4 80

t(s)

Para el problema 21




15.Una rueda de radio 5 m rota con rapidez angular constante de 2 rad/s respecto de un eje fijo. Si en laposición A se desprende de la rueda una partícula, determinar la altura máxima (en m) que alcanzarespecto del piso. (g = 10 m/s2)

16.Se tiene unreloj de

agujas, ¿aqué horaentre las tresy las cuatro,el horario (H)y el minutero(M) forma unángulo recto?

17.Se tiene unreloj deagujas, ¿aqué hora

entre las tresy las cuatro,el horario (H)y el minutero(M) forma unángulo de180°?

18.Sabiendo que

poleasconcéntricasde la

izquierda giran con rapidez angular de 3 rad/s en sentido antihorario, desde el instante mostrado, ¿quéintervalo de tiempo después (en s) un observador ubicado en el bloque A verá al móvil B con un ángulo deelevación de 53°? Además los radios son: a = 2 cm, b = 1 cm, c = 1 cm y d = 3 cm.


a

b c

d

A B6 cm

Para el problema 18

ω (rad/s)

π

2 4 60

t(s)

Para el problema 20




19. Sabiendo que poleas concéntricas de la izquierda giran con rapidez angular de 3 rad/s en sentidoantihorario, desde el instante mostrado, ¿qué intervalo de tiempo después (en s) un observador ubicadoen el bloque A verá al móvil B con un ángulo de elevación de 53°?Además los radios son: a = 2 cm, b = 1 cm, c = 1 cm y d = 3 cm.

20. Un disco experimenta un movimiento de rotación variado, cuya rapidez angular varía en el tiempo

como muestra la grafica. Determinar el número de revoluciones que gira en los 6 primeros segundos.

21. Un disco experimenta un movimiento de rotación variado, cuya rapidez angular varía en el tiempocomo muestra la grafica. Determinar el número de revoluciones que gira en los 8 primeros segundos.

22. En la figura muestra dos pares de poleas concéntricas donde, a = 20 cm, b = 30 cm, c = 15 cm, d =20 cm. Si la polea pequeña de radio r = 10 cm gira en sentido antihorario a 45 R.P.M., determinar larapidez (cm/s) con que se mueve el bloque P, sabiendo que entre las poleas en contacto no haydeslizamiento.

23. Dos móviles A y B se mueven a partir de las posiciones mostradas con velocidad angular de modulo2π rad/h y π /6 rad/h respectivamente.¿Al cabo de que tiempo (en min) seproducirá el primer encuentro

24. Una partícula describe un movimientocircunferencial uniforme en sentidoantihorario. Si la rapidez angular es 4

rad/s y radio 2 m, determine la velocidaden la posición A.

25.Dos partículas realizan un M.C.U. ensentidos opuestos tal como se muestra; sisus periodos son: TA = 40 min y TB = 60min ¿luego de cuántos minutos, desde laposición mostrada se cruzarán por terceravez?

26. BIBLIOGRAFÍA VIRTUAL Y FUENTES DE INFORMACIÓN:http://grups.es/didactika/yahoo.com www.didactika.com

[email protected]


b

ac

d

r

P

Para el problema 22

A

B

Para el problema 23

A

X

Y

Z

Para el problema 24

http://grups.es/didactika/yahoo.com

http://www.didactika.com/


mailto:[email protected]







MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL

UNIFORMEMENTE VARIADO(M.C.U.V.)1. CONCEPTO.

Es aquel movimiento mecánico de la partícula que tiene como trayectoria una línea curvallamada circunferencia, en elcual el móvil aumenta odisminuye su velocidadangular en módulo,

progresivamente, por consiguiente se mueve conaceleración angular

constante. La velocidadangular y la aceleraciónangular son colineales.

2. ACELERACIÓN ANGULAR (α ). Es aquella magnitud vectorial, que mide la rapidez decambio de la velocidad angular que experimenta una partícula. Se representa por un vector

perpendicular al plano de rotación.

Definición escalar:0 f

t t

ω ω ∆ω α

∆

−= =

2 2 2

rad rad rad Unidades : , ,

s min h

Definición vectorial de la aceleración angular:d

d t

ω α r=

Pero:d

d t

θ ω = entonces se obtiene:

2

2

d d

d t d t

ω θ α θ

gg

= = =

En el movimiento circular uniformemente variado, la aceleración angular es constante:

Integrando la relación diferencial d .dt ω α se obtiene que:0 0 0

t t

t t

d .dt . dt

ω

ω

ω α α =∫ ∫ ∫Ecuación de la velocidad angular: ( )

0 0t t ω ω α + −

Haciendo que0

0t = , obtenemos la relación:0

.t ω ω α +

Otra vez: 0

d .t

d t

θ ω ω α = +


α

θA B

r

Figura 01 ω




Observe ( )0d .t .dt θ ω α + ahora integramos:

0 0 0

0

t t

t t

d .dt . t.dt

θ

θ

θ ω α +∫ ∫ ∫La posición angular en cualquier instante es: ( ) ( )

21

20 0 0 0. t t t t θ θ ω α + − + −

3. VELOCIDAD ANGULAR MEDIA ( )mω : Si la aceleración angular es constante, entonces la

velocidad angular varía linealmente. Entonces la velocidad angular media (velocidad angular constante) se define como la semisuma de la velocidad angular inicial y final.

0

2

F m

ω ω ω

+=

En el M.C.U la velocidad angular permanece constante,entonces el desplazamiento angular es:

0

2

F m .t .t

ω ω θ ω

+ = =

4.ACELERACIÓN LINEAL O TANGENCIAL (at):Es aquella magnitud vectorial que mide la rapidez decambio que experimenta la velocidad tangencial enmódulo. Se representa mediante un vector tangente a lacircunferencia.

0

T

V V V a

t t

∆

∆

−= =

2 2 2

m cm kmUnidades : , ,

s s h

Ecuación de la velocidad linéalo tangencial:

0 T V V a .t +Definición diferencial de la aceleración tangencial:

T

dV a

d t =

Se obtiene que: T d V a .d t integrando0 0 0

= =∫ ∫ ∫V t t

T T

V t t

d V a .d t a . d t

( )0 0T V V a . t t = − entonces la velocidad varia con la ley: ( )

0 0T V V a . t t + −

5. ACELERACIÓN NORMAL O CENTRÍPETA (ac): La aceleración centrípeta mide la rapidezde cambio que experimenta la velocidad tangencial en dirección. Se representa por vector queindica al centro de curvatura. Su valor es directamente proporcional al cuadrado de la velocidadtangencial e inversamente proporcional al radio de curvatura en cada instante de tiempo. Se mideen m/s2.

( )2

2

2

c

.r V a .r

r r

ω ω = =

6. ACELERACIÓN RESULTANTE (a): es la aceleración que resulta de adición vectorial la

aceleración tangencial y la aceleración centrípeta. El módulo se determina aplicando el teoremade Pitágoras.


at

ac

a

r

Figura 02




Forma vectorial: t ca a a+

Forma escalar: ( ) ( )2 2

t ca a a+

7. RELACIÓN ENTRE LA ACELERACIÓN ANGULAR Y TANGENCIAL:Sabemos que: t V .r ω

0 0−

= = f f

t

V V .r .r a

t t

ω ω 0 f

t a .r .r t

ω ω α

− = =

=t a .r α

Debe observarse que la aceleración angular y la aceleración tangencial son mutuamente perpendiculares: α ×t a r

Considerando que la trayectoria es una circunferencia, entonces el radio tiene longitud constante,

la aceleración tangencial se define como: ( )t

d .r d V d a r. r.

d t d t d t

ω ω α = = = =

8. PROPIEDAD DE LA POLEA MÓVIL.La velocidad de la polea (punto A) es igual a la semisuma de las velocidades de los puntos B y Cque son los extremos de la cuerda:

2

B C A

V V V

+=

r

DEMOSTRACIÓNSi elegimos un sistema de referencia donde el punto “O” seencuentra en reposo, se cumplirá que:

= − B / O C / OV V

es decir, para nuestro observador el bloque B sube y el bloque C baja con la misma rapidez o viceversa.

( )= − − B O C OV V V V

Respecto de la tierra: = A OV V

2

+= =r r B C

A OV V V V

La misma relación se cumple para la aceleración:2

B C A

a aa

+=

r

y el desplazamiento:2

B C A

d d d

+=

r

9. ACELERACIÓN ANGULAR VARIABLE: En toda grafica aceleración angular versus tiempo,el área bajo la curva es igual al incremento de la rapidez angular en un intervalo de tiempo.


A

B C

Fig. 03. POLEAS MÓVILES

O




0 0

.t

t

d dt

ω

ω

ω α =∫ ∫

0

0 .

t

t dt ω ω α − = ∫

En este caso la aceleración angular varíalinealmente:

0

0.

t

t

dt ω ω α = + ∫

El incremento de la velocidad angular es:

0

0 .ω ω α

t

t

dt − = ∫

0

.

2

b hω ω − =

En este caso particular la integral representa el área del triángulo.


α ( rad/s2)

CAMBIO DE LA VELOCIDAD ANGULAR

0

t(s)




PROBLEMAS PROPUESTOS de MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL (M. C. U. V.)

1. Si un disco parte del reposo con M.C.U.V y en 9 segundos su rapidez angular es 36 rad/s. ¿Cuál será larapidez angular a los 10 segundos en rad/s?

2. Una partícula gira a 33 R.P.M y al desacelerar con M.C.U.V se detiene en 8 segundos. Determinar el

número de vueltas que logró al perder su velocidad.

3. La frecuencia de una rueda cambia de 8000 R.P.M hasta 200 R.P.M en 5 segundos. Si tiene M.C.U.V,determinar su rapidez angular (en rad/s) 2 segundos antes de detenerse.

4. Una partícula que tiene M.C.U.V con aceleración angular de módulo 80 rad/s 2. Si para girar 1500 radnecesita 6 segundos, determinar la rapidez angular inicial en rad/s.

5. El punto periférico, de una rueda de diámetro 8 m, en un instante dado tiene aceleración tangencial demódulo 20 m/s2 y rapidez angular 5 rad/s. Calcular la aceleración total en m/s2 en ese instante.

6. El movimiento del rotor de un helicóptero cambia de 300 R.P.M a 225 R.P.M en un minuto. Suponiendoque la frecuencia de rotación inicial del motor es de 300 R.P.M y que la aceleración angular permanece

constante, ¿cuánto tiempo tardará el rotor en detenerse?.

7. La trayectoria circunferencial de un automóvil esta descrita mediante la ecuación: 2. .1 0 5 2S t t = + + ,donde S esta en metros y t en segundos. Si la trayectoria tiene un radio de 27 cm, hallar las aceleracionestangencial, centrípeta y total cuando t = 1,0 s. Dar la respuesta en m/s2:

8. Desde el borde de una mesa, cuya superficie se encuentra a 1 m del suelo, se lanza horizontalmente unobjeto con una rapidez de 5 m/s. Determinar las aceleraciones centrípeta y tangencial del objeto 0,5después del lanzamiento.

9. Una partícula realiza un movimiento circunferencial acelerado con aceleración tangencial de modulo 2m/s2. Si la magnitud de la aceleración normal en el instante 0t = fue 1 m/s2, determine la magnitud (en

m/s

2

) de la aceleración normal cuando el desplazamiento angular sea de 3 radianes.10.Un cuerpo realiza un M.C.U.V. de radio 2 m. Si su posición angular θ (en radianes) en función del

tiempo t (en segundos) es2

22

t t θ = + , determine el módulo de la velocidad tangencial (en m/s) en el

instante 4t s= .

11.Una partícula que realiza una trayectoria circunferencial parte con una rapidez de 3π rad/s y conaceleración angular de modulo 4π rad/s2. Determine el número de vueltas que realizó en el décimosegundo.

12.Una partícula efectúa un M.C.U.V. con aceleración angular de 0,5 rad/s2 en una pista de radio 2 m. Si en

t = 0 s parte del reposo, determine la longitud de arco (en m) que describe en el décimo segundo de sumovimiento.

13.Una partícula describe un movimiento circunferencial uniformemente variado, radio 1,0 m y aceleracióntangencial 1 m/s2, partiendo del reposo. Determine el desplazamiento angular (en rad) hasta el instanteque el valor de la aceleración tangencial es igual a la aceleración centrípeta.

14.Un cuerpo inicialmente en reposo (θ = 0, ω = 0 en t = 0) es acelerado en sentido antihorario, en unatrayectoria circular de 1.3 m de radio de acuerdo a la ecuación:

.16481202

+−= t t α Determinar:a) La velocidad angular y la posición angular como funciones del tiempo.b) Las componentes tangencial y normal de su aceleración en t = 2,0 s.





15.Una partícula se mueve en una trayectoria circular con radio R = 2 m con una velocidad angular ω = 5rad/s. Si en t = 0 s comienza a desacelerar con una aceleración angular α = 2 rad/s2, determinar:a) El intervalo de tiempo que demora en detenerse.b) El módulo de la aceleración tangencial y normal al cabo de 1 segundo.c) El módulo de la aceleración total en t = 1 s.

16. La velocidad angular de una rueda disminuye uniformemente con aceleración angular constantedesde 900 R.P.M hasta 800 R.P.M en 5 segundos. Determinar:a) El módulo de la aceleración angular.b) El intervalo de tiempo más que hará falta para que la rueda se detenga.c) El grafico de ω versus t , sabiendo que en t = 0, ω o = 94,2 rad/s.

d) Realizar el grafico de versus t , si en t = 0, es oθ = 0.

17. Una partícula se mueve en una trayectoria circular de radio R = 2 m con M.C.U y una frecuencia de5 R.P.S. Si cuando t = 0 s pasa por el punto P. En el instante t = 0,15 s determinar:a) Su posición en función al ángulo central.b) El módulo de la velocidad tangencial.c) El módulo de las componentes tangencial y normal de la aceleración.

18. Una partícula que tiene trayectoria circular, en un instante tiene rapidez V = 20 m/s y aceleracióntotal de módulo a = 20 m/s2 como se muestra en la figura. Determinar el radio de curvatura.

19. En el movimiento circunferencial uniformemente variado se cumple:A) La aceleración tangencial es constante.


Va

53°

O

Para el problema 18

Ox

y

R

P

Para el problema 16

R

Para el problema 23

V

a

127°

O

Para el problema 22




B) La aceleración angular es perpendicular a la velocidad angular.C) La aceleración angular es perpendicular al plano de rotación.D) La aceleración normal es constante.E) El vector aceleración del cuerpo apunta hacia el centro de la circunferencia.

20. ¿Cuántas vueltas habrá dado un disco que inicia un M.C.U.V. desde el reposo si al transcurrir el

primer minuto tiene una frecuencia de 300 R.P.M.

21. Un cuerpo inicia un M.C.U.V. desde el reposo con 3 rad/s2, luego de cierto tiempo empieza adesacelerar a razón de 6 rad/s2 hasta que se detiene. Si el tiempo total que demora durante sumovimiento es 30 s. Calcular el módulo de la velocidad angular máxima que logra el cuerpo.

22. En cierto instante, una partícula que realiza un M.C.U.V. tiene una aceleración total de módulo 5m/s2 y que forma 127º con la velocidad. Determine la rapidez del móvil 2 s después del instantemencionado. El radio de la trayectoria es de 16 m.

23. Un partícula parte del reposo y empieza a describir una trayectoria en forma de espiral cuyo radiovaría según la ley R = k.t ( k = 1 m/s), es decir en cada segundo el radio aumenta en 1 m. El movimientoposee aceleración angular de módulo 0,25 rad/s2. ¿Qué módulo de velocidad tangencial (en m/s) tendrá lapartícula a los 12 segundos de su partida?

24. Un disco empieza a girar con aceleración angular constante. En determinado instante tiene unarapidez angular de 10 rad/s y 5 s más tarde tiene 20 rad/s ¿Qué medida de ángulo (en rad) ha girado el


α ( rad/s2)

8

4 8 120

t(s)

Para el problema 26

α ( rad/s2)

2π

2 80

t(s)

Para el problema 25

ab

P

Para el problema 28

Q

a

c

Para el problema 29

b




disco en los primeros 5 s?

25. Se muestra la variación de la aceleración angular en el tiempo de un disco. Si en el instante t = 0 surapidez angular es “ω ” y para t = 8 s la rapidez angular es “3ω ”, determinar su rapidez angular (en rad/s)para t = 2 s.

26. Se muestra la variación de la aceleración angular en el tiempo de un disco. Si en el instante t = 0 surapidez angular es “ω ” y para t = 8 s la rapidez angular es “3ω ”, determinar su rapidez angular (en rad/s)para t = 6 s.

27. Un disco que tiene M.C.U.V necesita 3 segundos para girar un ángulo de medida 234 radianes. Sisu rapidez angular a cabo de este tiempo es 108 rad/s. Determinar el módulo de la aceleración angular (en rad/s2).

28. Se muestra dos poleas concéntricas de radios a = 20 cm y b= 30 cm. Sabiendo que las poleasgiran en sentido horario con aceleración angular constante de modulo 4 rad/s 2, determinar el módulo de laaceleración (en m/s2) del bloque P.

29. Se muestra tres poleas concéntricas de radios a = 10 cm, b = 20 cm y c = 25 cm. Sabiendo que laspoleas giran en sentido horario con aceleración angular constante de módulo 4 rad/s 2, determinar elmódulo de la aceleración (en m/s2) del bloque Q.

30. Se muestra dos poleas concéntricas de radios a = 20 cm y b= 30 cm. Sabiendo que las poleas

giran en sentido horario con aceleración angular constante de modulo 4 rad/s 2, determinar el módulo de laaceleración (en m/s2) del bloque Q.

31. Se muestra dos poleas concéntricas de radios a = 20 cm y b= 30 cm. Sabiendo que las poleasgiran en sentido horario con aceleración angular constante de modulo 4 rad/s 2, determinar el módulo de laaceleración (en m/s2) del bloque Q.

32. Se muestra dos poleas concéntricas de radios a = 20 cm y b= 30 cm. Sabiendo que las poleasgiran en sentido horario con aceleración angular constante de módulo 4 rad/s 2, determinar el módulo de laaceleración (en m/s2) del bloque Q.


ba

Q

Para el problema 30

ba

Q

Para el problema 31




33. Se muestra dos poleas concéntricas de radios a = 10 cm y b= 20 cm. Sabiendo que el bloque Qsube con aceleración de módulo 0,6 m/s2, determinar el módulo de la aceleración (en m/s2) del bloque P.

34. Si el bloque B se mueve con velocidad de 8 ĵ (m/s) y el bloque C con 10 ĵ (m/s) ¿Cuál es el módulode la velocidad (en m/s) con la que se mueve el punto A?

35. Si el bloque B se mueve con velocidad de -8 ĵ (m/s) y el bloque C con 10 ĵ (m/s) ¿Cuál es el módulode la velocidad (en m/s) con la que se mueve el punto A?

36. Si el bloque B se mueve con aceleración de -6 ĵ (m/s2) y el bloque C con 8 ĵ (m/s2) ¿Cuál es elmódulo de la aceleración (en m/s2) con la que se mueve el punto A?

37. Una partícula realiza un M.C.U.V partiendo del reposo. ¿En qué instante en (en s) el modulo de suaceleración centrípeta será el doble de lo que era en el instante t = 2 s?


A

B C

Para el problema 34

A

B C

Para el problema 35

A

B C

Para el problema 36

a b

Q

Para el problema 33

P

a b

QPara el problema 32




38. Una partícula realiza un M.C.U.V partiendo del reposo. ¿En qué instante en (en s) el modulo de suaceleración centrípeta será el doble de lo que era en el instante t = 2 s?

39.Una partícula describe un movimiento circunferencialuniformemente variado de 1 m de radio. Si en el instanteen que el vector aceleración total hace un ángulo de 53°

con el vector velocidad de módulo es 2 m/s, determine elmodulo del vector aceleración tangencial (en m/s2) en eseinstante.

40. Una partícula se mueve en una circunferencia de 10 cmde radio con aceleración tangencial de módulo constante.Calcule el módulo de esta aceleración (en m/s2) luego de20 s de haber iniciado su movimiento, sabiendo que altérmino de la quinta vuelta su rapidez tangencial es de 10cm/s.

41. Una partícula realiza M.C.U.V con aceleracióntangencial de módulo 1 m/s2, partiendo del reposo. Si el

radio de la trayectoria es de 1 m, determine eldesplazamiento angular (rad) en el instante en que elmódulo de la aceleración centrípeta es 1 m/s2.

42. Una partícula parte del reposo en movimientocircunferencial sobre una trayectoria de radio 0,5 m ydespués de 0,1 s alcanza una velocidad angular de modulo4π rad/s. Considerando que la aceleración angular esconstante, ¿Cuál es el ángulo que forma la aceleración conel radio en dicho instante?

43. Un móvil parte del reposo y comienza a moverse conM.C.U.V con aceleración angular de módulo 2 rad/s2. Si se

sabe que después de un tiempo ha barrido un ángulocentral de θ rad y 2 segundos después ha barrido un

ángulo γ rad tal que:4

5

θ

γ = . Determinar γ en rad.

44. Un disco parte con velocidad angular de modulo ω 0 yrealiza un M.C.U.V. Determine cuantas vueltas realiza eldisco al cabo de los 10 segundos iniciales de su movimiento, si al cabo de los primeros 2 segundosefectuó 5 vueltas adquiriendo una velocidad angular de modulo 6π rad/s.

45. Una partícula inicia su movimiento circunferencial con una aceleración angular constante de modulo3 rad/s2. ¿Después de que tiempo (en s) el vector aceleración forma por primera vez un ángulo de 37° conel vector velocidad?

46.Una partícula describe un M.C.U.V en el plano X-Y partiendo de x = 4 m con una velocidad angular

inicial ˆˆ ( / ) 3k rad sω = − . Si luego de 5 segundos su velocidad angular es ˆ ( / )7 k rad s . Indique si las

siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F).

I. La aceleración angular es de 2ˆ ( / )2 k rad s .

II. La rapidez después de 5 segundos es 28 m/s.III. En 5 segundos la partícula realiza cinco vueltas completas.

47. Un móvil parte del reposo del punto A y comienza a moverse con M.C.U.V en sentido antihorario. Sidespués de un cierto intervalo de tiempo, el móvil barre un ángulo central θ , determinar el ángulo ε queforma la aceleración instantánea con su componente tangencial.


X

Y

0

Para el problema 46

aa

n

o

θ

Para el problema 47

εA

at




48.Si un móvil parte del reposo y se mueve con M.C.U.V, determinar el desplazamiento angular θ queexperimenta hasta el instante en que su aceleración lineal se duplica.

49.La velocidad angular de un disco giratorio en (rad/s) es:2

220 1

3 3

= + −

t t ω donde “t” se mide en

segundos. Calcular:a) El número de radianes que gira el disco en los tres primeros segundos.b) La aceleración angular en el instante 3=t s .

50. La velocidad angular de un punto giratorio en (rad/s) es: ( )2t t 30 6ω = + donde “t” se mide en

segundos. Si cuando 10=t s la posición es 2 601= rad θ

Calcular:

a) la posición inicial ( )0=t s del punto.

b) La aceleración angular en el instante 2=t s .

51. Para el M.C.U.V:A) Demostrar que cuando una partícula parte del reposo y gira alrededor de un punto fijo con aceleraciónangular constante, la aceleración normal del punto material es directamente proporcional a su

desplazamiento angular: .=n

a k θ

B) ¿Qué ángulo θ habrá girado el punto material cuando la aceleración resultante forme un ángulo de 60°con la aceleración normal?

52.





MOVIMIENTO del CUERPO RÍGIDO

1. CUERPO RÍGIDO.Es aquel cuerpo cuyas dimensiones externas no cambian en el tiempo, tienen forma yvolumen constante, tal que la distancia entre dos puntos del cuerpo no cambia. Ejemplo de

cuerpo rígido: Viga, columna, tabla, rueda de acero, biela, cilindro metálico, manivela, etc.

2. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO PLANO PARALELO.Por movimiento plano paralelo se entiende el movimiento de un cuerpo sólido durante elcual todos sus puntos se desplazan

paralelamente a un plano fijo de referencia.Analicemos la traslación pura sin rotación

de una rueda, en este caso todos los puntosdel cuerpo rígido tienen la misma velocidadrespecto de la tierra. Ahora analicemos larotación pura de una rueda, el centro derotación “C” no tiene velocidad de traslación,

pero todos los puntos del cuerpo rígido tieneigual velocidad angular y los puntos

periféricos tienen movimientocircunferencial uniforme.

3. DETERMINACIÓN DE LAS VELOCIDADES DE LOS PUNTOS DEL CUERPO.

Si la rueda tiene movimiento de traslación y rotación tal que el punto de contacto con la


B

V

TRASLACIÓN PURA

V

V

V

VA

C

BV V

VV

D

A

E C

ROTACIÓN PURA

B

SUMA DE VELOCIDADES

(VB

= 0)

V

V A

C

V

B

PROPORCIÓN DE VELOCIDADES

2 V

V

A

C

C V

ROTACIÓN Y TRASLACIÓN

A




superficie no resbala, entonces el punto B tiene velocidad de traslación nula:La velocidad del punto B se consigue de la suma de la velocidad de traslación de C mas la

velocidad de B respecto de C :/

0 B C B C V V V = + =La velocidad del punto A se consigue de la suma de la velocidad de traslación de C mas la

velocidad de A respecto de C: / A C A C V V V = +La rapidez del punto A es el doble de la rapidez del centro C de la rueda: 2

AV V =La velocidad del punto D se consigue de la suma de la velocidad de traslación de C mas lavelocidad de D respecto de C:

/ D C D C V V V = +aplicado el Teorema de Pitágoras se obtiene que:

2 D

V V =

La velocidad del punto E se consigue de la sumade la velocidad de traslación de C mas la

velocidad de E respecto de C:

/ E C E C V V V = +aplicado el Teorema de Pitágoras se obtiene que:

2 E V V =

4. CENTRO INSTANTÁNEO DE ROTACIÓN.Si en un instante un punto del cuerpo rígido tiene velocidad nula, entonces este punto seconstituye como el centro de rotación en ese instante, entonces el cuerpo rígido experimentauna Rotación Pura, la velocidad de cualquier

punto es perpendicular a la posición respecto delcentro instantáneo de rotación. Este es un método, práctico muy útil en la resolución de problemas.Cuando analizamos el movimiento de la rueda quese traslada y rota sin resbalar, el punto B decontacto con la tierra se comporta como el centroinstantáneo de rotación.

Analicemos el movimiento de una barra delongitud L que apoya en un pared vertical y en unasuperficie horizontal. Sean los A y B los extremos

de la barra, entonces determinamos el CentroInstantáneo de Rotación, trazando perpendicularesa las velocidades de A y de B. Si observamos desde el centro instantáneo de rotación todoslos puntos del cuerpo rígido experimentan un movimiento de Rotación Pura.

Aplicamos las leyes del Movimiento Circunferencial Uniforme:V

Rω =

A BV V

x yω = = entonces se cumple que: . A

V xω = y . BV yω =


B

VEV

VELOCIDAD EN “E”

V E

B

VDV

VELOCIDAD EN “D”

V D

A

E C




5. TEOREMA DE LAS PROYECCIONES DE LAS VELOCIDADES DE DOS PUNTOSDEL CUERPO.La determinación de las velocidades de los puntos del cuerpo rígido con ayuda de lacomposición de velocidades (movimiento compuesto) es habitualmente muy complicado deresolver. Sin embargo se puede determinar mediante métodos prácticos y simples, uno de

ellos es el teorema siguiente, que dice: “las proyecciones de las velocidades de dos puntosdel cuerpo sólido sobre la recta que uneestos puntos, son iguales”.

. . A BV Cos V Cosα β =


y

VABθ

CENTRO INSTANTÁNEO DE ROTACIÓN

C.I.

VB

x

VA

B

α

VB

β

MÉTODO DE LAS PROYECCIONES

VB.Cos

β

VA.Cosα




PROBLEMAS PROPUESTOS de MOVIMIENTO del CUERPO RÍGIDO

1. Una rueda gira sin resbalar y se traslada con velocidad constante de módulo V. Determine el módulo dela velocidad del punto “A”.

2. Una rueda gira sin resbalar y se traslada con velocidad constante de módulo V. Determine el módulo de

la velocidad del punto “A”.

3. Una rueda gira sin resbalar y se traslada con velocidad constante de módulo V. Si θ = 45°, determine elmódulo de la velocidad del punto “A”.

4. Una cilindro rueda sin resbalar sobre un plano inclinado tal que su centro de masa se traslada con unarapidez de V = 10 m/s. Si θ = 60°, determine el módulo de la velocidad resultante en el punto A.

5. Luego de abandonar a la barra sobre las superficies lisas; el punto medio “C” describirá comotrayectoria:A) una recta B) una circunferencia C) una elipse D) una parábola E) una hipérbola

6. Respecto del problema anterior; si el extremo A tiene una velocidad de módulo 20 cm/s, cuando θ =37°, determine el módulo de la velocidad (en m/s) del extremo B en ese instante.

7. Si el extremo A de la barra AB se desliza horizontalmente con rapidez V. Determinar la rapidez con quese mueve el punto medio C de la barra.

8. Las ruedas de un ferrocarril, que se mueven horizontalmente hacia la derecha con rapidez V = 50 km/h,ruedan sin resbalar sobre la línea férrea en la forma que se muestra. Determinar la rapidez (en km/h) con

que se mueve el punto más bajo (punto P) de las ruedas en cada instante, sabiendo que R = 22 cm y r =20 cm


A

V

θ

g

Para el problema 04

A

V

Para el problema 01

AV

Para el problema 02

V

A

θ

Para el problema 03




9. Un helicóptero se desplaza horizontalmente con rapidez de 75 m/s. Si la frecuencia de rotación es 40R.P.S., determinar el radio máximo de la hélice, tal que, la máxima rapidez de un punto periférico de lahélice sea de 350 m/s.

BIBLIOGRAFÍA VIRTUAL Y FUENTES DE INFORMACIÓN:

http://grups.es/didactika/yahoo.com www.didactika.com [email protected] [email protected] [email protected]

A

C

Bθ















CINEMÁTICA+III+M.C Cuerpo+Rigido+

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